$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{\;#1\;\right\}} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} \newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner} $

ブール代数1:ブール代数はある完備ブール代数に埋め込める

下図の「1→2→3」の順で議論を進めていく(定理の番号に対応しているわけではない):
${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}*[white]\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ ブール代数 \ar@1@<1ex> `d/2pt[dr]_{3} `r/2pt[r] [r] \ar@1{^{(}->} [r] & 完備ブール代数 \\ 順序集合 \ar@1 `r/2pt[ur]_{2} [ur] & 位相空間 \ar@1@<-1ex>[u]_{1} }\end{xy} }}$
$(X, \mathcal{O}_X)$ を位相空間とする。
$\text{op}$ は開核作用素、$\text{cl}$ は閉包作用素とする。
  1. $A \subseteq X$ とする。
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}(A) \equ \text{op}\circ\text{cl}(A) \\ (\text{ii}) & \text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}(A) \equ \text{cl}\circ\text{op}(A) \end{array}$ が成り立つ。
    • $(\text{i})$$\text{op}(\text{cl}(A)) \subseteq \text{cl}(A)$ なので、$\text{cl}\bracket{\text{op}(\text{cl}(A))} \subseteq \text{cl}\bracket{\text{cl}(A)} \equ \text{cl}(A)$ である。
    • この両辺に$\text{op}$をとって、$\text{op}\bracket{\text{cl}(\text{op}(\text{cl}(A)))} \subseteq \text{op}\bracket{\text{cl}(A)}$ である。
    • 一方、$\text{op}\circ\text{cl}(A) \subseteq \text{cl}\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}(A) }$ である。
    • この両辺に$\text{op}$をとって、$\text{op}\circ\text{cl}(A) \equ \text{op}\bracket{\text{op}\circ\text{cl}(A)} \subseteq \text{op}\bracket{\text{cl}(\text{op}\circ\text{cl}(A))}$ である。
    • $(\text{ii})$$\text{op}(A) \subseteq \text{cl}(\text{op}(A))$ なので、$\text{op}(A) \equ \text{op}\bracket{\text{op}(A)} \subseteq \text{op}\bracket{\text{cl}(\text{op}(A))}$ である。
    • この両辺に$\text{cl}$をとって、$\text{cl}\bracket{\text{op}(A)} \subseteq \text{cl}\bracket{ \text{op}( \text{cl}( \text{op}(A) ) )}$ である。
    • 一方、$\text{op}\bracket{ \text{cl}\circ\text{op}(A) } \subseteq \text{cl}\circ\text{op}(A)$ である。
    • この両辺に$\text{cl}$をとって、$\text{cl}\bracket{ \text{op}( \text{cl}\circ\text{op}(A) ) } \subseteq \text{cl}\bracket{ \text{cl}\circ\text{op}(A) } \equ \text{cl}\circ\text{op}(A)$ である。
  2. $\all A \in \mathcal{O}_X \; \all B \subseteq X \;\bracket{ A \cap \text{cl}(B) \subseteq \text{cl}(A \cap B) }$ が成り立つ。
    • $x \in A \cap \text{cl}(B)$ を任意に取る。
    • $x \in \all U \in \mathcal{O}_X \;\; U \cap ( A \cap B ) \equ ( U \cap A ) \cap B$ $\nequ$ $x \in U \cap A \in \mathcal{O}_X$ かつ
      $x \in \text{cl}(B)$
      $\phi$ である。
    • よって、$x \in \text{cl}(A \cap B)$ である。
  3. $\all A, B \in \mathcal{O}_X \;\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(B) \equ \text{op}\circ\text{cl}(A \cap B) }$ が成り立つ。
    • 実際は、$A, B$の一方さえ開集合であれば良い。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l{}} \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(B) & \equ & \text{op}\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{cl}(B) } & \text{op}の性質 \\ & \subseteq & \text{op}\bracket{ \text{cl}\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap B } } & \text{op}\circ\text{cl}(A)は開集合, (2) \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}\bracket{ \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cap B } } } & \text{op}の性質 \\ & \subseteq & \text{op}\bracket{ \text{cl}\bracket{ \text{op}\bracket{ \text{cl}( A \cap B ) } } } & Bは開集合, (2) \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A \cap B) } & (1) \\ & \subseteq & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cap \text{cl}(B) } & \text{cl}の単調性 \\ & \equ & \text{op}( \text{cl}(A) ) \cap \text{op}( \text{cl}(B) ) & \text{op}の性質 \end{array}$
