東京都の｢公衆に著しく迷惑をかける暴力的不良行為等の防止に関する条例｣いわゆる迷惑防止条例の第二条がいい感じに読みづらいから組み直してみよう。 原文はこちら：第二条 何人も、乗車券、急行券、指定券、寝台券その他運送機関を利用し得る権利を証する…

$\newcommand{\angle}[1]{{\left\langle{#1}\right\rangle}}$ $\newcommand{\card}[1]{{\left|{#1}\right|}}$ 補題 $\angle{a, \prec}$を整列集合とする。 $f : \gamma \to a \text{は順序同型写像}$とする。 $\all a_0 \subseteq a \; \exi \gamma_0 \;\; f…

$\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}$ 今回の記事の内容は、竹内外史,Wilson M.Zaring共著｢Axiomatic Set Theory｣(1973年)の第3章"Boolean σ-Algebras"の丸々まとめである。 $X$をブール代数とする。 $I \subseteq X$をidealとする。 $X \text{は}\sigm…

$(X, \leq)$を順序集合とする。 次の定義をする: $\text{Uf}(X)$ $:\equ$ $\Set{ F \subseteq X }{ F \text{は}X\text{の極大filter} }$ $\text{Ngb} : X \rightarrow \text{Pow}( \text{Uf}(X) ), x \mapsto \Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ x \in F }$ $\math…

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。 $X \text{はc.c.c.} :\Leftrightarrow \all A \subseteq \;\bracket{ \all x, y \in A \;\parenth{ x \nequ y \Rightarrow x \cdot y \equ 0 } \Rightarrow A \text{は高々加算} }$ $\text{c.c.c.}$とはcounta…

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。 $\phi \nequ A \subseteq X$とする。 $A$は$\text{filter}$ $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & 1 \in A \\ (2) & \all a, b \in A \;\; a \cdot b \in A \\ (3) & \all a \in A \;…

下図の｢1→2→3｣の順で議論を進めていく(定理の番号に対応しているわけではない)： ${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}*[white]\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ ブール代数 \ar@1@<1ex> `d/2pt[dr]_{3} `r/2pt[r] [r] \ar@1{^{(}->} [r] & 完備ブー…

自然数論の形式的体系${\cal P}$を定義する。 記号 対象記号：${\mathbf 0}$ 関数記号：$^\prime$ 論理記号：$\neg$、$\lor$、$\all$ 補助記号：$($、$)$ 変数記号：おのおのの型ごとに、それぞれ可算個無限個ずつの変数を用意する。 $1$階のタイプの変数記…

(原始)帰納的述語 $P(x_1, \cdots, x_n)$は自然数上で定義された述語とする。${\cal D}$は関数の有限集合とする。 $P$は${\cal D}$-帰納的述語 $:\Leftrightarrow$ $P$の表現関数$\chi_P$は${\cal D}$-帰納的関数 ${\cal D} \equ \phi$の時は、$P$を帰納的述…

table.truth_table th{ border: solid 1px white; border-bottom: solid 4px white; padding: inherit; } article.my_article div.centering > table.truth_table td{ border:solid 1px white; margin: 2px; } --> 形式的体系とは、(形式主義の立場では)有限…

Zermeloの整列定理 $X$を集合とする。 $\exi \leq \; \subseteq X \times X \; (X, \leq) {\rm は整列集合}$ が成り立つ$^{AC}$。 $\exi {\rm 整列集合} Y \; \exi {\rm 全単射} f : Y \rightarrow X$ を証明すれば良い。それをもって $X$ を整列集合と出来…

$X$ を集合とする。 $X {\rm は有限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $\exi n \in {\mathbb N} \; \exi {\rm 可逆写像} f : n \rightarrow X$ $X {\rm は無限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $X {\rm は有限集合ではない}$ $\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi…

2018年12月31日、那須川天心 vs フロイド･メイウェザーのスペシャルエキシビジョンマッチ(3分3ラウンドのボクシングルール)が行われたのを見た。 取りあえずメディアに出ていた情報で気になったモノを纏めるとこんな感じだ： 試合は、ボクシングルールのスペ…

$X,Y,I$ を集合とする。 $i \in I$ に対し、$X_i \subset X, Y_i \subset Y, {\rm 全単射}f_i : X_i \rightarrow Y_i$ とする。 $X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i {\rm かつ} Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i \Rightarrow \coprod\limits_{i \in I…

