$\text{Zorn}$の補題
まずは用語の定義から。
$\left( X, \leq \right)$ を順序集合とする。
$c \in X, T \subset X$ とする。
$c \in S \subset X$ とする。
$\phi \neq S \subset X$ とする。
$c \in X, T \subset X$ とする。
| $c$ は、$T \text{のupper bound(上界)}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\all a \in T \; a \leq c$ |
| $T$ は、$\text{totally ordered(全順序)}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\all a, b \in T \; a \leq b \lor a \geq b$ |
${\rm TotOrd}\left( X \right) :\equiv \Set{ T \subset X }{ T {\rm は全順序} }$
$c \in S \subset X$ とする。
$c$ は、$S \text{のmaximal element(極大元)} :\Leftrightarrow \all a \in S \; \parenth{ c \leq a \Rightarrow c \equ a }$
$\phi \neq S \subset X$ とする。
$S$ は、$\text{inductive(帰納的)} :\Leftrightarrow \all T \in {\rm TotOrd}\left( S \right) \exi c \in S \; c {\rm は} T {\rm の上界}$
Zornの補題
$\left( X, \leq \right)$ は順序集合とする。
$\phi \neq \all S \subset X \; \parenth{ S{\rm は帰納的} \Rightarrow \all p \in S \; p \!\leq\! \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元} }$ が成り立つ。
$\phi \neq \all S \subset X \; \parenth{ S{\rm は帰納的} \Rightarrow \all p \in S \; p \!\leq\! \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元} }$ が成り立つ。
[証明1]
- $p \in S$ を任意に取る。
- ${\frak X} :\equiv \Set{ T \in {\rm TotOrd}\left( S \right) }{ p \in T }$ ( $\neq$ 明らかに、$\left\{ p \right\} \in {\frak X}$ である。 $\phi$)と置く。
- $F : {\frak X} \rightarrow {\frak P}\left( S \right), T \mapsto \Set{ c \in S \backslash T }{ c {\rm は} T {\rm の上界} }$ と置く。
$\phi \in F\left( {\frak X} \right) \Rightarrow p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$
- 仮定 $\phi \in F\left( {\frak X} \right)$ により、$\exi T \in {\frak X} \; F(T) \equ \phi$ が成り立つ。
- $S$は帰納的であり、かつ、$T \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$なので、$\exi c \in S \; c {\rm は} T {\rm の上界}$。
- $p \in T$なので、$p \leq c$である。
$c$は$S$の極大元である。
- $c \leq a \in S$ なる $a$を任意に取る。
- 上界cと $c \leq a$ により、 $a {\rm は} T {\rm の上界}$。
- $a \not\in \phi$ $\equ$ F(T)=φより。 $F\left( T \right)$ もあわせることにより、$a \not\in S \backslash T$ つまり、$a \in T$。
- 上界cより、$a \leq c$ である。よって、$c \equ a$ となる。
- よって、空集合を含むならば定理成立が成り立つ。
$\phi \in F\left( {\frak X} \right)$
- [背理法] $\phi \not\in F\left( {\frak X} \right)$ つまり、 $\all T \in {\frak X} \; F\left( T \right) \neq \phi$ を仮定する。
- [背理法]の仮定と選択公理により、$\exi \left( c_T \right)_{T \in {\frak X}} \in \prod\limits_{T \in {\frak X}} \; F\left( T \right)$ が成り立つ。
$G:{\frak X} \rightarrow {\frak X}, T \mapsto T$ $\coprod$ $c_T \not\in T$なので$\cup$ではなく$\coprod$を使える。 $\left\{ c_T \right\}$ が定義できる。
- $T \in {\frak X}$ を任意に取る。
- $p \in T \subset T \coprod \left\{ c_T \right\} \subset S$ である。
- $T \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$ かつ $c_T {\rm は} T {\rm の上界}$ なので、 $T \coprod \left\{ c_T \right\} \in {\rm TotOrd\left( S \right)}$ である。
