$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{\;#1\;\right\}} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} \newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner} $

位相空間の一点コンパクト化

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$\all A \subset X \; (X \backslash A)^\circ \equ X \backslash {\overline A}$ である。
$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$\all A, B \subset X \; \parenth{ A {\rm は閉集合かつ} B {\rm はCompact} \Rightarrow A \cap B {\rm はCompact} }$ である。
  • ${\cal U} \subset {\cal O}$ を任意に取り、$A \cap B \subset \bigcup {\cal U}$ を仮定する。
  • $B \equ B \cap \parenth{ A \cup X\backslash A } \equ \parenth{ A \cap B } \cup \parenth{ B \backslash A } \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \cup \parenth{ X \backslash A }$ である。
  • 従って、$\exi {\rm 有限部分集合} {\cal V} \subset {\cal U} \; B \subset \parenth{ \bigcup {\cal V} } \cup \parenth{ X\backslash A }$ が 成り立つ 仮定[$B$はCompact]と$X \backslash A \in {\cal O}$
  • よって、$A \cap B \subset \bigcup {\cal V}$ である。
従って、$B \equ X$として、
$X {\rm はCompact} \Rightarrow \all A \subset X \parenth{ A {\rm は閉集合} \Rightarrow A {\rm はCompact} }$ でもある。
$X {\rm はHausdorff} \Rightarrow \all A \subset X \; \parenth{ A {\rm は閉集合} \Leftarrow A {\rm はCompact} }$ である。
  • $A$ を $X$ のCompact部分集合とする。
  • $X \backslash A \in {\cal O}$ を示す。
  • $x \in X \backslash A$ を任意に取る。
  • ${\cal U} :\equiv \Set{ U \in {\cal O} }{ x \in (X \backslash U)^\circ }$ と置く。
  • $A \subset \bigcup {\cal U}$ が成り立つ。
    • $a \in A$ を任意に取る。
    • 仮定[$X$はHausdorrf]より、$a \in \exi U \in {\cal O} \; x \in \exi V \in {\cal O} \;\; U \cap V \equ \phi$ である。
    • 従って、$x \in V \subset X \backslash U$ つまり、$x \in (X \backslash U)^\circ$ である。
    • 従って、$U \in {\cal U}$ である。
    • よって、$a \in U \subset \bigcup {\cal U}$ である。
  • Compact部分集合Aより、$\exi {\rm 有限部分集合} {\cal V} \subset {\cal U} \; A \subset \bigcup {\cal V}$ が成り立つ。
  • $U :\equiv \bigcap \Set{ (X \backslash V)^\circ }{ V \in {\cal V} }$ と置く。
  • ${\cal U}$ の定義より$x \in U$ であり、${\cal V}$ は有限集合だから$U \in {\cal O}$ である。
  • 一方、$U$ $\equ$ 上記の命題 $\bigcap \Set{ X \backslash {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \equ X \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \subset X \backslash \bigcup {\cal V}$ $\subset$ AはVで被覆される $X \backslash A$ である。
  • 従って、$x \in (X \backslash A)^\circ$ である。
  • よって、$X \backslash A \equ (X \backslash A)^\circ$ である。

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$X^* :\equiv X \coprod \{ c \}$ と置く(つまり、$c \not\in X$)。
${\cal U}_* :\equiv \Set{ U \in {\cal O} }{ X \backslash U {\rm は (} X {\rm の)Compact集合} }$ と置く。
${\cal O}_{X^*} :\equiv {\cal O} \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_*}$ と置く。
  1. $(X^*, {\cal O}_{X^*})$ はCompactな位相空間である。
    • まずは、${\cal O}_{X^*}$ は開集合系である事を示す。
    • (i) ${\cal U} \equ {\cal U}_0 \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_1 } \subset {\cal O} \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \equ {\cal O}_{X^*}$ を任意に取る。
    • ${\cal U}_1 \equ \phi$ の時:
      • $\bigcup {\cal U} \equ \bigcup {\cal U}_0 \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • ${\cal U}_1 \neq \phi$ の時:
      • この時、$U \in {\cal U}_1$ が取れる。
      • $\bigcup {\cal U} \equ \parenth{ \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } } \coprod \{c\}$ であり、 $\bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } \in {\cal O}$ である。
      • $X \backslash \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } \equ$ $X \backslash \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup \parenth{ {\cal U}_1 \backslash \{U\} } }$ 閉集合 $\;\cap\;$ $X \backslash U$ Compact はCompact である 上記の命題
      • 従って、$\bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } \in {\cal U}_*$ である。
      • よって、$\bigcup {\cal U} \in \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • (ii)$V_0,V_1 \in {\cal O}_{X^*}$ を任意に取る。
    • $V_0,V_1 \in {\cal O}$ の時:
      • 明らかに、$V_0 \cap V_1 \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • $V_0 \in {\cal O}$ かつ $V_1 \equ U \coprod \{c\} \in \Set{ U^\prime \coprod \{c\} }{ U^\prime \in {\cal U}_* }$ の時:
      • $V_0 \cap V_1 \equ V_0 \cap U \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • $V_i \equ U_i \coprod \{c\} \in \Set{ U^\prime \coprod \{c\} }{ U^\prime \in {\cal U}_* } (i \equ 0,1)$ の時:
      • $V_0 \cap V_1 \equ \parenth{ U_0 \cap U_1 } \coprod \{c\}$ である。
      • $U_0 \cap U_1 \in {\cal O}$ かつ、$X \backslash \parenth{ U_0 \cap U_1 } \equ \parenth{ X \backslash U_0 } \cup \parenth{ X \backslash U_1 }$ はCompact である Compact集合の有限和は
        またCompact集合である。
      • よって、$V_0 \cap V_1 \in \Set{ U^\prime \coprod \{c\} }{ U^\prime \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • (iii)$X^* \equ X \coprod \{c\} \in \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • (iv)次にCompactである事を示す。
    • ${\cal U} \subset {\cal O}_{X^*}$ を任意に取り、$X^* \subset \bigcup {\cal U}$ を仮定する。
      ${\cal U} \equ {\cal U}_0 \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_1 }$ と表しておく。
    • $c \in X^* \subset \bigcup {\cal U}$ なので、$U \in {\cal U}_1$ が取れる。
    • $X \backslash U \subset X \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \backslash \{c\} \equ \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 }$ である。
    • 従って、$\exi {\rm 有限部分集合} {\cal V} \subset {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 \; X \backslash U \subset \bigcup {\cal V}$ である。
    • ${\cal V} \equ {\cal V}_0 \cup {\cal V}_1 \; \parenth{ {\cal V}_i \subset {\cal U}_i \; (i \equ 0,1) }$ と表しておく。
    • よって、$X^* \subset \bigcup \parenth{ {\cal V}_0 \cup {\cal V}_1 \cup \{U\} } \coprod \{c\} \equ \bigcup \parenth{ {\cal V}_0 \coprod \Set{ V \coprod \{c\} }{ V \in {\cal V}_1 \cup \{U\} } }$ である。
  2. $\Set{ U \cap X }{ U \in {\cal O}_{X^*} } \equ {\cal O}$ である。
    • ${\cal U}_*, {\cal O}_{X^*}$ の定義により明らか。
  3. $(X,{\cal O}) {\rm はlocally\;Compact かつ Hausdorff } \Leftrightarrow (X^*, {\cal O}_{X^*}) {\rm はHausdorff}$ である。
    • ($\Rightarrow$)$x,y \in X^*$ を任意に取り、$x \neq y$ を仮定する。
    • $x,y \in X$ の時:
      • 仮定[$X$はHausdorff]により、$x \in \exi U \in {\cal O} \; y \in \exi V \in {\cal O} \; U \cap V \equ \phi$ である。
      • $U,V \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • $x \in X$ かつ $y \equ c$ の時:
      • 仮定[$X$はlocally Compact]より、$\exi {\rm Compactな} A \subset X \; A {\rm は(} X {\rm における)} x {\rm の近傍}$ である。