      である。
$(X, \mathcal{O}_X)$ を位相空間とする。
$\text{op}$ は開核作用素、$\text{cl}$ は閉包作用素とする。
$\text{RegOp}(X) :\equiv \Set{ A \subseteq X }{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \equ A }$
$A, B \in \text{RegOp}(X)$ に対し、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} A + B & :\equiv & \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) \\ A \cdot B & :\equiv & A \cap B \\ - A & :\equiv & \text{op}(X \backslash A) \equ X \backslash \text{cl}(A) \end{array}\right.$ と置く。
  1. $(\text{RegOp}(X), +, \cdot, -, \phi, X) \text{はブール代数}$ が成り立つ。
      以下において、$A, B, C \in \text{RegOp}(X)$ とする。
    • $\phi, X \in \text{RegOp}(X)$ は明らかである。
    • $(0)$
      $\text{RegOp}(X) \text{は}+, \cdot, -\text{の演算で閉じている}$が成り立つ。
      • $(\text{i})$$\text{op}\circ\text{cl}(A + B) \equ \text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) \equ \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) \equ A + B$ である。
      • よって、$A + B \in \text{RegOp}(X)$ である。
      • $(\text{ii})$$\text{op}\circ\text{cl}(A \cap B)$ $\equ$ 4個の作用素は2個にできる(他) $\text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(B)$ $\equ$ $A, B \in \text{RegOp}(X)$ $A \cap B$ である。
      • よって、$A \cdot B \in \text{RegOp}(X)$ である。
      • $(\text{iii})$$\text{op}\circ\text{cl}(-A) \equ \text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}(X \backslash A)$ $\equ$ $X \backslash A$ は閉集合 $\text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}(X \backslash A) \equ \text{op}\circ\text{cl}(X \backslash A)$
        $\equ$ $X \backslash A$ は閉集合 $\text{op}(X \backslash A) \equ -A$ である。
      • よって、$-A \in \text{RegOp}(X)$ である。
    • $(1)$交換則は明らか。
    • $(2)$結合則について。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A + (B + C) & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}\parenth{ A \cup \text{op}\circ\text{cl}(B \cup C) } } & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A ) \cup \text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}(B \cup C) } } & \text{cl}の性質 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A ) \cup \text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}(\text{op}(B \cup C) ) } } & B \cup C \text{は開集合} \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A ) \cup \text{cl}(\text{op}(B \cup C)) } & 上記定理 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A ) \cup \text{cl}(B \cup C) } & B \cup C \text{は開集合} \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A \cup B \cup C ) } & \text{cl}の性質 \\ \end{array}$
      である。
    • 同様にして$(A + B) + C \equ \text{op}\circ\text{cl}( A \cup B \cup C )$である。
    • よって、$A + (B + C) \equ (A + B) + C$ である。
    • また、明らかに$A \cdot (B \cdot C) \equ (A \cdot B) \cdot C$ である。
    • $(3)$吸収則について。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A \cdot ( A + B ) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cap \text{cl}(A \cup B) } & \text{op}の性質 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cap \parenth{ \text{cl}(A) \cup \text{cl}(B) } } & \text{cl}の性質 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) } & \cap, \cupの吸収律 \\ & \equ & A & \end{array}$
      である。
    • また、$A + (A \cdot B) \equ \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ A \cup (A \cap B) } \equ \text{op}\circ\text{cl}( A ) \equ A$ である。
