$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{\;#1\;\right\}} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} \newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner} $

${\rm Tychonoff}$の定理

まず、本定理の証明に必要な命題を述べておく。
$\left( X, {\cal O}_X \right)$ を位相空間とする。
$x \in X$ とする。
${\mathbb V}(x)$ を $x$ の近傍系とする。
${\mathbb V}^*(x)$ を $x$ の基本近傍系とする。
$\all A \subset X \;\parenth{ x \in \overline{A} \Leftrightarrow \all V \in {\mathbb V}(x) \; A \cap V \nequ \phi }$ が成り立つ。
$\all A \subset X \;\parenth{ x \in \overline{A} \Leftrightarrow \all V \in {\mathbb V}^*(x) \; A \cap V \nequ \phi }$ が成り立つ。

$X$ を集合とする。
${\frak X} :\equiv \Set{ {\cal A} \subset {\frak P}(X) }{ {\cal A} {\rm は有限交叉性を持つ} }$ と置く。
$\all {\cal A} \in {\frak X} \; \exi {\cal B} \in {\frak X} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \all {\rm 有限部分集合} {\cal B}^\prime \subset {\cal B} \;\; \bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B} & {\rm かつ} \\ \phi \nequ \all A \subset X \;\bracket{ \parenth{ \all B \in {\cal B} \;\; A \cap B \nequ \phi } \Rightarrow A \in {\cal B} } & \end{array}\right.$ が成り立つ[$AC$]。
  • 「有限交叉性を持つ」は有限的性質なので、Zornの補題と同値な命題(集合論編)$^{AC}$により、
    ${\cal A} \subset \exi {\cal B} \in {\frak X} \; {\cal B} {\rm は}({\frak X}, \subset){\rm の極大元}$ が成り立つ。
  • ${\rm (1)}$${\rm 有限部分集合}{\cal B}^\prime \subset {\cal B}$ を任意に取る。
  • ${\cal B}$ が有限交叉性を持つので、${\cal B}^\prime$ の取り方から、当然 ${\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\}$ も有限交叉性を持つ。
  • 従って、${\cal B} \subset {\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\} \in {\frak X}$ であるが、${\cal B}$ は ${\frak X}$ の極大元だから、${\cal B} \equ {\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\}$ がである。
  • よって、$\bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\} \equ {\cal B}$ である。
  • ${\rm (2)}$$\phi \nequ A \subset X$ を任意に取り、$\all B \in {\cal B} \; A \cap B \nequ \phi$ を仮定する。
  • ${\rm (1)}$ と同様の議論なので、 ${\cal B} \cup \left\{ A \right\}$ が有限交叉性を持つことを示せば良い。
  • ${\rm 有限部分集合} {\cal B}^\prime \subset {\cal B}$ を任意に取る。
  • ${\rm (1)}$ より $\bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B}$ なので、$A \cap \parenth{ \bigcap {\cal B}^\prime } \nequ \phi$ である。
  • よって、${\cal B} \cup \left\{ A \right\}$ は有限交叉性を持つ。

