$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{\;#1\;\right\}} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} \newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner} $

形式的体系${\cal R}$を算術化する。

形式的体系${\cal R}$を算術化する。 $\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$
  1. ${\cal R}$の基本記号のゲーデル数
    • 定記号のゲーデル数:
      $\godel{{\mathbf 0}} \equ 3、\godel{^\prime} \equ 5、\godel{\equ} \equ 7$
    • 変数および関数記号のゲーデル数:
      $\godel{a_n} \equ 2^9 \cdot 3^n \quad \left( n \equ 0,1,2,\cdots \right)$
      $\godel{f_n} \equ 2^{11} \cdot 3^n \quad \left( n \equ 0,1,2,\cdots \right)$
  2. 補助記号は構成の順序を示すための記号であるが、以下のゲーデル数の対応のさせ方では、補助記号のゲーデル数を定義する必要は無い。 項や方程式、その他に対応させるゲーデル数は、その構成の順序が分かるように定義されるからである。
  3. 項のゲーデル数
    • $t$が(既にゲーデル数が定義されている)項のとき、
      $\godel{(t)^\prime} \equ 2^5 \cdot 3^{\godel{t}}$
    • $t_1,\cdots,t_n$が(既にゲーデル数が定義されている)項で、$f$が関数記号であるとき、
      $\godel{f(t_1,\cdots,t_n)} \equ 2^{\godel{f}} \cdot 3^{\godel{t_1}} \cdot 5^{\godel{t_2}} \cdot \cdots \cdot p_n^{\godel{t_n}}$
  4. 方程式のゲーデル数
    $t_1,t_2$が(既にゲーデル数の定義されている)項のとき、
    $\godel{t_1 \equ t_2} \equ 2^7 \cdot 3^{\godel{t_1}} \cdot 5^{\godel{t_2}}$
  5. 方程式系のゲーデル数
    $e_1,\cdots,e_l$が(既にゲーデル数の定義されている)方程式であるとき、
    $\godel{(e_1,\cdots,e_l)} \equ 2^{13} \cdot 3^{\godel{e_1}} \cdot \cdots \cdot p_l^{\godel{e_l}}$
  6. (方程式系$E$からの)演繹のゲーデル数
    • $e$を$E$に含まれる方程式とするとき、演繹$D$が$e$自身ならば、
      $\godel{D} \equ 2^{\godel{e}}$
    • $D_1$を$E$からの演繹とし、$D_1$の最下式を$e_1$とするとき、
      演繹$D$が$e_1$から"代入"の推論規則によって$e_2$を得る$\genfrac{}{}{1pt}{0}{D_1}{e_2}$とすれば、
      $\godel{\genfrac{}{}{1pt}{0}{D_1}{e_2}} \equ 2^{\godel{e_2}} \cdot 3^{\godel{D_1}}$
    • $D_1,D_2$を$E$からの演繹、$e_1$を$D_1$の最下式、$e_2$を$D_2$の最下式とするとき、
      演繹$D$が$e_1$と$e_2$から"置換"の推論規則によって$e_3$を得る$\genfrac{}{}{1pt}{0}{D_1 \quad D_2}{e_3}$とすれば、
      $\godel{\genfrac{}{}{1pt}{0}{D_1 \quad D_2}{e_3}} \equ 2^{\godel{e_3}} \cdot 3^{\godel{D_1}} \cdot 5^{\godel{D_2}}$

以上の算術化によって、${\cal R}$を自然数論の中に埋め込んだとき、${\cal R}$における様々な概念および${\cal R}$で展開される議論を、自然数上の関数、述語として定義し、自然数論の中で展開してみよう。

${\rm N}(x)$ $e$を${\cal R}$における表現とし、$\godel{e} \equ x$とするとき、
"$e$は数項である"ことを自然数論の中で表す述語「$\godel{e}$は数項のゲーデル数である」
を意味する。
以下では、上のような場合、
単に、"$e$は数項である"と「$\cdots$ゲーデル数である」の部分は省略した形で述べる
$\equiv$ $x \equ 3 \lor \left( x \equ 2^5 \cdot 3^{(x)_1} \land {\rm N}((x)_1) \right)$
${\rm V}(x)$ 「$x$は変数記号である」 $\equiv$ $x \equ 2^9 \cdot 3^{(x)_1}$
${\rm FL}(x)$ 「$x$は関数記号である」 $\equiv$ $x \equ 2^{11} \cdot 3^{(x)_1}$
${\rm Tm}(x)$ 「$x$は項である」 $\equiv$ $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x \equ 3 \\ \lor & {\rm V}(x) \\ \lor & \left( {\rm lh}(x) \equ 2 \land (x)_0 \equ 5 \land {\rm Tm}((x)_1) \right) \\ \lor & \left( {\rm lh}(x) \gt 1 \land {\rm FL}((x)_0) \land (\all i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(x)} {\rm Tm}((x)_i) \right) \end{array}$
${\rm Eq}(x)$ 「$x$は方程式である」 $\equiv$ $\left( x \equ 2^7 \cdot 3^{(x)_1} \cdot 5^{(x)_2} \right) \land {\rm Tm}((x)_1) \land {\rm Tm}((x)_2)$
${\rm SE}(x)$ 「$x$は方程式系である」 $\equiv$ ${\rm lh}(x) \gt 1 \land (x)_0 \equ 13 \land (\all i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(x)} {\rm Eq}((x)_i)$
${\rm Sb}(d, e, t, x)$ 「変数記号$x$に項$t$を代入すると、項あるいは方程式である$e$が$d$になる」 $\equiv$ ${\rm V}(x) \land {\rm Tm}(t) \land$
$\left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \left( e \equ x \land d \equ t \right) \\ \lor & \left( \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & e \equ 3 \\ \lor & \left( {\rm V}(e) \land e \neq x \right) \end{array}\right) \land d \equ e \right) \\ \lor & \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \left( {\rm Tm}(e) \lor {\rm Eq}(e) \right) \\ \land & {\rm lh}(e) \gt 1 \\ \land & {\rm lh}(e) \equ {\rm lh}(d) \\ \land & (d)_0 \equ (e)_0 \\ \land & (\all i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(e)} {\rm Sb}\left((d)_i, (e)_i, t, x\right) \end{array}\right) \end{array}\right)$
${\rm Ct}(e,x)$ 「項あるいは方程式である$e$が、変数記号$x$を含む」 $\equiv$ $\left( {\rm Tm}(e) \lor {\rm Eq}(e) \right) \land {\rm V}(x) \land \neg {\rm Sb}(e,e,3,x)$
${\rm SC}_n(e,d)$ 「方程式$e$は、方程式$d$から"代入"の推論規則によって得られる」 $\equiv$ ${\rm Eq}(d) \land (\exi x)_{x \lt d} (\exi n)_{n \lt e} \; \left( {\rm N}(n) \land {\rm Ct}(d,x) \land {\rm Sb}(e,d,n,x) \right)$
${\rm RC}_n (e,d,c)$ 「方程式$e$は、方程式$d$と$c$から"置換"の推論規則によって得られる」 $\equiv$ $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Eq}(c) \land {\rm FL}((c)_{1,0}) \land (\all i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}((c)_1)} {\rm N}((c)_{1,i}) \land {\rm N}((c)_2) \\ \land & {\rm Eq}(d) \land (\all x)_{x \lt d} \neg {\rm Ct}(d,x) \land {\rm Eq}(e) \\ \land & (\exi u)_{u \lt d} \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Tm}(u) \land {\rm Ct}(u, 2^9 \cdot 3) \\ \land & {\rm Sb}((d)_2, u, (c)_1, 2^9 \cdot 3) \\ \land & {\rm Sb}((e)_2, u, (c)_2, 2^9 \cdot 3) \end{array}\right) \end{array}$
※変数記号$a_1$のゲーデル数$\godel{a_1} \equ 2^9 \cdot 3$は、
いかなる関数記号$f_n$のゲーデル数$\godel{f_n} \equ 2^{11} \cdot 3^n$より小さく、
従って、$u \lt d$であるような$u$が取れる事に注意。
${\rm Nu}(z,n)$ 「$z$は自然数$n$に対応する数項である」 $\equiv$ $\left( z \equ 3 \land n \equ 0 \right) \lor \left( z \equ 2^5 \cdot 3^{(z)_1} \land n \neq 0 \land {\rm Nu}((z)_1, n \dot{-} 1) \right)$
${\rm D}(z,y)$ 「$y$は方程式系$z$からの演繹である」 $\equiv$ ${\rm SE}(z) \land \\ \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & (\exi i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(z)} \left( y \equ 2^{(z)_i} \right) \\ \lor & \left( y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \land {\rm SC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}) \land {\rm D}(z, (y)_1) \right) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}l@{}} y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \cdot 5^{(y)_2} \land {\rm RC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}, (y)_{2,0}) \\ \land {\rm D}(z, (y)_1) \land {\rm D}(z, (y)_2) \end{array} \right) \end{array} \right)$
${\rm S}_n (z,x_1,\cdots,x_n,y)$ 「$z$を方程式系、その主関数記号を$f$とする。
$\overline{x}_1,\cdots,\overline{x}_n$をそれぞれ自然数$x_1,\cdots,x_n$に対応する数項、$\overline{x}$も数項とする。
また、$y$は方程式系$z$からの演繹で、$y$の最下式は、$f({\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n) \equ {\overline x} $の形をしている」
$\equiv$ $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm D}(z,y) \land {\rm lh}((y)_{0,1}) \equ n+1 \\ \land & {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \land (y)_{0,1,0} \equ (z)_{{\rm lh}(z) \dot{-} 1, 1, 0} \\ \land & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, x_1) \\ \land & \vdots \\ \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,n}, x_n) \\ \land & {\rm N}((y)_{0,2}) \end{array} \right) \end{array}$

$Z$を方程式系としたとき、${\rm S}_n (\godel{Z},x_1,\cdots,x_n,y)$は、

$Z \vdash f(\overline{x}_1,\cdots,\overline{x}_n) \equ \overline{x}$

つまり、$f({\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n) \equ {\overline x}$が$Z$から演繹可能である事を表している。

$\psi_i$は$m_i$変数の関数$(i \equ 1,\cdots,l)$とする。

${\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,y)$ 「$y$は方程式系$z$と$\psi_1,\cdots,\psi_l$に対する関数表からの演繹である」 $\equiv$ ${\rm SE}(z) \land \\ \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & (\exi i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(z)} \; ( y \equ 2^{(z)_i} ) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y \equ 2^{(y)_0} \land {\rm Eq}((y)_0) \land {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \\ \land & \bigvee\limits_{i=1}^l \left( \begin{array}{@{}l@{}} (\exi w_{i,1})_{w_{i,1} \lt y} \; \cdots (\exi w_{i,m_i})_{w_{i,m_i} \lt y} ( \\ \begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} & & (y)_{0,1} \equ 2^{(y)_{0,1,0}} \cdot 3^{(y)_{0,1,1}} \cdot \cdots \cdot p_{m_i}^{(y)_{0,1,m_i}} \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, w_{i,1}) \\ & \land & \vdots \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,m_i}, w_{i,m_i}) \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,2}, \psi_i (w_{i,1},w_{i,2},\cdots,w_{i,m_i}) ) \\ \end{array} \\ ) \end{array} \right) \end{array} \right) \\ \lor & \left( y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \land {\rm SC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}) \land {\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z, (y)_1) \right) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}l@{}} y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \cdot 5^{(y)_2} \land {\rm RC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}, (y)_{2,0}) \\ \land {\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z, (y)_1) \land {\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z, (y)_2) \end{array} \right) \end{array} \right)$
$S_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$ 「$y$は方程式系$z$と$\psi_1,\cdots,\psi_l$に対する関数表からの演繹で、
$y$の最下式は$f({\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n) \equ {\overline x}$の形をしている。
ただし、$f$は$z$の主関数記号、
${\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n$は、それぞれ自然数$x_1,\cdots,x_n$に対応する数項、${\overline x}$も数項である」
$\equiv$ $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,y) \land {\rm lh}((y)_{0,1}) \equ n+1 \\ \land & {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \land (y)_{0,1,0} \equ (z)_{{\rm lh}(z) \dot{-}1,1,0} \\ \land & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, x_1) \\ \land & \vdots \\ \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,n}, x_n) \\ \land & {\rm N}((y)_{0,2}) \end{array} \right) \end{array}$
${\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,y)$ $\equiv$ ${\rm SE}(z) \land \\ \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & (\exi i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(z)} \; ( y \equ 2^{(z)_i} ) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y \equ 2^{(y)_0} \land {\rm Eq}((y)_0) \land {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \\ \land & \bigvee\limits_{i=1}^l \left( \begin{array}{@{}l@{}} (\exi w_{i,1})_{w_{i,1} \lt y} \; \cdots (\exi w_{i,m_i})_{w_{i,m_i} \lt y} ( \\ \begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} & & (y)_{0,1} \equ 2^{(y)_{0,1,0}} \cdot 3^{(y)_{0,1,1}} \cdot \cdots \cdot p_{m_i}^{(y)_{0,1,m_i}} \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, w_{i,1}) \\ & \land & \vdots \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,m_i}, w_{i,m_i}) \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,2}, \textcolor{red}{(v_i)_{w_{i,1},w_{i,2},\cdots,w_{i,m_i}}} ) \\ \end{array} \\ ) \end{array} \right) \end{array} \right) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}l@{}} y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \land {\rm SC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}) \\ \land \; \textcolor{red}{{\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,(y)_1)} \end{array} \right) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}l@{}} y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \cdot 5^{(y)_2} \land {\rm RC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}, (y)_{2,0}) \\ \land \; \textcolor{red}{{\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,(y)_1)} \\ \land \; \textcolor{red}{{\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,(y)_2)} \end{array} \right) \end{array} \right)$
${\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,x_1,\cdots,x_n,y)$ $\equiv$ $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,y) \land {\rm lh}((y)_{0,1}) \equ n+1 \\ \land & {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \land (y)_{0,1,0} \equ (z)_{{\rm lh}(z) \dot{-}1,1,0} \\ \land & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, x_1) \\ \land & \vdots \\ \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,n}, x_n) \\ \land & {\rm N}((y)_{0,2}) \end{array} \right) \end{array}$

表記の都合上

$\prod\limits_{i \lt n} p_i \; {\rm exp} \; a_i :\equiv \prod\limits_{i \lt n} p_i^{a_i}$

と置く。

原始帰納的関数$\varphi(x_1,\cdots,x_n)$に対して、原始帰納的関数${\tilde \varphi}(x_1,\cdots,x_n)$を

${\tilde \varphi}(x_1,\cdots,x_n) \equ \prod\limits_{i_1 \lt x_1} p_{i_1} {\rm exp}( \cdots ( \prod\limits_{i_n \lt x_n} p_{i_n} {\rm exp} \; \varphi(i_1,\cdots,i_n) ) \cdots )$

で定義する。この定義から明らかに、$a_i \lt x_i \; (i \equ 1,\cdots,n)$ に対して、

$\varphi(a_1,\cdots,a_n) \equ ( {\tilde \varphi}(x_1,\cdots,x_n) )_{a_1,\cdots,a_n}$

が成り立つ。

${\rm S}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$は、$(n+2)$変数の述語であり、$\psi_1,\cdots,\psi_l$で原始帰納的であるのに対し、
${\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,x_1,\cdots,x_n,y)$は、$(l+n+2)$変数の原始帰納的述語である。

${\rm S}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$は、無限集合である関数表$E_{g_1,\cdots,g_l}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}$によって定められているのに対し、
${\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}({\tilde \psi}_1(v,\cdots,v),\cdots,{\tilde \psi}_l(v,\cdots,v),z,x_1,\cdots,x_n,y)$は、有限の表${\tilde \psi}_1(v,\cdots,v),\cdots,{\tilde \psi}_l(v,\cdots,v)$で定義されている事に注意。