- ${\mathbb X} :\equiv \Set{ {\cal S} \subset {\frak X} }{ \begin{array}{@{}c@{}l@{}} ({\rm i})& \left\{ p \right\} \in {\cal S} \\ ({\rm ii})& \all T \in {\cal S} \; G\left( T \right) \in {\cal S} \\ ({\rm iii})& \phi \neq \all {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal S} \right) \; \bigcup {\cal T} \in {\cal S} \end{array} }$ と置く。
($\left( {\frak X}, \subset \right)$ を順序集合として考えている。) ${\frak X} \in {\mathbb X}$ である(つまり、${\mathbb X} \neq \phi$ である)。
- ${\rm (i)}$$\left\{ p \right\} \in {\frak X}$ である事は、${\frak X}$ の定義から明らか。
- ${\rm (ii)}$$\all T \in {\frak X} \; G\left( T \right) \in {\frak X}$ の成立は既に示した。
- ${\rm (iii)}$$\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\frak X} \right)$ を任意に取る($\bigcup {\cal T} \in {\frak X}$ を示す)。
- ${\cal T} \subset {\frak X}$ と ${\frak X}$ の定義より、$\all T \in {\cal T} \; p \in T \subset S$ である。
- 従って、${\cal T} \neq \phi$ より、$p \in \bigcup {\cal T} \subset S$ である。
$\bigcup {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$ が成り立つ。
- $a_1, a_2 \in \bigcup {\cal T}$ を任意に取る。
$a_i \in T_i \in {\cal T} \; \left( i \in \{1, 2\} \right)$ とする。 - $T_1, T_2 \in {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\frak X} \right)$ なので、 $T_1 \subset T_2 \lor T_1 \supset T_2$ である。
- どちらでも同様なので、$T_1 \subset T_2$ とする。
- $a_1, a_2 \in T_2 \in {\cal T} \subset$ ${\frak X} \subset {\rm TotOrd}\left( S \right)$ なので、 $a_1 \leq a_2 \lor a_1 \geq a_2$ が成り立つ。
- $a_1, a_2 \in \bigcup {\cal T}$ を任意に取る。
- よって、$\bigcup {\cal T} \in {\frak X}$ である。
- ${\cal R} :\equiv \bigcap {\mathbb X} \; \left( \subset {\frak X} \right)$ と置く。
${\cal R} \in {\mathbb X}$ である。
- ${\rm (i)}$ $\all {\cal S} \in {\mathbb X} \; \{p\} \in {\cal S}$ なので、 $\{p\} \in \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
- ${\rm (ii)}$ $T \in {\cal R}$ を任意に取る。
- 任意の ${\cal S} \in {\mathbb X}$ に対して、$T \in {\cal R} \equ \bigcap {\mathbb X} \subset {\cal S}$ により $G(T)$ $\in$ ${\cal S}$に対して
${\rm (ii)}$を適用 ${\cal S}$ となる。 - よって、$G(T) \in \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
- ${\rm (iii)}$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ を任意に取る。
- 任意の ${\cal S} \in {\mathbb X}$ に対して、 $\phi \neq {\cal T} \subset {\cal R} \equ \bigcap {\mathbb X} \subset {\cal S}$ により $\bigcup {\cal T}$ $\in$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}({\cal S})$と
${\cal S}$に対して${\rm (iii)}$を適用 ${\cal S}$ となる。 - よって、$\bigcup {\cal T} \in \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ となる。
${\cal R} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ (つまり、${\cal R}$は全順序)である。
- ここの証明が、本証明で一番長いです。
- $H : {\cal R} \rightarrow {\frak P}\left( {\cal R} \right), T \mapsto \Set{ U \in {\cal R} }{ T \subset U \lor T \supset U }$ と置く。
- ${\cal R}^\prime :\equiv \Set{ T \in {\cal R} }{ H(T) \equ {\cal R} }$ と置く。
${\cal R}^\prime \equ {\cal R}$ が成り立つ。
- $\subset$ は明らか。