${\rm Tychonoff}$の定理
$\left( \left(X_i, {\cal O}_{X_i}\right) \right)_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$\all i \in I \;\; X_i \hbox{がCompact} \Rightarrow^{AC} \prod\limits_{i \in I} X_i \hbox{はCompact}$ が成り立つ。
  • 有限交叉性に関する議論によって証明する。
  • ${\frak X} :\equiv \Set{ {\scr A} \subset {\frak P}\left( \prod\limits_{i \in I} X_i \right) }{ \scr{A} \hbox{は有限交叉性を持つ} }$ と置く。
  • CompactかつHausdorffならば正規のCompactの同値命題より、$\all {\scr A} \in {\frak X} \;\; \bigcap\limits_{A \in {\scr A}} \overline{A} \nequ \phi$ を示せば良い。
  • $\scr{A} \in \frak{X}$ を任意に取る。
  • 上記命題より、${\cal A} \subset \exi {\cal B} \in {\frak X} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \all {\rm 有限部分集合} {\cal B}^\prime \subset {\cal B} \;\; \bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B} & {\rm かつ} \\ \phi \nequ \all A \subset X \;\bracket{ \parenth{ \all B \in {\cal B} \;\; A \cap B \nequ \phi } \Rightarrow A \in {\cal B} } & \end{array}\right.$ である。
  • $i \in I$ に対し、 $pr_i : \prod\limits_{j \in I} X_j \rightarrow X_i$ を第$i$射影とする。
  • $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • $i \in I$ を任意に取る。
    • ${\cal B}$ が有限交叉性を持つので、 $\Set{pr_i\left(A\right)}{A \in {\cal B}} \left( \subset {\frak P}\left( X_i \right) \right)$ は有限交叉性を持つ。
    • 従って、 $X_i$ がCompactである仮定により、 $\bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \nequ \phi$ が成り立つ。
    • よって、選択公理により、 $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \nequ \phi$ が成り立つ。
  • $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A}$ が成り立つ。
    • $x \equ \left( x_i \right)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right)$ を任意に取る。
      $A \in {\cal B}$ を任意に取る。
    • $x \in \overline{A}$ を示すために、下準備した同値命題を用いる。
    • ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}(I) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) }{ \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) } \;\parenth{ {\rm これは}x{\rm の基本近傍系} }$ と置く。
      (ただし、${\mathbb V}_{X_i}(x_i)$ を $X_i$ における点 $x_i$ の近傍系とする。)
    • $\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \in {\mathbb V}^*(x)$ を任意に取る。
    • $\all j \in J \;\; pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\cal B}$ が成り立つ。
      • $j \in J$ を任意に取る。
      • $B \in {\cal B}$ を任意に取る。
      • $x_j \in \bigcap\limits_{A^\prime \in {\cal B}} \overline{pr_j\left(A^\prime\right)} \subset \overline{pr_j\left(B\right)}$ なので、 $pr_j\left(B\right) \cap V_j \nequ \phi$ が成り立つ。
      • 従って、 $\phi \nequ B \cap pr_j^{-1}(V_j)$ つまり $pr_j^{-1}(V_j) \cap B \nequ \phi$ である。
      • $B \in {\cal B}$ は任意なので、有限交叉性を持つ極大元より、$pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\cal B}$ である。
    • 従って、$J {\rm は有限集合}$と有限交叉性を持つ極大元より、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\cal B}$ である。
    • 従って、 $\left\{ A, \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \right\} \subset {\cal B}$ であるが、
      ${\cal B}$ は有限交叉性を持つから、 $A \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right) \nequ \phi$ である。
    • よって、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j)$ は ${\mathbb V}^*(x)$ の任意の元なので、$x \in \overline{A}$ である。
    • よって、$A$ は ${\cal B}$ の任意の元なので、$x \in \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A}$ である。
    • よって、 $x$ は任意の元なので、$\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i(A)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A}$ である。
  • よって、 $\phi \nequ$ $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A} \subset \bigcap\limits_{A \in {\scr A}} \overline{A}$ が成り立ち、定理の成立が証明された。
証明終


${\rm Tychonoffの定理が成立} \Rightarrow {\rm 選択公理が成立}$ が成り立つ。
  • 集合列 $(X_i)_{i \in I}$ に対して、$\all i \in I \; X_i \nequ \phi$ を仮定する。
  • $i \in I$ に対して、$\infty_i \not\in X_i$ なる $\infty_i$ を用意し、
    $X_i^* :\equiv X_i \coprod \{\infty_i\}, {\cal O}_i :\equiv \{ \phi, \{\infty_i\}, X_i^* \}$ と置き、位相空間$(X_i^*,{\cal O}_i)$ を考える。
  • $\all i \in I \; X_i^* {\rm はcompact}$ なので、仮定より、$\prod\limits_{i \in I} X_i^* {\rm はcompact}$ である。
  • $i \in I$ に対して、$pr_i : \prod\limits_{j \in I} X_j^* \rightarrow X_i^*$ を第$i$射影とする。
  • $\prod\limits_{i \in I} X_i^* \equ \prod\limits_{i \in I} X_i \cup \bigcup\limits_{i \in I} pr_i^{-1}(\{\infty_i\})$ が成り立つ。
    • $x^* \equ (x_i^*)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i^*$ を任意に取る。
    • $\all i \in I \; x_i^* \nequ \infty_i \Leftrightarrow \all i \in I \; x_i^* \in X_i \Leftrightarrow x^* \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ である。
    • $\exi i \in I \; x_i^* \equ \infty_i \Leftrightarrow \exi i \in I \; pr_i(x^*) \equ \infty_i \Leftrightarrow x^* \in \bigcup\limits_{i \in I} pr_i^{-1}(\{\infty_i\})$ である。
  • [背理法]$\prod\limits_{i \in I} X_i \equ \phi$ と仮定する。
  • 背理法の仮定とcompactな直積空間直積空間の分解より、 $\exi {\rm 有限集合} J \subset I \; \prod\limits_{i \in I} X_i^* \equ \bigcup\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(\{\infty_j\})$ である。
  • $J {\rm は有限集合}$ なので、選択公理を使わずして、$\exi (x_j)_{j \in J} \in \prod\limits_{j \in J} X_j$ である。
  • $i \in I$ に対して、$x_i^* :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} x_i & i \in J {\rm の時} \\ \infty_i & i \in I \backslash J {\rm の時} \end{array}\right.$ と定義し、$x^* :\equiv (x_i^*)_{i \in I}$ と置く。
  • 明らかに、$x^* \in \prod\limits_{i \in I} X_i^*$ である。
  • $\all j \in J \; x_j^* \equ x_j \nequ \infty_j$ なので、$\all j \in J \; x^* \not\in pr_j^{-1}(\{\infty_j\})$
    つまり $x^* \not\in \bigcup\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(\{\infty_j\}) \equ \prod\limits_{i \in I} X_i^*$ である。
  • よって、これらは矛盾している。