関数$\psi_i$は$m_i$変数の関数$(i \equ 1,\cdots,l)$とする。
${\rm T}_n(z,x_1,\cdots,x_n,y)$ $:\equiv$
${\rm S}_n(z,x_1,\cdots,x_n,y)$
$\land \all t \lt y \; \neg {\rm S}_n(z,x_1,\cdots,x_n,t)$
${\rm T}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$ $:\equiv$
${\rm S}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$
$\land \all t \lt y \; \neg {\rm S}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,t)$
${\rm T}_n^{m_1,\cdots,m_l}({\tilde \psi}_1(y,\cdots,y),\cdots,{\tilde \psi}_l(y,\cdots,y),z,x_1,\cdots,x_n,y)$ $:\equiv$
${\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}({\tilde \psi}_1(y,\cdots,y),\cdots,{\tilde \psi}_l(y,\cdots,y),z,x_1,\cdots,x_n,y)$
$\land \all t \lt y \; \neg {\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}({\tilde \psi}_1(t,\cdots,t),\cdots,{\tilde \psi}_l(t,\cdots,t),z,x_1,\cdots,x_n,t)$

形式的体系${\cal R}$を定義する

今週のお題「最近おいしかったもの」}

形式的体系${\cal R}$を定義する。 (参考文献:廣瀬健、「帰納的関数」、75ページ~81ページ)
  1. ${\cal R}$の基本記号
    • 定記号:
      • 対象記号として、${\mathbf 0}$
      • (特定の)関数記号として、$^\prime$
      • 述語記号として、$\equ$
      • 補助記号として、$($、$)$、$,$
    • 変数および関数記号:
      • 変数を表す記号として、$a,a_|,a_{||},a_{|||},a_{||||},\cdots$
      • 関数を表す記号として、$f,f_|,f_{||},f_{|||},f_{||||},\cdots$
      • 以後、
        $a,a_|,a_{||},a_{|||},a_{||||},\cdots$をそれぞれ
        $a,a_1,a_{2},a_{3},a_{4},\cdots$と書き、
        $f,f_|,f_{||},f_{|||},f_{||||},\cdots$をそれぞれ
        $f,f_1,f_{2},f_{3},f_{4},\cdots$と書く事にする。
      • $^\prime$も関数記号なのであるが、これは、予め定められた特殊な関数記号であるから、 単に関数記号という場合は、このリストの内の1つを指すものとする。
      • 以後、見やすくするために、 変数記号として、$x,y,z,\cdots$、関数記号として、$g,h,\cdots$等の文字を用いる事がある。
  2. ${\cal R}$における項(term)
    1. 対象記号${\mathbf 0}$は項である。
    2. 変数記号$a_i$は項である$\left(i \equ 0, 1, 2, \cdots\right)$。
    3. $t$が項であるとき、$(t)^\prime$は項である。
    4. $f$が関数記号で、$t_1,t_2,\cdots,t_n$がいづれも項のとき、$f(t_1,t_2,\cdots,t_2)$は項である。
    5. 以上によって定義されるもののみが項である。
    6. 補助記号$(,)$を用いなくても項の構成の順序が明瞭な場合には適当に省略する。
    7. ${\mathbf 0}, {\mathbf 0}^\prime, {\mathbf 0}^{\prime\prime}, {\mathbf 0}^{\prime\prime\prime}, \cdots$ を数項(numeral)と呼ぶ。以後、これをそれぞれ、
      $0,1,2,3,\cdots$、あるいは、$\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\cdots$と書く事にする。
  3. 方程式(equation)
    $t_1,t_2$が項の時、
    $t_1 \equ t_2$
    を方程式という。$t_1$をこの方程式の左辺、$t_2$をこの方程式の右辺という。
  4. 方程式系(system of equations)
    方程式$e_0,e_1,\cdots,e_l$による有限列$(e_0,e_1,\cdots,e_l)$を方程式系という。
    以後、記述を簡単にするため、方程式系$(e_0,e_1,\cdots,e_l)$とは、$e_l$の左辺の一番左が必ず関数記号であるものと約束する。
  5. 推論規則(rules of inference)
    $e$を方程式、$a$を変数、$n$を数項とする。
    $e$の中に変数$a$が現れていれば、その全ての$a$を$n$で置き換えて得られる方程式を、
    ${\rm Sub}(e; a, n)$
    と書き表す。
    $t$を項、$f$を関数記号とし、$n_1,n_2,\cdots,n_r, n$を数項とする。
    $t$の中に$f(n_1,n_2,\cdots,n_r)$が含まれていれば、その全てを$n$で置き換えて得られる項を、
    ${\rm Rep}(t; f(n_1,n_2,\cdots,n_r),n)$
    と書き表す。
    • $e$を方程式、$a$を$e$に含まれる変数、$n$を数項とする。
      $e$

      ${\rm Sub}(e; a, n)$
      は推論規則である。このとき、「$e$から推論規則によって${\rm Sub}(e; a, n)$が得られる」という。
      以下、この推論規則を"代入(substitution)"と呼ぶ。
    • $n_1,n_2,\cdots,n_r,n$を数項、$f$を関数記号とし、 $s \equ t$は変数を含まない方程式で、右辺$t$が$f(n_1,n_2,\cdots,n_r)$を含むものとする。
      $s \equ t$ $f(n_1,n_2,\cdots,n_r) \equ n$

      $s \equ {\rm Rep}(t; f(n_1,n_2,\cdots,n_r),n)$
      は推論規則である。 このとき、「$s \equ t$と$f(n_1,n_2,\cdots,n_r) \equ n$から、推論規則によって$s \equ {\rm Rep}(t; f(n_1,n_2,\cdots,n_r),n)$が得られる」という。
      以下、この推論規則を"置換(replacement)"と呼ぶ。
  6. 演繹(deduction)
    方程式のある集合を$E$とする(有限とは限らない)。ここで定義されるものは、正確には、「$E$からの演繹(deduction from $E$)」である。
    1. $e$を$E$に含まれる方程式とするとき、
      $e$
      は、$E$からの演繹である。 この時、$e$はこの演繹の最下式であるという。
    2. $D$を$E$からの演繹とし、$D$の最下式を$e_1$とするとき、$e_1$から"代入"の推論規則によって$e_2$が得られるならば、
      $D$

      $e_2$
      は、$E$からの演繹である。このとき、$e_2$はこの演繹の最下式であるという。
    3. $D_1,D_2$を$E$からの演繹とし、$D_1$の最下式を$e_1$、$D_2$の最下式を$e_2$とする。 $e_1$と$e_2$から、"置換"の推論規則によって、$e_3$が得られるならば、
      $D_1$ $D_2$

      $e_3$
      は、$E$からの演繹である。このとき、$e_3$はこの演繹の最下式であるという。
    4. 以上によって定められるもののみが、$E$からの演繹である。
  7. 関数表(given functions)
    変数を含まない方程式の集合を、関数表という。
    自然数上で定義された関数$\psi_1,\cdots,\psi_m$が与えられているものとする。
    $g_1,\cdots,g_m$を$\psi_1,\cdots,\psi_m$に対応する${\cal R}$での関数記号として用いるものとする。
    $E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m} :\equiv \bigcup\limits_{i \equ 1}^m \Set{ g_i({\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_{l_i}) \equ {\overline n} } { \psi_i(n_1,\cdots,n_{l_i}) \equ n \; ( n_1,\cdots,n_{l_i}, n は自然数 ) }$
    を$\psi_1,\cdots,\psi_m$に対する関数表と呼ぶ。
    ただし、${\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_{l_i}, {\overline n}$は、それぞれ自然数$n_1,\cdots,n_{l_i}, n$に対応する数項である。
  8. 主関数記号(principal function letter)
    $E$を方程式系$(e_0,e_1,\cdots,e_l)$とする。
    $e_l$の左辺の一番左の記号(約束によって、関数記号)を、主関数記号という。
    $E$の中で、方程式の右辺には現れるが左辺に現れない関数記号を、(関数表で)与えられた関数記号(given function letter)と呼ぶ。
    $E$の中で、方程式の右辺にも左辺にも現れる主関数記号以外の関数記号を、補助関数記号(auxiliary function letter)と呼ぶ。
  9. 演繹可能な方程式
    $E$を方程式系、$E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$を関数表とする。
    $E \cup E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$からの演繹の最下式となるような方程式$f({\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_r) \equ {\overline n}$を、 $E$と$E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$から演繹可能(deducible from $E, E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$)な方程式と呼び、
    $E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}, E \vdash f({\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_r) \equ {\overline n}$
    と書く。
    $E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$が空のときは、もちろん、単に
    $E \vdash f({\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_r) \equ {\overline n}$
    と書くわけである。
以上によって、形式的体系${\cal R}$は定められた。
  • 部分関数$\varphi(z_1,\cdots,z_n)$が形式的に計算可能(formally calculable)であるとは、
    $\varphi$に対して、ある方程式系$E$が存在して、任意の自然数$z_1,\cdots,z_n,z$と、それに対応する数項${\overline z}_1,\cdots,{\overline z}_n,{\overline z}$について、
    $E \vdash f({\overline z}_1,\cdots,{\overline z}_n) \equ {\overline z} \Leftrightarrow \varphi(z_1,\cdots,z_n) \equ z$
    が成り立つときをいう。ただし、$f$は$E$の主関数記号とする。
  • 部分関数$\varphi(z_1,\cdots,z_n)$が関数$\varphi_1,\cdots,\varphi_m$から形式的に計算可能(formally calculable from $\varphi_1,\cdots,\varphi_m$)であるとは、
    $\varphi$に対して、ある方程式系$E$が存在して、任意の自然数$z_1,\cdots,z_n,z$と、それに対応する数項${\overline z}_1,\cdots,{\overline z}_n,{\overline z}$について、
    $E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}, E \vdash f({\overline z}_1,\cdots,{\overline z}_n) \equ {\overline z} \Leftrightarrow \varphi(z_1,\cdots,z_n) \equ z$
    が成り立つときをいう。ただし、$f$は$E$の主関数記号とする。
この定義における方程式系$E$を、「関数$\varphi$を形式的に定義する方程式系」と呼ぶ。
また、$E$が満たす条件の内、$\Rightarrow$が成り立つ事を、$E$の無矛盾性と呼び、$\Leftarrow$が成り立つ事を、$E$の完全性という。

$\text{Zorn}$の補題

Zornの補題を証明する。
まずは用語の定義から。
$\left( X, \leq \right)$ を順序集合とする。
$c \in X, T \subset X$ とする。
$c$ は、$T \text{のupper bound(上界)}$ $:\Leftrightarrow$ $\all a \in T \; a \leq c$
$T$ は、$\text{totally ordered(全順序)}$ $:\Leftrightarrow$ $\all a, b \in T \; a \leq b \lor a \geq b$

${\rm TotOrd}\left( X \right) :\equiv \Set{ T \subset X }{ T {\rm は全順序} }$

$c \in S \subset X$ とする。
$c$ は、$S \text{のmaximal element(極大元)} :\Leftrightarrow \all a \in S \; \parenth{ c \leq a \Rightarrow c \equ a }$

$\phi \neq S \subset X$ とする。
$S$ は、$\text{inductive(帰納的)} :\Leftrightarrow \all T \in {\rm TotOrd}\left( S \right) \exi c \in S \; c {\rm は} T {\rm の上界}$

