$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} $

復習:可算について

$X$ を集合とする。 $X {\rm は有限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $\exi n \in {\mathbb N} \; \exi {\rm 可逆写像} f : n \rightarrow X$ $X {\rm は無限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $X {\rm は有限集合ではない}$ $\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi…

那須川天心vsフロイド・メイウェザーのスペシャルエキシビジョンマッチについての感想

2018年12月31日、那須川天心 vs フロイド・メイウェザーのスペシャルエキシビジョンマッチ(3分3ラウンドのボクシングルール)が行われたのを見た。 取りあえずメディアに出ていた情報で気になったモノを纏めるとこんな感じだ: 試合は、ボクシングルールのスペ…

Bernsteinの定理

$X,Y,I$ を集合とする。 $i \in I$ に対し、$X_i \subset X, Y_i \subset Y, {\rm 全単射}f_i : X_i \rightarrow Y_i$ とする。 $X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i {\rm かつ} Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i \Rightarrow \coprod\limits_{i \in I…

Compactについて多少の命題

$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。 $X {\rm はcompact}$ と仮定する。 $\all f : X \rightarrow Y \;\parenth{ f {\rm は連続} \Rightarrow f {\rm は一様連続} }$ が成り立つ。 $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。 ${\cal S} :\equiv \…

距離付け可能定理について

$(X,d)$ を距離空間とする。 $\all U \in {\cal O}_d \; \all x \in U \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \;\parenth{ x \in } B_{\varepsilon}(x) \subset U$ が成り立つ。 $x \in U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。 $\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \s…

Compact、点列Compact、完備かつ全有界の同値性

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。 $X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ} :\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O} \; \parenth{ {\cal U} {\rm は被覆} \Rightarrow \exi {\rm 可算} {\cal V} \subset {\cal U} \; {\cal V} {\rm は被覆} }$ …

全有界について多少の命題

$(X, d)$ を距離空間とする。 ${\rm diam} {\rm \ or \ } {\rm diam}_X : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow [0,\infty], S \mapsto {\rm sup}\Set{ d(x,y) }{ x,y \in S }$ $X {\rm はtotally \ bounded(全有界)}$ $:\Leftrightarrow$ $\all \v…

連結性について多少の命題

$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。 $f : X \rightarrow Y$ を連続写像とする。 $\all A \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \Rightarrow f(A) {\rm は連結} }$ が成り立つ。 [対偶法]$f(A) {\rm は連結でない}$ と仮定する。 $\exi …

距離空間の完備化

$(X,d)$ を距離空間とする。 $\exi {\rm 距離空間}(X^*,d^*) \; \exi f:X \rightarrow X^* \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & (X^*,d^*) {\rm はcomplete} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii)} & f {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii…

Urysohnの補題

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $X$は$T_4$ $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \; \parenth{ A \subset U \Rightarrow \exi V \in {\cal O} \; A \subset V \land {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。 $X$は$T_4$ $\Lef…

$T_3$空間かつ第2可算ならば$T_4$空間

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $X$は$T_3$空間 $\Leftrightarrow$ $\all x \in X \all U \in {\cal O} \;\parenth{ x \in U \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。 $X$は$T_3$空間 $\Leftrightarrow \all …

位相空間の一点コンパクト化

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $\all A \subset X \; (X \backslash A)^\circ \equ X \backslash {\overline A}$ である。 $(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $\all A, B \subset X \; \parenth{ A {\rm は閉集合かつ} B {\rm はCompact} \Rightarrow …

Zornの補題と同値な命題(集合論編)

Zornの補題と同値な命題の中でも、特にZornの補題と形が似ているものの同値性を証明する。 $X$を集合とする。 $C$を$X$の部分集合に関する性質とする。 $C$は有限的な性質 $:\Leftrightarrow$ $\all Y \subset X \left[\; Y \rm{は性質} C \rm{を持つ} \;\Le…

胎児が障害を持っていると分かったのに産む理由が分からない

思った事を書くだけ 出産前に何らかの検査を受ける事で事前に子どもが障害児かどうかが分かるらしい。 それを事実と仮定した上で、昔から何度も思い続けてきてる事なんだが、なんで自分の子どもが障害児なのにわざわざ産もうと思ったのかが、…そういう親が居…

${\rm S}_n^m$-定理を自分なりに纏める。

$\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$ $S_n^m$-定理を自分なりに纏める。 $\lambda y_1 \cdots y_m x_1 \cdots x_n \; f(y_1,\cdots,y_m,x_1,\cdots,x_n)$を$(m+n)$-変数の帰納的な部分関数とする。 この関数$f$のゲーデル数を$e$とす…

形式的体系${\cal R}$を算術化する。

形式的体系${\cal R}$を算術化する。 $\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$ ${\cal R}$の基本記号のゲーデル数 定記号のゲーデル数: $\godel{{\mathbf 0}} \equ 3、\godel{^\prime} \equ 5、\godel{\equ} \equ 7$ 変数および関数記号…

