$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{\;#1\;\right\}} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} \newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner} $

$\text{Urysohn}$の補題 と $\text{Tietze}$の拡張定理

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$X$は$T_4$ $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \; \parenth{ A \subset U \Rightarrow \exi V \in {\cal O} \;\; A \subset V \land {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。
  • $X$は$T_4$
    $\Leftrightarrow \all A, B \in {\cal C} \;\parenth{ A \cap B \equ \phi \Rightarrow A \subset \exi U \in {\cal O} \; B \subset \exi V \in {\cal O} \;\; U \cap V \equ \phi }$
    $\Leftrightarrow \all A, B \in {\cal C} \;\parenth{ A \subset X \backslash B \Rightarrow A \subset \exi U \in {\cal O} \; \exi V \in {\cal O} \;\; U \subset X \backslash V \subset X \backslash B }$
    $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \;\parenth{ A \subset U \Rightarrow A \subset \exi V \in {\cal O} \; \exi C \in {\cal C} \;\; V \subset C \subset U }$
    $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \;\parenth{ A \subset U \Rightarrow A \subset \exi V \in {\cal O} \;\; {\overline V} \subset U }$

Urysohnの補題
$(X,{\cal O})$ を$T_4$位相空間とする。
$A, B \in {\cal C}$ とし、$A \cap B \equ \phi$ を仮定する。
$\exi {\rm 連続写像} f : X \rightarrow [0,1] \;\; f(A) \subset \{0\} \land f(B) \subset \{1\}$ が成り立つ $^{AC}$ 。
  • $n \in {\mathbb N}$ に対し、$I_n :\equiv \Set{ {\displaystyle \frac{k}{2^n}} }{ k \in \{0, \cdots, 2^n\} }$, $I :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} I_n$ と置く。
  • $\exi U : I \rightarrow {\cal O} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}} A \subset U(0) \land U(1) \equ X \backslash B \\ \all r, s \in I \;\parenth{ r \lt s \Rightarrow \overline{U(r)} \subset U(s) } \end{array}\right.$ が成り立つ。
    • ${\cal S} :\equiv \Set{ (P,Q) \in {\cal C} \times {\cal O} }{ P \subset Q }$ と置く。
    • $(P,Q) \in {\cal S}$ に対し、${\cal U}_{(P,Q)} :\equiv \Set{ U \in {\cal O} }{ P \subset U \land \overline{U} \subset Q }$ と置く。
    • $(A, X \backslash B) \in {\cal S}$ だから ${\cal S} \nequ \phi$ である。 仮定[$X$は$T_4$空間]より、$\all (P,Q) \in {\cal S} \;\; {\cal U}_{(P,Q)} \nequ \phi$ である。
    • 従って、選択公理より、$g \in \prod\limits_{(P,Q) \in {\cal S}} {\cal U}_{(P,Q)}$ を取れる。
    • $n$についての帰納法で$U$を拡張して定義していくことにより、定義域を$I$とする写像にする。
    • $I_0$ においては、$U(0) :\equiv g(A, X \backslash B)$, $U(1) :\equiv X \backslash B$ と定義する。
      (勿論、$\overline{U(0)} \subset U(1)$ である。)
    • $I_n$ で $U$ が定義され、かつ、
      $\all k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\} \;\; \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{k}{2^n}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{k+1}{2^n}} \right)$ が成り立っていると仮定する。
    • $(I_n)_{n \in {\mathbb N}}$は狭義単調増加な集合列なので、
      $I_{n+1} \backslash I_n$での定義を追加する事により、$U$は$I_{n+1}$で定義された事になることに注意する。
    • $I_{n+1} \backslash I_n \equ \Set{ {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}} }{ k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\} }$ である事に注意する。
    • $k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\}$ に対し、 $U\left( {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}} } \right) :\equiv g\left( \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{k}{2^n}} \right) }, U\left( {\displaystyle \frac{k+1}{2^n}} \right) \right)$ と 定義する 帰納的定義をするために必要な仮定より