Zornの補題
$\left( X, \leq \right)$ は順序集合とする。
$\phi \neq \all S \subset X \; \parenth{ S{\rm は帰納的} \Rightarrow \all p \in S \; p \!\leq\! \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元} }$ が成り立つ。
[証明1]
  • $p \in S$ を任意に取る。
  • ${\frak X} :\equiv \Set{ T \in {\rm TotOrd}\left( S \right) }{ p \in T }$ ( $\neq$ 明らかに、$\left\{ p \right\} \in {\frak X}$ である。 $\phi$)と置く。
  • $F : {\frak X} \rightarrow {\frak P}\left( S \right), T \mapsto \Set{ c \in S \backslash T }{ c {\rm は} T {\rm の上界} }$ と置く。
  • $\phi \in F\left( {\frak X} \right) \Rightarrow p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$
    • 仮定 $\phi \in F\left( {\frak X} \right)$ により、$\exi T \in {\frak X} \; F(T) \equ \phi$ が成り立つ。
    • $S$は帰納的であり、かつ、$T \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$なので、$\exi c \in S \; c {\rm は} T {\rm の上界}$。
    • $p \in T$なので、$p \leq c$である。
    • $c$は$S$の極大元である。
      • $c \leq a \in S$ なる $a$を任意に取る。
      • 上界cと $c \leq a$ により、 $a {\rm は} T {\rm の上界}$。
      • $a \not\in \phi$ $\equ$ F(T)=φより。 $F\left( T \right)$ もあわせることにより、$a \not\in S \backslash T$ つまり、$a \in T$。
      • 上界cより、$a \leq c$ である。よって、$c \equ a$ となる。
    • よって、空集合を含むならば定理成立が成り立つ。
  • $\phi \in F\left( {\frak X} \right)$
    • [背理法] $\phi \not\in F\left( {\frak X} \right)$ つまり、 $\all T \in {\frak X} \; F\left( T \right) \neq \phi$ を仮定する。
    • [背理法]の仮定と選択公理により、$\exi \left( c_T \right)_{T \in {\frak X}} \in \prod\limits_{T \in {\frak X}} \; F\left( T \right)$ が成り立つ。
    • $G:{\frak X} \rightarrow {\frak X}, T \mapsto T$ $\coprod$ $c_T \not\in T$なので$\cup$ではなく$\coprod$を使える。 $\left\{ c_T \right\}$ が定義できる。
      • $T \in {\frak X}$ を任意に取る。
      • $p \in T \subset T \coprod \left\{ c_T \right\} \subset S$ である。
      • $T \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$ かつ $c_T {\rm は} T {\rm の上界}$ なので、 $T \coprod \left\{ c_T \right\} \in {\rm TotOrd\left( S \right)}$ である。
    • ${\mathbb X} :\equiv \Set{ {\cal S} \subset {\frak X} }{ \begin{array}{@{}c@{}l@{}} ({\rm i})& \left\{ p \right\} \in {\cal S} \\ ({\rm ii})& \all T \in {\cal S} \; G\left( T \right) \in {\cal S} \\ ({\rm iii})& \phi \neq \all {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal S} \right) \; \bigcup {\cal T} \in {\cal S} \end{array} }$ と置く。
      ($\left( {\frak X}, \subset \right)$ を順序集合として考えている。)
    • ${\frak X} \in {\mathbb X}$ である(つまり、${\mathbb X} \neq \phi$ である)。
      • ${\rm (i)}$$\left\{ p \right\} \in {\frak X}$ である事は、${\frak X}$ の定義から明らか。
      • ${\rm (ii)}$$\all T \in {\frak X} \; G\left( T \right) \in {\frak X}$ の成立は既に示した。
      • ${\rm (iii)}$$\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\frak X} \right)$ を任意に取る($\bigcup {\cal T} \in {\frak X}$ を示す)。
      • ${\cal T} \subset {\frak X}$ と ${\frak X}$ の定義より、$\all T \in {\cal T} \; p \in T \subset S$ である。
      • 従って、${\cal T} \neq \phi$ より、$p \in \bigcup {\cal T} \subset S$ である。
      • $\bigcup {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$ が成り立つ。
        • $a_1, a_2 \in \bigcup {\cal T}$ を任意に取る。
          $a_i \in T_i \in {\cal T} \; \left( i \in \{1, 2\} \right)$ とする。
        • $T_1, T_2 \in {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\frak X} \right)$ なので、 $T_1 \subset T_2 \lor T_1 \supset T_2$ である。
        • どちらでも同様なので、$T_1 \subset T_2$ とする。
        • $a_1, a_2 \in T_2 \in {\cal T} \subset$ ${\frak X} \subset {\rm TotOrd}\left( S \right)$ なので、 $a_1 \leq a_2 \lor a_1 \geq a_2$ が成り立つ。
      • よって、$\bigcup {\cal T} \in {\frak X}$ である。
    • ${\cal R} :\equiv \bigcap {\mathbb X} \; \left( \subset {\frak X} \right)$ と置く。
    • ${\cal R} \in {\mathbb X}$ である。
      • ${\rm (i)}$ $\all {\cal S} \in {\mathbb X} \; \{p\} \in {\cal S}$ なので、 $\{p\} \in \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
      • ${\rm (ii)}$ $T \in {\cal R}$ を任意に取る。
      • 任意の ${\cal S} \in {\mathbb X}$ に対して、$T \in {\cal R} \equ \bigcap {\mathbb X} \subset {\cal S}$ により $G(T)$ $\in$ ${\cal S}$に対して
        ${\rm (ii)}$を適用
        ${\cal S}$ となる。
      • よって、$G(T) \in \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
      • ${\rm (iii)}$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ を任意に取る。
      • 任意の ${\cal S} \in {\mathbb X}$ に対して、 $\phi \neq {\cal T} \subset {\cal R} \equ \bigcap {\mathbb X} \subset {\cal S}$ により $\bigcup {\cal T}$ $\in$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}({\cal S})$と
        ${\cal S}$に対して${\rm (iii)}$を適用
        ${\cal S}$ となる。
      • よって、$\bigcup {\cal T} \in \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ となる。
    • ${\cal R} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ (つまり、${\cal R}$は全順序)である。
      • ここの証明が、本証明で一番長いです。
      • $H : {\cal R} \rightarrow {\frak P}\left( {\cal R} \right), T \mapsto \Set{ U \in {\cal R} }{ T \subset U \lor T \supset U }$ と置く。
      • ${\cal R}^\prime :\equiv \Set{ T \in {\cal R} }{ H(T) \equ {\cal R} }$ と置く。
      • ${\cal R}^\prime \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ が成り立つ。
        • $T_1, T_2 \in {\cal R}^\prime$ を任意に取る。
        • $T_1 \in {\cal R}^\prime \subset {\cal R}$ $\equ$ $T_2 \in {\cal R}^\prime$ $H(T_2)$ である。 よって $H$の定義 、 $T_1 \subset T_2 \lor T_1 \supset T_2$ である。
      • ${\cal R}^\prime \equ {\cal R}$ が成り立つ。
        • $\subset$ は明らか。
        • $\supset$
          ${\cal R}^\prime \in {\mathbb X}$ が成り立つ。
          • ${\rm (i)}$ $\{p\} \in {\cal R}$ である事は既に知っている。つまり、$\{p\}$は$H$の定義域に属する。
          • $H\left(\left\{ p \right\}\right) \equ {\cal R}$ が成り立つ。
            • $\subset$ $H\left(\left\{ p \right\}\right) \subset {\cal R}$ は$H$の定義から明らか。
            • $\supset$ $U \in {\cal R}$ を任意に取る。
            • $U \in {\cal R} \subset {\frak X}$ $\rightarrow$ ${\frak X}$の定義 $p \in U \rightarrow \{p\} \subset U \rightarrow U \in H\left(\left\{ p \right\}\right)$ となる。
          • よって、$\{p\} \in {\cal R}^\prime$ である。
          • ${\rm (iii)}$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R}^\prime \right)$ を任意に取る。
          • まず、$\phi \neq {\cal T} \subset {\cal R}^\prime \subset {\cal R}$ なので、 RはXの要素${\rm (iii)}$より、$\bigcup {\cal T} \in {\cal R}$ である。
          • $H\left(\bigcup {\cal T} \right) \equ {\cal R}$ が成り立つ。
            • $\subset$ $H\left( \bigcup {\cal T} \right) \subset {\cal R}$ は$H$の定義から明らか。
            • $\supset$ $U \in {\cal R}$ を任意に取る。
            • $\begin{array}{@{}l@{}r@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} (一)& \exi T \in {\cal T} \; U \subset T & \Rightarrow & U \subset & \bigcup {\cal T} & \\ (二)& \all T \in {\cal T} \; U \not\subset T & \Rightarrow & & \bigcup {\cal T} & \subset U \end{array}$ が成り立つ。
              • (一)$U \subset T \subset \bigcup {\cal T}$ である。
              • (二)$T \in {\cal T}$ を任意に取る。
              • $U \in {\cal R}$ $\equ$ $T \in {\cal T} \subset {\cal R}^\prime$ $H\left( T \right)$ なので、 $T \subset U \lor T \supset U$ である。
              • 従って、(二)の仮定により、$T \subset U$ である。
              • よって、$\bigcup {\cal T} \subset U$ である。
            • 従って、 排中律 $\exi T \in {\cal T} \; U \subset T$ または
              $\all T \in {\cal T} \; U \not\subset T$ である。
              により、 $U \subset \bigcup {\cal T} \lor U \supset \bigcup {\cal T}$ である。
            • よって、$U \in H\left( \bigcup {\cal T} \right)$ である。
          • よって、$\bigcup {\cal T} \in {\cal R}^\prime$ である。
          • ${\rm (ii)}$$T \in {\cal R}^\prime$ を任意に取る。
          • まず、$T \in {\cal R}^\prime \subset {\cal R}$ なので、 RはXの要素${\rm (ii)}$より、$G\left( T \right) \in {\cal R}$ である。
          • $H\left( G\left( T \right) \right) \equ {\cal R}$ が成り立つ。
            • $\subset$ $H\left( G\left( T \right) \right) \subset {\cal R}$ は$H$の定義から明らか。
            • $\supset$
              $H\left( G\left( T \right) \right) \in {\mathbb X}$ が成り立つ。
              • ${\rm (i)}$ まず、RはXの要素より、$\{p\} \in {\cal R}$ である。
              • $T \in {\cal R}^\prime \subset {\cal R} \subset {\frak X}$ なので、${\frak X}$ の定義より、$p \in T$ である。
              • 従って、$\{p\} \subset T \subset T \coprod \{ c_T \} \equ G\left(T\right)$ である。
              • よって、$\{p\} \in H\left(G\left(T\right)\right)$ である。
              • ${\rm (iii)}$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( H\left( G\left( T \right) \right) \right)$ を任意に取る。
              • まず、$\phi \neq {\cal T} \subset H\left( G\left( T \right) \right) \subset {\cal R}$ なので、 RはXの要素より、$\bigcup {\cal T} \in {\cal R}$ である。
              • $\begin{array}{@{}l@{}r@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} (一)& \exi T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \subset T^\prime & \Rightarrow & G\left(T\right) \subset & \bigcup {\cal T} & \\ (二)& \all T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \not\subset T^\prime & \Rightarrow & & \bigcup {\cal T} & \subset G\left(T\right) \end{array}$ が成り立つ。
                • (一) $G\left(T\right) \subset T^\prime \subset \bigcup {\cal T}$ である。
                • (二) $T^\prime \in {\cal T}$ を任意に取る。
                • $T^\prime \in {\cal T} \subset H\left( G\left( T \right) \right)$ だから、 $T^\prime \subset G\left(T\right) \lor T^\prime \supset G\left(T\right)$ である。
                • 従って、(二)の仮定により、$T^\prime \subset G\left(T\right)$ である。
                • よって、$\bigcup {\cal T} \subset G\left(T\right)$ である。
              • 従って、 排中律 $\exi T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \subset T^\prime$ または、
                $\all T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \not\subset T^\prime$ である。
                により、$G(T) \subset \bigcup {\cal T} \lor G(T) \supset \bigcup {\cal T}$ である。
              • よって、$\bigcup {\cal T} \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
              • ${\rm (ii)}$ $U \in H\left( G\left( T \right) \right)$ を任意に取る($G\left(U\right) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ を示す)。
              • $U \in H\left( G\left( T \right) \right) \subset {\cal R}$ だから、 RはXの要素より、$G\left(U\right) \in {\cal R}$ である。
              • $G(U) \subset T \lor G(T) \subset U$ の場合:
                • どちらでも同様なので、$G(U) \subset T$ とする。
                • $G(U) \subset T \subset T \coprod \{c_T\} \equ G(T)$ だから、 $G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ となる。
              • $G(U) \not\subset T \land G(T) \not\subset U$ の場合:
                • $U \in H\left( G\left( T \right) \right)$ だから、 $U \subset G(T) \lor U \supset G(T)$ である。
                • 場合分けの仮定$G(T) \not\subset U$ より、$U \subset G(T)$ である。
                • $G(U) \in {\cal R}$ $\equ$ 仮定$T \in {\cal R}^\prime$ $H(T)$ だから、 $G(U) \subset T \lor G(U) \supset T$ となる。
                • 場合分けの仮定$G(U) \not\subset T$ より、$G(U) \supset T$ である。
                • $T \subset U$ の場合:
                  • $T \subset U$ $\subset$ U⊆G(T) $G(T) \equ T \coprod \{ c_T \}$ だから、 $T \equ U \lor U \equ G(T)$ である。
                  • $T \equ U$ の場合:
                    • $G(U) \equ G(T)$ $\in$ $H$の定義から自明に成立。 $H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
                  • $U \equ G(T)$ の場合:
                    • $G(T) \equ U \subset G(U)$ だから、 $G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
                • $T \not\subset U$ の場合:
                  • $U \subset T \cup U$ $\subset$ G(U)⊇T $G(U) \cup U \equ G(U)$ だから、 $U \equ T \cup U \lor T \cup U \equ G(U)$ である。
                  • 従って、$G(U)$ $\equ$ 場合分けの仮定 $T \not\subset U$ $T \cup U$ $\subset$ U⊆G(T) $T \cup G(T) \equ G(T)$ である。
                  • よって、$G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
                • よって、いづれにしても、$G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
              • よって、いづれにしても、$G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
            • よって、$H\left( G\left( T \right) \right) \supset \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
          • よって、$G(T) \in {\cal R}^\prime$ である。
        • よって、${\cal R}^\prime \supset \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
      • よって、${\cal R} \equ {\cal R}^\prime \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ である。
    • $R :\equiv \bigcup {\cal R} \; \left( \subset S \right)$ と置く。
    • $R \equ \bigcup {\cal R}$ $\in$ RはXの要素,Rは全順序,${\mathbb X}$の条件${\rm (iii)}$ ${\cal R}$ だから、RはXの要素,${\mathbb X}$の条件${\rm (ii)}$より、$G(R) \in {\cal R}$ である。
    • 従って、$G(R) \subset \bigcup {\cal R} \equ R$ である。
    • しかし、$R \subsetneq R \coprod \{ c_R \}$ $\equ$ $G$の定義 $G(R)$ であるので、これらは矛盾している。
    • よって、背理法により、$\phi \in F\left( {\frak X} \right)$ である。
  • よって、空集合を含むならば定理成立,空集合を含むより、 $p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$ である。
証明終
[証明2]
  • $p \in S$ を任意に取る。
  • ${\frak X} :\equiv \Set{ T \in {\rm TotOrd}\left( S \right) }{ p \in T }$ ( $\neq$ 明らかに、$\left\{ p \right\} \in {\frak X}$ である。 $\phi$)と置く。
  • $F : {\rm TotOrd}(S) \rightarrow {\frak P}\left( S \right), T \mapsto \Set{ c \in S \backslash T }{ c {\rm は} T {\rm の上界} }$ と置く。
  • $\phi \in F\left( {\frak X} \right) \Rightarrow p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$
    • 仮定 $\phi \in F\left( {\frak X} \right)$ により、$\exi T \in {\frak X} \; F(T) \equ \phi$ が成り立つ。
    • $S$は帰納的であり、かつ、$T \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$なので、$\exi c \in S \; c {\rm は} T {\rm の上界}$。
    • $p \in T$なので、$p \leq c$である。
    • $c$は$S$の極大元である。
      • $c \leq a \in S$ なる $a$を任意に取る。
      • 上界cと $c \leq a$ により、 $a {\rm は} T {\rm の上界}$。
      • $a \not\in \phi$ $\equ$ F(T)=φより。 $F\left( T \right)$ もあわせることにより、$a \not\in S \backslash T$ つまり、$a \in T$。
      • 上界cより、$a \leq c$ である。よって、$c \equ a$ となる。
    • よって、空集合を含むならば定理成立が成り立つ。
  • $\phi \in F\left( {\frak X} \right)$
    • 選択公理により、$\exi {\rm 写像} f : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow X \;\; \phi \nequ \all T \subset X \; f(T) \in T$ である。
    • $F(\phi) \equ S \nequ \phi$ であるが、 $f(F(\phi)) :\equiv p$ と置き直す。
    • ${\cal T} :\equiv \Set{ T \in {\rm TotOrd}(S) }{ \all R \subset T \; \bracket{ F(R) \cap T \nequ \phi \Rightarrow f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T{\rm の最小元} } }$ と置く。
    • $\all T \in {\cal T} \;\bracket{ F(T) \nequ \phi \Rightarrow T \coprod \{f(F(T))\} \in {\cal T} }$ が成り立つ。
      • $s :\equ f(F(T)) \in F(T)$ と置く。
      • $T$ $\coprod$ $s \in F(T) \subset S \backslash T$ $\{s\}$ $\in$ $s {\rm は}T{\rm の上界}$ ${\rm TotOrd}(S)$ である。
      • $R \subset T \cup \{s\}$ を任意に取り、 $F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } \nequ \phi$ を仮定する。
      • $s \not\in R$ が成り立つ。
        • [背理法]$s \in R$ を仮定する。
        • すると、$s \not\in F(R)$ となるので、Rに対する仮定より $\exi t \in F(R) \cap T$ である。
        • $s \in R$ と $t \in F(R)$ より、 $s \lt t$ である。
        • $t \in T$ と $s \in F(T)$ より、 $t \lt s$ である。
        • これらは矛盾している。
      • 従って、 $R \subset T$ である。
      • $R \subset T$ と $s \in F(T)$ より、 $s \in F(R)$ つまり $F(R) \cap \{s\} \equ \{s\}$ である。
      • $F(R) \cap T \nequ \phi$ の時:
        • $f(F(R)) \equ {\rm min}\parenth{ F(R) \cap T }$ である。
        • $f(F(R)) \in T$ と $s \in F(T)$ より、 $f(F(R)) \lt s$ である。
        • よって、 F(R)∩{s}={s}に注意して、 $f(F(R)) \equ {\rm min}\parenth{ F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } }$ である。
      • $F(R) \cap T \equ \phi$ の時:
        • $F(R) \equ F(T)$ が成り立つ。
          • $\supset$$\supset$ は$F$の定義から自明である。
          • $\subset$$q \in F(R)$ を任意に取る。$t \in T$ を任意に取る。
          • $t$ $\not\in$ 場合分けの仮定 $F(R)$ より、$t \in R \lor \neg \all r \in R \; r \leq t$ である。
          • $R \subset T {\rm は全順序}$ に注意すると、 $\exi r \in R \; r \geq t$ である。
          • 従って、 $t \leq r \lt q$ である。よって、 $q \in F(T)$ である。
        • 一方、$F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } \equ \parenth{ F(R) \cap T } \cup \parenth{ F(R) \cap \{s\} }$ $\equ$ 場合分けの仮定
          F(R)∩{s}={s}より
          $\phi \cup \{s\}$ である。
        • よって、 $f(F(R)) \equ f(F(T)) \equ s \equ {\rm min}\{s\} \equ {\rm min} \parenth{ F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } }$ である。
      • 以上より、 $T \cup \{s\} \in {\cal T}$ である。
    • $\all T_1, T_2 \in {\cal T} \; T_2 \backslash T_1 \subset F(T_1)$ が成り立つ。
      • $t \in T_2 \backslash T_1$ を任意に取る。
      • $R :\equiv \Set{ r \in T_1 \cap T_2 }{ r \lt t }$ と置く。
      • $R \subset T_2$ かつ $t \in F(R) \cap T_2$ なので $f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T_2{\rm の最小元}$ である。
      • $f(F(R)) \not\in T_1$ が成り立つ。
        • [背理法]$f(F(R)) \in T_1$ を仮定する。
        • [背理法]の仮定と$t \not\in T_1$より、$f(F(R)) \nequ t$である。
        • 最小元f(F(R))より、$f(F(R)) \leq t$ である。従って、$f(F(R)) \lt t$ である。
        • 従って、$f(F(R))$ $\in$ [背理法]の仮定と
          最小元f(F(R))より
          $T_1 \cap T_2$ も併せて、$f(F(R)) \in R$ である。
        • しかし一方、$f(F(R)) \in F(R) \subset S \backslash R$ なので、 $f(F(R)) \not\in R$ である。
        • これらは矛盾している。
      • 従って、$f(F(R)) {\rm は} F(R) \cap T_1 {\rm の最小「元」}$ とはなり得ない。
      • 従って、$T_1 \in {\cal T}$ を併せて、$F(R) \cap T_1 \equ \phi$ である。
      • 従って、$\all s \in T_1 \; s \not\in F(R)$ つまり、 $\all s \in T_1 \; \parenth{ s \not\in S \backslash R \lor \neg \all r \in R \; r \leq s}$ である。
      • 従って、$R \subset T_1 {\rm は全順序}$に注意して、$\all s \in T_1 \; \parenth{ s \in R \lor \exi r \in R \; s \lt r }$ である。
      • よって、 $\all s \in T_1 \; s \lt t$、つまり、$t \in F(T_1)$ である。
    • $T_0 :\equiv \bigcup {\cal T}$ と置く。
    • 以下、$F(T_0) \equ \phi$ である事を示す。
    • $T_0 \in {\frak X}$ が成り立つ。
      • (i)${\cal T}$の定義より明らかに $\phi \in {\cal T}$ なので、 鎖をどんどん一直線に伸ばしていけるより、 $\{p\} \equ \phi \cup \{p\} \in {\cal T}$ である。
      • ${\rm (ii)}$ $s,t \in T_0$ を任意に取る。$s \in T_1 \in {\cal T}$, $t \in T_2 \in {\cal T}$ とする。
      • $t \in T_1$ の時:
        • $T_1 {\rm は全順序}$ なので、 $s \leq t \lor s \geq t$ である。
      • $t \not\in T_1$ の時:
        • $t \in T_2 \backslash T_1$ $\subset$ Tの元は線のように並んでいる $F(T_1)$ なので、 $s \lt t$ である。
      • 従って、 $T_0 {\rm は全順序}$ である。
    • $T_0 \in {\cal T}$ が成り立つ。
      • $R \subset T_0$ なる$R$を任意に取り、$F(R) \cap T_0 \nequ \phi$ を仮定する。
      • $\phi \nequ F(R) \cap T_0 \equ \bigcup\limits_{T \in {\cal T}} \parenth{ F(R) \cap T }$ なので、 $\exi T_1 \in {\cal T} \; F(R) \cap T_1 \nequ \phi$ である。
      • $R \subset T_1$ が成り立つ。
        • $r \in R$ を任意に取る。
        • F(R)∩Tは非空より、$\exi t \in F(R) \cap T_1$ である。
        • $r \in R$ と $t \in F(R)$ より、$r \lt t \in T_1$ である。
        • 従って、$r \not\in F(T_1)$ である。
        • 一方、$r \in R \subset T_0$ より、$\exi T_2 \in {\cal T} \; r \in T_2$ である。
        • 従って、Tの元は線のように並んでいるより、$r \in T_1$ である。
      • 従って、$f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T_1{\rm の最小元}$ である。
      • $f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T_0{\rm の最小元}$ が成り立つ。
        • $t \in F(R) \cap T_0$ を任意に取る。
        • $\exi T_2 \in {\cal T} \; t \in F(R) \cap T_2$ である。
        • $t \in T_1$ の時:
          • $t \in F(R) \cap T_1$ だから、T_1においての最小元より、$f(F(R)) \leq t$ である。
        • $t \not\in T_1$ の時:
          • Tの元は線のように並んでいるより、$t \in F(T_1)$ つまり $f(F(R)) \lt t$ である。
      • よって、定義により、$T_0 \in {\cal T}$ である。
    • $T_0$の定義と鎖をどんどん一直線に伸ばしていけるT_0の性質より、 $F(T_0) \equ \phi$ とならざるを得ない。
    • よって、$\phi \equ F(T_0) \in F({\frak X})$ である。
  • よって、空集合を含むならば定理成立,空集合を含むより、 $p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$ である。
証明終

