$T_3$空間かつ第2可算ならば$T_4$空間
$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$X$は$T_3$空間 $\Leftrightarrow$ $\all x \in X \all U \in {\cal O} \;\parenth{ x \in U \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。
- $X$は$T_3$空間
$\Leftrightarrow \all x \in X \all A \in {\cal C} \;\parenth{ x \not\in A \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; A \subset \exi U \in {\cal O} \; V \cap U \equ \phi }$
$\Leftrightarrow \all x \in X \all A \in {\cal C} \;\parenth{ x \in X \backslash A \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; \exi U \in {\cal O} \; V \subset X \backslash U \subset X \backslash A }$
$\Leftrightarrow$ $\all x \in X \all U \in {\cal O} \;\parenth{ x \in U \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$
$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$X$は$T_3$空間かつ第2可算 $\Rightarrow$ $X$は$T_4$空間 である。
- $A, B \in {\cal C}$ を任意に取り、$A \cap B \equ \phi$ を仮定する(${\cal C}$は$(X,{\cal O})$の閉集合系である)。
- ${\cal W} \subset {\cal O}$ を仮定[$X$は第2可算]により存在する可算な基底とする。
- $\left.\begin{array}{@{}r@{}} {\cal U} :\equiv \Set{ U \in {\cal W} }{ A \cap U \nequ \phi \land B \cap {\overline U} \equ \phi } \\ {\cal V} :\equiv \Set{ V \in {\cal W} }{ A \cap {\overline V} \equ \phi \land B \cap V \nequ \phi } \end{array}\right\}$ と置く。
$A \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} }$ かつ $B \subset \parenth{ \bigcup {\cal V} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
$A \subset \bigcup {\cal U}$ かつ $B \subset X \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ が成り立つ。
- (i)$a \in A$ を任意に取る。
- $a \in A \subset X \backslash B \in {\cal O}$ なので、仮定[$X$は$T_3$空間]より、$a \in \exi W \in {\cal O} \; {\overline W} \subset X \backslash B$ である。
- ${\cal W}$は基底なので、$a \in \exi U \in {\cal W} \; U \subset W$ である。
- 従って、$U \in {\cal U}$ であり、よって、$a \in U \subset \bigcup {\cal U}$ である。
- (ii)${\cal U}$の定義から$\phi \equ \bigcup \Set{ B \cap {\overline U} }{ U \in {\cal U} } \equ B \cap \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
- 従って、$B \subset X \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
- 同様に$A \subset X \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} }$ かつ $B \subset \bigcup {\cal V}$ が成り立つ。
- 以上より、$A \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} }$ かつ $B \subset \parenth{ \bigcup {\cal V} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
- 仮定[$X$は第2可算]より、${\cal U} \equ \Set{ U_n }{ n \in {\mathbb N} }, {\cal V} \equ \Set{ V_n }{ n \in {\mathbb N} }$ と表せる。
- $S_0 :\equiv U_0$, $T_n :\equiv V_n \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline S_k}$, $S_{n+1} :\equiv U_{n+1} \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T_k} \;\parenth{ n \in {\mathbb N} }$ と定義する。
$\xymatrix@C=5pt@R=10pt{ S_0 :\equiv U_0 \ar[d] & \cdots & \cdots & S_n \ar[d] & S_{n+1} :\equiv U_{n+1} \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T_k} \ar[d] & \cdots \\ T_0 \ar[ur] & \cdots & \cdots \ar[ur] & T_n :\equiv V_n \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline S_k} \ar[ur] & T_{n+1} \ar[ur] & \cdots }$ - $U :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} S_n$, $V :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} T_n$ と定義する。
- $U,V$が求めるものである事を示す。
- 定義により、明らかに$U \in {\cal O}$ かつ $V \in {\cal O}$ である。
$A \subset U$ かつ $B \subset V$ である。
- (i)任意の自然数$n$に対して、$\bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T}_k \subset \bigcup\limits_{k=0}^n V_n \subset \bigcup \Set{ {\overline{V^\prime}} }{ V^\prime \in {\cal V} }$ なので、
$U_{n+1} \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \subset U_{n+1} \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T}_k \equ S_{n+1}$ である。 - 勿論、$U_0 \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \subset U_0 \equ S_0$ である。
- 従って、$A$ $\subset$ A,Bを含む部分集合 $\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ U_n \backslash \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } } \subset \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} S_n \equ U$ である。
- (ii)全く同様にして、$B \subset$ $\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ V_n \backslash \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} } } \subset \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} T_n \equ V$ である。
- (i)任意の自然数$n$に対して、$\bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T}_k \subset \bigcup\limits_{k=0}^n V_n \subset \bigcup \Set{ {\overline{V^\prime}} }{ V^\prime \in {\cal V} }$ なので、
$U \cap V \equ \phi$ である。
- $\all n, m \in {\mathbb N} \; S_n \cap T_m \equ \phi$ を示せばよい。
- $n \leq m$ の時：
- $T_m \equ V_m \backslash \bigcup\limits_{k=0}^m {\overline S}_k \subset V_m \backslash {\overline S}_n \subset V_m \backslash S_n$ なので $S_n \cap T_m \equ \phi$ である。
- $n \gt m$ の時：
- $S_n \equ U_n \backslash \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} {\overline T}_k \subset U_n \backslash {\overline T}_m \subset U_n \backslash T_m$ なので $S_n \cap T_m \equ \phi$ である。