      この定義が可能である。
    • $g$の定義により、$\all k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\}$
      $\qquad \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{2k}{2^{n+1}}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}} \right)$ かつ $\overline{ U\left( {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{2k+2}{2^{n+1}}} \right)$ である。
    • これは、$\all m \in \{0,1,\cdots,2^{n+1}-1\} \;\; \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{m}{2^{n+1}}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{m+1}{2^{n+1}}} \right) $ ということである。
    • $(I_n)_{n \in {\mathbb N}}$は(狭義)単調増加列なので、
      任意の$r \lt s$なる$r,s \in I$は$r \equ {\displaystyle \frac{k}{2^n}}$, $s \equ {\displaystyle \frac{m}{2^n}}$, $\; k \lt m \;\parenth{ k,m \in \{0,1,\cdots,2^n\} }$と表せる。
    • 帰納的定義をするために必要な仮定は実際に成り立っているので、 $\overline{U(r)} \subset U(s)$ が成り立つ。
  • $f : X \rightarrow [0,1] ,\; x \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm inf}\Set{ r \in I }{ x \in U(r) } & \parenth{ x \in U(1) } \\ 1 & \parenth{ x \in X \backslash U(1) \equ B } \end{array}\right.$ と定義する。
  • この$f$が求めるものである事を示す。
  • $\all r,s \in [0, 1] \;\parenth{ r \lt s \Rightarrow \exi t \in I \; r \lt t \lt s }$ ($I$の稠密性)が成り立つ。
    • $\exi n \in {\mathbb N} \; {\displaystyle \frac{1}{s-r}} \lt 2^n$ である。
    • $k :\equiv \max\Set{ m \in \{0, \cdots, 2^n-1\} }{ {\displaystyle \frac{m}{2^n}} \leq r }$ と置く。
    • $r$ $\lt$ $k$の最大性 ${\displaystyle \frac{k+1}{2^n}} \equ {\displaystyle \frac{k}{2^n}} + {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ $\lt$ $k,n$の定義 $r+(s-r) \equ s$
  • 定義から明らかに$f(A) \subset \{0\}$かつ$f(B) \subset \{1\}$である。
    1. $\all r \in I \; f^{-1}([0,r)) \subset U(r)$ が成り立つ。
      • $x \in f^{-1}([0,r))$ つまり $f(x) \lt r$なる$x \in X$ を任意に取る。
      • ${\rm inf}$の定義より $\exi s \in I \;\; x \in U(s) \land s \lt r$ である。
      • 従って、$x \in U(s) \subset \overline{U(s)}$ $\subset$ 写像Uの存在 $U(r)$ である。
    2. $\all r \in I \; f^{-1}( (r,1] ) \subset X \backslash \overline{U(r)}$ が成り立つ。
      • $x \in f^{-1}( (r,1] )$ つまり $r \lt f(x)$なる$x \in X$ を任意に取る。
      • $I$の稠密性より $\exi s \in I \;\; r \lt s \lt f(x)$ である。
      • ${\rm inf}$の定義より $x \not\in U(s)$ である。従って、$x \in X \backslash U(s)$ $\subset$ 写像Uの存在 $X \backslash \overline{U(r)}$ である。
    3. $\all r \in I \; U(r) \subset f^{-1}( [0,r] )$ が成り立つ。
      • $U(r) \subset \overline{U(r)}$ $\subset$ (2)より $X \backslash f^{-1}( (r,1] ) \equ f^{-1}( [0,r] )$ である。
    4. $\all r \in I \; X \backslash \overline{U(r)} \subset f^{-1}( [r,1] )$ が成り立つ。
      • $X \backslash \overline{U(r)} \subset X \backslash U(r)$ $\subset$ (1)より $X \backslash f^{-1}( [0,r) ) \equ f^{-1}( [r,1] )$ である。
  • $c \in X$ を任意に取る。$0 \lt \varepsilon \in {\mathbb R}$ を任意に取る。
  • $c \in \parenth{ f^{-1}( (f(c)-\varepsilon,f(c)+\varepsilon) \cap [0,1] ) }^\circ$ である事を示せばよい。
  • $f(c) \equ 0$ の時:
    • $\exi s \in I \; 0 \equ f(c) \lt s \lt f(c)+\varepsilon \equ \varepsilon$ である。
    • 従って、$c \in f^{-1}( [0,s) )$ $\subset$ U(r)とfの関係(1)より $U(s)$ $\subset$ U(r)とfの関係(3)より $f^{-1}( [0,s] ) \subset f^{-1}( [0,\varepsilon) )$ である。