コメント:
こちらの証明は、全順序集合の集合を証明の軸に使っています。
  • [証明1]は斎藤毅著「集合と位相」のZornの補題(186ページ)に基づいています。
  • [証明2]はA short proof of Zorn's Lemmaに基づいています。

$\newcommand{\Seg}[2]{#1\mathord{}\left\lt#2\right\gt}$ $(X, \leq) \text{は順序集合}$ とする。
$\phi \nequ X \text{は帰納的} \Rightarrow \exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ が成り立つ。
[証明3]
  • $\text{WelOrd}(X) :\equiv \Set{ A \subseteq X }{ A \text{は整列集合} }$ と置き、
    $F : \text{WelOrd}(X) \rightarrow \text{Pow}(X), A \mapsto \Set{ y \in X }{ \all x \in A \; x \lt y }$ と置く。
  • $\exi A \in \text{WelOrd}(X) \; F(A) \equ \phi \Rightarrow \exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ が成り立つ。
    • 仮定[$X \text{は帰納的}$]より、$\exi c \in X \; c \text{は} A \text{の上界}$ である。
    • $c \leq d \in X$ を任意に取る。
    • 仮定[$F(A) \equ \phi$]より、$d \not\in F(A)$ つまり、$\exi x \in A \; x \geq d$ である。
    • 従って、$d \leq x \leq c$ となって、$c \equ d$ である。
  • $\exi A \in \text{WelOrd}(X) \; F(A) \equ \phi$ が成り立つ。
    • [背理法]$\all A \in \text{WelOrd}(X) \; F(A) \nequ \phi$ と仮定する。
    • 仮定[背理法]と選択公理$^{AC}$より、$\exi f : \text{WelOrd}(X) \rightarrow X, \; \all A \in \text{WelOrd}(X) \; f(A) \in F(A)$ である。
    • $\mathcal{W} :\equiv \Set{ A \in \text{WelOrd}(X) }{ \all x \in A \; f(\Seg{A}{x}) \equ x }$ と置く。
    • $\all A \in \mathcal{W} \; A \coprod \{ f(A) \} \in \mathcal{W}$ が成り立つ。
      • $f(A) \in F(A)$ なので、$f(A) \not\in A$ である。
      • $\left\{\begin{array}{} & A \in \text{WelOrd}(X) \\ \text{かつ} & f(A) \in F(A) \end{array}\right.$ なので、$A \coprod \{ f(A) \} \in \text{WelOrd}(X)$ である。
      • $\left\{\begin{array}{} & \all x \in A \; f(\Seg{A}{x}) \equ x \\ \text{かつ} & f(\Seg{A}{f(A)}) \equ f(A) \end{array}\right.$ である。
    • $A_\infty :\equiv \bigcup \mathcal{W}$ と置く。
    • $A_\infty \in \mathcal{W}$ が成り立つ。
      • $A, B \subseteq X$ に対し、$A \leq B :\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{} & A \subseteq B \\ \text{かつ} & \all y \in B \parenth{ \exi x \in A \; y \lt x \Rightarrow y \in A } \end{array}\right.$ と定義する。
      • $\all A, B \in \mathcal{W} \parenth{ A \leq B \lor A \geq B}$ が成り立つ。
        • $A, B \in \mathcal{W}$ を任意に取る。
        • $C :\equiv \bigcup \Set{ S \subseteq X }{ S \leq A \land S \leq B }$ と置く。
        • $C \leq A \land C \leq B$ が成り立つ。
          • $C$ の定義より、明らかに $C \subseteq A$ である。
          • $a \in A$ を任意に取り、$\exi c \in C \; a \lt c$ を仮定する。
          • $C$ の定義より、$c \in \exi S \subseteq X \; S \leq A \land S \leq B$ である。
          • $a \lt c \in S \leq A$ なので、$a \in S$ である。
          • よって、$S \subseteq C$ を併せて、$a \in C$ である。
          • $C \leq B$ についても同様である。
        • $C_+ :\equiv C \coprod$ $\{ f(C) \}$ $C \subseteq A, B \in \text{WelOrd}(X)$ である。 ( $\in$ $f(C) \in F(C)$ である。 $\text{WelOrd}(X)$)と置く。
        • $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & C \nequ A \Rightarrow C_+ \leq A \\ (2) & C \nequ B \Rightarrow C_+ \leq B \\ (3) & C \equ A \lor C \equ B \end{array}$ が成り立つ。
          • (1)$a \in A$ を任意に取り、$\exi c \in C_+ \; a \lt c$ を仮定する。
            $c \equ f(C)$ と仮定してよい。
          • $a_- :\equ \min A \backslash C$ と置く($\because C \subsetneq A$)。
          • $C \equ \Seg{A}{a_-}$ が成り立つ。
            • $\subseteq$CはA,Bの上限より、$\all y \in A \parenth{ y \not\in C \Rightarrow \all x \in C \; x \leq y }$ である。
            • 従って、$a_- \in A \backslash C$ を併せて、$\all x \in C \; a_- \gt x$ である。
            • $\supseteq$$a_-$の最小性より、$\all x \in A \parenth{ x \lt a_- \Rightarrow x \in C }$ である。
          • 従って、$c \equ f(C) \equ f(\Seg{A}{a_-})$ $\equ$ $a_- \in A \in \mathcal{W}$ である。 $a_-$ である。
          • 更に、$a \in \Seg{A}{c} \equ \Seg{A}{a_-} \equ C$ である。
          • (2)(1)と全く同様である。
          • (3)[背理法]$C \nequ A \land C \nequ B$ を仮定する。
          • $C \subsetneq C_+$ $\subseteq$ (1),(2)と仮定[背理法]
            と$C$の定義より。
            $C$ となって矛盾する。
        • 従って、CはA,Bの上限を併せて、$A \leq B \lor B \leq A$ である。
      • $\all A \in \mathcal{W} \; A \leq A_\infty$ が成り立つ。
        • $x \in A_\infty$ を任意に取り、$\exi a \in A \; x \lt a$ を仮定する。
        • $x \in A_\infty$ より、$\exi B \in \mathcal{W} \; x \in B$ である。
        • $A \leq B$ の場合:
          • $x \in B \land x \lt a \in A$ なので、$x \in A$ である。
        • $B \leq A$ の場合:
          • $x \in B \subseteq A$ である。
      • (1)$A_\infty$ の整列性を示す。
      • $\phi \nequ C \subseteq A_\infty$ を任意に取る。
      • $\phi \nequ C \equ C \cap A_\infty \equ \bigcup\limits_{A \in \mathcal{W} } \parenth{ C \cap A }$ なので、$\exi A \in \mathcal {W} \; C \cap A \nequ \phi$ である。
      • $a_C :\equiv \min ( C \cap A )$ と置く。
      • [背理法]$\exi x \in C \; \neg( a_C \leq x )$ を仮定する。
      • $x \in C \subseteq A_\infty$ なので、$\exi B \in \mathcal{W} \; x \in B$ である。
      • Wは全順序集合より、$a_C, x \in A \lor a_C, x \in B$ である。
        いづれにしても、$A, B \text{は全順序集合}$ を併せて、$a_C \leq x \lor a_C \geq x$ である。
      • 従って、仮定[背理法]を併せて、$x \lt a_C$ である。
      • 一方、$A$ $\leq$ A_∞はWの上界より。 $A_\infty$ と $x \in A_\infty$ より、$\bracket{ \exi z \in A \; x \lt z \Rightarrow x \in A }$ である。
      • これらより、$a_C \in A$ を併せて、$x \in A$ である。
      • よって、$x \lt a_C \land x \in C \cap A$ となって $a_C$ の最小性に反する。
      • (2)$x \in A_\infty$ を任意に取る。
      • $x \in A_\infty$ なので、$\exi A \in \mathcal{W} \; x \in A$ である。
      • $\Seg{A}{x} \equ \Seg{A_\infty}{x}$ が成り立つ。
        • $\subseteq$明らかである。
        • $\supseteq$$y \in \Seg{A_\infty}{x}$ を任意に取る。
        • $y \lt x \in A$ とA_∞はWの上界より、$y \in A$ である。
        • よって、$y \in \Seg{A}{x}$ である。
      • よって、$f(\Seg{A_\infty}{x}) \equ f(\Seg{A}{x})$ $\equ$ $A \in \mathcal{W}$ である。 $x$ である。
    • これらより、$A_\infty \subsetneq A_\infty \coprod \{ f(A_\infty) \} \subseteq \bigcup \mathcal{W} \equ A_\infty$ となって矛盾する。
  • 以上より、$\exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ である。
証明終

コメント:
こちらの証明は、整列集合の集合を証明の軸に使っています。
  • [証明3]はPierre-Yves Gaillard著[Selected Texts]のp6の「3 Zorn's Lemma」に基づいています。

復習:開集合系の基底、直積位相、基本近傍系

開集合系の基底について復習する。
$(X, {\cal O}_X)$ を位相空間とする。
${\cal U} \subset {\cal O}_X$ とする。
${\cal U}$は${\cal O}_X$の基底である $:\Leftrightarrow$ ${\cal O}_X \equ \Set{ \bigcup {\cal V} }{ {\cal V} \subset {\cal U} }$
  $\Leftrightarrow$ $\all U \in {\cal O}_X \exi {\cal V} \subset {\cal U} \; U \equ \bigcup {\cal V}$
  $\Leftrightarrow$ $\all x \in X \, x \in \all U \in {\cal O}_X \, x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset U$
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
  1. $\all {\cal U} \subset {\cal O} \;\parenth{ {\cal U} {\rm は}{\cal O}{\rm の基底} \Rightarrow \all x \in X \; \Set{ U \in {\cal U} }{ x \in U } {\rm は}x{\rm の基本近傍系} }$ が成り立つ。
    • ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \Set{ V \in {\cal U} }{ x \in V }$ と置く。
    • $x \in U \in {\cal O}$ を任意に取る。
    • 仮定により、$x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset U$ である。
    • よって、$V \in {\mathbb V}^*(x) {\rm かつ} V \subset U$ である。
  2. ${\cal U}_0, {\cal U}_1 \subset {\frak P}(X)$ とする。
    ${\cal U}_0 {\rm は}{\cal O}{\rm の基底}$ とする。
    $\all V \in {\cal U}_0 \; \exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; V \equ \bigcup {\cal V} \Rightarrow {\cal U}_1 {\rm は}{\cal O}{\rm の基底}$ が成り立つ。
    • $U \in {\cal O}$ を任意に取る。
    • 仮定[${\cal U}_0 {\rm は}{\cal O}{\rm の基底}$]より、$\exi {\cal V}_0 \subset {\cal U}_0 \; U \equ \bigcup {\cal V}_0$ である。
    • ${\cal V}_1 :\equiv \Set{ V \in {\cal U}_1 }{ V \in \exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; \bigcup {\cal V} \in {\cal V}_0 }$ と置く。
    • 以下、$U \equ \bigcup {\cal V}_1$ を示す。
    • $\subset$$V \in {\cal V}_0$ を任意に取る。
    • 仮定より、$\exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; V \equ \bigcup {\cal V}$ である。
    • 定義により、$\all V^\prime \in {\cal V} \; V^\prime \in {\cal V}_1$ なので、$\bigcup {\cal V} \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
    • 従って、$V \equ \bigcup {\cal V} \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
    • 従って、$V \in {\cal V}_0$ は任意なので、$\bigcup {\cal V}_0 \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
    • よって、$U \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
    • $\supset$$V \in {\cal V}_1$ を任意に取る。
    • $V \in \exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; \bigcup {\cal V} \in {\cal V}_0$ である。
    • 従って、$V \subset \bigcup {\cal V} \subset \bigcup {\cal V}_0 \equ U$ である。
    • よって、$V \in {\cal V}_1$ は任意なので、$\bigcup {\cal V}_1 \subset U$ である。

