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全有界について多少の命題

位相空間論
$(X, d)$ を距離空間とする。
${\rm diam} {\rm \ or \ } {\rm diam}_X : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow [0,\infty], S \mapsto {\rm sup}\Set{ d(x,y) }{ x,y \in S }$
$X {\rm はtotally \ bounded(全有界)}$ $:\Leftrightarrow$  
$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon \end{array}\right.$
$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。
$f : X \rightarrow Y$ を一様連続かつ全射とする。
$X {\rm は全有界} \Rightarrow Y {\rm は全有界}$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • 仮定[$f {\rm は一様連続}$]より、$\exi \delta \in {\mathbb R}^+ \; \all x_0,x_1 \in X \;\parenth{ d_X(x_0,x_1) \lt \delta \Rightarrow d_Y(f(x_0),f(x_1)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} }$ である。
  • 仮定[$X {\rm は全有界}$]より、$\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}_X(S) \lt \delta \end{array}\right.$ である。
  • $\Set{ f(S) }{ S \in {\cal S} }$ が求めるものであることを示す。
  • $\Set{ f(S) }{ S \in {\cal S} } {\rm は有限集合}$ である。
  • $Y$ $\equ$ 仮定[$f {\rm は全射}$]より $f(X) \equ f(\bigcup {\cal S}) \equ \bigcup \Set{ f(S) }{ S \in {\cal S} }$ である。
  • $S \in {\cal S}$ を任意に取る。
  • $\all x_0, x_1 \in S \; d_X(x_0, x_1) \leq {\rm diam}_X(S) \lt \delta$ である。
  • 従って、fの一様連続性より、$\all x_0, x_1 \in S \; d_Y(f(x_0), f(x_1)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  • よって、${\rm diam}_Y(S) \leq {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \lt \varepsilon$ である。
証明終
$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は全有界} \Leftrightarrow \all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x,A) \lt \varepsilon$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$仮定[$X {\rm は全有界}$]より、 $\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
  • $(a_S)_{S \in {\cal S}} \in \prod\limits_{S \in {\cal S}} S$ を1つ取り、$A :\equiv \Set{ a_S }{ S \in {\cal S} }$ と置く。
  • 任意の$x \in X$に対して、$S \in {\cal S}$が存在して、$x, a_S \in S$なので、
    $d(x, A) \leq d(x, a_S) \leq {\rm diam}(S) \lt \varepsilon$ である。
  • $\Leftarrow$$\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • $\varepsilon_0 \in \parenth{ 0, {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}}$ を1つ取って固定する。
  • 仮定より、$\exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x,A) \lt \varepsilon_0$ が成り立つ。
  • $B : X \rightarrow {\cal O}_d, a \mapsto \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon_0 }$ と置く。
  • $B(A) (\subset {\cal O})$ が求めるものであることを示す。
  • $\all a \in A \; {\rm diam}(B(a)) \leq 2\varepsilon_0 \lt \varepsilon$ である。
  • $x \in X$ を任意に取る。
  • $A {\rm は有限集合}$ なので $\exi a \in A \; d(x, a) \equ d(x, A) \lt \varepsilon_0$ である。
  • 従って、$x \in B(a) \subset \bigcup B(A)$ である。
$X {\rm は全有界} \Rightarrow^{AC} X {\rm は可分}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x,A) \lt \varepsilon$ である。
  • 従って、選択公理より、$\exi (A_n)_{n \in {\mathbb N}} \in {\frak P}(X)^{\mathbb N} \; \all n \in {\mathbb N} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} A_n {\rm は有限集合} & {\rm かつ} \\ \all x \in X \; d(x, A_n) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}} & \end{array}\right.$ である。
  • $A :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n$ と置く。