- $\supset$
${\cal R}^\prime \in {\mathbb X}$ が成り立つ。
- ${\rm (i)}$ $\{p\} \in {\cal R}$ である事は既に知っている。つまり、$\{p\}$は$H$の定義域に属する。
$H\left(\left\{ p \right\}\right) \equ {\cal R}$ が成り立つ。
- $\subset$ $H\left(\left\{ p \right\}\right) \subset {\cal R}$ は$H$の定義から明らか。
- $\supset$ $U \in {\cal R}$ を任意に取る。
- $U \in {\cal R} \subset {\frak X}$ $\rightarrow$ ${\frak X}$の定義 $p \in U \rightarrow \{p\} \subset U \rightarrow U \in H\left(\left\{ p \right\}\right)$ となる。
- よって、$\{p\} \in {\cal R}^\prime$ である。
- ${\rm (iii)}$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R}^\prime \right)$ を任意に取る。
- まず、$\phi \neq {\cal T} \subset {\cal R}^\prime \subset {\cal R}$ なので、 RはXの要素${\rm (iii)}$より、$\bigcup {\cal T} \in {\cal R}$ である。
$H\left(\bigcup {\cal T} \right) \equ {\cal R}$ が成り立つ。
- $\subset$ $H\left( \bigcup {\cal T} \right) \subset {\cal R}$ は$H$の定義から明らか。
- $\supset$ $U \in {\cal R}$ を任意に取る。
$\begin{array}{@{}l@{}r@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} (一)& \exi T \in {\cal T} \; U \subset T & \Rightarrow & U \subset & \bigcup {\cal T} & \\ (二)& \all T \in {\cal T} \; U \not\subset T & \Rightarrow & & \bigcup {\cal T} & \subset U \end{array}$ が成り立つ。
- (一)$U \subset T \subset \bigcup {\cal T}$ である。
- (二)$T \in {\cal T}$ を任意に取る。
- $U \in {\cal R}$ $\equ$ $T \in {\cal T} \subset {\cal R}^\prime$ $H\left( T \right)$ なので、 $T \subset U \lor T \supset U$ である。
- 従って、(二)の仮定により、$T \subset U$ である。
- よって、$\bigcup {\cal T} \subset U$ である。
- 従って、 排中律 $\exi T \in {\cal T} \; U \subset T$ または
$\all T \in {\cal T} \; U \not\subset T$ である。 により、 $U \subset \bigcup {\cal T} \lor U \supset \bigcup {\cal T}$ である。 - よって、$U \in H\left( \bigcup {\cal T} \right)$ である。
- よって、$\bigcup {\cal T} \in {\cal R}^\prime$ である。
- ${\rm (ii)}$$T \in {\cal R}^\prime$ を任意に取る。
- まず、$T \in {\cal R}^\prime \subset {\cal R}$ なので、 RはXの要素${\rm (ii)}$より、$G\left( T \right) \in {\cal R}$ である。
$H\left( G\left( T \right) \right) \equ {\cal R}$ が成り立つ。
- $\subset$ $H\left( G\left( T \right) \right) \subset {\cal R}$ は$H$の定義から明らか。
- $\supset$
$H\left( G\left( T \right) \right) \in {\mathbb X}$ が成り立つ。
- ${\rm (i)}$ まず、RはXの要素より、$\{p\} \in {\cal R}$ である。
- $T \in {\cal R}^\prime \subset {\cal R} \subset {\frak X}$ なので、${\frak X}$ の定義より、$p \in T$ である。
- 従って、$\{p\} \subset T \subset T \coprod \{ c_T \} \equ G\left(T\right)$ である。
- よって、$\{p\} \in H\left(G\left(T\right)\right)$ である。
- ${\rm (iii)}$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( H\left( G\left( T \right) \right) \right)$ を任意に取る。
- まず、$\phi \neq {\cal T} \subset H\left( G\left( T \right) \right) \subset {\cal R}$ なので、 RはXの要素より、$\bigcup {\cal T} \in {\cal R}$ である。
