${\rm Compact}$について多少の命題 - 手を動かさなくても分かる行間ゼロの大学数学

$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。
$X {\rm はcompact}$ と仮定する。

$\all f : X \rightarrow Y \;\parenth{ f {\rm は連続} \Rightarrow f {\rm は一様連続} }$ が成り立つ。

$\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
${\cal S} :\equiv \Set{ (\delta,x) \in {\mathbb R}^+ \times X }{ f(B_{X,2\delta}(x)) \subset B_{Y,\frac{\varepsilon}{2}}(f(x)) }$ と置く。
仮定[$f {\rm は連続}$]より、$X \subset \bigcup\limits_{(\delta,x) \in {\cal S}} B_{X,\delta}(x)$ である。
従って、仮定[$X {\rm はcompact}$]より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; X \equ \bigcup\limits_{(\delta,x) \in {\cal T}} B_{X,\delta}(x)$ である。
$\delta_0 :\equiv \min\Set{ \delta \in {\mathbb R}^+ }{ \exi x \in X \; (\delta,x) \in {\cal T} }$ と置く。
$a,b \in X, d_X(a,b) \lt \delta_0$ を仮定する。
$a \in X \equ \bigcup\limits_{(\delta,x) \in {\cal T}} B_{X,\delta}(x)$ なので $\exi (\delta,x) \in {\cal T} \; a \in B_{X,\delta}(x)$ である。
従って、$d_X(a,x) \lt \delta$ である。
従って、$d_X(b,x) \leq d_X(b,a) + d_X(a,x) \lt \delta_0 + \delta \leq 2\delta$ である。
従って、$f(a),f(b) \in f(B_{X,2\delta}(x))$ $\subset$ $(\delta,x) \in {\cal T} \subset {\cal S}$ $B_{Y,\frac{\varepsilon}{2}}(f(x))$ である。
よって、$d_Y(f(a),f(b)) \leq d_Y(f(a),f(x)) + d_Y(f(x),f(b)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon$ である。

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
${\rm 連続写像} f : X \rightarrow {\mathbb R}$ とする。

$\phi \nequ \all {\rm compact} A \subset X \; \min f(A), \max f(A) {\rm は存在する}$ が成り立つ。

どちらも同様の証明なので、$\exi \max f(A)$ の証明だけを行う。
$f(A) {\rm は上に有界}$ が成り立つ。
- $A \subset X \equ f^{-1}({\mathbb R}) \equ f^{-1}(\bigcup\limits_{r \in {\mathbb R}} (-\infty,r)) \equ \bigcup\limits_{r \in {\mathbb R}} f^{-1}( (-\infty,r) )$ ${\rm は開被覆}$ $f {\rm は連続写像}$ である。
- 従って、$\exi {\rm 有限集合}R \subset {\mathbb R} \; A \subset \bigcup\limits_{r \in R} f^{-1}( (-\infty,r) )$ である。
- $s :\equiv \max R$ と置く。
- $A \subset \bigcup\limits_{r \in R} f^{-1}( (-\infty,r) ) \equ f^{-1}( (-\infty,s) )$ つまり $f(A) \subset (-\infty,s)$ である。
$s :\equiv {\rm sup}f(A)$ と置く($A \nequ \phi$ なので $f(A) \nequ \phi$)。
$s \in f(A)$ を示せばよい。
$A \cap \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} f^{-1}([r,s]) \nequ \phi$ が成り立つ。
- ${\rm compact}$の定義の閉集合による言い換えを使って示す。
- 仮定[$f {\rm は連続写像}$]より、$\all r \in (-\infty,s) \; f^{-1}([r,s]) \in {\cal C}$ である。
- $r \in (-\infty,s)$ を任意に取る。
- ${\rm sup}$の性質より、$\exi a \in A \; r \lt f(a) \leq s$ である。
- 従って、$A \cap f^{-1}([r,s]) \nequ \phi$ である。
- 従って、$\all {\rm 有限集合}R \subset (-\infty,s) \; A \cap \bigcap\limits_{r \in R} f^{-1}([r,s]) \equ A \cap f^{-1}([\max R,s]) \nequ \phi$ である。
- よって、$A {\rm はcompact}$より、$A \cap \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} f^{-1}([r,s]) \nequ \phi$ である。
$\all t \in {\mathbb R} \;\parenth{ \all r \lt s \; r \lt t \Rightarrow s \leq t }$ なので、 $\bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} [r,s] \equ \{s\}$ である。
以上より、$\phi \nequ A \cap \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} f^{-1}([r,s]) \equ A \cap f^{-1}\parenth{ \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} [r,s] } \equ A \cap f^{-1}(\{s\})$ である。
よって、$\exi a \in A \; f(a) \equ s$ である。