生成される位相について復習する。
$X$を集合とする。
${\rm Fin}(X) :\equiv \Set{ F \in {\frak P}\left(X\right) }{ F {\rm は有限集合である。} }$
と定義する。
${\cal U} \subset {\frak P}\left( X \right) とする。$
${\cal U}$ によって生成される $X$ の位相を
${\cal O} \left({\cal U} \right) :\equiv \bigcap \Set{ {\cal O} \subset {\frak P}(X) }{ {\cal U} \subset {\cal O} {\rm は}X{\rm の位相}}$
によって定義する。
明らかに、以下の2命題が成り立つ:
  • ${\cal U} \subset {\cal O}({\cal U})$ かつ ${\cal O}({\cal U}) {\rm は}X{\rm の位相}$ である。
  • $\all {\cal O} \subset {\frak P}(X) \;\parenth{ {\cal U} \subset {\cal O} {\rm は}X{\rm の位相} \Rightarrow {\cal O}({\cal U}) \subset {\cal O} }$ が成り立つ。

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
${\cal U} \subset {\cal O}$ とする。
${\cal U} {\rm は}{\cal O}{\rm の準基底} :\Leftrightarrow {\cal O} \equ {\cal O}({\cal U})$
${\cal U} {\rm は}{\cal O}{\rm の基底} \Rightarrow {\cal O} \equ {\cal O}({\cal U})$ が成り立つ。
  • 明らかに、${\cal O}({\cal U}) \subset {\cal O}$ である。
  • $V \in {\cal O}$ を任意に取る。
  • 仮定より、$\exi {\cal V} \subset {\cal U} \; V \equ \bigcup {\cal V}$ である。
  • 従って、$V \equ \bigcup {\cal V} \in {\cal O}({\cal U})$ である。
  • よって、${\cal O} \subset {\cal O}({\cal U})$ である。
$X$ を集合とする。
${\cal U} \subset {\frak P}(X)$ とする。
  1. ${\cal O} \left( {\cal U} \right) \equ \Set{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} }{ {\frak F} \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$ が成り立つ。
    • ${\cal O} :\equiv \Set{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} }{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ と置く。
    • $\subset$
      ${\cal O} {\rm は}X{\rm の位相}$ が成り立つ。
      • ${\frak F} \equ \{ \phi \}$ とすることにより、 $X \equ \bigcap \phi \in {\cal O}$ である。
      • $\left( {\frak F}_i \subset {\rm Fin}({\cal U}) \right)_{i \in I}$ とする。 ($\phi \in {\cal O}$ の確認は $I \equ \phi$ の場合として含まれている。)
      • $\bigcup\limits_{i \in I} \parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_i } \bigcap V } \equ$ $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in \bigcup_{i \in I} {\frak F}_i } \bigcap {\cal V}$ $\in$ $\bigcup\limits_{i \in I} {\frak F}_i \subset {\rm Fin}({\cal U})$ である。 ${\cal O}$ である。
      • $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_i } \bigcap {\cal V} \in {\cal O} \left( i \equ 1,2 \right)$ を任意に取る。
      • $\parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_1 } \bigcap {\cal V} } \cap \parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_2 } \bigcap {\cal V} } \equ$ $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_1 \biguplus {\frak F}_2} \bigcap {\cal V}$ $\in$ ${\frak F}_1 \biguplus {\frak F}_2 \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right)$ ${\cal O}$
        ただし、ここでは、集合$X_1,X_2$に対して、
        $X_1 \biguplus X_2 :\equiv \Set{ a \cup b }{ a \in X_1 {\rm かつ} b \in X_2 }$ と定義している。
      • よって、${\cal O}$は$X$の位相である。
    • また、$U \in {\cal U}$に対して、$U \equ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in \{ \{ U \} \} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}$ なので、 ${\cal U} \subset {\cal O}$ である。
    • よって、${\cal O}( {\cal U}) \subset {\cal O}$ を得る。
    • $\supset$ 逆に、$\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O} \;\parenth{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ を任意に取る。
    • 任意の${\cal V} \in {\frak F}$に対して、${\cal V} \subset {\cal U} \subset {\cal O}({\cal U}) {\rm かつ } {\cal V} {\rm は有限集合}$ なので、 $\bigcap {\cal V} \in {\cal O}({\cal U})$ である。
    • 従って、$\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}\left( {\cal U} \right)$ である。
    • よって、${\cal O} \subset {\cal O}\left( {\cal U} \right)$ 。
  2. ${\cal O}({\cal U}) \equ \Set{ U \subset X }{ \all x \in U \; \exi {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) \; x \in \bigcap {\cal V} \subset U }$ が成り立つ。
    • $\subset$$x \in U \equ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \;\parenth{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ を仮定する。
    • $\exi {\cal V} \in {\frak F} \;\parenth{ \subset {\rm Fin}({\cal U}) } \; x \in \bigcap {\cal V}$ である。
    • $\supset$$\all x \in U \; \exi {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) \; x \in \bigcap {\cal V} \subset U$ を仮定する。
    • ${\frak F} :\equiv \Set{ {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) }{ \bigcap {\cal V} \subset U }$ と置く。
    • ${\frak F}$の定義より、$\bigcup\limits_{{\cal V} \in {\frak F}} \bigcap {\cal V} \subset U$ である。
    • 仮定より、$\all x \in U \; x \in \bigcup\limits_{{\cal V} \in {\frak F}} \bigcap {\cal V}$ である。
  3. $\Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) } {\rm は} {\cal O}({\cal U}) {\rm の基底}$ が成り立つ。
    • $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}( {\cal U} ) \;\parenth{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ を任意に取る。
    • $\Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\frak F} } \subset \Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$ かつ
      $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \equ \bigcup \Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\frak F} }$ である。

直積空間について復習する。
$\parenth{ \left( X_i, {\cal O}_{X_i} \right) }_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$j \in I$ に対し、 $pr_j : \prod\limits_{i \in I} X_i \rightarrow X_j$ を第$j$射影とする。
$X :\equiv \prod\limits_{i \in I} X_i$ の位相を、
${\cal O}_X :\equiv {\cal O}\left( \bigcup\limits_{i \in I} \Set{ pr_i^{-1}\left( U \right) }{ U \in {\cal O}_{X_i} } \right)$
によって定義する。
  1. $\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}\left( I \right)} \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( U_j \right) } { \all j \in J \; U_j \in {\cal O}_{X_j} } {\rm は}{\cal O}_X{\rm の基底}$である。
    • $\bigcup\limits_{i \in I} \Set{ pr_i^{-1}\left( U \right) }{ U \in {\cal O}_{X_i} }$ から有限個の元を選び、それらの共通部分を取る際に、
      ある$i$に対して、$U,V \in {\cal O}_{X_i}$と取っている可能性があるが、その時は
      $pr_i^{-1}\left(U\right) \cap pr_i^{-1}\left(V\right) \equ pr_i^{-1}\left( U \cap V \right)$ かつ $U \cap V \in {\cal O}_{X_i}$ なので、
      ${\cal O}_{X_i}$から取るのは高々1個と考えて良い。
  2. この集合を書き換えることにより、
    $\Set{ \prod\limits_{ i \in I } U_i }{ \all i \in I \; U_i \in {\cal O}_{X_i} {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} } {\rm は}{\cal O}_X{\rm の基底}$である。

$x \equ \left( x_i \right)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ とする。
$i \in I$ に対し、${\mathbb V}_{X_i}(x_i)$ を $X_i$ における点 $x_i$ の近傍系とする。
  1. $\bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) } {\rm は}x{\rm の基本近傍系}$ である。
    • ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) }$ と置く。
    • ${\rm (i)}$$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \;\parenth{ J \in {\rm Fin}(I) {\rm かつ} \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_j(x_j) }$ を任意に取る。
    • $\all j \in J \; \exi U_j \in {\cal O}_{X_j} \; x_j \in U_j \subset V_j$ である。
    • $x \in \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(U_j) \subset \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j)$ である。
    • 勿論、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(U_j) \in {\cal O}_X$ である。
    • よって、${\mathbb V}^*(x)$の元は$x$を内点に持つ。つまり、${\mathbb V}^*(x) \subset {\mathbb V}_X(x)$ である。
    • ${\rm (ii)}$$x \in U \in {\cal O}_X$ を任意に取る。
    • 上記${\rm (1)}$より、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(U_j) \subset U \;\parenth{ J \in {\rm Fin}(I) {\rm かつ} \all j \in J \; x_j \in U_j \in {\cal O}_{X_j} }$ と出来る。
    • $\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( U_j \right) \in {\mathbb V}^*(x)$ である。
    • よって、$\all U \in {\mathbb V}_X(x) \; \exi V \in {\mathbb V}^*(x) \; V \subset U$ である。
  2. この集合を書き換えることにより、
    $\Set{ \prod\limits_{ i \in I } V_i }{ \all i \in I \; V_i \in {\mathbb V}_{X_i}(x_i) {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ V_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} } {\rm は}x{\rm の基本近傍系}$ である。
$\parenth{ \left( X_i, {\cal O}_{X_i} \right) }_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$i \in I$に対し$A_i \subset X_i$ と仮定する。
$\overline{ \prod\limits_{i \in I} A_i } \equ \prod\limits_{i \in I} \overline{ A_i }$ が成り立つ[AC]。
  • $x \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ とし、
    ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \Set{ \prod\limits_{ i \in I } V_i }{ \all i \in I \; V_i \in {\mathbb V}_{X_i}(x_i) {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ V_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ と置く。
  • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} x \in \overline{ \prod\limits_{i \in I} A_i } & \Leftrightarrow & \all V \in {\mathbb V}^*(x) \; \prod\limits_{i \in I} A_i \cap V \nequ \phi \\ & \Leftrightarrow & \all j \in I \; \all V_j \in {\mathbb V}_{X_j}(x_j) \; \prod\limits_{i \in I} A_i \cap \parenth{ \prod\limits_{j \not= i \in I} X_i \times V_j } \nequ \phi \\ & \ ^{AC} \Leftrightarrow & \all j \in I \; \all V_j \in {\mathbb V}_{X_j}(x_j) \; A_j \cap V_j \nequ \phi \\ & \Leftrightarrow & \all j \in I \; x_j \in \overline{ A_j } \\ & \Leftrightarrow & x \in \prod\limits_{i \in I} \overline{ A_i } \end{array}$ である。

${\rm Tychonoff}$の定理

まず、本定理の証明に必要な命題を述べておく。
$\left( X, {\cal O}_X \right)$ を位相空間とする。
$x \in X$ とする。
${\mathbb V}(x)$ を $x$ の近傍系とする。
${\mathbb V}^*(x)$ を $x$ の基本近傍系とする。
$\all A \subset X \;\parenth{ x \in \overline{A} \Leftrightarrow \all V \in {\mathbb V}(x) \; A \cap V \nequ \phi }$ が成り立つ。
$\all A \subset X \;\parenth{ x \in \overline{A} \Leftrightarrow \all V \in {\mathbb V}^*(x) \; A \cap V \nequ \phi }$ が成り立つ。

$X$ を集合とする。
${\frak X} :\equiv \Set{ {\cal A} \subset {\frak P}(X) }{ {\cal A} {\rm は有限交叉性を持つ} }$ と置く。
$\all {\cal A} \in {\frak X} \; \exi {\cal B} \in {\frak X} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \all {\rm 有限部分集合} {\cal B}^\prime \subset {\cal B} \;\; \bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B} & {\rm かつ} \\ \phi \nequ \all A \subset X \;\bracket{ \parenth{ \all B \in {\cal B} \;\; A \cap B \nequ \phi } \Rightarrow A \in {\cal B} } & \end{array}\right.$ が成り立つ[$AC$]。
  • 「有限交叉性を持つ」は有限的性質なので、Zornの補題と同値な命題(集合論編)$^{AC}$により、
    ${\cal A} \subset \exi {\cal B} \in {\frak X} \; {\cal B} {\rm は}({\frak X}, \subset){\rm の極大元}$ が成り立つ。
  • ${\rm (1)}$${\rm 有限部分集合}{\cal B}^\prime \subset {\cal B}$ を任意に取る。
  • ${\cal B}$ が有限交叉性を持つので、${\cal B}^\prime$ の取り方から、当然 ${\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\}$ も有限交叉性を持つ。
  • 従って、${\cal B} \subset {\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\} \in {\frak X}$ であるが、${\cal B}$ は ${\frak X}$ の極大元だから、${\cal B} \equ {\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\}$ がである。
  • よって、$\bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\} \equ {\cal B}$ である。
  • ${\rm (2)}$$\phi \nequ A \subset X$ を任意に取り、$\all B \in {\cal B} \; A \cap B \nequ \phi$ を仮定する。
  • ${\rm (1)}$ と同様の議論なので、 ${\cal B} \cup \left\{ A \right\}$ が有限交叉性を持つことを示せば良い。
  • ${\rm 有限部分集合} {\cal B}^\prime \subset {\cal B}$ を任意に取る。
  • ${\rm (1)}$ より $\bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B}$ なので、$A \cap \parenth{ \bigcap {\cal B}^\prime } \nequ \phi$ である。
  • よって、${\cal B} \cup \left\{ A \right\}$ は有限交叉性を持つ。

${\rm Tychonoff}$の定理
$\left( \left(X_i, {\cal O}_{X_i}\right) \right)_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$\all i \in I \;\; X_i \hbox{がCompact} \Rightarrow^{AC} \prod\limits_{i \in I} X_i \hbox{はCompact}$ が成り立つ。
  • 有限交叉性に関する議論によって証明する。
  • ${\frak X} :\equiv \Set{ {\scr A} \subset {\frak P}\left( \prod\limits_{i \in I} X_i \right) }{ \scr{A} \hbox{は有限交叉性を持つ} }$ と置く。
  • CompactかつHausdorffならば正規のCompactの同値命題より、$\all {\scr A} \in {\frak X} \;\; \bigcap\limits_{A \in {\scr A}} \overline{A} \nequ \phi$ を示せば良い。
  • $\scr{A} \in \frak{X}$ を任意に取る。
  • 上記命題より、${\cal A} \subset \exi {\cal B} \in {\frak X} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \all {\rm 有限部分集合} {\cal B}^\prime \subset {\cal B} \;\; \bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B} & {\rm かつ} \\ \phi \nequ \all A \subset X \;\bracket{ \parenth{ \all B \in {\cal B} \;\; A \cap B \nequ \phi } \Rightarrow A \in {\cal B} } & \end{array}\right.$ である。
  • $i \in I$ に対し、 $pr_i : \prod\limits_{j \in I} X_j \rightarrow X_i$ を第$i$射影とする。
  • $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • $i \in I$ を任意に取る。
    • ${\cal B}$ が有限交叉性を持つので、 $\Set{pr_i\left(A\right)}{A \in {\cal B}} \left( \subset {\frak P}\left( X_i \right) \right)$ は有限交叉性を持つ。
    • 従って、 $X_i$ がCompactである仮定により、 $\bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \nequ \phi$ が成り立つ。
    • よって、選択公理により、 $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \nequ \phi$ が成り立つ。
  • $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A}$ が成り立つ。
    • $x \equ \left( x_i \right)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right)$ を任意に取る。
      $A \in {\cal B}$ を任意に取る。
    • $x \in \overline{A}$ を示すために、下準備した同値命題を用いる。
    • ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}(I) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) }{ \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) } \;\parenth{ {\rm これは}x{\rm の基本近傍系} }$ と置く。
      (ただし、${\mathbb V}_{X_i}(x_i)$ を $X_i$ における点 $x_i$ の近傍系とする。)
    • $\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \in {\mathbb V}^*(x)$ を任意に取る。
    • $\all j \in J \;\; pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\cal B}$ が成り立つ。
      • $j \in J$ を任意に取る。
      • $B \in {\cal B}$ を任意に取る。
      • $x_j \in \bigcap\limits_{A^\prime \in {\cal B}} \overline{pr_j\left(A^\prime\right)} \subset \overline{pr_j\left(B\right)}$ なので、 $pr_j\left(B\right) \cap V_j \nequ \phi$ が成り立つ。
      • 従って、 $\phi \nequ B \cap pr_j^{-1}(V_j)$ つまり $pr_j^{-1}(V_j) \cap B \nequ \phi$ である。
      • $B \in {\cal B}$ は任意なので、有限交叉性を持つ極大元より、$pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\cal B}$ である。
    • 従って、$J {\rm は有限集合}$と有限交叉性を持つ極大元より、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\cal B}$ である。
    • 従って、 $\left\{ A, \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \right\} \subset {\cal B}$ であるが、
      ${\cal B}$ は有限交叉性を持つから、 $A \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right) \nequ \phi$ である。
    • よって、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j)$ は ${\mathbb V}^*(x)$ の任意の元なので、$x \in \overline{A}$ である。
    • よって、$A$ は ${\cal B}$ の任意の元なので、$x \in \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A}$ である。
    • よって、 $x$ は任意の元なので、$\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i(A)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A}$ である。
  • よって、 $\phi \nequ$ $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A} \subset \bigcap\limits_{A \in {\scr A}} \overline{A}$ が成り立ち、定理の成立が証明された。
証明終


