$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{\;#1\;\right\}} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} \newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner} $

連結性について多少の命題

$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。
$f : X \rightarrow Y$ を連続写像とする。
$\all A \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \Rightarrow f(A) {\rm は連結} }$ が成り立つ。
  • [対偶法]$f(A) {\rm は連結でない}$ と仮定する。
  • $\exi U_0, U_1 \in {\cal O}_Y \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} f(A) \subset U_0 \cup U_1 & {\rm かつ} & \rightarrow & A \subset f^{-1}(U_0) \cup f^{-1}(U_1) & {\rm かつ} \\ f(A) \cap U_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & A \cap f^{-1}(U_0) \cap f^{-1}(U_1) \equ \phi & {\rm かつ} \\ f(A) \cap U_0 \nequ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & A \cap f^{-1}(U_0) \nequ \phi & {\rm かつ} \\ f(A) \cap U_1 \nequ \phi & {\rm である。} & \rightarrow & A \cap f^{-1}(U_1) \nequ \phi & {\rm である。} \end{array}\right.$
  • $f {\rm は連続写像}$ なので $f^{-1}(U_0), f^{-1}(U_1) \in {\cal O}_X$ である。
  • よって、$A {\rm は連結でない}$ である。
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$\all A, B \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \land A \subset B \subset \overline{A} \Rightarrow B {\rm は連結} }$ が成り立つ。
  • $U, V \in {\cal O}$ が $\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} B \subset U \cup V & {\rm かつ} \\ B \cap U \cap V \equ \phi & \\ \end{array}\right.$ を満たすと仮定する。
  • $A {\rm は連結}$ かつ $\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} A \subset B \subset U \cup V & {\rm かつ} \\ A \cap U \cap V \subset B \cap U \cap V \equ \phi & \\ \end{array}\right.$ なので $A \cap U \equ \phi \lor A \cap V \equ \phi$ である。
  • 従って、$\overline{A} \cap U \equ \phi \lor \overline{A} \cap V \equ \phi$ である。
  • よって、$B \subset \overline{A}$より、$B \cap U \equ \phi \lor B \cap V \equ \phi$ である。
$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
${\cal A} \subset \Set{ A \subset X }{ A {\rm は連結} }$ とする。
$\all A, B \in {\cal A} \; A \cap B \nequ \phi \Rightarrow \bigcup {\cal A} {\rm は連結}$ が成り立つ。
  • [対偶法]$\bigcup {\cal A} {\rm は連結ではない}$ と仮定する。
  • $\exi U_0, U_1 \in {\cal O} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} \bigcup {\cal A} \subset U_0 \cup U_1 & {\rm かつ} & \rightarrow & \all A \in {\cal A} \; A \subset U_0 \cup U_1 & {\rm かつ} \\ \bigcup {\cal A} \cap U_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & \all A \in {\cal A} \; A \cap U_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} \\ \bigcup {\cal A} \cap U_0 \nequ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & \exi A_0 \in {\cal A} \; A_0 \cap U_0 \nequ \phi & {\rm かつ} \\ \bigcup {\cal A} \cap U_1 \nequ \phi & {\rm である。} & \rightarrow & \exi A_1 \in {\cal A} \; A_1 \cap U_1 \nequ \phi & {\rm である。} \end{array}\right.$
  • 従って、$A_0,A_1 {\rm は連結}$より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} A_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} \\ A_1 \cap U_0 \equ \phi & {\rm である。} \end{array}\right.$
  • この時、$A_0 \cap A_1 \equ \parenth{ A_0 \cap \parenth{ U_0 \cup U_1 } } \cap \parenth{ A_1 \cap \parenth{ U_0 \cup U_1 } }$
