$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} $

復習:開集合系の基底、直積位相、基本近傍系

開集合系の基底について復習する。
$\left( X, {\cal O}_X \right)$ を位相空間とする。
${\cal U} \subset {\cal O}_X$ とする。
${\cal U}$は${\cal O}_X$の基底である $:\Leftrightarrow$ ${\cal O}_X \equ \Set{ \bigcup {\cal V} }{ {\cal V} \subset {\cal U} }$
  $\Leftrightarrow$ $\all U \in {\cal O}_X \exi {\cal V} \subset {\cal U} \; U \equ \bigcup {\cal V}$
  $\Leftrightarrow$ $\all x \in X \, x \in \all U \in {\cal O}_X \, x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset U$
${\cal U}$が${\cal O}_X$の基底である時、 任意の$x \in X$に対し、$\Set{ U \in {\cal U} }{ x \in U }$は、$x$の基本近傍系である。

生成される位相について復習する。
$X$を集合とする。
${\cal U} \subset {\frak P}\left( X \right) とする。$
${\cal U}$ によって生成される $X$ の位相を
${\cal O} \left({\cal U} \right) :\equiv \bigcap \Set{ {\cal O} \subset {\frak P}\left( X \right) }{ {\cal U} \subset {\cal O} {\rm は} X {\rm の位相である。}}$
によって定義する。
明らかに、以下の2命題が成り立つ:
  • ${\cal U} \subset {\cal O} \left( {\cal U} \right)$ かつ ${\cal O} \left( {\cal U} \right)$は $X$ の位相である。
  • $\all {\cal O} \subset {\frak P} \left( X \right) \; \parenth{ {\cal U} \subset {\cal O} {\rm は} X {\rm の位相} \Rightarrow {\cal O} \left( {\cal U} \right) \subset {\cal O} }$ が成り立つ。

${\cal O} \left( {\cal U} \right)$ を具体的に表すとこうなる:
${\cal O} \left( {\cal U} \right) \equ \Set{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} }{ {\frak F} \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$
  • ${\cal O} :\equiv \Set{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} }{ {\frak F} \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$ と置く。
  • まず、${\cal O}$ が$X$の位相であることを確認する。
  • ${\frak F} \equ \{ \phi \}$ とすることにより、 $X \equ \bigcap \phi \in {\cal O}$ である。
  • $\left( {\frak F}_i \subset {\rm Fin} \left( {\cal U} \right) \right)_{i \in I}$ とする。 ($\phi \in {\cal O}$ の確認は $I \equ \phi$ の場合として含まれている。)
  • $\bigcup\limits_{i \in I} \parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_i } \bigcap V } \equ$ $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in \bigcup_{i \in I} {\frak F}_i } \bigcap {\cal V}$ $\in$ $\bigcup\limits_{i \in I} {\frak F}_i \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right)$ である。 ${\cal O}$ である。
  • $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_i } \bigcap {\cal V} \in {\cal O} \left( i \equ 1,2 \right)$ を取る。
  • $\parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_1 } \bigcap {\cal V} } \cap \parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_2 } \bigcap {\cal V} } \equ$ $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_1 \biguplus {\frak F}_2} \bigcap {\cal V}$ $\in$ ${\frak F}_1 \biguplus {\frak F}_2 \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right)$ ${\cal O}$
    ただし、一般に、集合$X_1,X_2$に対して、 $X_1 \biguplus X_2 :\equiv \Set{ a \cup b }{ a \in X_1 {\rm かつ} b \in X_2 }$ と定義する。
  • よって、${\cal O}$は$X$の位相である。
  • また、$U \in {\cal U}$に対して、$U \equ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in \{ \{ U \} \} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}$ なので、 ${\cal U} \subset {\cal O}$ である。
  • 以上より、${\cal O}\left( {\cal U} \right) \subset {\cal O}$ を得る。
  • 逆に、$\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}$ を任意に取る。
  • $\all {\cal V} \in {\frak F} \; \bigcap {\cal V}$ $\in$ ${\cal O}\left( {\cal U} \right)$ は位相であり、かつ、
    ${\cal V}$ は ${\cal U}$ の、従って ${\cal O}\left( {\cal U} \right)$ の有限部分集合である。
    ${\cal O}\left( {\cal U} \right)$ が成り立つ。 よって、$\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}\left( {\cal U} \right)$ である。
    つまり、${\cal O} \subset {\cal O}\left( {\cal U} \right)$ 。
ただし、一般に、集合$X$に対して、${\rm Fin}\left( X \right) :\equiv \Set{ F \in {\frak P}\left(X\right) }{ F {\rm は有限集合である。} }$ と定義する。
従って、$\Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$ は ${\cal O}\left( {\cal U} \right)$ の 基底である $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}\left( {\cal U} \right)$ に対し、
$\Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\frak F} } \subset \Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$ かつ
$ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \equ \bigcup \Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\frak F} }$ である。

直積空間について復習する。
$\parenth{ \left( X_i, {\cal O}_{X_i} \right) }_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$j \in I$ に対し、 $pr_j : \prod\limits_{i \in I} X_i \rightarrow X_j$ を第$j$射影とする。
$X :\equiv \prod\limits_{i \in I} X_i$ の位相を、
${\cal O}_X :\equiv {\cal O}\left( \bigcup\limits_{i \in I} \Set{ pr_i^{-1}\left( U \right) }{ U \in {\cal O}_{X_i} } \right)$
によって定義する。
$\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}\left( I \right)} \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( U_j \right) } { \all j \in J \; U_j \in {\cal O}_{X_j} }$ は、${\cal O}_X$ の基底である。
  • $\bigcup\limits_{i \in I} \Set{ pr_i^{-1}\left( U \right) }{ U \in {\cal O}_{X_i} }$ から有限個の元を選び、それらの共通部分を取る際に、
    ある$i$に対して、$U,V \in {\cal O}_{X_i}$と取っている可能性があるが、その時は
    $pr_i^{-1}\left(U\right) \cap pr_i^{-1}\left(V\right) \equ pr_i^{-1}\left( U \cap V \right)$ かつ $U \cap V \in {\cal O}_{X_i}$ なので、
    ${\cal O}_{X_i}$から取るのは高々1個と考えて良い。
この集合を書き換えることにより、
$\Set{ \prod\limits_{ i \in I } U_i }{ \all i \in I \; U_i \in {\cal O}_{X_i} {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ は、${\cal O}_X$ の基底である。

$x \equ \left( x_i \right)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ とする。
$\bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) }$ は、$x$の基本近傍系である。
ただし、${\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right)$ は $X_j$ の点 $x_j$ の近傍系である。
  • $x \in \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( U_j \right) \Leftrightarrow \all j \in J \; x_j \in U_j$ なので、
    $\bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( U_j \right) } { \all j \in J \; x_j \in U_j \in {\cal O}_{X_j} }$ は、$x$の基本(開)近傍系である。
  • $\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right)$ を任意に取る。
  • $j \in J$に対し、 $U_j \in {\cal O}_{X_j}$ が存在し $x_j \in U_j \subset V_j$ となる。
  • $x \in \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( U_j \right) \subset \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right)$ が成り立つ。
  • よって、$\bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) }$ は、$x$の近傍系である。
  • $V \in {\mathbb V}_X \left( x \right)$ を任意に取る。
  • $\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( U_j \right)$ が存在し、 $x \in \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( U_j \right) \subset V$ となる。