Bernsteinの定理
$X,Y,I$ を集合とする。
$i \in I$ に対し、$X_i \subset X, Y_i \subset Y, {\rm 全単射}f_i : X_i \rightarrow Y_i$ とする。
$i \in I$ に対し、$X_i \subset X, Y_i \subset Y, {\rm 全単射}f_i : X_i \rightarrow Y_i$ とする。
$X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i {\rm かつ} Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i \Rightarrow \coprod\limits_{i \in I} f_i : X \rightarrow Y {\rm は全単射}$ が成り立つ。
- 仮定[$X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i$]より、$\all x \in X \; \exi! i \in I \; x \in X_i$ である。
- 従って、$j :\equ \Set{ (x,i) \in X \times I }{ x \in X_i } {\rm は写像}$ である。
- ${\rm 写像} f :\equiv \coprod\limits_{i \in I} f_i : X \rightarrow Y, x \mapsto f_{j(x)}(x)$ が定義できる。
- ${\rm (1)}$$x_0, x_1 \in X, f(x_0) \equ f(x_1)$ を仮定する。
- $Y_{j(x_0)} \ni f_{j(x_0)}(x_0) \equ f(x_0) \equ f(x_1) \equ f_{j(x_1)}(x_1) \in Y_{j(x_1)}$ である。
- 従って、仮定[$Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i$]より、$j(x_0) \equ j(x_1)$ である。
- 従って、$f_{j(x_0)}(x_0) \equ f_{j(x_0)}(x_1)$ である。
- よって、仮定[$f_{j(x_0)} {\rm は全単射}$]より、$x_0 \equ x_1$ である。
- ${\rm (2)}$$y \in Y$ を任意に取る。
- 仮定[$Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i$]より、$\exi i \in I \; y \in Y_i$ である。
- 仮定[$f_i {\rm は全単射}$]より、$\exi x_i \in X_i \; y \equ f_i(x_i)$ である。
- $x_i \in X_i$ なので $j(x_i) \equ i$ である。
- よって、$f(x_i) \equ f_{j(x_i)}(x_i) \equ f_i(x_i) \equ y$ である。
$X,Y$ を集合とする。
$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi {\rm 単射} f : X \rightarrow Y & {\rm かつ} \\ \exi {\rm 単射} g : Y \rightarrow X \end{array}\right. \Rightarrow \exi {\rm 全単射} h : X \rightarrow Y$ が成り立つ。
- $X_0 :\equiv X, Y_0 :\equiv Y$ と置き、
$n \in {\mathbb N}$ に対し $X_n, Y_n$ が定まった時、$X_{n+1} :\equiv g(Y_n), Y_{n+1} :\equiv f(X_n)$ と置く。
${\vcenter{ \begin{xy}*[F**:black][white]\xymatrix@C=20pt@R=15pt{ **[l] X_0 :\equiv X \ar[dr]_>(0.8){f} & **[r] \cdots & \cdots & **[l] X_n \ar[dr]_>(0.8){f} & **[r] X_{n+1} :\equiv g(Y_n) \ar[dr]_>(0.9){f} & **[r] \cdots \\ **[l] Y_0 :\equiv Y \ar[ur]^>(0.8){g}|!{[u];[r]}\hole & **[r] \cdots & \cdots & **[l] Y_n \ar[ur]^>(0.8){g}|!{[u];[r]}\hole & **[r] Y_{n+1} :\equiv f(X_n) \ar[ur]^>(0.9){g}|!{[u];[r]}\hole & **[r] \cdots }\end{xy}}}$ - 次のように定義する：
$\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}c@{}r@{}c@{}l@{}} X_e & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ X_{2n} \backslash X_{2n+1} } &,& Y_e & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ Y_{2n} \backslash Y_{2n+1} } \\ X_o & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } &,& Y_o & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ Y_{2n+1} \backslash Y_{2n+2} } \\ X_\infty & :\equiv & \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} X_n &,& Y_\infty & :\equiv & \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} Y_n \end{array}$ -
$\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ m \leq n \Rightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X_m \supset X_n & {\rm かつ} \\ Y_m \supset Y_n & \end{array}\right. }$ が成り立つ。
- 明らかに、$X_0 \supset X_1 {\rm かつ} Y_0 \supset Y_1$ である。