${\rm Tychonoffの定理が成立} \Rightarrow {\rm 選択公理が成立}$ が成り立つ。
  • 集合列 $(X_i)_{i \in I}$ に対して、$\all i \in I \; X_i \nequ \phi$ を仮定する。
  • $i \in I$ に対して、$\infty_i \not\in X_i$ なる $\infty_i$ を用意し、
    $X_i^* :\equiv X_i \coprod \{\infty_i\}, {\cal O}_i :\equiv \{ \phi, \{\infty_i\}, X_i^* \}$ と置き、位相空間$(X_i^*,{\cal O}_i)$ を考える。
  • $\all i \in I \; X_i^* {\rm はcompact}$ なので、仮定より、$\prod\limits_{i \in I} X_i^* {\rm はcompact}$ である。
  • $i \in I$ に対して、$pr_i : \prod\limits_{j \in I} X_j^* \rightarrow X_i^*$ を第$i$射影とする。
  • $\prod\limits_{i \in I} X_i^* \equ \prod\limits_{i \in I} X_i \cup \bigcup\limits_{i \in I} pr_i^{-1}(\{\infty_i\})$ が成り立つ。
    • $x^* \equ (x_i^*)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i^*$ を任意に取る。
    • $\all i \in I \; x_i^* \nequ \infty_i \Leftrightarrow \all i \in I \; x_i^* \in X_i \Leftrightarrow x^* \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ である。
    • $\exi i \in I \; x_i^* \equ \infty_i \Leftrightarrow \exi i \in I \; pr_i(x^*) \equ \infty_i \Leftrightarrow x^* \in \bigcup\limits_{i \in I} pr_i^{-1}(\{\infty_i\})$ である。
  • [背理法]$\prod\limits_{i \in I} X_i \equ \phi$ と仮定する。
  • 背理法の仮定とcompactな直積空間直積空間の分解より、 $\exi {\rm 有限集合} J \subset I \; \prod\limits_{i \in I} X_i^* \equ \bigcup\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(\{\infty_j\})$ である。
  • $J {\rm は有限集合}$ なので、選択公理を使わずして、$\exi (x_j)_{j \in J} \in \prod\limits_{j \in J} X_j$ である。
  • $i \in I$ に対して、$x_i^* :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} x_i & i \in J {\rm の時} \\ \infty_i & i \in I \backslash J {\rm の時} \end{array}\right.$ と定義し、$x^* :\equiv (x_i^*)_{i \in I}$ と置く。
  • 明らかに、$x^* \in \prod\limits_{i \in I} X_i^*$ である。
  • $\all j \in J \; x_j^* \equ x_j \nequ \infty_j$ なので、$\all j \in J \; x^* \not\in pr_j^{-1}(\{\infty_j\})$
    つまり $x^* \not\in \bigcup\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(\{\infty_j\}) \equ \prod\limits_{i \in I} X_i^*$ である。
  • よって、これらは矛盾している。

${\rm Compact}$かつ${\rm Hausdorff}$ならば${\rm 正規}$

位相空間$\left( X,{\cal O}_X \right)$に対し、
${\cal C}_X :\equiv \Set{ A \subset X }{ X \backslash A \in {\cal O}_X }$
と置く。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。
$A \subset X$ とする。 以下は同値である:
  1. $A$はCompact
  2. $\all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ A \cap \bigcap {\cal D} \equ \phi \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \equ \phi }$
  3. $\all {\cal S} \subset {\frak P}(X) \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; A \cap \bigcap {\cal T} \nequ \phi \Rightarrow A \cap \bigcap \Set{ {\overline S} }{ S \in {\cal S} } \nequ \phi }$
[証明]
  • $A$はCompact
    $\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O}_X \parenth{ A \subset \bigcup {\cal U} \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal V} \subset {\cal U} \; A \subset \bigcup {\cal V} }$
    $\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O}_X \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal V} \subset {\cal U} \; A \cap \parenth{ X \backslash \bigcup {\cal V} } \nequ \phi \Rightarrow A \cap \parenth{ X \backslash \bigcup {\cal U} } \nequ \phi }$
    $\Leftrightarrow \all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \nequ \phi \Rightarrow A \cap \bigcap {\cal D} \nequ \phi }$
    $\Leftrightarrow \all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ A \cap \bigcap {\cal D} \equ \phi \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \equ \phi }$
  • (3)$\Rightarrow$閉集合での有限交叉性の場合は自明なので、 閉集合での有限交叉性の場合$\Rightarrow$(3) を示す。
  • ${\cal S} \subset {\frak P}(X)$ とし、$\all {\rm 有限部分集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; A \cap \bigcap {\cal T} \nequ \phi$ を仮定する。
  • $\all {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal S} \; \phi \neq A \cap \bigcap {\cal E} \subset A \cap \bigcap \Set{ {\overline E} }{ E \in {\cal E} }$ なので、
    閉集合での有限交叉性の場合より、$A \cap \bigcap \Set{ {\overline S} }{ S \in {\cal S} } \nequ \phi$ である。
$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。
$X$はHausdorff $\Leftrightarrow \all x \in X \; \bigcap \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ } \equ \{x\}$ が成り立つ。
  • $X$はHausdorff
    $\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \nequ y \Rightarrow x \in \exi U \in {\cal O}_X \; y \in \exi V \in {\cal O}_X \; U \cap V \equ \phi \;\right]$
    $\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \nequ y \Rightarrow x \in \exi U \in {\cal O}_X \; y \in ( X \backslash U )^\circ \equ X \backslash {\overline U} \;\right]$
    $\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \in \all U \in {\cal O}_X \; y \in {\overline U} \Rightarrow x \equ y \;\right]$
    $\Leftrightarrow \all x \in X \; \bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \equ \{x\}$
  • $\all x \in X \; \bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \equ \bigcap \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ }$ が成り立つ。
    • $\subset$$A \in {\cal C}_X, x \in A^\circ$なる任意の$A$に対して、 $\bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \subset {\overline{(A^\circ)}} \subset {\overline A} \equ A$ である。
    • $\supset$ $\Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \subset \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ }$ である。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。
$X {\rm はCompact}{\rm かつ} {\rm Hausdorff} \Rightarrow X {\rm はNormal(正規)}$ が成り立つ。
  • 仮定[$X {\rm はHausdorff}$]より $X {\rm はT_1}$ なので、以下で $X {\rm はT_4}$ であることを証明する。
  • $A, B \in {\cal C}_X$ とし、$A \cap B \equ \phi$ を満たすと仮定する。
  • ${\scr A} :\equiv \Set{ {\cal D} \subset {\cal C}_X }{ {\cal D} {\rm は有限集合} \land (\bigcap {\cal D})^\circ \nequ \phi \land B \cap (\bigcap {\cal D}) \equ \phi }$ と置く。
  • $A \subset \bigcup \limits_{ {\cal D} \in {\scr A} } (\bigcap {\cal D})^\circ$ が成り立つ。
    • $a \in A$ を任意に取る。
    • ${\cal D}_a :\equiv \left\{ D \in {\mathcal C}_X | a \in D^\circ \right\} \;( \subset {\cal C}_X )$ と置く。
    • $B \cap (\bigcap {\cal D}_a)$ $\equ$ 仮定[$X$はHausdorff]と上記命題より $B \cap \{a\} \equ \phi$ である。
    • 一方、仮定[$X$はCompact]により、閉集合$B$はCompactである。
    • 従って、上記命題より、$\exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D}_a \; B \cap ( \bigcap {\cal E} ) \equ \phi$ である。
    • また、 $a$ $\in$ ${\cal E} \subset {\cal D}_a$ と ${\cal D}_a$ の定義から。 $\bigcap\limits_{D \in {\cal E}} D^\circ$ $\equ$ ${\cal E}$ が有限集合であることから。 $(\bigcap {\cal E})^\circ$ も成り立つので、 ${\cal E} \in {\scr A}$ である。
    • よって、 $a \in (\bigcap {\cal E})^\circ \subset \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}} (\bigcap {\cal D})^\circ$ である。
  • 一方、仮定[$X$はCompact]より、閉集合$A$はCompactである。
  • 従って、上記より、$\exi {\rm 有限部分集合}{\scr A}_0 \subset {\scr A} \; A \subset \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})^\circ$ である。
  • $U :\equiv \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})^\circ$ , $V :\equiv X \backslash \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})$ と置く。
  • 明らかに、 $A \subset U \in {\cal O}_X$ である。
  • $B \cap \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0}(\bigcap {\cal D}) \equ \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} \parenth{ B \cap (\bigcap {\cal D}) }$ $\equ$ ${\scr A}_0 \subset {\scr A}$ と ${\scr A}$ の定義から。 $\phi$ だから $B \subset X \backslash \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D}) \equ V$ $\in$ ${\scr A}_0$ が有限集合であることから。 ${\cal O}_X$
  • 最後に、 $U \cap V \equ \phi$ であることは定義から明らかである。

ScanSnap iX500のスキャンの仕上がり具合についてのメモ

私はScanSnap iX500で自炊をもう既に400冊ぐらいしています。白黒(でスキャンしても構わない)書籍が90%、グレーが5%、カラーが5%という内訳でしょうか。
その経験からiX500でのスキャンの仕上がり具合について少し経験がついたのでメモを残しておこうと思います。

白黒スキャンについて
  • 1200dpi > 600dpi
    1200dpiでのスキャン一択です。600dpiの選択肢はほぼありません。
    スキャン速度は、1200dpiで約7秒/枚、600dpiで約2秒/枚といったところでしょうか(他の項目、圧縮・色の濃さ・裏写り軽減・文字くっきり等の項目は速度にほぼ影響なし)。
    600dpiでも1200dpiでも文字そのもののスキャン精度に違いはほぼないので、文字オンリーの白黒書籍ならば600dpiでの方が早いといえます。
    しかし、白黒書籍にグラフ、表、図、特に写真が入っている場合は明白に違いが出てきます。
    1200dpiでなら元画像より少し暗みがかった感じにはなるものの、多くの人にとって恐らく妥協できるであろう程度にそれなりに綺麗にスキャン出来ます。例えば、色分けされた棒グラフの各色分けが一部分からなくなってしまうケースがたまにあります。
    しかし、600dpiなら明らかに1200dpiに劣ります。600dpiでのスキャンの速さのメリットが霞んで消えます。例えば色分けされた棒グラフの色分けがほぼ分からなくなってしまいます。
    ファイルサイズの観点から見ても1200dpiで何の問題も無い:例えば、ほぼ文字オンリーの経済学の教科書(白黒書籍)304ページで28MB,写真が多数混入の植物学の専門書(白黒書籍)が276ページで72MBです。500ページ弱の大型技術書でも250MB程度。小説サイズなら400ページオーバーでも100MB以下。
    圧縮については後述。
  • 文字くっきりはオフ一択
    文字くっきりをオンにしても文字そのもののスキャンはほぼ変わらない。20倍ほどに拡大してやや違いが分かる程度(ただし、これは白黒スキャンに限った話であることに注意)。
    しかし、グラフ、表、図、特に写真に対するスキャンの撮れ具合が文字くっきりオフの方が明確に良い。
  • 裏写り軽減はオンでよい
    裏写り軽減をオンにすることで薄い紙の裏写りを軽減できるし、本の黄ばみをスキャンに反映させない効果もオフの時より高い…気がする。
  • 色の濃さは0が丁度いい(経験的に0で落ち着いた)
    殆どの白黒書籍は色の濃さ0で文字も写真等もバランスよくスキャン出来る。文字はハッキリ・くっきりスキャン出来、写真等もそれなりに綺麗にスキャン出来る。
    色を濃くすると文字がしっかりしてくるのだが、逆に写真等が暗くなってよくないし、薄くすると写真等が少し見やすくはなるものの文字が薄くかすれてくる。
    原本の文字の濃さや写真等の有り無しに応じて濃さ-1~3当たりで調節するのが妥当。
  • 白紙ページを自動的に削除する はオフ
    オンにしてしまうとページ番号の調整が狂ってしまうからオフ
  • ファイル形式はPDF一択
    白黒画像に加工することはほぼない。
グレー・カラースキャンについて
ファイルサイズはどちらもほぼ同じ、カラーの方が1割ほど大きくなるぐらいでスキャンの撮れ具合に大差はないので原本の色に合わせる。
  • 600dpi一択
    最高画質に設定してもiX500では(個人的には)完璧に満足のいくものではないので600dpiしかありえない。それでもそれなりにいい具合にはスキャン出来る。
    スキャン速度は白黒1200dpiと同一。
    グレー、カラーどちらにしてもグラフ、図、表、写真はほぼ原本に近い形でスキャン出来て満足。
    しかし、文字が全般的にとても薄くスキャンされてしまう仕様。白黒の色の濃さ-1より薄い。iX500の性能の限界。
  • 圧縮率は1の一択
    上と同じ理由。
    ファイルサイズについては大きくなることは覚悟が居る:600dpi,圧縮率1にして、一例としては教科書サイズ(276ページ)をグレーでスキャンして500MB弱。写真やカラフルな装飾が多数の本(教科書サイズ)500ページで2GBとなることもあります。
  • 裏写り軽減は オフ!
    オンにしたら更に文字が薄くなってしまうので絶対にオフ!。オフにしてても裏写りはほぼない。
  • 文字くっきりは オン!
    ただでさえ文字が薄くスキャンされるので絶対にオン!
    オンオフどちらでも写真等には殆ど影響なし。
  • ファイル形式はPDFでいいかな
    こだわり派の人はJPEG出力をして画像編集or原Scan永久保存のように使うだろうが、上記設定ならそれなりにいい具合のスキャンの撮れ具合なのでPDF化でいい。

圧縮について
私はAcrobatでOCRを掛けつつ圧縮をしてます。
白黒書籍ならiX500スキャン時のファイルサイズの40%、グレー・カラー書籍なら25~35%ぐらいに圧縮できます。
圧縮しても目視レベルではまず違いに見分けがつきません。20倍ぐらいに拡大して少しわかる程度。
圧縮の結果、白黒書籍なら殆ど全てが数MB~50MBのサイズへ、グレー・カラー書籍なら100MB~500MB(約1.2~1.5MB/ページ)へと小さく出来ます。

安井邦夫、「現代論理学」、現代思想社 の分からない所メモ 第2弾

p188の$\fbox{15}$が分からない!

