復習：開集合系の基底、直積位相、基本近傍系

開集合系の基底について復習する。

$(X, {\cal O}_X)$ を位相空間とする。
${\cal U} \subset {\cal O}_X$ とする。

${\cal U}$は${\cal O}_X$の基底である	$:\Leftrightarrow$	${\cal O}_X \equ \Set{ \bigcup {\cal V} }{ {\cal V} \subset {\cal U} }$
	$\Leftrightarrow$	$\all U \in {\cal O}_X \exi {\cal V} \subset {\cal U} \; U \equ \bigcup {\cal V}$
	$\Leftrightarrow$	$\all x \in X \, x \in \all U \in {\cal O}_X \, x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset U$

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。

1. $\all {\cal U} \subset {\cal O} \;\parenth{ {\cal U} {\rm は}{\cal O}{\rm の基底} \Rightarrow \all x \in X \; \Set{ U \in {\cal U} }{ x \in U } {\rm は}x{\rm の基本近傍系} }$ が成り立つ。

   • ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \Set{ V \in {\cal U} }{ x \in V }$ と置く。
   • $x \in U \in {\cal O}$ を任意に取る。
   • 仮定により、$x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset U$ である。
   • よって、$V \in {\mathbb V}^*(x) {\rm かつ} V \subset U$ である。
2. ${\cal U}_0, {\cal U}_1 \subset {\frak P}(X)$ とする。
   ${\cal U}_0 {\rm は}{\cal O}{\rm の基底}$ とする。
   $\all V \in {\cal U}_0 \; \exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; V \equ \bigcup {\cal V} \Rightarrow {\cal U}_1 {\rm は}{\cal O}{\rm の基底}$ が成り立つ。

   • $U \in {\cal O}$ を任意に取る。
   • 仮定[${\cal U}_0 {\rm は}{\cal O}{\rm の基底}$]より、$\exi {\cal V}_0 \subset {\cal U}_0 \; U \equ \bigcup {\cal V}_0$ である。
   • ${\cal V}_1 :\equiv \Set{ V \in {\cal U}_1 }{ V \in \exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; \bigcup {\cal V} \in {\cal V}_0 }$ と置く。
   • 以下、$U \equ \bigcup {\cal V}_1$ を示す。
   • $\subset$$V \in {\cal V}_0$ を任意に取る。
   • 仮定より、$\exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; V \equ \bigcup {\cal V}$ である。
   • 定義により、$\all V^\prime \in {\cal V} \; V^\prime \in {\cal V}_1$ なので、$\bigcup {\cal V} \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
   • 従って、$V \equ \bigcup {\cal V} \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
   • 従って、$V \in {\cal V}_0$ は任意なので、$\bigcup {\cal V}_0 \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
   • よって、$U \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
   • $\supset$$V \in {\cal V}_1$ を任意に取る。
   • $V \in \exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; \bigcup {\cal V} \in {\cal V}_0$ である。
   • 従って、$V \subset \bigcup {\cal V} \subset \bigcup {\cal V}_0 \equ U$ である。
   • よって、$V \in {\cal V}_1$ は任意なので、$\bigcup {\cal V}_1 \subset U$ である。

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生成される位相について復習する。

$X$を集合とする。

${\rm Fin}(X) :\equiv \Set{ F \in {\frak P}\left(X\right) }{ F {\rm は有限集合である。} }$

と定義する。
${\cal U} \subset {\frak P}\left( X \right) とする。$
${\cal U}$ によって生成される $X$ の位相を

${\cal O} \left({\cal U} \right) :\equiv \bigcap \Set{ {\cal O} \subset {\frak P}(X) }{ {\cal U} \subset {\cal O} {\rm は}X{\rm の位相}}$

によって定義する。
明らかに、以下の2命題が成り立つ：

• ${\cal U} \subset {\cal O}({\cal U})$ かつ ${\cal O}({\cal U}) {\rm は}X{\rm の位相}$ である。
• $\all {\cal O} \subset {\frak P}(X) \;\parenth{ {\cal U} \subset {\cal O} {\rm は}X{\rm の位相} \Rightarrow {\cal O}({\cal U}) \subset {\cal O} }$ が成り立つ。

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$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
${\cal U} \subset {\cal O}$ とする。

${\cal U} {\rm は}{\cal O}{\rm の準基底} :\Leftrightarrow {\cal O} \equ {\cal O}({\cal U})$

${\cal U} {\rm は}{\cal O}{\rm の基底} \Rightarrow {\cal O} \equ {\cal O}({\cal U})$ が成り立つ。