      • 従って、仮定[$X$はHausdorff],上記の命題より、$A$は($X$の)閉集合である。
      • 従って、$X \backslash A \in {\cal U}_*$ である。
      • 一方、xの近傍Aより、$x \in \exi U \in {\cal O} \; U \subset A$ である。
      • 以上より、$x \in U \in {\cal O}_{X^*}$ かつ $c \in X \backslash A \coprod \{c\} \in {\cal O}_{X^*}$ かつ $U \cap \parenth{ X \backslash A \coprod \{c\} } \equ \phi$ である。
    • ($\Leftarrow$)$X^*$がHausdorffならば、その部分空間$X$は明らかにHausdorffである。
    • $X$がlocally Compactである事を示す。
    • $x \in X$ を任意に取る。
    • $x \neq c$なので、仮定[$X^*$はHausdorff]と${\cal O}_{X^*}$の定義より、$x \in \exi U \in {\cal O} \; \exi V \in {\cal U}_* \; U \cap V \equ \phi$ である。
    • 従って、$x \in U \subset X \backslash V$ かつ $X \backslash V$ は($X$の)Compact集合である。
    • よって、$X \backslash V$ は $x$ の($X$の)Compactな($X$の)近傍である。
  4. ${\cal O}_*$ を $X^*$ の任意の開集合系とする時、
    $\left.\begin{array}{@{}l@{}} (X^*, {\cal O}_*) {\rm はCompact かつ Hausdorff} \\ \Set{ U \cap X }{ U \in {\cal O}_* } \equ {\cal O} \end{array}\right\} \Rightarrow {\cal O}_* \equ {\cal O}_{X^*}$ である。
    • 仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はHausdorff]より、$\{c\}$ は $(X^*,{\cal O}_*)$ の閉集合である。
    • 従って、$X \equ X^* \backslash \{c\} \in {\cal O}_*$ である。
    • ($\supset$)仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]とXはX^*の開集合より、 ${\cal O} \subset {\cal O}_*$ である。
    • $\Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_*$ である。
      • $U \in {\cal U}_*$ を任意に取る。
      • $X \backslash U$ は($X$の)Compact集合であるので、$X \backslash U$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ のCompact集合 である 仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]
        より
      • 従って、仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はHausdorff]と上記の命題より、$X \backslash U$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ の閉集合である。
      • よって、$U \coprod \{c\} \equ X^* \backslash \parenth{ X \backslash U } \in {\cal O}_*$ である。
    • 以上より、${\cal O}_{X^*} \equ {\cal O} \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_*$ である。
    • ($\subset$)$V \in {\cal O}_*$ を任意に取る。
    • $c \not\in V$ の時:
      • $V \subset X$ であり、仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$の$X$への制限が${\cal O}$]より、$V \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • $c \in V$ の時:
      • $X^* \backslash V \subset X$ である。
      • $X^* \backslash V$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ の閉集合なので、$X^* \backslash V$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ のCompact集合 である 仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はCompact]
        と上記命題より
      • 従って、$X^* \backslash V$ は $(X,{\cal O})$ のCompact集合 である 仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]
        より
      • 仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はHausdorff]より、その 部分空間$(X,{\cal O})$ ここでも
        仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]
        を使っている。
        はHausdorrfである。
      • 従って、上記命題より、$X^* \backslash V$ は $(X,{\cal O})$ の閉集合である。
      • 従って、Compact集合X^*-Vも合わせて、 $V \backslash \{c\} \equ X \backslash \parenth{ X^* \backslash V } \in {\cal U}_*$ である。
      • よって、$V \equ V \backslash \{c\} \coprod \{c\} \in {\cal O}_{X^*}$ である。