$(X, d) {\rm は距離空間}$ とする。
${\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d, \varepsilon \in {\mathbb R}^+$ とする。

$\varepsilon {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数} \quad:\Leftrightarrow\quad \phi \nequ \all A \subset X \;\parenth{ {\rm diam}(A) \lt \varepsilon \Rightarrow \exi U \in {\cal U} \; A \subset U }$

$(X,d)$ を距離空間とする。

$X {\rm はcompact} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X {\rm は全有界} & {\rm かつ} \\ \all {\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \varepsilon {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数} & \end{array}\right.$ が成り立つ。

$\Rightarrow$${\rm (i)}$ $\; \varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
$X \equ \bigcup\limits_{x \in X} B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ なので、仮定より、 $\exi {\rm 有限集合}A \subset X \; X \equ \bigcup\limits_{a \in A} B_{\frac{\varepsilon}{2}}(a)$ である。
$\all a \in A \; {\rm diam}(B_{\frac{\varepsilon}{2}}(a)) \leq \varepsilon$ である。
よって、$X {\rm は全有界}$ である。
${\rm (ii)}$${\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d$ を任意に取る。
${\cal S} :\equiv \Set{ (\varepsilon,x) \in {\mathbb R}^+ \times X }{ \exi U \in {\cal U} \; B_{2\varepsilon}(x) \subset U }$ と置く。
$X \subset \bigcup\limits_{(\varepsilon,x) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(x)$ が成り立つ。
- $x \in X$ を任意に取る。
- ${\cal U} {\rm は被覆}$ なので $\exi U \in {\cal U} \; x \in U$ である。
- $\Set{ B_\varepsilon(x) }{ (\varepsilon,x) \in {\mathbb R}^+ \times X } {\rm は}{\cal O}_d{\rm の基底}$ なので $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{\varepsilon}(x) \subset U$ である。
- 従って、$\parenth{ {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}, x } \in {\cal S}$ かつ $x \in B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ である。
従って、仮定[$X {\rm はcompact}$]より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; X \subset \bigcup\limits_{(\varepsilon,x) \in {\cal T}} B_{\varepsilon}(x)$ である。
$\varepsilon_0 :\equiv \min\Set{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ }{ \exi x \in X \; (\varepsilon,x) \in {\cal T} }$ と置く。
$A \subset X ,\; {\rm diam}(A) \lt \varepsilon_0$ を仮定する。
$a_0 \in A$ を1つ選んで固定する。
$a_0 \in X \subset \bigcup\limits_{(\varepsilon,x) \in {\cal T}} B_{\varepsilon}(x)$ なので $\exi (\varepsilon,x) \in {\cal T} \; a_0 \in B_{\varepsilon}(x)$ である。
従って、$\all a \in A \; d(a,x) \leq d(a,a_0) + d(a_0,x) \lt \varepsilon_0 + \varepsilon \leq 2\varepsilon$ である。
従って、$A \subset B_{2\varepsilon}(x)$ である。
一方、$(\varepsilon,x) \in {\cal T} \subset {\cal S}$ より、$\exi U \in {\cal U} \; B_{2\varepsilon}(x) \subset U$ である。
よって、$A \subset U$ である。
よって、$\varepsilon_0 {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数}$ である。
$\Leftarrow$${\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d$ を任意に取る。
仮定より、$\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \varepsilon {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数}$ である。
仮定[$X {\rm は全有界}$]より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
$S \in {\cal S}$ に対し、${\cal U}_S :\equiv \Set{ U \in {\cal U} }{ S \subset U }$ と置く。
εはUのLebesgue数と$\all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon$ より、$\all S \in {\cal S} \; {\cal U}_S \nequ \phi$ である。
従って、$\exi (U_S)_{S \in {\cal S}} \in \prod\limits_{S \in {\cal S}} {\cal U}_S$ である。
よって、$X \equ \bigcup\limits_{S \in {\cal S}} S \subset \bigcup\limits_{S \in {\cal S}} U_S$ である。

$(X,d)$ を${\rm compact}$な距離空間とする。
${\rm 有限集合}{\cal A} \subset {\cal C}_d \;\parenth{ \leftarrow {\rm 閉集合系} }$ とする。

$\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \all {\cal A}^\prime \subset {\cal A} \;\parenth{ \exi S \subset X \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & {\rm かつ} \\ \all A \in {\cal A}^\prime \; A \cap S \nequ \phi & \end{array}\right. \Rightarrow \bigcap {\cal A}^\prime \nequ \phi }$ が成り立つ。