    • $(\text{4})$分配則について。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A \cdot ( B + C ) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(B \cup C) & \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ A \cap (B \cup C) } & 上記定理 \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ (A \cap B) \cup (A \cap C) } & \\ & \equ & A \cdot B + A \cdot C \end{array}$
      である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} (A + B) \cdot (A + C) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) \cap \text{op}\circ\text{cl}(A \cup C) & \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ (A \cup B) \cap (A \cup C) } & 上記定理 \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ A \cup (B \cap C) } & \\ & \equ & A + B \cdot C \end{array}$
      である。
    • $(\text{5})$単位元について。
    • 明らかに$A \cdot \phi \equ \phi$ である。
    • $A + X \equ \text{op}\circ\text{cl}(A \cup X) \equ X$ である。
    • $(\text{6})$補元則について。
    • $A \cdot (-A) \equ A \cap (X \backslash \text{cl}(A)) \subseteq \text{cl}(A) \cap (X \backslash \text{cl}(A)) \equ \phi$ である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A + (-A) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ A \cup \parenth{ X \backslash \text{cl}(A) } } & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cup \text{cl}\parenth{ X \backslash \text{cl}(A) } } & \text{cl}の性質 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cup \parenth{ X \backslash \text{op}(\text{cl}(A)) } } & \text{op}, \text{cl}の書き換え \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cup \parenth{ X \backslash A } } & A \in \text{RegOp}(X) \\ & \supseteq & \text{op}\bracket{ A \cup (X \backslash A) } & \\ & \equ & \text{op}(X) \equ X & \\ \end{array}$
      である。
  2. ブール代数から順序集合が定義できることについては省略。
    $\text{RegOp}(X) \text{は完備}$、つまり、
    $\all \mathcal{U} \subseteq \text{RegOp}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}c@{}l@{}} & \sum\limits_{U \in \mathcal{U}} U & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup \mathcal{U} } \\ \text{かつ} & \prod\limits_{U \in \mathcal{U}} U & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap \mathcal{U} } \end{array}\right.$が成り立つ。
    • 注意:$A, B \in \text{RegOp}(X)$に対して、$A \leq B \Leftrightarrow A \cdot B \equ A \Leftrightarrow A \cap B \equ A \Leftrightarrow A \subseteq B$ である。
    • $(\text{i})$$\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup \mathcal{U} } \in \text{RegOp}(X)$である。
    • $\all U \in \mathcal{U} \; U \equ \text{op}\circ\text{cl}(U) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup \mathcal{U} }$ である。
    • 任意に$A \in \text{RegOp}(X)$を取り、$\all U \in \mathcal{U} \; U \subseteq A$を仮定する。
    • $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup \mathcal{U} }$ $\subseteq$ 仮定 $\text{op}\circ\text{cl}(A)$ $\equ$ $A \in \text{RegOp}(X)$ $A$である。
    • $(\text{ii})$$\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap \mathcal{U} } \in \text{RegOp}(X)$である。
    • $\all U \in \mathcal{U} \; \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap \mathcal{U} } \subseteq \text{op}\circ\text{cl}(U) \equ U$ である。
    • 任意に$A \in \text{RegOp}(X)$を取り、$\all U \in \mathcal{U} \; A \subseteq U$を仮定する。
    • $A$ $\equ$ $A \in \text{RegOp}(X)$ $\text{op}\circ\text{cl}(A)$ $\subseteq$ 仮定 $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap \mathcal{U} }$である。
$(X, \leq)$を順序集合とする。
$x \in X$に対し、$(x] :\equiv \Set{ y \in X }{ y \leq x }$と置く。
$\mathcal{O}_X :\equiv \parenth{ \Set{ (x] }{ x \in X } \text{から生成される開集合系} }$と置き、
$(X, \mathcal{O}_X)$を位相空間と考える。