$\begin{array}{@{}l@{}r@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} (一)& \exi T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \subset T^\prime & \Rightarrow & G\left(T\right) \subset & \bigcup {\cal T} & \\ (二)& \all T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \not\subset T^\prime & \Rightarrow & & \bigcup {\cal T} & \subset G\left(T\right) \end{array}$ が成り立つ。
- (一) $G\left(T\right) \subset T^\prime \subset \bigcup {\cal T}$ である。
- (二) $T^\prime \in {\cal T}$ を任意に取る。
- $T^\prime \in {\cal T} \subset H\left( G\left( T \right) \right)$ だから、 $T^\prime \subset G\left(T\right) \lor T^\prime \supset G\left(T\right)$ である。
- 従って、(二)の仮定により、$T^\prime \subset G\left(T\right)$ である。
- よって、$\bigcup {\cal T} \subset G\left(T\right)$ である。
- 従って、 排中律 $\exi T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \subset T^\prime$ または、
$\all T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \not\subset T^\prime$ である。 により、$G(T) \subset \bigcup {\cal T} \lor G(T) \supset \bigcup {\cal T}$ である。 - よって、$\bigcup {\cal T} \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
- ${\rm (ii)}$ $U \in H\left( G\left( T \right) \right)$ を任意に取る($G\left(U\right) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ を示す)。
- $U \in H\left( G\left( T \right) \right) \subset {\cal R}$ だから、 RはXの要素より、$G\left(U\right) \in {\cal R}$ である。
- $G(U) \subset T \lor G(T) \subset U$ の場合：
- どちらでも同様なので、$G(U) \subset T$ とする。
- $G(U) \subset T \subset T \coprod \{c_T\} \equ G(T)$ だから、 $G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ となる。
- $G(U) \not\subset T \land G(T) \not\subset U$ の場合：
- $U \in H\left( G\left( T \right) \right)$ だから、 $U \subset G(T) \lor U \supset G(T)$ である。
- 場合分けの仮定$G(T) \not\subset U$ より、$U \subset G(T)$ である。
- $G(U) \in {\cal R}$ $\equ$ 仮定$T \in {\cal R}^\prime$ $H(T)$ だから、 $G(U) \subset T \lor G(U) \supset T$ となる。
- 場合分けの仮定$G(U) \not\subset T$ より、$G(U) \supset T$ である。
- $T \subset U$ の場合：
- $T \not\subset U$ の場合：
- よって、いづれにしても、$G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
- よって、いづれにしても、$G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
- よって、$H\left( G\left( T \right) \right) \supset \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
- よって、$G(T) \in {\cal R}^\prime$ である。
- よって、${\cal R}^\prime \supset \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
- よって、${\cal R} \equ {\cal R}^\prime \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ である。
- $R :\equiv \bigcup {\cal R} \; \left( \subset S \right)$ と置く。
- $R \equ \bigcup {\cal R}$ $\in$ RはXの要素,Rは全順序,${\mathbb X}$の条件${\rm (iii)}$ ${\cal R}$ だから、RはXの要素,${\mathbb X}$の条件${\rm (ii)}$より、$G(R) \in {\cal R}$ である。
- 従って、$G(R) \subset \bigcup {\cal R} \equ R$ である。
- しかし、$R \subsetneq R \coprod \{ c_R \}$ $\equ$ $G$の定義 $G(R)$ であるので、これらは矛盾している。
- よって、背理法により、$\phi \in F\left( {\frak X} \right)$ である。
- よって、空集合を含むならば定理成立,空集合を含むより、 $p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$ である。
[証明2]
- $p \in S$ を任意に取る。