• 明らかに、${\cal O}({\cal U}) \subset {\cal O}$ である。
• $V \in {\cal O}$ を任意に取る。
• 仮定より、$\exi {\cal V} \subset {\cal U} \; V \equ \bigcup {\cal V}$ である。
• 従って、$V \equ \bigcup {\cal V} \in {\cal O}({\cal U})$ である。
• よって、${\cal O} \subset {\cal O}({\cal U})$ である。

$X$ を集合とする。
${\cal U} \subset {\frak P}(X)$ とする。

1. ${\cal O} \left( {\cal U} \right) \equ \Set{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} }{ {\frak F} \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$ が成り立つ。

   • ${\cal O} :\equiv \Set{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} }{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ と置く。
   • $\subset$
     ${\cal O} {\rm は}X{\rm の位相}$ が成り立つ。

     • ${\frak F} \equ \{ \phi \}$ とすることにより、 $X \equ \bigcap \phi \in {\cal O}$ である。
     • $\left( {\frak F}_i \subset {\rm Fin}({\cal U}) \right)_{i \in I}$ とする。 ($\phi \in {\cal O}$ の確認は $I \equ \phi$ の場合として含まれている。)
     • $\bigcup\limits_{i \in I} \parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_i } \bigcap V } \equ$ $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in \bigcup_{i \in I} {\frak F}_i } \bigcap {\cal V}$ $\in$ $\bigcup\limits_{i \in I} {\frak F}_i \subset {\rm Fin}({\cal U})$ である。 ${\cal O}$ である。
     • $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_i } \bigcap {\cal V} \in {\cal O} \left( i \equ 1,2 \right)$ を任意に取る。
     • $\parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_1 } \bigcap {\cal V} } \cap \parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_2 } \bigcap {\cal V} } \equ$ $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_1 \biguplus {\frak F}_2} \bigcap {\cal V}$ $\in$ ${\frak F}_1 \biguplus {\frak F}_2 \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right)$ ${\cal O}$
       ただし、ここでは、集合$X_1,X_2$に対して、
       $X_1 \biguplus X_2 :\equiv \Set{ a \cup b }{ a \in X_1 {\rm かつ} b \in X_2 }$ と定義している。
     • よって、${\cal O}$は$X$の位相である。
   • また、$U \in {\cal U}$に対して、$U \equ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in \{ \{ U \} \} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}$ なので、 ${\cal U} \subset {\cal O}$ である。
   • よって、${\cal O}( {\cal U}) \subset {\cal O}$ を得る。
   • $\supset$ 逆に、$\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O} \;\parenth{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ を任意に取る。
   • 任意の${\cal V} \in {\frak F}$に対して、${\cal V} \subset {\cal U} \subset {\cal O}({\cal U}) {\rm かつ } {\cal V} {\rm は有限集合}$ なので、 $\bigcap {\cal V} \in {\cal O}({\cal U})$ である。
   • 従って、$\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}\left( {\cal U} \right)$ である。
   • よって、${\cal O} \subset {\cal O}\left( {\cal U} \right)$ 。
2. ${\cal O}({\cal U}) \equ \Set{ U \subset X }{ \all x \in U \; \exi {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) \; x \in \bigcap {\cal V} \subset U }$ が成り立つ。

   • $\subset$$x \in U \equ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \;\parenth{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ を仮定する。
   • $\exi {\cal V} \in {\frak F} \;\parenth{ \subset {\rm Fin}({\cal U}) } \; x \in \bigcap {\cal V}$ である。
   • $\supset$$\all x \in U \; \exi {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) \; x \in \bigcap {\cal V} \subset U$ を仮定する。
   • ${\frak F} :\equiv \Set{ {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) }{ \bigcap {\cal V} \subset U }$ と置く。
   • ${\frak F}$の定義より、$\bigcup\limits_{{\cal V} \in {\frak F}} \bigcap {\cal V} \subset U$ である。
   • 仮定より、$\all x \in U \; x \in \bigcup\limits_{{\cal V} \in {\frak F}} \bigcap {\cal V}$ である。
3. $\Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) } {\rm は} {\cal O}({\cal U}) {\rm の基底}$ が成り立つ。

   • $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}( {\cal U} ) \;\parenth{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ を任意に取る。
   • $\Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\frak F} } \subset \Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$ かつ
     $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \equ \bigcup \Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\frak F} }$ である。

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直積空間について復習する。

$\parenth{ \left( X_i, {\cal O}_{X_i} \right) }_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$j \in I$ に対し、 $pr_j : \prod\limits_{i \in I} X_i \rightarrow X_j$ を第$j$射影とする。
$X :\equiv \prod\limits_{i \in I} X_i$ の位相を、

