${\rm Compact}$かつ${\rm Hausdorff}$ならば${\rm 正規}$ - 手を動かさなくても分かる行間ゼロの大学数学

位相空間$\left( X,{\cal O}_X \right)$に対し、

${\cal C}_X :\equiv \Set{ A \subset X }{ X \backslash A \in {\cal O}_X }$

と置く。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。
$A \subset X$ とする。以下は同値である：

$A$はCompact
$\all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ A \cap \bigcap {\cal D} \equ \phi \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \equ \phi }$
$\all {\cal S} \subset {\frak P}(X) \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; A \cap \bigcap {\cal T} \nequ \phi \Rightarrow A \cap \bigcap \Set{ {\overline S} }{ S \in {\cal S} } \nequ \phi }$

[証明]

$A$はCompact
$\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O}_X \parenth{ A \subset \bigcup {\cal U} \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal V} \subset {\cal U} \; A \subset \bigcup {\cal V} }$
$\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O}_X \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal V} \subset {\cal U} \; A \cap \parenth{ X \backslash \bigcup {\cal V} } \nequ \phi \Rightarrow A \cap \parenth{ X \backslash \bigcup {\cal U} } \nequ \phi }$
$\Leftrightarrow \all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \nequ \phi \Rightarrow A \cap \bigcap {\cal D} \nequ \phi }$
$\Leftrightarrow \all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ A \cap \bigcap {\cal D} \equ \phi \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \equ \phi }$
(3)$\Rightarrow$閉集合での有限交叉性の場合は自明なので、閉集合での有限交叉性の場合$\Rightarrow$(3) を示す。
${\cal S} \subset {\frak P}(X)$ とし、$\all {\rm 有限部分集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; A \cap \bigcap {\cal T} \nequ \phi$ を仮定する。
$\all {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal S} \; \phi \neq A \cap \bigcap {\cal E} \subset A \cap \bigcap \Set{ {\overline E} }{ E \in {\cal E} }$ なので、
閉集合での有限交叉性の場合より、$A \cap \bigcap \Set{ {\overline S} }{ S \in {\cal S} } \nequ \phi$ である。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。

$X$はHausdorff $\Leftrightarrow \all x \in X \; \bigcap \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ } \equ \{x\}$ が成り立つ。

$X$はHausdorff
$\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \nequ y \Rightarrow x \in \exi U \in {\cal O}_X \; y \in \exi V \in {\cal O}_X \; U \cap V \equ \phi \;\right]$
$\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \nequ y \Rightarrow x \in \exi U \in {\cal O}_X \; y \in ( X \backslash U )^\circ \equ X \backslash {\overline U} \;\right]$
$\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \in \all U \in {\cal O}_X \; y \in {\overline U} \Rightarrow x \equ y \;\right]$
$\Leftrightarrow \all x \in X \; \bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \equ \{x\}$
$\all x \in X \; \bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \equ \bigcap \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ }$ が成り立つ。
- $\subset$$A \in {\cal C}_X, x \in A^\circ$なる任意の$A$に対して、 $\bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \subset {\overline{(A^\circ)}} \subset {\overline A} \equ A$ である。
- $\supset$ $\Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \subset \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ }$ である。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。

$X {\rm はCompact}{\rm かつ} {\rm Hausdorff} \Rightarrow X {\rm はNormal(正規)}$ が成り立つ。

仮定[$X {\rm はHausdorff}$]より $X {\rm はT_1}$ なので、以下で $X {\rm はT_4}$ であることを証明する。
$A, B \in {\cal C}_X$ とし、$A \cap B \equ \phi$ を満たすと仮定する。
${\scr A} :\equiv \Set{ {\cal D} \subset {\cal C}_X }{ {\cal D} {\rm は有限集合} \land (\bigcap {\cal D})^\circ \nequ \phi \land B \cap (\bigcap {\cal D}) \equ \phi }$ と置く。
$A \subset \bigcup \limits_{ {\cal D} \in {\scr A} } (\bigcap {\cal D})^\circ$ が成り立つ。
- $a \in A$ を任意に取る。
- ${\cal D}_a :\equiv \left\{ D \in {\mathcal C}_X | a \in D^\circ \right\} \;( \subset {\cal C}_X )$ と置く。
- $B \cap (\bigcap {\cal D}_a)$ $\equ$ 仮定[$X$はHausdorff]と上記命題より $B \cap \{a\} \equ \phi$ である。
- 一方、仮定[$X$はCompact]により、閉集合$B$はCompactである。
- 従って、上記命題より、$\exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D}_a \; B \cap ( \bigcap {\cal E} ) \equ \phi$ である。
- また、 $a$ $\in$ ${\cal E} \subset {\cal D}_a$ と ${\cal D}_a$ の定義から。 $\bigcap\limits_{D \in {\cal E}} D^\circ$ $\equ$ ${\cal E}$ が有限集合であることから。 $(\bigcap {\cal E})^\circ$ も成り立つので、 ${\cal E} \in {\scr A}$ である。
- よって、 $a \in (\bigcap {\cal E})^\circ \subset \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}} (\bigcap {\cal D})^\circ$ である。
一方、仮定[$X$はCompact]より、閉集合$A$はCompactである。
従って、上記より、$\exi {\rm 有限部分集合}{\scr A}_0 \subset {\scr A} \; A \subset \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})^\circ$ である。
$U :\equiv \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})^\circ$ , $V :\equiv X \backslash \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})$ と置く。
明らかに、 $A \subset U \in {\cal O}_X$ である。
$B \cap \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0}(\bigcap {\cal D}) \equ \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} \parenth{ B \cap (\bigcap {\cal D}) }$ $\equ$ ${\scr A}_0 \subset {\scr A}$ と ${\scr A}$ の定義から。 $\phi$ だから $B \subset X \backslash \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D}) \equ V$ $\in$ ${\scr A}_0$ が有限集合であることから。 ${\cal O}_X$
最後に、 $U \cap V \equ \phi$ であることは定義から明らかである。