    $\equ \parenth{ A_0 \cap A_1 } \cap \parenth{ U_0 \cup U_1 } \subset \parenth{ A_1 \cap U_0 } \cup \parenth{ A_0 \cap U_1 } \equ \phi$ となる。
証明終

$(X_i, {\cal O}_i)_{i \in I}$ を位相空間の族とする。
$J \subset I$とし、$(a_i)_{i \in I \backslash J} \in \prod\limits_{i \in I \backslash J} X_i$ とする。
$\Set{ x \equ (x_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i }{ \all i \in I \backslash J \; x_i \equ a_i } \approx \prod\limits_{j \in J} X_j \approx \prod\limits_{j \in J} X_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$ が成り立つ。
  • $X_J :\equ \prod\limits_{j \in J} X_j, A :\equiv \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$ と置く。
  • ${\rm (i)}$$X_a :\equiv \Set{ x \equ (x_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i }{ \all i \in I \backslash J \; x_i \equ a_i }$ と置く。
  • $g : X_a \rightarrow X_J, x \mapsto (x_j)_{j \in J}$ と置く。
  • 明らかに$g$は可逆写像である。
  • $\Set{ X_a \cap \prod\limits_{i \in I} U_i }{ \all i \in I \; U_i \in {\cal O}_i \land \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ は$X_a$の基底である。
  • $\Set{ \prod\limits_{j \in J} U_j }{ \all j \in J \; U_j \in {\cal O}_j \land \Set{ j \in J }{ U_j \subsetneq X_j } {\rm は有限集合} }$ は$X_J$の基底である。
  • これらの集合の元は$g$によって対応していることが容易に分かるので、$g$は同相写像である。
  • ${\rm (ii)}$$f : X_J \rightarrow X_J \times A ,\; (x_j)_{j \in J} \mapsto \parenth{ (x_j)_{j \in J}, (a_i)_{i \in I \backslash J} }$ と置く。
  • 明らかに$f$は可逆写像である。
  • $|A| \equ 1$なので、$A$の開集合系は$\{\phi, A\}$である。
  • 従って、$X_J \times A$の基底は、$\Set{ U \times A^\prime }{ U \in {\cal O}_{X_J}, A^\prime \in {\cal O}_A } \equ \Set{ U \times A }{ U \in {\cal O}_{X_J} }$ である。
    $({\cal O}_{X_J}, {\cal O}_A {\rm はそれぞれ} X_J,A {\rm の開集合系})$
  • よって、$f$は同相写像である。

$(X,{\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。
$X, Y {\rm は連結} \Rightarrow X \times Y {\rm は連結}$ が成り立つ。
  • $A : X \times Y \rightarrow {\frak P}(X \times Y), (x,y) \mapsto \{x\} \times Y \cup X \times \{y\}$ と定義する。
  • $\all (x,y) \in X \times Y \; A(x,y) {\rm は連結}$ が成り立つ。
    • $Y {\rm は連結} \land Y \approx \{x\} \times Y$ なので $\{x\} \times Y {\rm は連結}$ である。
    • $X {\rm は連結} \land X \approx X \times \{y\}$ なので $X \times \{y\} {\rm は連結}$ である。
    • $(x,y) \in \{x\} \times Y \cap X \times \{y\}$ なので $\{x\} \times Y \cap X \times \{y\} \nequ \phi$ である。
    • 以上より、$A(x,y) \equ \{x\} \times Y \cup X \times \{y\} {\rm は連結}$である。
  • $y_* \in Y$ を1つとって固定する。
  • $\all x_0, x_1 \in X \; A(x_0,y_*) \cap A(x_1,y_*) \supset X \times \{y_*\} \nequ \phi$ である。
  • 従って、(x,y)から作られる連結集合より、$\bigcup \Set{ A(x,y_*) }{ x \in X } {\rm は連結}$ である。
  • $\all (x,y) \in X \times Y \; (x,y) \in A(x,y_*)$ なので $X \times Y \equ \bigcup \Set{ A(x,y_*) }{ x \in X }$ である。
  • よって、$X \times Y {\rm は連結}$ である。
$(X_i, {\cal O}_i)_{i \in I}$ を位相空間の族とする。
$\all i \in I \; X_i {\rm は連結} \Rightarrow \prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ が成り立つ。
  • ${\rm Fin}(I) :\equiv \Set{ J \subset I }{ J {\rm は有限集合} }$ と置く。
  • $J \in {\rm Fin}(I)$ に対して $X_J :\equiv \prod\limits_{j \in J} X_j$ と置く。
    $J \in {\rm Fin}(I), a \equ (a_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ に対して $X_J(a) :\equiv X_J \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$ と置く。
  • $\all a \in \prod\limits_{i \in I} X_i \; \overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)} {\rm は連結}$ が成り立つ。