形式的体系${\cal R}$を定義する

今週のお題「最近おいしかったもの」} 形式的体系${\cal R}$を定義する。 (参考文献:廣瀬健、「帰納的関数」、75ページ~81ページ) ${\cal R}$の基本記号 定記号: 対象記号として、${\mathbf 0}$ (特定の)関数記号として、$^\prime$ 述語記号として、$\equ$ …

Zornの補題

Zornの補題を証明する。 まずは用語の定義から。 $\left( X, \leq \right)$ を順序集合とする。 $c \in X, T \subset X$ とする。 $c$ は、$T$のupper bound(上界) $:\Leftrightarrow$ $\all a \in T \; a \leq c$ $T$ は、totally ordered(全順序) $:\Leftr…

復習:開集合系の基底、直積位相、基本近傍系

開集合系の基底について復習する。 $(X, {\cal O}_X)$ を位相空間とする。 ${\cal U} \subset {\cal O}_X$ とする。 ${\cal U}$は${\cal O}_X$の基底である $:\Leftrightarrow$ ${\cal O}_X \equ \Set{ \bigcup {\cal V} }{ {\cal V} \subset {\cal U} }$ $\…

${\rm Tychonoff}$の定理

まず、本定理の証明に必要な命題を述べておく。 $\left( X, {\cal O}_X \right)$ を位相空間とする。 $x \in X$ とする。 ${\mathbb V}^*(x)$ を $x$ の近傍系とする。 ${\mathbb V}^*(x)$ を $x$ の基本近傍系とする。 $\all A \subset X \;\parenth{ x \in…

CompactかつHausdorffならば正規

位相空間$\left( X,{\cal O}_X \right)$に対し、 ${\cal C}_X :\equiv \Set{ A \subset X }{ X \backslash A \in {\cal O}_X }$ と置く。 $\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。 $A \subset X$ とする。 以下は同値である: $A$はCompact $\a…

ScanSnap iX500のスキャンの仕上がり具合についてのメモ

私はScanSnap iX500で自炊をもう既に400冊ぐらいしています。白黒(でスキャンしても構わない)書籍が90%、グレーが5%、カラーが5%という内訳でしょうか。 その経験からiX500でのスキャンの仕上がり具合について少し経験がついたのでメモを残しておこうと思…

安井邦夫、「現代論理学」、現代思想社 の分からない所メモ 第2弾

p188の$\fbox{15}$が分からない! $\fbox{15}$ S(x,t,u):「(x)$_0$は、表現(x)$_1$において、変項uの自由な表れすべてに項tを代入するとき、そこに得られる表現である。」 S(x,t,u)は次の関係で定義される。 \begin{array}{ll} {VE(u) \amp TM(t) \amp} \{ \\ …

読書中にピンときた言葉 第2弾

笠原敏彦、「ふしぎなイギリス」、講談社現代新書、40ページ バッキンガム宮殿前の大通り「ザ・マル」。ここを進むウィリアム王子とキャサリン妃を載せたオープン馬車はまさに、シンデレラに登場する馬車を想起させた。ベアスキンの黒い帽子をかぶった近衛兵…

数学的帰納法の定理、最小値の定理、累積帰納法の定理 の同値性

数学的帰納法の定理 A(n)を自然数nを変数とする論理式とする。この時次が成り立つ: \begin{array}{l} A(0) \Rightarrow \left[ \forall n \left( A(n) \Rightarrow A(n+1) \right) \Rightarrow \forall n A(n) \right] \end{array} これから直接次の定理が…

論理式の一意性記号について

論理式の一意性記号について以下のように定義する: \begin{align} \exists!xA(x) \equiv \exists x \left[ A(x) \land \forall y \left( A(y) \Rightarrow x = y \right) \right] \end{align} この時、$(x,y)$が組として一意に存在する意味で$\exists!x \ex…

安井邦夫、「現代論理学」、現代思想社 の分からない所メモなどなど

div.cite { border: solid white 1pt !important; border-radius: 5px !important; margin-bottom: 3pt !important; padding: 5px !important; --> 41ページ このBは無論、LPの公理にAを公理シェーマとして加えた公理系(これをTとする)において証明可能で…

英文和訳…ニュアンスの取り方

「Dialogue Vocabulary 1800 New Edition」459ページ The best chance for a fair trial is still to have 12 honest and impartial people公正な裁判を行うには、やっぱり12人の善良で偏見の無い人々が必要なの。 述語部分の意味を取るのは苦労しませんが、…

ピンときた言葉

「不愉快なことには理由がある」橘玲 182ページ 日本語の複雑な尊敬語や謙譲語は、お互いの身分を常に気にしなければならなかった時代の産物です。それが身分の違いの無い現代まで残ってしまったため、命令形は全人格を否定する"上から目線"になってしまいま…

サイドエフェクト 全内容(完全ネタバレ)

サイドエフェクト 全内容(完全ネタバレ) 本編のストーリー進行に沿って、全内容を纏めます。