- ${\frak X} :\equiv \Set{ T \in {\rm TotOrd}\left( S \right) }{ p \in T }$ ( $\neq$ 明らかに、$\left\{ p \right\} \in {\frak X}$ である。 $\phi$)と置く。
- $F : {\rm TotOrd}(S) \rightarrow {\frak P}\left( S \right), T \mapsto \Set{ c \in S \backslash T }{ c {\rm は} T {\rm の上界} }$ と置く。
$\phi \in F\left( {\frak X} \right) \Rightarrow p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$
- 仮定 $\phi \in F\left( {\frak X} \right)$ により、$\exi T \in {\frak X} \; F(T) \equ \phi$ が成り立つ。
- $S$は帰納的であり、かつ、$T \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$なので、$\exi c \in S \; c {\rm は} T {\rm の上界}$。
- $p \in T$なので、$p \leq c$である。
$c$は$S$の極大元である。
- $c \leq a \in S$ なる $a$を任意に取る。
- 上界cと $c \leq a$ により、 $a {\rm は} T {\rm の上界}$。
- $a \not\in \phi$ $\equ$ F(T)=φより。 $F\left( T \right)$ もあわせることにより、$a \not\in S \backslash T$ つまり、$a \in T$。
- 上界cより、$a \leq c$ である。よって、$c \equ a$ となる。
- よって、空集合を含むならば定理成立が成り立つ。
$\phi \in F\left( {\frak X} \right)$
- 選択公理により、$\exi {\rm 写像} f : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow X \;\; \phi \nequ \all T \subset X \; f(T) \in T$ である。
- $F(\phi) \equ S \nequ \phi$ であるが、 $f(F(\phi)) :\equiv p$ と置き直す。
- ${\cal T} :\equiv \Set{ T \in {\rm TotOrd}(S) }{ \all R \subset T \; \bracket{ F(R) \cap T \nequ \phi \Rightarrow f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T{\rm の最小元} } }$ と置く。
$\all T \in {\cal T} \;\bracket{ F(T) \nequ \phi \Rightarrow T \coprod \{f(F(T))\} \in {\cal T} }$ が成り立つ。
- $s :\equ f(F(T)) \in F(T)$ と置く。
- $T$ $\coprod$ $s \in F(T) \subset S \backslash T$ $\{s\}$ $\in$ $s {\rm は}T{\rm の上界}$ ${\rm TotOrd}(S)$ である。
- $R \subset T \cup \{s\}$ を任意に取り、 $F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } \nequ \phi$ を仮定する。
$s \not\in R$ が成り立つ。
- [背理法]$s \in R$ を仮定する。
- すると、$s \not\in F(R)$ となるので、Rに対する仮定より $\exi t \in F(R) \cap T$ である。
- $s \in R$ と $t \in F(R)$ より、 $s \lt t$ である。
- $t \in T$ と $s \in F(T)$ より、 $t \lt s$ である。
- これらは矛盾している。
- 従って、 $R \subset T$ である。
- $R \subset T$ と $s \in F(T)$ より、 $s \in F(R)$ つまり $F(R) \cap \{s\} \equ \{s\}$ である。
- $F(R) \cap T \nequ \phi$ の時：
- $f(F(R)) \equ {\rm min}\parenth{ F(R) \cap T }$ である。
- $f(F(R)) \in T$ と $s \in F(T)$ より、 $f(F(R)) \lt s$ である。
- よって、 F(R)∩{s}={s}に注意して、 $f(F(R)) \equ {\rm min}\parenth{ F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } }$ である。
- $F(R) \cap T \equ \phi$ の時：
$F(R) \equ F(T)$ が成り立つ。
- $\supset$$\supset$ は$F$の定義から自明である。
- $\subset$$q \in F(R)$ を任意に取る。$t \in T$ を任意に取る。
- $t$ $\not\in$ 場合分けの仮定 $F(R)$ より、$t \in R \lor \neg \all r \in R \; r \leq t$ である。
- $R \subset T {\rm は全順序}$ に注意すると、 $\exi r \in R \; r \geq t$ である。
- 従って、 $t \leq r \lt q$ である。よって、 $q \in F(T)$ である。
- 一方、$F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } \equ \parenth{ F(R) \cap T } \cup \parenth{ F(R) \cap \{s\} }$ $\equ$ 場合分けの仮定