$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。 $X {\rm はcompact}$ と仮定する。 $\all f : X \rightarrow Y \;\parenth{ f {\rm は連続} \Rightarrow f {\rm は一様連続} }$ が成り立つ。 $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。 ${\cal S} :\equiv \…

$(X,d)$ を距離空間とする。 $\all U \in {\cal O}_d \; \all x \in U \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \;\parenth{ x \in } B_{\varepsilon}(x) \subset U$ が成り立つ。 $x \in U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。 $\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \s…

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。 $X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ} :\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O} \; \parenth{ {\cal U} {\rm は被覆} \Rightarrow \exi {\rm 可算} {\cal V} \subset {\cal U} \; {\cal V} {\rm は被覆} }$ …

$(X, d)$ を距離空間とする。 ${\rm diam} {\rm \ or \ } {\rm diam}_X : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow [0,\infty], S \mapsto {\rm sup}\Set{ d(x,y) }{ x,y \in S }$ $X {\rm はtotally \ bounded(全有界)}$ $:\Leftrightarrow$ $\all \v…

$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。 $f : X \rightarrow Y$ を連続写像とする。 $\all A \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \Rightarrow f(A) {\rm は連結} }$ が成り立つ。 [対偶法]$f(A) {\rm は連結でない}$ と仮定する。 $\exi …

$(X,d)$ を距離空間とする。 $\exi {\rm 距離空間}(X^*,d^*) \; \exi f:X \rightarrow X^* \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & (X^*,d^*) {\rm はcomplete} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii)} & f {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii…

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $X$は$T_4$ $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \; \parenth{ A \subset U \Rightarrow \exi V \in {\cal O} \;\; A \subset V \land {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。 $X$は$T_4$$\Le…

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $X$は$T_3$空間 $\Leftrightarrow$ $\all x \in X \all U \in {\cal O} \;\parenth{ x \in U \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。 $X$は$T_3$空間 $\Leftrightarrow \all …

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $\all A \subset X \; (X \backslash A)^\circ \equ X \backslash {\overline A}$ である。 $(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $\all A, B \subset X \; \parenth{ A {\rm は閉集合かつ} B {\rm はCompact} \Rightarrow …

Zornの補題と同値な命題の中でも、特にZornの補題と形が似ているものの同値性を証明する。 $X$を集合とする。 $C$を$X$の部分集合に関する性質とする。 $C$は有限的な性質 $:\Leftrightarrow$ $\all Y \subset X \left[\; Y \rm{は性質} C \rm{を持つ} \;\Le…

思った事を書くだけ 出産前に何らかの検査を受ける事で事前に子どもが障害児かどうかが分かるらしい。 それを事実と仮定した上で、昔から何度も思い続けてきてる事なんだが、なんで自分の子どもが障害児なのにわざわざ産もうと思ったのかが、…そういう親が居…

$\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$ $S_n^m$-定理を自分なりに纏める。 $\lambda y_1 \cdots y_m x_1 \cdots x_n \; f(y_1,\cdots,y_m,x_1,\cdots,x_n)$を$(m+n)$-変数の帰納的な部分関数とする。 この関数$f$のゲーデル数を$e$とす…

形式的体系${\cal R}$を算術化する。 $\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$ ${\cal R}$の基本記号のゲーデル数 定記号のゲーデル数： $\godel{{\mathbf 0}} \equ 3、\godel{^\prime} \equ 5、\godel{\equ} \equ 7$ 変数および関数記号…

今週のお題「最近おいしかったもの」} 形式的体系${\cal R}$を定義する。 (参考文献：廣瀬健、｢帰納的関数｣、75ページ～81ページ) ${\cal R}$の基本記号 定記号： 対象記号として、${\mathbf 0}$ (特定の)関数記号として、$^\prime$ 述語記号として、$\equ$ …

Zornの補題を証明する。 まずは用語の定義から。 $\left( X, \leq \right)$ を順序集合とする。 $c \in X, T \subset X$ とする。 $c$ は、$T \text{のupper bound(上界)}$ $:\Leftrightarrow$ $\all a \in T \; a \leq c$ $T$ は、$\text{totally ordered(…

開集合系の基底について復習する。 $(X, {\cal O}_X)$ を位相空間とする。 ${\cal U} \subset {\cal O}_X$ とする。 ${\cal U}$は${\cal O}_X$の基底である $:\Leftrightarrow$ ${\cal O}_X \equ \Set{ \bigcup {\cal V} }{ {\cal V} \subset {\cal U} }$ $\…