$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} $

Tychonoffの定理

まず、本定理の証明に必要な命題を述べておく。
$\left( X, {\cal O}_X \right)$ を位相空間とする。
$A \subset X$, $x \in X$ とする。
この時、$x \in \overline{A} \Leftrightarrow \all V \in {\mathbb V} \left(x\right) \;\; A \cap V \nequ \phi$ が成り立つ。
ただし、${\mathbb V} \left(x\right)$ は、$x$ の近傍系である。

$\left( \left(X_i, {\cal O}_{X_i}\right) \right)_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$j \in I$ に対し、 $pr_j : \prod\limits_{i \in I} X_i \rightarrow X_j$ を第$j$射影とする。
$x \equ \left(x_i\right)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ とする。
この時、 $\bigcup\limits_{J \subset I, J は有限集合} \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \;\; V_j \in {\mathbb V}_{X_j} \left(x_j\right) }$ は、$x$ の基本近傍系である。
ただし、${\mathbb V}_{X_j} \left(x_j\right)$ は、位相空間$\left(X_j, {\cal O}_{X_j}\right)$ の $x_j$ の近傍系である。

Tychonoffの定理
$\left( \left(X_i, {\cal O}_{X_i}\right) \right)_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$\all i \in I \;\; X_i \hbox{がCompact} \Rightarrow \prod\limits_{i \in I} X_i \hbox{はCompact}$ である。
[証明]
  • 有限交叉性に関する議論によって証明する。
  • ${\frak X} :\equiv \Set{ {\scr A} \subset {\frak P}\left( \prod\limits_{i \in I} X_i \right) }{ \scr{A} \hbox{は有限交叉性を持つ} }$ と置く。
  • $\all {\scr A} \in {\frak X} \;\; \bigcap\limits_{A \in {\scr A}} \bar{A} \nequ \phi$ を示せば良い。
  • $\scr{A} \in \frak{X}$ を任意に取る。
  • 「有限交叉性を持つ」は有限的性質なので、Zornの補題により、 ${\scr A} \subset \exi {\scr A}_0 \in {\frak X} \;\; {\scr A}_0 \hbox{は} {\frak X} \hbox{の極大元}$ が成り立つ。
  • $\bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \bar{A} \subset \bigcap\limits_{A \in {\scr A}} \bar{A}$ なので、 $\bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \bar{A} \nequ \phi$ を示せば良い。
  • まず、${\scr A}_0$ の極大性により、次の2命題が成り立つことを確認しておく:
    $\all \hbox{有限部分集合} {\scr A}_0^\prime \subset {\scr A}_0 \;\; \bigcap {\scr A}_0^\prime \in {\scr A}_0$ が成り立つ。
    • ${\scr A}_0^\prime \subset {\scr A}_0$ を任意に取り、有限部分集合であると仮定する。
    • ${\scr A}_0$ が有限交叉性を持つので、${\scr A}_0^\prime$ の取り方から、当然 ${\scr A}_0 \cup \left\{ \bigcap {\scr A}_0^\prime \right\}$ も有限交叉性を持つ。
    • ${\scr A}_0 \subset {\scr A}_0 \cup \left\{ \bigcap {\scr A}_0^\prime \right\}$ であるが、 ${\scr A}_0$ は ${\frak X}$ の極大元だから、 ${\scr A}_0 \equ {\scr A}_0 \cup \left\{ \bigcap {\scr A}_0^\prime \right\}$ が成り立つ。
    • よって、 $\bigcap {\scr A}_0^\prime \in {\scr A}_0$
    $\all S \in {\frak P}\left( \prod\limits_{i \in I} X_i \right) \;\; \left[ \; \left( \all A \in {\scr A}_0 \;\; A \cap S \nequ \phi \right) \Rightarrow S \in {\scr A}_0 \right]$ が成り立つ。
    • $S \in {\frak P}\left( \prod\limits_{i \in I} X_i \right)$ を任意に取り、 $\all A \in {\scr A}_0 \;\; A \cap S \nequ \phi$ を仮定する。
    • 上と同様の議論なので、 ${\scr A}_0 \cup \left\{ S \right\}$ が有限交叉性を持つことを示せば良い。
    • ${\scr A}_0^\prime \subset {\scr A}_0$ を任意に取り、有限部分集合であると仮定する。
    • 先ほど確認した命題から、 $\bigcap {\scr A}_0^\prime \in {\scr A}_0$ なので、ここでの仮定により、 $\left( \bigcap {\scr A}_0^\prime \right) \cap S \nequ \phi$ が成り立つ。
    • よって、 ${\scr A}_0 \cup \left\{ S \right\}$ は有限交叉性を持つ。
  • $i \in I$ に対し、 $pr_i : \prod\limits_{j \in I} X_j \rightarrow X_i$ を第$i$射影とする。
  • $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • $i \in I$ を任意に取る。
    • ${\scr A}_0$ が有限交叉性を持つので、 $\Set{pr_i\left(A\right)}{A \in {\scr A}_0} \left( \subset {\frak P}\left( X_i \right) \right)$ は有限交叉性を持つ。
    • 従って、 $X_i$ がCompactである仮定により、 $\bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \overline{pr_i\left(A\right)} \nequ \phi$ が成り立つ。
    • よって、選択公理により、 $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \nequ \phi$ が成り立つ。
  • $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \bar{A}$ が成り立つ。
    • $x \equ \left( x_i \right)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \left( \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \overline{pr_i\left(A\right)} \right)$ を任意に取る。
      $A \in {\scr A}_0$ を任意に取る。
    • $x \in \bar{A}$ を示すために、下準備した同値命題を用いる。
    • $J \subset I$ を任意に取り、有限部分集合であると仮定する。
      $\left( V_j \right)_{j \in J}$ を任意に取り、 $\all j \in J \;\; V_j \in {\mathbb V}_{X_j} \left( x_j \right)$ を満たすと仮定する。
    • $\all j \in J \;\; pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\scr A}_0$ が成り立つ。
      • $j \in J$ を任意に取る。
      • $B \in {\scr A}_0$ を任意に取る。
      • $x_j \in \bigcap\limits_{A^\prime \in {\scr A}_0} \overline{pr_j\left(A^\prime\right)} \subset \overline{pr_j\left(B\right)}$ なので、 $pr_j\left(B\right) \cap V_j \nequ \phi$ が成り立つ。
      • 従って、 $\phi \nequ B \cap pr_j^{-1}\left( V_j \right)$
      • $B \in {\scr A}_0$ は任意なので、 $pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\scr A}_0$ が成り立つ。
    • 従って、 $\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\scr A}_0$ である。
    • よって、 $\left\{ A, \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right) \right\} \subset {\scr A}_0$ であるが、
      ${\scr A}_0$ は有限交叉性を持つから、 $A \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right) \nequ \phi$ である。
    • よって、$J \subset I$ は任意の有限部分集合だから、下準備した同値命題により、 $x \in \bar{A}$ である。
    • $A \in {\scr A}_0$ は任意なので、 $x \in \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \bar{A}$ が成り立つ。
    • よって、 $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \bar{A}$ である。
  • よって、 $\phi \nequ$ $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\scr A}_0} \overline{A} \subset \bigcap\limits_{A \in {\scr A}} \overline{A}$ が成り立ち、定理の成立が証明された。
証明終