とF(R)∩{s}={s}より $\phi \cup \{s\}$ である。 - よって、 $f(F(R)) \equ f(F(T)) \equ s \equ {\rm min}\{s\} \equ {\rm min} \parenth{ F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } }$ である。
- 以上より、 $T \cup \{s\} \in {\cal T}$ である。
$\all T_1, T_2 \in {\cal T} \; T_2 \backslash T_1 \subset F(T_1)$ が成り立つ。
- $t \in T_2 \backslash T_1$ を任意に取る。
- $R :\equiv \Set{ r \in T_1 \cap T_2 }{ r \lt t }$ と置く。
- $R \subset T_2$ かつ $t \in F(R) \cap T_2$ なので $f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T_2{\rm の最小元}$ である。
$f(F(R)) \not\in T_1$ が成り立つ。
- [背理法]$f(F(R)) \in T_1$ を仮定する。
- [背理法]の仮定と$t \not\in T_1$より、$f(F(R)) \nequ t$である。
- 最小元f(F(R))より、$f(F(R)) \leq t$ である。従って、$f(F(R)) \lt t$ である。
- 従って、$f(F(R))$ $\in$ [背理法]の仮定と
最小元f(F(R))より $T_1 \cap T_2$ も併せて、$f(F(R)) \in R$ である。 - しかし一方、$f(F(R)) \in F(R) \subset S \backslash R$ なので、 $f(F(R)) \not\in R$ である。
- これらは矛盾している。
- 従って、$f(F(R)) {\rm は} F(R) \cap T_1 {\rm の最小｢元｣}$ とはなり得ない。
- 従って、$T_1 \in {\cal T}$ を併せて、$F(R) \cap T_1 \equ \phi$ である。
- 従って、$\all s \in T_1 \; s \not\in F(R)$ つまり、 $\all s \in T_1 \; \parenth{ s \not\in S \backslash R \lor \neg \all r \in R \; r \leq s}$ である。
- 従って、$R \subset T_1 {\rm は全順序}$に注意して、$\all s \in T_1 \; \parenth{ s \in R \lor \exi r \in R \; s \lt r }$ である。
- よって、 $\all s \in T_1 \; s \lt t$、つまり、$t \in F(T_1)$ である。
- $T_0 :\equiv \bigcup {\cal T}$ と置く。
- 以下、$F(T_0) \equ \phi$ である事を示す。
$T_0 \in {\frak X}$ が成り立つ。
- (i)${\cal T}$の定義より明らかに $\phi \in {\cal T}$ なので、 鎖をどんどん一直線に伸ばしていけるより、 $\{p\} \equ \phi \cup \{p\} \in {\cal T}$ である。
- ${\rm (ii)}$ $s,t \in T_0$ を任意に取る。$s \in T_1 \in {\cal T}$, $t \in T_2 \in {\cal T}$ とする。
- $t \in T_1$ の時：
- $T_1 {\rm は全順序}$ なので、 $s \leq t \lor s \geq t$ である。
- $t \not\in T_1$ の時：
- $t \in T_2 \backslash T_1$ $\subset$ Tの元は線のように並んでいる $F(T_1)$ なので、 $s \lt t$ である。
- 従って、 $T_0 {\rm は全順序}$ である。
$T_0 \in {\cal T}$ が成り立つ。
- $R \subset T_0$ なる$R$を任意に取り、$F(R) \cap T_0 \nequ \phi$ を仮定する。
- $\phi \nequ F(R) \cap T_0 \equ \bigcup\limits_{T \in {\cal T}} \parenth{ F(R) \cap T }$ なので、 $\exi T_1 \in {\cal T} \; F(R) \cap T_1 \nequ \phi$ である。
$R \subset T_1$ が成り立つ。
- $r \in R$ を任意に取る。
- F(R)∩Tは非空より、$\exi t \in F(R) \cap T_1$ である。
- $r \in R$ と $t \in F(R)$ より、$r \lt t \in T_1$ である。
- 従って、$r \not\in F(T_1)$ である。
- 一方、$r \in R \subset T_0$ より、$\exi T_2 \in {\cal T} \; r \in T_2$ である。
- 従って、Tの元は線のように並んでいるより、$r \in T_1$ である。
- 従って、$f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T_1{\rm の最小元}$ である。
$f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T_0{\rm の最小元}$ が成り立つ。
- $t \in F(R) \cap T_0$ を任意に取る。
- $\exi T_2 \in {\cal T} \; t \in F(R) \cap T_2$ である。
- $t \in T_1$ の時：
- $t \in F(R) \cap T_1$ だから、T_1においての最小元より、$f(F(R)) \leq t$ である。
- $t \not\in T_1$ の時：
- Tの元は線のように並んでいるより、$t \in F(T_1)$ つまり $f(F(R)) \lt t$ である。
- よって、定義により、$T_0 \in {\cal T}$ である。