$\fbox{15}$ S(x,t,u):「(x)$_0$は、表現(x)$_1$において、変項uの自由な表れすべてに項tを代入するとき、そこに得られる表現である。」
S(x,t,u)は次の関係で定義される。

\begin{array}{ll} {VE(u) \amp TM(t) \amp} \{ \\ \quad [(x)_1 \equ u \amp (x)_0 \equ t ] \quad \lor & (1) \\ \quad [(\exi y)_{ y \lt (x)_1}((x)_1 \neq u \amp (x)_1 \equ 2^y \amp (x)_0 \equ (x)_1)] \quad \lor & (2) \\ \quad (\exi z)_{z \lt (x)_1} (\exi y)_{y \lt (x)_1} [ FM(y) \amp (x)_1 \equ 2^{13} * u * y * z \amp & (3.1) \\ \quad \quad (\exi r)_{r \lt (x)_0} ( (x)_0 \equ 2^{13} * u * y * r \amp S(2^r 3^z, t, u) ) \quad \lor & (3.2) \\ \quad [ \neg (\exi z)_{z \lt (x)_1} (\exi y)_{y \lt (x)_1} ( FM(y) \amp (x)_1 \equ 2^{13} * u * y * z ) \amp & (4.1) \\ \quad \quad (\exi p)_{p \lt (x)_0} (\exi r)_{r \lt (x)_0} (\exi y)_{y \lt (x)_1} ( 1 \lt y \amp (x)_1 \equ 2^{((x)_1)_0} * y \amp & (4.2) \\ \quad \quad (x)_0 \equ p * r \amp S(2^p 3^{2^{((x)_1)_0}}, t, u) \amp S(2^r 3^y, t, u) ) ] & (4.3) \\ \} \end{array}

※本来はテキストの表記に従うならば、これらの記号はゴシック体で書かなければならないが、$\TeX$の記述上イタリック体のままにしています。

この数論的関係が求めるべき関係になっていることの理解が難しい…。
(x)$_1$が操作を施す前の表現、(x)$_0$が操作を施した後の表現であり、従って両者$p_0^{\alpha(b_1)}p_1^{\alpha(b_2)} \cdots p_{m-1}^{\alpha(b_m)}$という形が想定されていることは分かる。
表現(x)$_{1}$を左から右へ向かって走査し、$\all u$(論理式) となっているところはスルーしつつ、そうなっていない自由変項uをtに逐次書き換えて行っているのであろう事は分かる。

以下のように考えてみたのだが、これでいいのだろうか: \begin{array}{cl} (3.1) & \underline{今現在走査中たる}表現(x)_1が、\quad \all u \; 論理式y \; 表現z \quad となっていて、\\ & (この時は、y内の変項uは束縛変項だから置換の必要は無いのでスルー) \\ (3.2) & その表現z部分の自由変項uを項tで書き換えて得られた表現がrで、\\ & それを連接した \quad \all u \; 論理式y \; 表現r \quad が現時点での求める表現(x)_0 \\ (4.1) & 表現(x)_1が、\quad \all u \; 論理式y \; 表現z \quad とはなっておらず \\ & (\all v \; \cdots \quad でも \quad ~P \quad でも \quad P \supset Q \quad でもOK) \\ (4.2) & (x)_1を、\quad (x)_1の第1文字目 \; 表現y \quad と分解して見ると、\\ & ((4.1)~(4.3)は帰納的走査の部分であるから、(x)_1の2文字目以降の表現が存在していなければならない) \\ (4.3) & その第1文字目を置換したのがp、yを置換したのがrで、pとrを連接したのが(x)_0 \\ \hline (1) & 表現(x)_1は、変項u \; 1文字からなる記号列なので、置換したら(x)_0 \equ t \\ (2) & 表現(x)_1は、変項uではない1文字からなる表現であるが故に置換されず、つまり(x)_0 \equ (x)_1 \\ \end{array}

「(1),(2)で1文字からなる記号列(x)$_1$の置換を考える」という手口を採用しているからこそ、帰納的置換を行う核心部分である(4.2),(4.3)において、「現在走査中の表現の左端1文字 と それ以外」という分離を行っているのだろう。

読書中にピンときた言葉 第2弾

笠原敏彦、「ふしぎなイギリス」、講談社現代新書、40ページ

バッキンガム宮殿前の大通り「ザ・マル」。ここを進むウィリアム王子とキャサリン妃を載せたオープン馬車はまさに、シンデレラに登場する馬車を想起させた。ベアスキンの黒い帽子をかぶった近衛兵が乗る馬を前後に従えた姿も、童話の世界から抜け出したようだ。非日常の演出こそが、王室の魅力の源泉であることは疑いない。人間には生来、深層心理の部分でこうした壮麗さに魅かれるところがある。イギリス王室が現在も壮麗な行事や儀式を維持する理由は、その神秘性で民衆を惹きつけることにより、求心力を保つためである。このマインド・コントロールの手法は、共産主義のソ連や中国が巨大なモニュメントや建物を作り、その威厳によって人々を統治しようとしてきたことにも通じるものではないだろうか。

数学的帰納法の定理、最小値の定理、累積帰納法の定理 の同値性

数学的帰納法の定理
A(n)を自然数nを変数とする論理式とする。この時次が成り立つ: \begin{array}{l} A(0) \Rightarrow \left[ \forall n \left( A(n) \Rightarrow A(n+1) \right) \Rightarrow \forall n A(n) \right] \end{array}
これから直接次の定理が証明される。
最小値の定理
A(n)を自然数nを変数とする論理式とする。この時次が成り立つ: \begin{array}{l} \exists n A(n) \Rightarrow \exists n \left( A(n) \land \forall m \lt n \neg A(m) \right) \end{array}
証明
$B(n) :\equiv \forall m < n \neg A(m)$ と置く。
明らかに$B(0)$なので、数学的帰納法の定理より、$\forall n \left( B(n) \Rightarrow B(n+1) \right) \Rightarrow \forall n B(n)$。
\begin{array}{cl} & \forall n \left( B(n) \Rightarrow B(n+1) \right) \Rightarrow \forall n B(n) \\ \equiv & \neg \forall n B(n) \Rightarrow \neg \forall n \left( B(n) \Rightarrow B(n+1) \right) \\ \equiv & \neg \forall n \forall m \lt n \neg A(m) \Rightarrow \neg \forall n \left( \forall m \lt n \neg A(m) \Rightarrow \forall m \lt n+1 \neg A(m) \right) \\ \equiv & \exists n \exists m \lt n A(m) \Rightarrow \neg \forall n \left( \forall m \lt n \neg A(m) \Rightarrow \neg A(n) \right) \\ \equiv & \exists n A(n) \Rightarrow \exists n \left( \forall m \lt n \neg A(m) \land A(n) \right) \end{array} ここで、$\forall m \lt n \neg A(m) \Rightarrow \forall m \lt n+1 \neg A(m) \equiv \forall m \lt n \neg A(m) \Rightarrow \neg A(n)$と、
$\exists n \exists m \lt n A(m) \equiv \exists n A(n)$を使った。
累積帰納法の定理
A(n)を自然数nを変数とする論理式とする。この時次が成り立つ: \begin{array}{l} \forall n \left( \forall m \lt n A(m) \Rightarrow A(n) \right) \Rightarrow \forall n A(n) \end{array}
$B(n) :\equiv \neg A(n)$ と置く。
最小値の定理により、 \begin{array}{cl} & \exists n B(n) \Rightarrow \exists n \left( B(n) \land \forall m \lt n \neg B(m) \right) \\ \equiv & \neg \exists n \left( B(n) \land \forall m \lt n \neg B(m) \right) \Rightarrow \neg \exists n B(n)\\ \equiv & \forall n \left( \neg B(n) \lor \neg \forall m \lt n \neg B(m) \right) \Rightarrow \forall n \neg B(n) \\ \equiv & \forall n \left( \forall m \lt n A(m) \Rightarrow A(n) \right) \Rightarrow \forall n A(n) \end{array}
更に実は以上の3命題は同値でもある:
$A(n)$を自然数$n$を変数とする論理式とする。 この時、累積帰納法の定理から数学的帰納法の定理が示される。
\begin{array}{lcl} A(0) & \Rightarrow & \left( \forall m \lt 0 A(m) \Rightarrow A(0) \right) \\ \forall n \left( A(n) \Rightarrow A(n+1) \right) & \Rightarrow & \forall n \left( \forall m \lt n+1 A(m) \Rightarrow A(n+1) \right) \end{array} だから、 \begin{array}{cl} & A(0) \land \forall n \left( A(n) \Rightarrow A(n+1) \right) \Rightarrow \left( \forall m \lt 0 A(m) \Rightarrow A(0) \right) \land \forall n \left( \forall m \lt n+1 A(m) \Rightarrow A(n+1) \right) \\ \equiv & A(0) \land \forall n \left( A(n) \Rightarrow A(n+1) \right) \Rightarrow \forall n \left( \forall m \lt n A(m) \Rightarrow A(n) \right) \end{array} これと、累積帰納法の定理 \begin{array}{c} \forall n \left( \forall m \lt n A(m) \Rightarrow A(n) \right) \Rightarrow \forall n A(n) \end{array} より、 \begin{array}{c} A(0) \land \forall n \left( A(n) \Rightarrow A(n+1) \right) \Rightarrow \forall n A(n) \end{array}

論理式の一意性記号について

論理式の一意性記号について以下のように定義する:

\begin{align} \exists!xA(x) \equiv \exists x \left[ A(x) \land \forall y \left( A(y) \Rightarrow x = y \right) \right] \end{align}
この時、$(x,y)$が組として一意に存在する意味で$\exists!x \exists!y A(x,y)$を書くのは間違っている。 なぜなら前者は論理式で表記すると、 $$ \exists x, y \left[ A(x,y) \land \forall z, w \left( A(z,w) \Rightarrow x = z \land y = w \right) \right] $$ であって、後者は、$\exists!$の定義にしたがって展開すると、 \begin{array}{rcl} \exists!x \exists!y A(x,y) & \equiv & \exists x \left[ \exists! y A(x,y) \land \forall x\prime \left( \exists! y A(x\prime,y) \Rightarrow x = x\prime \right) \right] \\ & \equiv & \exists x \Bigl[ \exists y \left[ A(x,y) \land \forall y\prime \left( A(x,y\prime) \Rightarrow y = y\prime \right) \right] \land \\ && \forall x\prime \bigl[ \exists y\prime \left[ A(x\prime,y\prime) \land \forall y\prime\prime \left( A(x\prime,y\prime\prime) \Rightarrow y\prime = y\prime\prime \right) \right] \Rightarrow x = x\prime \bigr] \Bigr] \end{array} である。前者から後者は自明に導かれるが、その逆は成り立たない…と思う。

安井邦夫、「現代論理学」、現代思想社 の分からない所メモなどなど

41ページ

このBは無論、LPの公理にAを公理シェーマとして加えた公理系(これをTとする)において証明可能である ----★

であるが、Aをどういう形で公理シェーマに加えるのかが分からない。

Aというメタ論理式記号そのものを、(A⇒B)⇒Aと同列にそのまま公理に加えるのだろうか?
だとしたら、全ての論理式が証明可能になってしまい、後段の

したがって定理3により~BはLPで証明可能となり、TではBと~Bとが証明可能となる。

とわざわざ述べる必要性が無くなって、国語的に不自然。
だから、そうでは無くもうちょっと論理式Aの中身を表出させた形で公理に加えるのだと思う。個人的に思うに、q1,...,qkをメタ論理式記号A1,...,Akに置き換えたメタ論理式Aを公理に加えるのではないだろうか?
そうすると、★と国語的に整合性がとれると思う。


55ページ

Aを論理式、tを項、xkをtにおける任意の変項とする。
もしAにおいて変項xiのどの自由な現れも限量記号∀xkないしは∃xkの作用域の内にないなら、項tはAにおいてxiに対して自由である(free for xi in A)と言われる。

これは、私は次のように理解しています:

Aを論理式、tを項、xiを変項とする。

項tはAにおいてxiに対して自由である(free for xi in A) :⇔
任意の自然数nに対して、[xiがAにおける第nの自由な現れであるならば、その第nの自由な現れである変項xiは、tにおける任意の変項xkに対して、限量記号∀xkないしは∃xkの作用域の内にない]。

つまり、こういうことだ:
論理式Aという記号列を左から右へと見ていった時、変項xiが現れることが多々あるでしょう。その各々の変項xiは論理式Aにおいて自由な現れであることもあるだろうし、束縛された現れであることもあるでしょう。しかし、その多々現れうる変項xiの内、論理式Aにおいて自由な現れである変項xiだけに、そして、そういう変項xi全てに着目しましょう。ここで今、そういう変項xiを1つ任意に選んで着目します。この変項xiが限量記号∀xkないし∃xkの作用域内になければいい。ただし、変項xkは項tにおける任意の変項ですよ。


114ページ

2)の証明がよく分からないのですが、1)を利用するようですので、私はここまでは理解出来ました:

AはS∪Γの全てのモデルの下で真である
任意の解釈Ωに対して、[ ΩがS∪Γのモデル ⇒ Ω⊨A ]
任意の解釈Ωに対して、[ ΩがSのモデルかつ任意のC∈Γに対してΩ⊨C ⇒ Ω⊨A ]
Sの任意のモデルΩに対して、[ 任意のC∈Γに対してΩ⊨C ⇒ Ω⊨A ]
Sの任意のモデルΩに対して、[ 任意のC∈Γ、Ωの任意の点列σに対してΩ,σ⊨C ⇒ Ωの任意の点列σに対してΩ,σ⊨A ]
ここからどうやって
Sの任意のモデルΩ、Ωの任意の点列σに対して、[ 任意のC∈Γに対してΩ,σ⊨C ⇒ Ω,σ⊨A ]
への同値性に議論をつなげればいいのかが分かりません

英文和訳…ニュアンスの取り方

「Dialogue Vocabulary 1800 New Edition」459ページ

The best chance for a fair trial is still to have 12 honest and impartial people
公正な裁判を行うには、やっぱり12人の善良で偏見の無い人々が必要なの。

 

述語部分の意味を取るのは苦労しませんが、主語の意味を取るのは日本人にはちょっと難しい。

「公正な裁判のための最良の機会って何だろう?」となって詰まる。
座学だけではこういう英語表現からニュアンスを読み取る力はつけにくいなあと感じる。

ピンときた言葉

「不愉快なことには理由がある」橘玲 182ページ

日本語の複雑な尊敬語や謙譲語は、お互いの身分を常に気にしなければならなかった時代の産物です。それが身分の違いの無い現代まで残ってしまったため、命令形は全人格を否定する"上から目線"になってしまいました。日本語は、フラットな人間関係に向いていないのです。


「大世界史 現代を生き抜く最強の教科書」池上彰佐藤優 97ページ

文明国において、テロによって現状を打破する試みを褒め称えることは、通常、考えられません。しかし、韓国は「恨」の文化といわれるように、教科書にも怒りに突き動かされてつくられている。この教科書でいくら大学入試の勉強をしても、国際的には殆ど通用しないでしょう。


言ってはいけない 残酷すぎる真実橘玲、28ページ

マスメディアが親の責任を問うのは、子どもの人権に配慮しているからではない。不吉なことが起こると、人々は無意識のうちに因果関係を探し、その原因を排除しようとする。異常な犯罪がなんの理由もなく行われる、という不安に人は耐えられないから、子ども(未成年者)が免責されていれば親が生贄になるのだ。


言ってはいけない 残酷すぎる真実橘玲、48ページ

私たちは、運動能力や音楽的才能に人種間の違いがあることをごく普通に受け入れている。

それに対して知能の格差は差別に直結し、政治的な問題となって激しい論争を生む。なぜなら私たちが暮らす「知識社会」が、人の様々な能力の中で知的能力(言語運用能力と論理数学的能力)に特権的な価値を与えているからだ。


言ってはいけない 残酷すぎる真実」橘玲、78ページ

ハヌマンラング-ル(オナガザル科)では、メスの子連れ集団を乗っ取ったオスが真っ先にするのは、月齢6~7ヶ月以下の子ザルを全て殺すことだ。授乳中のメスは排卵せず、次の子どもを妊娠出来ないからで、授乳を終えるのを待つより赤ん坊を殺して自分の子を産ませた方が"合理的"なのだ(そのため、生殖を妨げない8ヶ月齡以上の若いサルには何の興味も示さない)。

赤ん坊殺しの背後には、それによって繁殖度を高めようとする進化のプログラムが隠されているのだ。


言ってはいけない 残酷すぎる真実」橘玲、86ページ

女性がレイプされると、利害関係を持つ男性(とりわけ夫)の怒りは、レイプ犯はもちろんの事ながら、被害者である女性にも向けられる。実はレイプを装っているだけで、合意の上でのセックスではないかと疑うのだ。その結果、夫からの資源の提供を打ち切られると、レイプ被害者は生きていけなくなってしまう。そのように考えれば、レイプによって激しく傷ついた姿を見せることで夫の嫉妬や疑いを交わすように進化したとしても不思議ではない。

そしてこの仮説は、被害者に対する暴力の程度と心理的な苦痛に負の相関があることで補強される。暴力的に関係を迫られた証拠が体に残っている方が、レイプされた女性の精神的苦痛が少ないことが分かっているが、これは一方的なレイプだった(合意の上でのセックスではない)事を夫に信じてもらいやすくなるからだろう。


言ってはいけない 残酷すぎる真実」橘玲、87ページ

なぜ嫉妬に駆られた男は妻や恋人を犯すのか?

