$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} $

CompactかつHausdorffならば正規

位相空間$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を考える。
$X$がCompactかつHausdorffならばNormal(正規)である。
[証明]

$\newcommand{\calD}{{\mathcal D}}$ $\newcommand{\scrA}{{\mathscr A}}$ $X$がHausdorffならば$T_0$であることは既知なので、以下で$T_4$であることを証明する。
${\mathcal C}_X \ni A, B$ が $A \cap B \equ \phi$ を満たすとする(${\mathcal C}_X$ は $X$の閉集合全体のなす集合である)。
$\scrA :\equiv \left\{ \calD \subset {\mathcal C}_X | \calD \mbox{は有限集合} かつ \left(\bigcap \calD \right)^\circ \nequ \phi かつ B \cap \left(\bigcap \calD \right) \equ \phi \right\}$ と置く。

$A \subset \bigcup\limits_{\calD \in \scrA} \left(\bigcap \calD \right)^\circ$ が成り立つ。

$a \in A$ を任意に取る。
$\calD_a :\equiv \left\{ D \in {\mathcal C}_X | a \in D^\circ \right\}$ と置く。

$B \cap \left( \bigcap \calD_a \right) \equ \phi$ が成り立つ。

$b \in B$ を任意に取る。
$A \cap B \equ \phi$ だから $a \neq b$ 。Hausdorffの仮定から、 $a \in \exi U \in {\mathcal O}_X \; b \in \exi V \in {\mathcal O}_X \quad U \cap V \equ \phi$ 。
$a \in U \subset X \backslash V$ だから $a \in \left( X \backslash V \right)^\circ$ が言え、 $X \backslash V \in \calD_a$ となる。
$b \notin X \backslash V$ も合わせると $b \notin \bigcap \calD_a$ である。
よって、$B \cap \left( \bigcap \calD_a \right) \equ \phi$ が成り立つ。
(注意:実は、一般に、 $X$がHausdorffであることと、
$\all x \in X \;\; \bigcap\limits_{D \in {\mathcal C}_X, x \in D^\circ} D \equ \{ x \}$ であることは同値である。)

ところで、$X$がCompactという仮定により、閉集合$B$はCompactである。
従って 一般に位相空間$\left( X, {\mathcal O}_X \right)$に対して、
$A (\subset X)$がCompactであることは、
$\all {\mathcal F} \subset {\mathcal C}_X \left[\: A \cap \left( \bigcap {\mathcal F} \right) \equ \phi \Rightarrow \exi {\mathcal F}_0 \subset {\mathcal F} \;\; {\mathcal F}_0 \mbox{は有限集合} かつ A \cap \left( \bigcap {\mathcal F}_0 \right) \equ \phi \:\right]$
が成り立つことと同値である。
、上記より、 $\exi \calD_0 \subset \calD_a \;\; \calD_0 \mbox{は有限集合} かつ B \cap \left( \bigcap \calD_0 \right) \equ \phi$ が言える。
また、 $a$ $\in$ $\calD_0 \subset \calD_a$ と $\calD_a$ の定義から。 $\bigcap\limits_{D \in \calD_0} D^\circ$ $\equ$ $\calD_0$ が有限集合であることから。 $\left( \bigcap \calD_0 \right)^\circ$ も成り立つので、 $\calD_0 \in \scrA$ が言える。
よって、 $a \in \bigcup\limits_{\calD \in \scrA} \left(\bigcap \calD \right)^\circ$ である。

ところで、$X$がCompactという仮定により、閉集合$A$はCompactである。
従って、上記より、 $\exi {\mathscr A}_0 \subset \scrA \;\; \scrA_0 \hbox{は有限集合} かつ A \subset \bigcup\limits_{\calD \in \scrA} \left(\bigcap \calD \right)^\circ$ が言える。
$U :\equiv \bigcup\limits_{\calD \in \scrA_0} \left(\bigcap \calD \right)^\circ$ , $V :\equiv X \backslash \bigcup\limits_{\calD \in \scrA_0} \left(\bigcap \calD \right)$ と置く。
明らかに、 $A \subset U \in {\mathcal O}_X$ である。
$B \cap \bigcup\limits_{\calD \in \scrA_0} \left(\bigcap \calD \right) \equ$ $\bigcup\limits_{\calD \in \scrA_0} B \cap \left( \bigcap \calD \right)$ $\equ$ $\scrA_0 \subset \scrA$ と $\scrA$ の定義から。 $\phi$ だから $B \subset X \backslash \bigcup\limits_{\calD \in \scrA_0} \left(\bigcap \calD \right) \equ V$ $\in$ $\scrA_0$ が有限集合であることから。 ${\mathcal O}_X$
最後に、 $U \cap V \equ \phi$ であることは定義から明らかである。
証明終