  1. $\mathcal{O}_X \equ \Set{ U \subseteq X }{ \all x \in U \; (x] \subseteq U }$が成り立つ。
  2. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \all A \subseteq X \;\; \text{op}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \subseteq A } \\ (\text{ii}) & \all A \subseteq X \;\; \text{cl}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \cap A \nequ \phi } \end{array}\right.$が成り立つ。
    • $(\text{i})$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \text{op}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ x \in \exi U \in \mathcal{O}_X \;\; U \subseteq A } & \\ & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \subseteq A } & (1) \end{array}$
      である。
    • $(\text{ii})$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \text{cl}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ x \in \all U \in \mathcal{O}_X \;\; U \cap A \nequ \phi } & \\ & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \cap A \nequ \phi } & (1) \end{array}$
      である。
  3. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \all x, y \in X \;\bracket{ x \leq y \Rightarrow y \in \text{cl}(\{x\}) } \\ (\text{ii}) & \all a \in X \;\bracket{ \all x \in X \;\; x \leq a \Rightarrow \phi \nequ \all A \subseteq X \;\; a \in \text{cl}(A) } \end{array}\right.$が成り立つ。
    • ($\text{i}$)$x \in (y] \cap \{x\}$なので、(2)$(\text{ii})\supseteq$より、 $y \in \text{cl}(\{x\})$である。
    • ($\text{ii}$)$\exi c \in A$である。
    • $a$ $\in$ $c \leq a$と($\text{i}$) $\text{cl}(\{c\}) \subseteq \text{cl}(A)$である。
  4. $\all A \subseteq X \;\; \text{op}\circ\text{cl}(A) \equ \Set{ x \in X }{ \all y \in (x] \;\; (y] \cap A \nequ \phi }$が成り立つ。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \text{op}\circ\text{cl}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \subseteq \text{cl}(A) } & (2)(\text{i}) \\ & \equ & \Set{ x \in X }{ \all y \in (x] \;\; (y] \cap A \nequ \phi } & (2)(\text{ii}) \end{array}$
      である。
  5. $\text{RegOp}(X) \equ \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \all x \in X \backslash A \; \exi y \in (x] \;\bracket{ (y] \cap A \equ \phi } }$が成り立つ。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \text{RegOp}(X) & \equ & \Set{ A \subseteq X }{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \equ A } & 定義 \\ & \equ & \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \equ A } & \text{op}\circ\text{cl}(A) \in \mathcal{O}_X \\ & \equ & \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \subseteq A } & \supseteq \text{は} A \in \mathcal{O}_X \text{から} \end{array}$
      $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} & \equ & \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \all x \in X \;\bracket{ \bracket{ \all y \in (x] \;\; (y] \cap A \nequ \phi } \Rightarrow x \in A } }& (4) \\ & \equ & \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \all x \in X \backslash A \;\bracket{ \exi y \in (x] \;\; (y] \cap A \equ \phi } } & 対偶 \\ \end{array}$
      である。

$X$は完備ブール代数とする。
$(X_0 :\equiv X \backslash \{0\}, \leq)$はブール代数から定められる順序集合とする(詳細は略)。
$X \text{は} \text{RegOp}(X_0) \text{とブール代数として同型}$が成り立つ。
  • $f : X \rightarrow \text{Pow}(X_0), x \mapsto (x]$と定義する。
    $(x] \subseteq X_0$で考えているので、$(0] \equ \phi$であることに注意。
  • この$f$が$X$から$\text{RegOp}(X_0)$へのブール同型写像であることを示す。
  • $(\text{i})$
    $\all z \in X \; f(z) \in \text{RegOp}(X_0)$が成り立つ。
    • (あ)[対偶]$x \in X_0 \backslash (z]$を任意に取る。
    • $x \not\leq z$なので、$x \cdot (-z) \nequ 0$である。
    • また、$x \cdot (-z) \leq x$であり、