- $T_0$の定義と鎖をどんどん一直線に伸ばしていけるとT_0の性質より、 $F(T_0) \equ \phi$ とならざるを得ない。
- よって、$\phi \equ F(T_0) \in F({\frak X})$ である。
- よって、空集合を含むならば定理成立,空集合を含むより、 $p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$ である。
コメント：
こちらの証明は、全順序集合の集合を証明の軸に使っています。
こちらの証明は、全順序集合の集合を証明の軸に使っています。
- [証明1]は斎藤毅著｢集合と位相｣のZornの補題(186ページ)に基づいています。
- [証明2]はA short proof of Zorn's Lemmaに基づいています。
$\newcommand{\Seg}[2]{#1\mathord{}\left\lt#2\right\gt}$ $(X, \leq) \text{は順序集合}$ とする。
$\phi \nequ X \text{は帰納的} \Rightarrow \exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ が成り立つ。
$\phi \nequ X \text{は帰納的} \Rightarrow \exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ が成り立つ。
[証明3]
- $\text{WelOrd}(X) :\equiv \Set{ A \subseteq X }{ A \text{は整列集合} }$ と置き、
$F : \text{WelOrd}(X) \rightarrow \text{Pow}(X), A \mapsto \Set{ y \in X }{ \all x \in A \; x \lt y }$ と置く。 $\exi A \in \text{WelOrd}(X) \; F(A) \equ \phi \Rightarrow \exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ が成り立つ。
- 仮定[$X \text{は帰納的}$]より、$\exi c \in X \; c \text{は} A \text{の上界}$ である。
- $c \leq d \in X$ を任意に取る。
- 仮定[$F(A) \equ \phi$]より、$d \not\in F(A)$ つまり、$\exi x \in A \; x \geq d$ である。
- 従って、$d \leq x \leq c$ となって、$c \equ d$ である。
$\exi A \in \text{WelOrd}(X) \; F(A) \equ \phi$ が成り立つ。
- [背理法]$\all A \in \text{WelOrd}(X) \; F(A) \nequ \phi$ と仮定する。
- 仮定[背理法]と選択公理$^{AC}$より、$\exi f : \text{WelOrd}(X) \rightarrow X, \; \all A \in \text{WelOrd}(X) \; f(A) \in F(A)$ である。
- $\mathcal{W} :\equiv \Set{ A \in \text{WelOrd}(X) }{ \all x \in A \; f(\Seg{A}{x}) \equ x }$ と置く。
$\all A \in \mathcal{W} \; A \coprod \{ f(A) \} \in \mathcal{W}$ が成り立つ。
- $f(A) \in F(A)$ なので、$f(A) \not\in A$ である。
- $\left\{\begin{array}{} & A \in \text{WelOrd}(X) \\ \text{かつ} & f(A) \in F(A) \end{array}\right.$ なので、$A \coprod \{ f(A) \} \in \text{WelOrd}(X)$ である。
- $\left\{\begin{array}{} & \all x \in A \; f(\Seg{A}{x}) \equ x \\ \text{かつ} & f(\Seg{A}{f(A)}) \equ f(A) \end{array}\right.$ である。
- $A_\infty :\equiv \bigcup \mathcal{W}$ と置く。
$A_\infty \in \mathcal{W}$ が成り立つ。
- $A, B \subseteq X$ に対し、$A \leq B :\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{} & A \subseteq B \\ \text{かつ} & \all y \in B \parenth{ \exi x \in A \; y \lt x \Rightarrow y \in A } \end{array}\right.$ と定義する。
$\all A, B \in \mathcal{W} \parenth{ A \leq B \lor A \geq B}$ が成り立つ。
- $A, B \in \mathcal{W}$ を任意に取る。
- $C :\equiv \bigcup \Set{ S \subseteq X }{ S \leq A \land S \leq B }$ と置く。
$C \leq A \land C \leq B$ が成り立つ。
- $C$ の定義より、明らかに $C \subseteq A$ である。
- $a \in A$ を任意に取り、$\exi c \in C \; a \lt c$ を仮定する。
- $C$ の定義より、$c \in \exi S \subseteq X \; S \leq A \land S \leq B$ である。
- $a \lt c \in S \leq A$ なので、$a \in S$ である。
- よって、$S \subseteq C$ を併せて、$a \in C$ である。
- $C \leq B$ についても同様である。
- $C_+ :\equiv C \coprod$ $\{ f(C) \}$ $C \subseteq A, B \in \text{WelOrd}(X)$ である。 ( $\in$ $f(C) \in F(C)$ である。 $\text{WelOrd}(X)$)と置く。