  • $f(c) \equ 1$ の時:
    • $\exi r \in I \; 1-\varepsilon \equ f(c)-\varepsilon \lt r \lt f(c) \equ 1$ である。
    • 従って、$c \in f^{-1}( (r,1] )$ $\subset$ U(r)とfの関係(2)より $X \backslash \overline{U(r)}$ $\subset$ U(r)とfの関係(4)より $f^{-1}( [r,1] ) \subset f^{-1}( (1-\varepsilon,1] )$ である。
  • $f(c) \in (0,1)$ の時:
    • $\exi r,s \in I \; f(c)-\varepsilon \lt r \lt f(c) \lt s \lt f(c)+\varepsilon$ である。
    • 従って、$c \in f^{-1}( (r,1] ) \cap f^{-1}( [0,s) )$ $\subset$ U(r)とfの関係(1),(2)より $U(s) \backslash \overline{U(r)}$ $\subset$ U(r)とfの関係(3),(4)より
      $f^{-1}( [0,s] ) \cap f^{-1}( [r,1] ) \equ f^{-1}( [r,s] ) \subset f^{-1}( (f(c)-\varepsilon,f(c)+\varepsilon) )$ である。
証明終
$\exi {\rm 連続写像} g : X \rightarrow [a,b] \;\; g(A) \subset \{a\} \land g(B) \subset \{b\} \;(a \lt b)$ が成り立つ $^{AC}$。
  • $\varphi : [0,1] \rightarrow [a,b], t \mapsto a + t(b-a)$ と定義する。
  • $\varphi {\rm は同相写像}$ なので $\varphi \circ f : X \rightarrow [a,b] {\rm は連続写像}$ である。
  • $\varphi (0) \equ a, \varphi (1) \equ b$ なので、$(\varphi \circ f)(A) \subset \{a\} \land (\varphi \circ f)(B) \subset \{b\}$ である。

Tietzeの拡張定理
$(X, {\cal O})$ を $T_4$ 位相空間とする。
$A \in {\cal C}$ とし、$f : A \to [-1,1] {\rm は連続写像}$ と仮定する。
$\exi {\rm 連続写像} g : X \to [-1,1] \; \all x \in A \; g(x) \equ f(x)$ が成り立つ $^\text{AC}$ 。
  • $G :\equiv \Set{ (g,a) \in {\rm Map}(A,{\mathbb R}) \times {\mathbb R}^+ }{ \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & g {\rm は連続写像} \\ \text{かつ} & \all x \in A \;|g(x)| \leq a \end{array} }$ と置く。
  • $(g,a) \in G$ に対し、
    $H(g,a) :\equiv \Set{ h \in {\rm Map}(X,{\mathbb R}) }{ \begin{array}{@{}@{}@{}} & h {\rm は連続写像} \\ かつ & \all x \in X \;|h(x)| \leq {\displaystyle \frac{1}{3}} a \\ かつ & \all x \in A \; |g(x)-h(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a \end{array} }$ と置く。
  • $\all (g,a) \in G \; H(g,a) \nequ \phi$ が成り立つ $^\text{AC}$ 。
    • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} A_- & :\equiv & g^{-1}(\bracket{-a, -{\displaystyle \frac{1}{3}} a}), \\ A_\pm & :\equiv & g^{-1}(\bracket{-{\displaystyle \frac{1}{3}} a, {\displaystyle \frac{1}{3}} a}), \\ A_+ & :\equiv & g^{-1}(\bracket{{\displaystyle \frac{1}{3}} a, a}) \end{array}\right.$ と置く。
    • $A_-,A_+$ $\in$ $g {\rm は連続写像}$ ${\cal C}_A$ 部分空間$A$の閉集合系 $\subseteq$ 仮定[$A \in {\cal C}$] ${\cal C}$ であり、明らかに $A_- \cap A_+ \equ \phi$ である。
    • 従って、Urysohnの補題$^\text{AC}$より、
      $\exi \text{連続写像} h : X \to \bracket{ -{\displaystyle \frac{1}{3}} a, {\displaystyle \frac{1}{3}} a } \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & h(A_-) \subseteq \braces{ -{\displaystyle \frac{1}{3}} a } \\ \text{かつ} & h(A_+) \subseteq \braces{ {\displaystyle \frac{1}{3}} a } \end{array}\right.$ である。
    • もちろん $h : X \to {\mathbb R} {\rm は連続写像}$ であり、 $\all x \in X \; |h(x)| \leq {\displaystyle \frac{1}{3}} a$ である。
    • 以下、$H(g,a)$の第3の条件を確認する。
    • $x \in A$ を任意に取る。
    • $A$ $\equ$ $g$ の定義 $g^{-1}(\bracket{-a,a}) \equ A_- \cup A_\pm \cup A_+$ である。
    • $x \in A_-$ の場合:
      • $-a \leq g(x) \leq -{\displaystyle \frac{1}{3}} a$ かつ $h(x)$ $\equ$ A_-,A_+が満たす条件 $-{\displaystyle \frac{1}{3}} a$ なので $|g(x)-h(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a$ である。
    • $x \in A_\pm$ の場合:
      • $g(x),h(x) \in \bracket{ -{\displaystyle \frac{1}{3}} a, {\displaystyle \frac{1}{3}} a }$ なので $|g(x)-h(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a$ である。
    • $x \in A_+$ の場合:
      • ${\displaystyle \frac{1}{3}} a \leq g(x) \leq a$ かつ $h(x)$ $\equ$ A_-,A_+が満たす条件 ${\displaystyle \frac{1}{3}} a$ なので $|g(x)-h(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a$ である。
    • よって、$h \in H(g,a)$ である。
  • 従って、選択公理により $\exi F \in \prod\limits_{(g,a) \in G} H(g,a)$ である。
  • $\all (g, a) \in \text{Map}(A, \mathbb{R}) \times \mathbb{R}^+ \bracket{ \parenth{g, a} \in G \Rightarrow \parenth{g - F(g, a), {\displaystyle \frac{2}{3}}a} \in G }$が成り立つ。
    • 明らかに$g - F(g, a) \text{は連続写像}$である。
    • $F(g, a) \in H(g, a)$なので、$\all x \in A \;\; |g(x)-F(g, a)(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a$である。
  • $g_0 :\equiv f$ と置く$\;( (g_0,1)$ $\in$ 定理の仮定 $G)$。
    $n \in {\mathbb N}$ に対し、$\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n} \in G$ が定まった時、 $g_{n+1} :\equiv g_n - F\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n}$ と置く。
    $\parenth{g_{n+1}, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^{n+1}} \in G$ である。
  • $\sum\limits_{n=0}^\infty F\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n}$ が求めるものであることを示す。
  • $n \in {\mathbb N}$ に対し、$h_n :\equiv F\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n} \in H\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n}$ と置く。
  • ${\rm (i)}$
    $\sum\limits_{n=0}^\infty h_n {\rm は一様に絶対収束する}$ が成り立つ。
    • $H$ の定義より、$\all n \in {\mathbb N} \; \all x \in X \; |h_n(x)| \leq {\displaystyle \frac{1}{3} \parenth{\frac{2}{3}}^n}$ である。
    • $\sum\limits_{n=0}^\infty {\displaystyle \frac{1}{3} \parenth{\frac{2}{3}}^n} \equ \cdots \equ 1$ である。
    • 従って解析学における級数に関する定理より、$\sum\limits_{n=0}^\infty h_n {\rm は一様に絶対収束する}$ である。
  • 従って、$\sum\limits_{n=0}^\infty h_n {\rm は一様に収束する}$ である。
  • 一方、$H$ の定義より、$\all n \in {\mathbb N} \; h_n {\rm は連続写像}$ である。
  • 従って、これらより、$\sum\limits_{n=0}^\infty h_n {\rm は連続写像}$ である。
  • ${\rm (ii)}$$x \in A$ を任意に取る。
  • $\all n \in {\mathbb N} \; f(x) - \sum\limits_{k=0}^n h_k(x)$ $\equ$ $(g_n)_{n \in {\mathbb N}},(h_n)_{n \in {\mathbb N}}$ の定義と
    帰納法
    $g_{n+1}(x)$ である。
  • $\all n \in {\mathbb N} \; |g_{n+1}(x)|$ $\leq$ (g_{n+1},(2/3)^{n+1})∈G $\parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ つまり $\lim\limits_{n \to \infty} g_{n+1}(x) \equ 0$ である。
  • 以上より、$\sum\limits_{n=0}^\infty h_n(x) \equ \lim\limits_{n \to \infty} \parenth{ f(x) - g_{n+1}(x) } \equ f(x)$ である。
証明終

$(X, {\cal O})$ を $T_4$ 位相空間とする。
$A \in {\cal C}$ とし、$f : A \rightarrow [a,b] \;{\rm は連続写像}$ と仮定する$(a \lt b)$。
$\exi {\rm 連続写像} g : X \rightarrow [a,b] \; \all x \in A \; g(x) \equ f(x)$ が成り立つ$^{AC}$。
  • $\varphi : [-1,1] \rightarrow [a,b], t \mapsto {\displaystyle \frac{a+b}{2}} - {\displaystyle \frac{a-b}{2}}t$ と定義する。
  • $\varphi {\rm は同相写像}$ なので $\varphi^{-1} \circ f : A \rightarrow [-1,1] \;{\rm は連続写像}$ である。
  • 従って、上記定理$^{AC}$ より $\exi {\rm 連続写像} g : X \rightarrow [-1,1] \; \all x \in A \; g(x) \equ (\varphi^{-1} \circ f)(x)$ である。
  • 従って、$\all x \in A \; (\varphi \circ g)(x) \equ f(x)$ である。
  • $\varphi {\rm は同相写像}$ なので $\varphi \circ g : X \rightarrow [a,b] \;{\rm は連続写像}$ である。