$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} $

CompactかつHausdorffならば正規

位相空間$\left( X,{\cal O}_X \right)$に対し、
${\cal C}_X :\equiv \Set{ A \subset X }{ X \backslash A \in {\cal O}_X }$
と置く。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。
$A \subset X$ とする。 以下は同値である:
  1. $A$はCompact
  2. $\all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ A \cap \bigcap {\cal D} \equ \phi \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \equ \phi }$
  3. $\all {\cal S} \subset {\frak P}(X) \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; A \cap \bigcap {\cal T} \nequ \phi \Rightarrow A \cap \bigcap \Set{ {\overline S} }{ S \in {\cal S} } \nequ \phi }$
[証明]
  • $A$はCompact
    $\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O}_X \parenth{ A \subset \bigcup {\cal U} \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal V} \subset {\cal U} \; A \subset \bigcup {\cal V} }$
    $\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O}_X \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal V} \subset {\cal U} \; A \cap \parenth{ X \backslash \bigcup {\cal V} } \nequ \phi \Rightarrow A \cap \parenth{ X \backslash \bigcup {\cal U} } \nequ \phi }$
    $\Leftrightarrow \all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \nequ \phi \Rightarrow A \cap \bigcap {\cal D} \nequ \phi }$
    $\Leftrightarrow \all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ A \cap \bigcap {\cal D} \equ \phi \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \equ \phi }$
  • (3)$\Rightarrow$閉集合での有限交叉性の場合は自明なので、 閉集合での有限交叉性の場合$\Rightarrow$(3) を示す。
  • ${\cal S} \subset {\frak P}(X)$ とし、$\all {\rm 有限部分集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; A \cap \bigcap {\cal T} \nequ \phi$ を仮定する。
  • $\all {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal S} \; \phi \neq A \cap \bigcap {\cal E} \subset A \cap \bigcap \Set{ {\overline E} }{ E \in {\cal E} }$ なので、
    閉集合での有限交叉性の場合より、$A \cap \bigcap \Set{ {\overline S} }{ S \in {\cal S} } \nequ \phi$ である。
$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。
$X$はHausdorff $\Leftrightarrow \all x \in X \; \bigcap \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ } \equ \{x\}$ が成り立つ。
  • $X$はHausdorff
    $\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \nequ y \Rightarrow x \in \exi U \in {\cal O}_X \; y \in \exi V \in {\cal O}_X \; U \cap V \equ \phi \;\right]$
    $\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \nequ y \Rightarrow x \in \exi U \in {\cal O}_X \; y \in ( X \backslash U )^\circ \equ X \backslash {\overline U} \;\right]$
    $\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \in \all U \in {\cal O}_X \; y \in {\overline U} \Rightarrow x \equ y \;\right]$
    $\Leftrightarrow \all x \in X \; \bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \equ \{x\}$
  • $\all x \in X \; \bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \equ \bigcap \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ }$ が成り立つ。
    • $\subset$$A \in {\cal C}_X, x \in A^\circ$なる任意の$A$に対して、 $\bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \subset {\overline{(A^\circ)}} \subset {\overline A} \equ A$ である。
    • $\supset$ $\Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \subset \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ }$ である。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。
$X$がCompactかつHausdorffならばNormal(正規)である。
  • $X$がHausdorffならば$T_0$であることは既知なので、以下で$T_4$であることを証明する。
  • $A, B \in {\cal C}_X$ とし、$A \cap B \equ \phi$ を満たすと仮定する。
  • ${\scr A} :\equiv \Set{ {\cal D} \subset {\cal C}_X }{ {\cal D} {\rm は有限集合} \land (\bigcap {\cal D})^\circ \nequ \phi \land B \cap (\bigcap {\cal D}) \equ \phi }$ と置く。
  • $A \subset \bigcup \limits_{ {\cal D} \in {\scr A} } (\bigcap {\cal D})^\circ$ が成り立つ。
    • $a \in A$ を任意に取る。
    • ${\cal D}_a :\equiv \left\{ D \in {\mathcal C}_X | a \in D^\circ \right\} \;( \subset {\cal C}_X )$ と置く。
    • $B \cap (\bigcap {\cal D}_a)$ $\equ$ 仮定[$X$はHausdorff]と上記命題より $B \cap \{a\} \equ \phi$ である。
    • 一方、仮定[$X$はCompact]により、閉集合$B$はCompactである。
    • 従って、上記命題より、$\exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D}_a \; B \cap ( \bigcap {\cal E} ) \equ \phi$ である。
    • また、 $a$ $\in$ ${\cal E} \subset {\cal D}_a$ と ${\cal D}_a$ の定義から。 $\bigcap\limits_{D \in {\cal E}} D^\circ$ $\equ$ ${\cal E}$ が有限集合であることから。 $(\bigcap {\cal E})^\circ$ も成り立つので、 ${\cal E} \in {\scr A}$ である。
    • よって、 $a \in (\bigcap {\cal E})^\circ \subset \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}} (\bigcap {\cal D})^\circ$ である。
  • 一方、仮定[$X$はCompact]より、閉集合$A$はCompactである。
  • 従って、上記より、$\exi {\rm 有限部分集合}{\scr A}_0 \subset {\scr A} \; A \subset \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})^\circ$ である。
  • $U :\equiv \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})^\circ$ , $V :\equiv X \backslash \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})$ と置く。
  • 明らかに、 $A \subset U \in {\cal O}_X$ である。
  • $B \cap \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0}(\bigcap {\cal D}) \equ \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} \parenth{ B \cap (\bigcap {\cal D}) }$ $\equ$ ${\scr A}_0 \subset {\scr A}$ と ${\scr A}$ の定義から。 $\phi$ だから $B \subset X \backslash \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D}) \equ V$ $\in$ ${\scr A}_0$ が有限集合であることから。 ${\cal O}_X$
  • 最後に、 $U \cap V \equ \phi$ であることは定義から明らかである。