$\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & C \nequ A \Rightarrow C_+ \leq A \\ (2) & C \nequ B \Rightarrow C_+ \leq B \\ (3) & C \equ A \lor C \equ B \end{array}$ が成り立つ。
- (1)$a \in A$ を任意に取り、$\exi c \in C_+ \; a \lt c$ を仮定する。
$c \equ f(C)$ と仮定してよい。 - $a_- :\equ \min A \backslash C$ と置く($\because C \subsetneq A$)。
$C \equ \Seg{A}{a_-}$ が成り立つ。
- $\subseteq$CはA,Bの上限より、$\all y \in A \parenth{ y \not\in C \Rightarrow \all x \in C \; x \leq y }$ である。
- 従って、$a_- \in A \backslash C$ を併せて、$\all x \in C \; a_- \gt x$ である。
- $\supseteq$$a_-$の最小性より、$\all x \in A \parenth{ x \lt a_- \Rightarrow x \in C }$ である。
- 従って、$c \equ f(C) \equ f(\Seg{A}{a_-})$ $\equ$ $a_- \in A \in \mathcal{W}$ である。 $a_-$ である。
- 更に、$a \in \Seg{A}{c} \equ \Seg{A}{a_-} \equ C$ である。
- (2)(1)と全く同様である。
- (3)[背理法]$C \nequ A \land C \nequ B$ を仮定する。
- $C \subsetneq C_+$ $\subseteq$ (1),(2)と仮定[背理法]
と$C$の定義より。 $C$ となって矛盾する。
- (1)$a \in A$ を任意に取り、$\exi c \in C_+ \; a \lt c$ を仮定する。
- 従って、CはA,Bの上限を併せて、$A \leq B \lor B \leq A$ である。
$\all A \in \mathcal{W} \; A \leq A_\infty$ が成り立つ。
- $x \in A_\infty$ を任意に取り、$\exi a \in A \; x \lt a$ を仮定する。
- $x \in A_\infty$ より、$\exi B \in \mathcal{W} \; x \in B$ である。
- $A \leq B$ の場合：
- $x \in B \land x \lt a \in A$ なので、$x \in A$ である。
- $B \leq A$ の場合：
- $x \in B \subseteq A$ である。
- (1)$A_\infty$ の整列性を示す。
- $\phi \nequ C \subseteq A_\infty$ を任意に取る。
- $\phi \nequ C \equ C \cap A_\infty \equ \bigcup\limits_{A \in \mathcal{W} } \parenth{ C \cap A }$ なので、$\exi A \in \mathcal {W} \; C \cap A \nequ \phi$ である。
- $a_C :\equiv \min ( C \cap A )$ と置く。
- [背理法]$\exi x \in C \; \neg( a_C \leq x )$ を仮定する。
- $x \in C \subseteq A_\infty$ なので、$\exi B \in \mathcal{W} \; x \in B$ である。
- Wは全順序集合より、$a_C, x \in A \lor a_C, x \in B$ である。
いづれにしても、$A, B \text{は全順序集合}$ を併せて、$a_C \leq x \lor a_C \geq x$ である。 - 従って、仮定[背理法]を併せて、$x \lt a_C$ である。
- 一方、$A$ $\leq$ A_∞はWの上界より。 $A_\infty$ と $x \in A_\infty$ より、$\bracket{ \exi z \in A \; x \lt z \Rightarrow x \in A }$ である。
- これらより、$a_C \in A$ を併せて、$x \in A$ である。
- よって、$x \lt a_C \land x \in C \cap A$ となって $a_C$ の最小性に反する。
- (2)$x \in A_\infty$ を任意に取る。
- $x \in A_\infty$ なので、$\exi A \in \mathcal{W} \; x \in A$ である。
$\Seg{A}{x} \equ \Seg{A_\infty}{x}$ が成り立つ。
- $\subseteq$明らかである。
- $\supseteq$$y \in \Seg{A_\infty}{x}$ を任意に取る。
- $y \lt x \in A$ とA_∞はWの上界より、$y \in A$ である。
- よって、$y \in \Seg{A}{x}$ である。
- よって、$f(\Seg{A_\infty}{x}) \equ f(\Seg{A}{x})$ $\equ$ $A \in \mathcal{W}$ である。 $x$ である。
- これらより、$A_\infty \subsetneq A_\infty \coprod \{ f(A_\infty) \} \subseteq \bigcup \mathcal{W} \equ A_\infty$ となって矛盾する。
- 以上より、$\exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ である。
コメント：
こちらの証明は、整列集合の集合を証明の軸に使っています。
こちらの証明は、整列集合の集合を証明の軸に使っています。
- [証明3]はPierre-Yves Gaillard著[Selected Texts]のp6の｢3 Zorn's Lemma｣に基づいています。