${\frak X} :\equiv \Set{ {\cal A}^\prime \subset {\cal A} }{ \bigcap {\cal A}^\prime \equ \phi }$ と置く。
${\frak X} \equ \phi$ の時は主張の成立は明らかなので、${\frak X} \nequ \phi$ と仮定する。
$\all {\cal A}^\prime \in {\frak X} \; \bigcup\limits_{A \in {\cal A}^\prime} X \backslash A \equ X \backslash \bigcap\limits_{A \in {\cal A}^\prime} A \equ X \backslash \bigcap {\cal A}^\prime \equ X$ なので、
$\all {\cal A}^\prime \in {\frak X} \; \Set{ X \backslash A }{ A \in {\cal A}^\prime }{\rm は開被覆}$ である。
${\cal A}^\prime \in {\frak X}$ に対して、$F({\cal A}^\prime) :\equiv \Set{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ }{ \varepsilon {\rm は開被覆}\Set{ X \backslash A }{ A \in {\cal A}^\prime }{\rm のLebesgue数} }$ と置く。
仮定[$X {\rm はcompact}$]と上記命題より、$\all {\cal A}^\prime \in {\frak X} \; F({\cal A}^\prime) \nequ \phi$ である。
従って、$\exi \parenth{ \varepsilon({\cal A}^\prime) }_{{\cal A}^\prime \in {\frak X}}$ $\in$ ${\cal A}{\rm は有限集合}$なので
${\frak X}{\rm は有限集合}$ $\prod\limits_{{\cal A}^\prime \in {\frak X}} F({\cal A}^\prime)$ である。
$\varepsilon_0 :\equiv \min\Set{ \varepsilon({\cal A}^\prime) }{ {\cal A}^\prime \in {\frak X} }$ と置く。
${\cal A}^\prime \subset {\cal A}$ を任意に取る。
[対偶法]$\bigcap {\cal A}^\prime \equ \phi$ とし、$S \subset X$ を任意に取り ${\rm diam}(S) \lt \varepsilon_0$ を仮定する。
${\cal A}^\prime \in {\frak X}$ かつ ${\rm diam}(S) \lt \varepsilon_0 \leq \varepsilon({\cal A}^\prime)$ である。
よって、$\exi A \in {\cal A}^\prime \; S \subset X \backslash A$ である。

$a, b \in {\mathbb R}$ を $a \leq b$ とする。

$[a, b] {\rm はCompact}$ が成り立つ。

$X {\rm の被覆} {\cal U} \subseteq {\cal O}_{\mathbb R}$ を任意に取る。
$A :\equiv \Set{ c \in [a, b] }{ \exi {\rm 有限集合} {\cal V} \subseteq {\cal U} \; [a, c] \subseteq \bigcup {\cal V} }$ と置く。
明らかに、$A$ $\neq$ $a \in A$ $\phi$ かつ $\all c \in A \; c \leq b$ である。
$s :\equiv \sup A$ と置く。
$\exi \delta \in {\mathbb R}^+ \; [a, s+\delta] \cap [a, b] \subseteq A$ が成り立つ。
- $s \in [a, b] \subseteq \bigcup {\cal U}$ なので、$\exi V \in {\cal U} \; s \in V$ である。
- $V \in {\cal U} \subseteq {\cal O}_{\mathbb R}$ なので、$\exi \delta \in {\mathbb R}^+ \; [s-\delta, s+\delta] \subseteq V$ である。
- $\sup$ の性質から、$\exi t \in A \; s-\delta \lt t$ である。
- $t \in A$ より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal V}_0 \subseteq {\cal U} \; [a, t] \subseteq \bigcup {\cal V}_0$ である。
- $[a, s+\delta]$ $\equ$ $s-\delta \lt t \leq s \lt s+\delta$ $[a, t] \cup [s-\delta, s+\delta] \subseteq \bigcup {\cal V}_0 \cup V$ である。
- 従って、$\all x \in [a, s+\delta] \cap [a, b] \; [a, x] \subseteq [a, s+\delta] \subseteq \bigcup {\cal V}_0 \cup V$
  つまり、$[a, s+\delta] \cap [a, b] \subseteq A$ である。
$s \equ b$ が成り立つ。
- $s \leq b$ は明らか。
- $\varepsilon \in (0, \delta)$ を任意に取る。
- $s+\varepsilon \in [a, s+\delta]$ である。$\sup$ の性質から $s+\varepsilon \not\in A$ である。
- 従って、supとAの関係より、$s+\varepsilon \not\in [a, b]$ つまり、$b \lt s+\varepsilon$ である。
- よって、$b \leq s$ である。
また、supとAの関係より、$s \in [a, s+\delta] \cap [a, b] \subseteq A$ なので、$s \in A$ である。
以上より、$b \in A$ 従って、$\exi{\rm 有限集合}{\cal V} \subseteq {\cal U} \; [a, b] \subseteq \bigcup {\cal V}$ である。

証明終