  • $\all n \in {\mathbb N} \; |A_n| \lt \aleph_0$ なので $|A| \leq |{\mathbb N}| \cdot \aleph_0 \equ \aleph_0$ つまり $A {\rm は可算}$ である。
  • $x \in X$ を任意に取る。
  • $\all n \in {\mathbb N} \; d(x,A) \leq d(x,A_n) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ である。
  • 従って、$d(x,A) \equ 0$ である。よって、$x \in \overline{A}$ である。
$X {\rm は全有界} \ ^{AC}\Leftrightarrow^{AC} \all x \in X^{\mathbb N} \; \exi {狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; x \circ m {\rm はcauchy列}$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$$(x, \varepsilon) \in X^{\mathbb N} \times {\mathbb R}^+$ に対し、
    $M(x, \varepsilon) :\equiv \Set{ m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} }{\;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} m {\rm は狭義単調増加} & {\rm かつ} \\ \all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n_0), (x \circ m)(n_1) ) \lt \varepsilon & \end{array}\right.}$ と置く。
  • $\all (x, \varepsilon) \in X^{\mathbb N} \times {\mathbb R}^+ \; M(x, \varepsilon) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • 仮定[$X {\rm は全有界}$]より、$\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
    • $S \in {\cal S}$ に対し $N_S :\equiv \Set{ n \in {\mathbb N} }{ x_n \in S }$ と置く。
    • $X \equ \bigcup {\cal S}$ より ${\mathbb N} \equ \bigcup\limits_{S \in {\cal S}} N_S$ である。
    • 従って、${\cal S} {\rm は有限集合}$ より、$\exi S \in {\cal S} \; |N_S| \equ \aleph_0$ である。
    • $m(n) :\equiv \min N_S \backslash \Set{ m(k) }{ k \lt n } \;\parenth{ n \in {\mathbb N} }$ と定義する。
    • $m {\rm は狭義単調増加}$ である。
    • $\all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n_0),(x \circ m)(n_1) ) \leq {\rm diam}(S) \lt \varepsilon$ である。
    • よって、$m \in M(x, \varepsilon)$ である。
  • 従って、選択公理より、$f \in \prod\limits_{(x, \varepsilon) \in X^{\mathbb N} \times {\mathbb R}^+} M(x, \varepsilon)$ を取れる。
  • $x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
  • $m_0 :\equiv id_{\mathbb N} : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ と置く。
  • $k \in {\mathbb N}$ に対し、$m_0, \cdots, m_k$ が定義された時、
    $m_{k+1} :\equiv f\parenth{ (x \circ m_0 \circ \cdots \circ m_k), {\displaystyle \frac{1}{k+1}} }$ と定義する。
  • $m : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}, n \mapsto (m_0 \circ \cdots \circ m_n)(n)$ と定義する。
  • この$m$が求めるものであることを示す。
  • $m {\rm は狭義単調増加}$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
    • $m_{n+1} {\rm は狭義単調増加}$ なので $n \lt n+1 \leq m_{n+1}(n+1)$ である。
    • 狭義単調増加な写像の合成はまた狭義単調増加なので、$m_0 \circ \cdots \circ m_n {\rm は狭義単調増加}$ である。
    • これらより、$m(n) \equ (m_0 \circ \cdots \circ m_n)(n) \lt (m_0 \circ \cdots \circ m_n)(m_{n+1}(n+1))$
      $\equ (m_0 \circ \cdots \circ m_n \circ m_{n+1})(n+1) \equ m(n+1)$ である。
  • $x \circ m {\rm はcauchy列}$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取り、$n_0, n_1 \in {\mathbb N}$ を任意に取り、$n+2 \leq n_0, n_1$ を仮定する。
    • $N_0 :\equiv (m_{n+2} \circ \cdots \circ m_{n_0})(n_0),N_1 :\equiv (m_{n+2} \circ \cdots \circ m_{n_1})(n_1) \in {\mathbb N}$ と置く。
    • $d( (x \circ m)(n_0), (x \circ m)(n_1) ) \equ$
      $d( (x \circ m_0 \cdots \circ m_n \circ m_{n+1})(N_0), (x \circ m_0 \cdots \circ m_n \circ m_{n+1})(N_1) ) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ である。