${\cal O}_X :\equiv {\cal O}\left( \bigcup\limits_{i \in I} \Set{ pr_i^{-1}\left( U \right) }{ U \in {\cal O}_{X_i} } \right)$

によって定義する。

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1. $\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}\left( I \right)} \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( U_j \right) } { \all j \in J \; U_j \in {\cal O}_{X_j} } {\rm は}{\cal O}_X{\rm の基底}$である。

   • $\bigcup\limits_{i \in I} \Set{ pr_i^{-1}\left( U \right) }{ U \in {\cal O}_{X_i} }$ から有限個の元を選び、それらの共通部分を取る際に、
     ある$i$に対して、$U,V \in {\cal O}_{X_i}$と取っている可能性があるが、その時は
     $pr_i^{-1}\left(U\right) \cap pr_i^{-1}\left(V\right) \equ pr_i^{-1}\left( U \cap V \right)$ かつ $U \cap V \in {\cal O}_{X_i}$ なので、
     ${\cal O}_{X_i}$から取るのは高々1個と考えて良い。
2. この集合を書き換えることにより、
   $\Set{ \prod\limits_{ i \in I } U_i }{ \all i \in I \; U_i \in {\cal O}_{X_i} {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} } {\rm は}{\cal O}_X{\rm の基底}$である。

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$x \equ \left( x_i \right)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ とする。
$i \in I$ に対し、${\mathbb V}_{X_i}(x_i)$ を $X_i$ における点 $x_i$ の近傍系とする。

1. $\bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) } {\rm は}x{\rm の基本近傍系}$ である。

   • ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) }$ と置く。
   • ${\rm (i)}$$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \;\parenth{ J \in {\rm Fin}(I) {\rm かつ} \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_j(x_j) }$ を任意に取る。
   • $\all j \in J \; \exi U_j \in {\cal O}_{X_j} \; x_j \in U_j \subset V_j$ である。
   • $x \in \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(U_j) \subset \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j)$ である。
   • 勿論、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(U_j) \in {\cal O}_X$ である。
   • よって、${\mathbb V}^*(x)$の元は$x$を内点に持つ。つまり、${\mathbb V}^*(x) \subset {\mathbb V}_X(x)$ である。
   • ${\rm (ii)}$$x \in U \in {\cal O}_X$ を任意に取る。
   • 上記${\rm (1)}$より、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(U_j) \subset U \;\parenth{ J \in {\rm Fin}(I) {\rm かつ} \all j \in J \; x_j \in U_j \in {\cal O}_{X_j} }$ と出来る。
   • $\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( U_j \right) \in {\mathbb V}^*(x)$ である。
   • よって、$\all U \in {\mathbb V}_X(x) \; \exi V \in {\mathbb V}^*(x) \; V \subset U$ である。
2. この集合を書き換えることにより、
   $\Set{ \prod\limits_{ i \in I } V_i }{ \all i \in I \; V_i \in {\mathbb V}_{X_i}(x_i) {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ V_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} } {\rm は}x{\rm の基本近傍系}$ である。

$\parenth{ \left( X_i, {\cal O}_{X_i} \right) }_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$i \in I$に対し$A_i \subset X_i$ と仮定する。

$\overline{ \prod\limits_{i \in I} A_i } \equ \prod\limits_{i \in I} \overline{ A_i }$ が成り立つ[AC]。

• $x \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ とし、
  ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \Set{ \prod\limits_{ i \in I } V_i }{ \all i \in I \; V_i \in {\mathbb V}_{X_i}(x_i) {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ V_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ と置く。
• $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} x \in \overline{ \prod\limits_{i \in I} A_i } & \Leftrightarrow & \all V \in {\mathbb V}^*(x) \; \prod\limits_{i \in I} A_i \cap V \nequ \phi \\ & \Leftrightarrow & \all j \in I \; \all V_j \in {\mathbb V}_{X_j}(x_j) \; \prod\limits_{i \in I} A_i \cap \parenth{ \prod\limits_{j \not= i \in I} X_i \times V_j } \nequ \phi \\ & \ ^{AC} \Leftrightarrow & \all j \in I \; \all V_j \in {\mathbb V}_{X_j}(x_j) \; A_j \cap V_j \nequ \phi \\ & \Leftrightarrow & \all j \in I \; x_j \in \overline{ A_j } \\ & \Leftrightarrow & x \in \prod\limits_{i \in I} \overline{ A_i } \end{array}$ である。