    • 任意の$J \in {\rm Fin}(I)$に対して、$X_J {\rm は連結}$ かつ $X_J \approx X_J(a)$ なので、$X_J(a) {\rm は連結}$ である。
    • また、$\all J \in {\rm Fin}(I) \; a \in X_J(a)$ である。
    • 従って、$\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a) {\rm は連結}$ である。
    • よって、$\overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)} {\rm は連結}$ である。
  • $\all a \in \prod\limits_{i \in I} X_i \; \overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)} \equ \prod\limits_{i \in I} X_i$ が成り立つ。
    • $x \equ (x_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ を任意に取る。
    • $\bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) }$ は、$x$の基本近傍系である。
      (ただし、${\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right)$ は $X_j$ の点 $x_j$ の近傍系であり、 $pr_j : \prod\limits_{i \in I} X_i \rightarrow X_j$ である。)
      この事実を今一度思い出しておく。
    • $x \in \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j), J \in {\rm Fin}(I), \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}(x_j)$ を仮定する。
    • $\parenth{ \bigcup\limits_{J^\prime \in {\rm Fin}(I)} X_{J^\prime}(a) } \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \supset X_J(a) \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j)$
      $\equ \parenth{ \prod\limits_{j \in J} X_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\} } \cap \parenth{ \prod\limits_{j \in J} V_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} X_i } \equ \prod\limits_{j \in J} V_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$
      $\ni ( (x_j)_{j \in J}, (a_i)_{i \in I \backslash J} )$ つまり $\nequ \phi$ である。
    • 従って、$x \in \overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)}$ である。
  • よって、$\prod\limits_{i \in I} X_i \nequ \phi$ ならば $\prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ である。
  • $\prod\limits_{i \in I} X_i \equ \phi$ ならば当然 $\prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ である。


$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$(\{0,1\}, {\frak P}(\{0,1\}))$ を離散空間とする。
$X {\rm は連結} \Leftrightarrow \all {\rm 連続写像} f : X \rightarrow \{0,1\}, f {\rm は定値写像}$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$$f : X \rightarrow \{0,1\}$ を連続写像とする。
  • $f {\rm は連続写像}$ なので $f^{-1}(\{0\}), f^{-1}(\{1\}) \in {\cal O}$ である。
  • $X \equ f^{-1}(\{0\} \cup \{1\}) \equ f^{-1}(\{0\}) \cup f^{-1}(\{1\})$ かつ $f^{-1}(\{0\}) \cap f^{-1}(\{1\}) \equ \phi$
  • 従って、仮定[$X {\rm は連結}$]より、$f^{-1}(\{0\}) \equ \phi \lor f^{-1}(\{1\}) \equ \phi$ である。
  • 従って、$X \equ f^{-1}(\{1\}) \lor X \equ f^{-1}(\{0\})$ である。
  • よって、$f(X) \subset \{1\} \lor f(X) \subset \{0\}$ である。
  • $\Leftarrow$$U, V \in {\cal O}$ が $X \equ U \cup V \land U \cap V \equ \phi$ を満たすと仮定する。
  • $f : X \rightarrow \{0,1\}, x \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} 0 & \parenth{ x \in U } \\ 1 & \parenth{ x \in V } \end{array}\right.$ と定義出来る。
  • $\{ f^{-1}(\phi), f^{-1}(\{0\}), f^{-1}(\{1\}), f^{-1}(\{0,1\}) \} \equ \{ \phi, U, V, X \} \subset {\cal O}$ なので $f {\rm は連続写像}$ である。
  • 従って、仮定により、$f {\rm は定値写像}$ である。
  • 従って、$f(X) \equ \{0\} \lor f(X) \equ \{1\}$ である。
  • よって、$V \equ \phi \lor U \equ \phi$ である。
(先ほどの命題の別証明)
$(X_i, {\cal O}_i)_{i \in I}$ を位相空間の族とする。