    • よって、$\lim\limits_{n_0, n_1 \rightarrow \infty} d( (x \circ m)(n_0), (x \circ m)(n_1) ) \equ 0$ である。
  • $\Leftarrow$[対偶法]$X {\rm は全有界でない}$ と仮定する。
  • $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \all {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \nequ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \neg \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
  • $\varepsilon_0 \in \parenth{ 0, {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} }$ を1つ取って固定する。
  • ${\rm Fin}(X) :\equiv \Set{ A \subset X }{ A {\rm は有限集合} }$,
    $B : X \rightarrow {\cal O}_d, a \mapsto \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon_0 }$ と置く。
  • $\all A \in {\rm Fin}(X) \; X \backslash \bigcup B(A) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • $\all a \in A \; {\rm diam}(B(a)) \leq 2 \varepsilon_0 \lt \varepsilon$ である。
    • 従って、eの下ではe-被覆を取り得ないより、$X \nequ \bigcup B(A)$ である。
  • 従って、選択公理より、$\exi f \in \prod\limits_{A \in {\rm Fin}(X)} X \backslash \bigcup B(A)$ である。
  • $a(0) \in X$ を1つ取って固定し、$n \in {\mathbb N}$ に対して $a(0), \cdots, a(n)$ が定まった時、
    $a(n+1) :\equiv f(\{a(0), \cdots, a(n)\})$ と定義する。
  • $\all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \;\parenth{ n_0 \nequ n_1 \Rightarrow d(a(n_0), a(n_1)) \geq \varepsilon_0 }$ が成り立つ。
    • $n_0 \gt n_1$ と仮定してよい。
    • $a(n_0) \equ f(\{a(0), \cdots, a(n_0-1)\}) \in X \backslash \bigcup B(\{a(0), \cdots, a(n_0-1)\}) \subset X \backslash B(a(n_1))$ である。
    • 従って、$d(a(n_0), a(n_1)) \geq \varepsilon_0$ である。
  • 従って、$\all {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (a \circ m) {\rm はcauchy列ではない}$ である。
証明終
$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。
$X \nequ \phi, Y \nequ \phi$ とする。
$X, Y {\rm は全有界} \Leftrightarrow X \times Y {\rm は全有界}$ である。
  • $\Rightarrow$$\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • 仮定より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x, A) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{\sqrt 2}} & {\rm かつ} \\ \exi {\rm 有限集合} B \subset Y \; \all y \in Y \; d(y, B) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{\sqrt 2}} & \end{array}\right.$ である。
  • $A \times B \;( \subset X \times Y ) {\rm は有限集合}$ である。
  • $(x,y) \in X \times Y$ を任意に取る。
  • $A, B {\rm は有限集合}$ なので、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi a \in A \; d(x,a) \equ d(x,A) & {\rm かつ} \\ \exi b \in B \; d(y,b) \equ d(y,B) \end{array}\right.$ である。
  • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} d_{X \times Y}( (x,y), A \times B ) & \leq & d_{X \times Y}( (x,y), (a,b) ) \\ & \equ & \sqrt{ d_X(x,a)^2 + d_Y(y,b)^2 } \\ & \equ & \sqrt{ d_X(x,A)^2 + d_Y(y,Y)^2 } \\ & \lt & \sqrt{ {\displaystyle \frac{\varepsilon^2}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon^2}{2}} } \equ \varepsilon \end{array}$ である。
  • $\Leftarrow$$X$について全有界を示せば、$Y$については同様である。
  • $pr_1 : X \times Y \rightarrow X$ を第1射影とする。
  • $pr_1$は明らかに全射である($X,Y \nequ \phi$なる仮定はここで使う)。
  • 任意の $(x_0,y_0),(x_1,y_1) \in X \times Y$ に対して、
    $d_X(pr_1(x_0,y_0),pr_1(x_1,y_1)) \equ d_X(x_0,x_1) \leq d_{X \times Y}( (x_0,y_0), (x_1,y_1) )$ である。
  • 従って、$pr_1$は一様連続である。

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