$\newcommand{\angle}[1]{{\left\langle{#1}\right\rangle}}$ $\newcommand{\card}[1]{{\left|{#1}\right|}}$ 補題 $\angle{a, \prec}$を整列集合とする。 $f : \gamma \to a \text{は順序同型写像}$とする。 $\all a_0 \subseteq a \; \exi \gamma_0 \;\; f…

$\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}$ 今回の記事の内容は、竹内外史,Wilson M.Zaring共著｢Axiomatic Set Theory｣(1973年)の第3章"Boolean σ-Algebras"の丸々まとめである。 $X$をブール代数とする。 $I \subseteq X$をidealとする。 $X \text{は}\sigm…

$(X, \leq)$を順序集合とする。 次の定義をする: $\text{Uf}(X)$ $:\equ$ $\Set{ F \subseteq X }{ F \text{は}X\text{の極大filter} }$ $\text{Ngb} : X \rightarrow \text{Pow}( \text{Uf}(X) ), x \mapsto \Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ x \in F }$ $\math…

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。 $X \text{はc.c.c.} :\Leftrightarrow \all A \subseteq \;\bracket{ \all x, y \in A \;\parenth{ x \nequ y \Rightarrow x \cdot y \equ 0 } \Rightarrow A \text{は高々加算} }$ $\text{c.c.c.}$とはcounta…

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。 $\phi \nequ A \subseteq X$とする。 $A$は$\text{filter}$ $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & 1 \in A \\ (2) & \all a, b \in A \;\; a \cdot b \in A \\ (3) & \all a \in A \;…

下図の｢1→2→3｣の順で議論を進めていく(定理の番号に対応しているわけではない)： ${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}*[white]\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ ブール代数 \ar@1@<1ex> `d/2pt[dr]_{3} `r/2pt[r] [r] \ar@1{^{(}->} [r] & 完備ブー…

Zermeloの整列定理 $X$を集合とする。 $\exi \leq \; \subseteq X \times X \; (X, \leq) {\rm は整列集合}$ が成り立つ$^{AC}$。 $\exi {\rm 整列集合} Y \; \exi {\rm 全単射} f : Y \rightarrow X$ を証明すれば良い。それをもって $X$ を整列集合と出来…

$X$ を集合とする。 $X {\rm は有限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $\exi n \in {\mathbb N} \; \exi {\rm 可逆写像} f : n \rightarrow X$ $X {\rm は無限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $X {\rm は有限集合ではない}$ $\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi…

$X,Y,I$ を集合とする。 $i \in I$ に対し、$X_i \subset X, Y_i \subset Y, {\rm 全単射}f_i : X_i \rightarrow Y_i$ とする。 $X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i {\rm かつ} Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i \Rightarrow \coprod\limits_{i \in I…

Zornの補題と同値な命題の中でも、特にZornの補題と形が似ているものの同値性を証明する。 $X$を集合とする。 $C$を$X$の部分集合に関する性質とする。 $C$は有限的な性質 $:\Leftrightarrow$ $\all Y \subset X \left[\; Y \rm{は性質} C \rm{を持つ} \;\Le…

Zornの補題を証明する。 まずは用語の定義から。 $\left( X, \leq \right)$ を順序集合とする。 $c \in X, T \subset X$ とする。 $c$ は、$T \text{のupper bound(上界)}$ $:\Leftrightarrow$ $\all a \in T \; a \leq c$ $T$ は、$\text{totally ordered(…

開集合系の基底について復習する。 $(X, {\cal O}_X)$ を位相空間とする。 ${\cal U} \subset {\cal O}_X$ とする。 ${\cal U}$は${\cal O}_X$の基底である $:\Leftrightarrow$ ${\cal O}_X \equ \Set{ \bigcup {\cal V} }{ {\cal V} \subset {\cal U} }$ $\…

まず、本定理の証明に必要な命題を述べておく。 $\left( X, {\cal O}_X \right)$ を位相空間とする。 $x \in X$ とする。 ${\mathbb V}(x)$ を $x$ の近傍系とする。 ${\mathbb V}^*(x)$ を $x$ の基本近傍系とする。 $\all A \subset X \;\parenth{ x \in \…

位相空間$\left( X,{\cal O}_X \right)$に対し、 ${\cal C}_X :\equiv \Set{ A \subset X }{ X \backslash A \in {\cal O}_X }$ と置く。 $\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。 $A \subset X$ とする。 以下は同値である： $A$はCompact $\a…