$\all i \in I \; X_i {\rm は連結} \Rightarrow \prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ が成り立つ。
  • $X :\equiv \prod\limits_{i \in I}$ と置く。
  • $\{0,1\}$ を離散空間とし、$f : X \rightarrow \{0,1\} {\rm は連続写像}$ を仮定する。
  • $R :\equ \Set{ (x, y) \in X \times X }{ \Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } {\rm は有限集合} }$ と定義する。
  • $\all (x, y) \in R \; f(x) \equ f(y)$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ に対し $R_n :\equiv \Set{ (x, y) \in X \times X }{ {\rm Card}\Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } \leq n }$ と置く。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; \all (x, y) \in R_n \; f(x) \equ f(y)$ が成り立つ。
      • 明らかに$n \equ 0$ に対して成立する。
      • $n \in {\mathbb N}$ に対して成立を仮定する。
      • $(x,y) \in R_{n+1}$ を任意に取る。
      • $j \in \Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i }$ を1つとって固定する。
      • $f_j : X_j \rightarrow X, z_j \mapsto ( (z_j)_{j = i}, (y_i)_{j \not= i \in I} )$ と定義する。
      • $X$ の基底の元として、$\prod\limits_{i \in I} U_i$ を任意に取る。
        (ただし、$(U_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} {\cal O}_i, \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i} {\rm は有限集合}$。)
      • $j \nequ \all i \in I \; y_i \in U_i$ ならば $f_j^{-1}\parenth{ \prod\limits_{i \in I} U_i } \equ U_j \in {\cal O}_j$ であり、
        $j \nequ \exi i \in I \; y_i \not\in U_i$ ならば $f_j^{-1}\parenth{ \prod\limits_{i \in I} U_i } \equ \phi \in {\cal O}_j$ である。
      • 従って、$f_j {\rm は連続写像}$ である。
      • 従って、$(f \circ f_j) : X_j \rightarrow \{0,1\} {\rm は連続写像}$ である。
      • 従って、$X_j {\rm は連結}$より、$(f \circ f_j) {\rm は定値写像}$ である。
      • 従って、$(f \circ f_j)(x_j) \equ (f \circ f_j)(y_j) \equ f(y)$ である。
      • 一方、$x$と$f_j(x_j)$は第$j$成分が一致しているので、$(x, f_j(x_j)) \in R_n$ である。
      • 従って、帰納法の仮定より、$f(x) \equ f(f_j(x_j))$ である。
      • よって、$f(x) \equ f(y)$ である。
    • 従って、$R \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} R_n$ より、$\all (x,y) \in R \; f(x) \equ f(y)$ である。
  • $y \in X$ を任意に取る。
  • $S :\equiv \Set{ x \in X }{ \Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } {\rm は有限集合} }$ と置く。
  • $\overline{S} \equ X$ が成り立つ。
    • $z \equ (z_i)_{i \in I} \in X$ を任意に取る。
    • $z$の基本近傍系の元として、
      $\prod\limits_{i \in I} U_i \;\parenth{ \all i \in I \; z_i \in U_i \in {\cal O}_i \land \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ を任意に取る。
    • $x \equ (x_i)_{i \in I}$ を $x_i :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} y_i & \parenth{ U_i \equ X_i } \\ z_i & \parenth{ U_i \subsetneq X_i } \end{array}\right.$ で定義する。
    • 明らかに $x \in \prod\limits_{i \in I} U_i$ である。
    • $\Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } \subset \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合}$ つまり $x \in S$ である。
    • 従って、$x \in S \cap \prod\limits_{i \in I} U_i$ つまり $S \cap \prod\limits_{i \in I} U_i \nequ \phi$ である。
    • よって、$z \in \overline{S}$ である。
  • 従って、$f(X) \equ f(\overline{S})$ $\subset$ $f {\rm は連続写像}$ $\overline{f(S)}$ $\equ$ $\{0,1\} {\rm は離散空間}$ $f(S)$ である。
  • $x \in X$ を任意に取る。
  • $\exi z \in S \; f(x) \equ f(z)$ である。
  • $(z,y) \in R$ と 有限個の違いの下では値は一致より、$f(x) \equ f(z) \equ f(y)$ である。
  • よって、$\all x, y \in X \; f(x) \equ f(y)$ つまり $f {\rm は定値写像}$ である。