- 任意に $n \in {\mathbb N}$ を取り、$X_n \supset X_{n+1} {\rm かつ} Y_n \supset Y_{n+1}$ を仮定する。
- $X_{n+1} \equ g(Y_n) \supset g(Y_{n+1}) \equ X_{n+2}$ である。
- $Y_{n+1} \equ f(X_n) \supset f(X_{n+1}) \equ Y_{n+2}$ である。
- 従って、$\all n \in {\mathbb N} \; X_n \supset X_{n+1} {\rm かつ} Y_n \supset Y_{n+1}$ である。
- よって、主張が成り立つ。
$X \equ X_e \coprod X_o \coprod X_\infty$ が成り立つ。
- ${\rm (i)}$
$\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \equ \phi$ が成り立つ。
- $m \leq n$ の時：
$\parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ \underline{X_{2n+1}} \backslash X_{2n+2} }$ $\subset$ ${\rm (1)}$ と
$2n+1 \geq 2m+1$ $\parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ \underline{X_{2m+1}} \backslash X_{2n+2} } \equ \phi$ である。 - $m \gt n$ の時：
$\parenth{ \underline{X_{2m}} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} }$ $\subset$ ${\rm (1)}$ と
$2m \geq 2n+2$ $\parenth{ \underline{X_{2n+2}} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \equ \phi$ である。
- $m \leq n$ の時：
- 従って、$X_e \cap X_o \equ \bigcup\limits_{m,n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } } \equ \phi$ である。
- ${\rm (ii)}$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} X_e \cap X_\infty & \equ & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n} \backslash X_{2n+1} } \cap \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} X_m } \\ & \subset & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n} \backslash X_{2n+1} } \cap X_{2n+1} } \equ \phi \end{array}$ である。
- ${\rm (iii)}$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} X_o \cap X_\infty & \equ & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \cap \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} X_m } \\ & \subset & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \cap X_{2n+2} } \equ \phi \end{array}$ である。
- ${\rm (iv)}$$x \in X \backslash X_\infty$ を任意に取る。
- $2n+k :\equ \min\Set{ m \in {\mathbb N} }{ x \not\in X_m }, n \in {\mathbb N}, k \in \{0,1\}$ と置く。
- $k \equ 1$ の時：
- $x \in X_{2n} \backslash X_{2n+1} \subset X_e$ である。
- $k \equ 0$ の時：
- $x \in X \equ X_0$ なので $n \nequ 0$ である。
- $x \in X_{2n-1} \backslash X_{2n} \equ X_{2(n-1)+1} \backslash X_{2(n-1)+2} \subset X_o$ である。
- よって、$X \backslash X_\infty \subset X_e \cup X_o$ である。
- ${\rm (i)}$
- 同様に、$Y \equ Y_e \coprod Y_o \coprod Y_\infty$ である。
$f(X_e) \equ Y_o$ が成り立つ。
- $f(X_e) \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} f(X_{2n} \backslash X_{2n+1})$ $\equ$ $f {\rm は単射}$ $\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} f(X_{2n}) \backslash f(X_{2n+1}) \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} Y_{2n+1} \backslash Y_{2n+2} \equ Y_o$ である。
- 同様に、$X_o \equ g(Y_e)$ である。
$f(X_\infty) \equ Y_\infty$ が成り立つ。
- 従って、$\begin{array}{@{}r@{}c@{}l@{}} f{\rm の制限}f_e &:& X_e \rightarrow Y_o \\ g{\rm の制限}g_e &:& Y_e \rightarrow X_o \\ f{\rm の制限}f_\infty &:& X_\infty \rightarrow Y_\infty \end{array}$ は全て全単射である。
- 以上より、上記命題を用いて、$f_e \coprod g_e^{-1} \coprod f_\infty : X \rightarrow Y {\rm は全単射}$ である。