彼が"進化論的に合理的"であるとすれば、その目的は自分の精子を子宮に注入することだ。そうすれば、ライバルの精子に打ち勝つ可能性が多少はあるのだから…。


言ってはいけない 残酷すぎる真実」橘玲、92ページ

イギリスの経済学者ニック・ポータヴィーは、様々な「幸福」を金銭に換算している。それによると、家族と死別した時の悲しみを埋め合わせる賠償額は、配偶者が5000万円、子どもが2000万円に対し、兄弟はわずか16万円で友人(130万円)よりも少ない。


言ってはいけない 残酷すぎる真実」橘玲、115ページ

イギリスでは、(中略)2003年に「社会防衛のための拘禁刑(IPP)」プログラムが発足した。これは、以前なら終身刑にならない被告を再犯の危険度によって無期懲役にする制度で、2010年までに5828人がIPP終身刑を宣告され、そのうち2500人は本来の犯罪の刑期を勤め終えているものの釈放されたのは94人と4%に過ぎない。

さらにイギリスでは200年に、精神科医たちの意義を無視して「危険で重篤人格障害(DSPD)」に対する法律が制定され、その法の下で危険だと考えられる人物を、たとえ何ら犯罪を犯していなかったとしても、警官が逮捕し、検査と治療のためと称して施設に送ることが出来るようになってもいる。


言ってはいけない 残酷すぎる真実」橘玲、148ページ

私たちは、容姿で給与や昇進を決めるのは企業や経営者による差別だと考える。これは間違いではないが、企業がこうした差別をする理由は、営業職や接客業において、美形の従業員の方が明らかに収益性が高いからだ。市場原理によって、彼らは正当な報酬を得ているだけなのだ。

なぜこのようなことが起きるかというと、それはもちろん、消費者が美形の相手から商品を買ったり、サービスを受けることを好むからだ。

私たちは「美形格差」を批判するが、その差別を生み出しているのも私たちなのだ。


言ってはいけない 残酷すぎる真実」橘玲、204ページ
科学的には意味がないものの、誰もがその存在を疑わない仮想感覚をスピリチュアルセンスと名付けよう。

高貴な血への崇拝と穢れた血の忌避は、人類に普遍的なスピリチュアルセンスだ。しかし20世紀半ば以降は、人種差別やホロコーストの悲劇を経て、「穢れた血が子どもに引き継がれる」という考え方はタブーとされた。だったら高貴な血の神話も一緒に捨て去らなければならないが、そうすると王制(天皇制)の根拠がなくなってしまうので、こちらの方は残すことにした。こうして、「高貴な血は子々孫々まで引き継がれるが、穢れた血は遺伝しない」という何ともご都合主義的なイデオロギーが「政治的に正しい」とされることになったのだ。


言ってはいけない 残酷すぎる真実」橘玲、228ページ

ハリスの集団化社会論は発達心理学に大きな衝撃を与えたが、"主流派"の中には未だに子育ての重要さを説く人たちも多い。

それは全ての親が、(自分の努力は報われるという)「子育て神話」を求めているからでもある。

 

 

サイドエフェクト 全内容(完全ネタバレ)

目の健康の為に、本記事は背景色=黒、文字色=白にしています。
役名 性別 俳優名 補足
マーティン   中盤で殺される
エミリー   女主人公。最後は負け=精神病院収監。
途中でオッパイとマン毛見れる
バンクス ジュード・ロウ 男主人公。最後に勝つ。
シーバード キャサリン・ゼタ・ジョーンズ 女脇役。エミリーとの共犯。最後に逮捕

本編

本編のストーリー進行に沿って、全内容を纏めます。
また、角括弧[]内の文章は物語の核心部について伏線を解説しています。


インサイダー取引で服役していたマーティンが出所する。
夫マーティンが服役していたという事で妻エミリーは精神的に病んでいた。
夫マーティンの出所直後にエミリーとセックスをする。この時のエミリーの顔は冷めた顔だった。 [これが後々への伏線。この時点で夫を殺す計画を始めていたのだろう。]

エミリーがある日帰宅途上、駐車場で壁に車ごと激突する。シートベルトは着用。 目撃者である老人の通報で病院に搬送される。 [後々、エミリーがマーティンを殺した際に、エミリーのおかしさをこの老人に証言させる為に、事故を作った。]
当直で診察に当たった精神科医バンクスは、事故のブレーキ痕が無い事からエミリーに精神の病がある事を疑い、 エミリーはバンクスを主治医にお願いする。
[こんな形でバンクスと出会う事を計画していたのか?不自然だ]

職場でもエミリーの様子のおかしさが見られる。[これは演技の一部。周囲にメンヘラだと印象づける。]

エミリーがバンクスの診察を受ける。以前のメンヘラの時に精神科医シーベルトに受診していたと打ち明ける。

バンクスがシーベルトに面会し、エミリーの過去の病歴を聞き出す。 (シーベルトは過去にエミリーにウェルブトリン・ブロザック・フェクサーを処方したとの事。 バンクスはエミリーにゾロフトを処方したとの事)
この場で、シーベルトがバンクスに最新の薬アブリクサを紹介。 [既にここから、シーベルト&エミリーの共謀作戦が始まっている。]

マーティンが誘われたパーティーにエミリーも参加。 ここでもエミリーがメンヘラ症状発症で周囲が引く。 [マーティンだけで無く、その知り合いにまで、エミリーのメンヘラっぷりを植え付ける作戦]

電車のホームの場面。フラフラと歩いて、警察に助けられる。

バンクスが妻と会話(β遮断薬投与)。 メンヘラ状態のエミリーが割り込んできて、診察へ。
エミリーの要望に応じ、アブリクサが処方される。 同僚のジュリアも服用していて効くらしいから、とのこと。[アブリクサ要求は作戦行動]

バンクスが偉いさんと食事。製薬関係で大金が動いてる話をしている。

エミリーとマーティンが激しいセックス。オープニングのセックスとの対比効果。 マーティンはアブリクサのおかげだとして喜ぶ。
が、同時にエミリーのハイテンションの様子も現れる。 [後々の殺人をアブリクサによるものだと周囲に思わせる伏線]

エミリー・マーティン夫妻がバンクスへ受診。 エミリーの薬を買えるようマーティンが要望するが、エミリーが拒否。 [アブリクサ服用→マーティン殺害が計画だから、アブリクサは譲れない]
結局、アブリクサは変えず、夢遊病を抑える薬も処方される。

エミリー、会社に出社せずクビの危機。[会社にエミリーのおかしさを印象づける]

マーティン、帰宅直後にエミリーに刺し殺される。

警察がエミリーに事情聴取。エミリーは「自分が寝ていたが目が覚めた時にはマーティンは死んでいた」と証言。

バンクスが警察に事情聴取される。警察がエミリーの不可解な行動をバンクスに伝える。 そこから、バンクスは「エミリーは薬の副作用で夢遊病だったのじゃ無いか」との推測を述べる。
「エミリーは犯人か」「エミリーは薬物治療の被害者か」どっちの出方を取るかを警察がバンクスに突きつける。

バンクス、シーバードやマーティンの母親の弁護士に面会して心神喪失無罪の方向の話を聞く。

エミリー、マーティンの母親と面会し手記を手渡す。 マーティンの母親がその手記をテレビで朗読。
これにて「薬の副作用のせいで殺人をしてしまった」と世間に広がってしまう。[これもエミリーの作戦。]
そのテレビで、担当医(バンクス)の責任にも触れられる。

調査委員会がバンクスの元を尋ね、資料押収&尋問を行う。

バンクス夫妻の夫婦関係にひびが入りかけている様子。

エミリーの殺人事件の裁判。駐車場にいた老人や駅にいた警察がエミリーの様子を証言。
弁護士・検察・裁判官で心神喪失の方向で調整。

バンクス・弁護士がエミリーにそれを報告。暫く精神病院に入院させる。
バンクスがエミリーに「本件は状況と薬のせいだ」と慰めるも、 エミリーは「だったらアブリクサを処方したバンクスの責任だ」と反論。
[バンクス潰しの布石を打っている]

前記の偉いさんとの食事のメンバーがバンクスを訪れる。本件でアブリクサの信用が暴落したとかキレられる。
そこで、バンクスが研究医の頃に受け持ったアリソン・フィンからのやっかいな手紙が来た事を打ち明けられる。

バンクス家。バンクスは、アリソン・フィンとは浮気はしてないと妻に弁解。

バンクス家。バンクスがアブリクサを調べた所、 シーバードが「アブリクサ多量摂取に伴う睡眠時異常行動」なる論文を書いていた事が判明。 バンクス「何でこんな薬を俺に勧めたんだ?」。

シーバード家。
シーバード「何度もエミリーの症状が現れていたのに、処方を続けたのはバンクス、お前だ」
バンクス「何故エミリーの睡眠時歩行が1度じゃ無い事を知っている?」
シーバード「ニュースで見た」
[シーバードがエミリーとの計画=詐病をうっかりポロリしそうになったけど、誤魔化した]

バンクス、駐車場にいた老人から、エミリーはシートベルトを着用していた事を聞く。 バンクスに疑念が沸き、独自調査を始める。
エミリーが勤めていた会社にはジュリアなる同僚はいない事が判明。

バンクスがエミリーを訪問し、ジュリアの事を聞く。エミリー「ジュリアはバーで一緒だった人」

バンクス、取引先の担当者(デラトレックス社)に新薬の試験を降りさせられる。[エミリーらの計画通り]
担当者「アブリクサの事件で我が社は儲けた」

バンクス家。エミリーの計画に感づく。
「株価の暴落は予測されていた。マーティン死亡後のサドラー・ベネルクス社の株価が下がっているが、 アジライル社の株価は上がってる」

バンクスがエミリーを訪問。
だまし討ち(アミタールテスト)をする為に塩水を注入。 これを薬と称し「これが効くと落ち着く。判事に見せる。効いたら私の質問に答えろ」と言い聞かす。
騙されたエミリーは気を失う演技をする。
一部始終を撮影していたバンクスはこれを検察に報告するも、評決はもう覆らないとして突っぱねられる。

バンクス、エミリーの施術にベルト着用を指示。
後日、シーバードを訪問。シーバードはこれを知っていた。彼女(エミリー)に呼ばれたからだ。 [バンクスはまだシーバードの本性には気づいていない]

シーバード、バンクスがエミリーと診察室以外で会っていた写真をバンクス宅に送りつける。

バンクスの妻が怒って家出。

シーバードとバンクスが喫茶店でお茶。シーバードがバンクスをハメようとしている本性を現す。
バンクス、全てを悟る。つまり、エミリーとシーバードがぐるになってバンクスをはめた。
バンクス「金は今のうちに使っておけ、取り替えされる前に」[ベネルクス社の株価暴落でシーバードがボロ儲けしている]
シーバード「何の話だ」
バンクス「エミリーに聞け。俺は全部聞いたぞ。お前には会いたくないそうだ」 [エミリーとシーバードの信頼関係に疑念を沸かせるバンクスのはったり]
シーバード「早くエミリーを(精神病院から)出させろ」

バンクス、エミリーの病院に行き、「落ち着きが無いようだから、電話も面会もさせるな」と指示。バンクスの反撃。
エミリーに脅しを掛けつつ、バンクスへの協力とシーバード逮捕に協力させる。
つまりこうだ。
鬱病患者に電流治療の様子をエミリーに見させる。 バンクス、「正常な人間が受けるとどうなるか分からない」と言い添えてビビらす。
バンクス、シーバードの留守電「エミリーの資料が届いたかしら?」をエミリーに聞かせる。 これでエミリーには「シーバードが私を裏切ったかも知れない」との疑念が沸く。
エミリー、バンクスに計画を見抜かれたと感じ「診察担当から外れろ」と要求。
バンクス「お前はシーバードから取り分を多く貰いすぎている」 「ショック療法はシーバードのアイデアだ。記憶を潰した方がバンクス・シーバードには都合が良いからな」 ……”シーバードとバンクスが組んでエミリーをはめようとしている"とエミリーに思い込ませる。
バンクス、シーバードを精神病院に呼び寄せる。
バンクス「エミリーが裁判長に会いたがっている。シーバードの事を話すかも知れないし、 証券取引委員会の調査依頼かも知れない」 ……シーバードに対し"協力しないと潰すぞ"というほのめかし
シーバード「エミリーを退院させるなら協力する」
シーバードとバンクスが握手。
離れた所からこの様子をエミリーが見ていた。エミリーにはバンクスとシーバードがグルになっているように見える。

エミリー、バンクスに投薬を増やされそうになり、観念して白状する。
経緯はこうだ。
夫マーティンが逮捕されて鬱になった。
その後シーバードに診察を受ける。
そこでエミリーがシーバードを口説いて計画に乗らせた。
エミリーは詐病を学んだ。
シーバードにはマーティンから教わった金融取引を伝授した。
シーバード名義で株を買った。
マーティンへの殺意は前からあった。
エミリーに処方箋を出す人であれば利用する精神科医はバンクスでなくてもよかった。
アブリクサは服用したが、それ以外の薬は飲まなかった。

バンクス「シーバードはエミリーが裏切ると思っている」…揺さぶりを掛ける。
エミリー、退院できるようにバンクスに協力を持ちかける。シーバードをはめる為だ。

裁判で、エミリーが一時的に退院できる。

エミリー、シーバード宅を訪問。
シーバードはエミリーが裏切っているとも知らず口を滑らした所を全部録音され、逮捕される。

エミリー、バンクス宅を訪問。
バンクス、エミリーに廃人化させる薬を処方。エミリー激怒。
バンクス「落ち着きが無い。法律に従って君を病院に戻す」
エミリー、確保される。

バンクス、元の家庭を取り戻す。
エミリー、精神病院で廃人になる。