      $(x \cdot (-z)] \cap (z]$ $\equ$ $(x \cdot (-z)) \cdot z \equ 0 \not\in X_0$ $\phi$である。
    • これらより、$\exi y \in (x] \;\; (y] \cap (z] \equ \phi$である。
    • 従って、ブール代数→順序集合→位相→完備ブール代数(4)より、$x \not\in \text{op}\circ\text{cl}(z]$である。
    • よって、$X_0 \backslash (z] \subseteq X_0 \backslash \text{op}\circ\text{cl}(z]$である。
    • (い)$(z] \subseteq \text{op}\circ\text{cl}(z]$は明らかである。
  • $(\text{ii})$
    $f \text{は準同型}$が成り立つ。
    • $x, y \in X$を任意に取る。
    • (あ)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} (x] \cap (y] & \equ & \Set{ z \in X_0 }{ z \leq x \land z \leq y } \\ & \equ & \Set{ z \in X_0 }{ z \leq x \cdot y } \\ & \equ & (x \cdot y] \end{array}$
      である。
    • (い)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} -(x] & \equ & X_0 \backslash \text{cl}(x] & \\ & \equ & \Set{ y \in X_0 }{ (y] \cap (x] \equ \phi } & 上記(2)(\text{ii}) \\ & \equ & \Set{ y \in X_0 }{ x \cdot y \equ 0 } & \\ & \equ & \Set{ y \in X_0 }{ y \leq -x } \equ (-x] & \end{array}$
      である。
    • (う)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} (x] + (y] & \equ & -\bracket{ -(x] \cdot -(y] } & \text{RegOp}(X_0)でのド・モルガンの法則 \\ & \equ & -\bracket{ (-x] \cdot (-y] } & (い) \\ & \equ & -( (-x) \cdot (-y) ] & (あ) \\ & \equ & ( -\parenth{ (-x) \cdot (-y) } ] & (い) \\ & \equ & (x + y] & Xでのド・モルガンの法則 \\ \end{array}$
      である。
    • (え)$A \subseteq X$を任意に取る。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \prod\limits_{a \in A} f(a) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap\limits_{a \in A} f(a) } & \text{RegOp}(X_0)は完備 \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\Set{ x \in X_0 }{ \all a \in A \;\; x \leq a } & \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\Set{ x \in X_0 }{ x \leq \prod\limits_{a \in A} a } & \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\left( \prod\limits_{a \in A} a \right] & \\ & \equ & \left( \prod\limits_{a \in A} a \right] \equ f\parenth{ \prod\limits_{a \in A} a } & (\text{i}) \end{array}$
      である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \sum\limits_{a \in A} f(a) & \equ & -\prod\limits_{a \in A} \; -f(a) & \text{RegOp}(X_0)でのドモルガンの法則 \\ & \equ & -\prod\limits_{a \in A} \; f(-a) & (い) \\ & \equ & -f\parenth{ \prod\limits_{a \in A} \; -a } & \\ & \equ & f\parenth{ -\prod\limits_{a \in A} \; -a } & (い) \\ & \equ & f\parenth{ \sum\limits_{a \in A} \; a } & Xでのドモルガンの法則 \\ \end{array}$
      である。
  • $(\text{iii})$
    $f \text{は全単射}$が成り立つ。
    • $(\text{あ})$$x, y \in X$を任意に取り、$f(x) \equ f(y)$を仮定する。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (x + (-y)] & \equ & f( x + (-y) ) & \equ & f(x) + f(-y) & & \\ & \equ & f(x) + ( -f(y) ) & \equ & f(y) + ( -f(y) ) & \equ & X_0 \ni 1 \end{array}$
      なので、$1 \leq x + (-y)$である。
    • 従って、$y \equ y \cdot ( x + (-y) ) \equ x \cdot y$つまり、$y \leq x$である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (x \cdot (-y)] & \equ & f( x \cdot (-y) ) & \equ & f(x) \cdot f(-y) & & \\ & \equ & f(x) \cdot ( -f(y) ) & \equ & f(y) \cdot ( -f(y) ) & \equ & \phi \end{array}$
      なので、$0 \equ x \cdot (-y)$である。
    • 従って、$x \cdot y \equ x \cdot y + x \cdot (-y) \equ x$つまり、$x \leq y$である。
    • 単射の証明1,単射の証明2より、$x \equ y$である。
    • $(\text{い})$$A \in \text{RegOp}(X_0)$を任意に取る。
    • $\bigcup\limits_{a \in A} f(a)$ $\equ$ $\subseteq$は、$A \in \mathcal{O}_{X_0}$とブール代数→順序集合→位相→完備ブール代数(1)
      $\supseteq$は明らか。
      $A$である。
    • $f\parenth{ \sum\limits_{a \in A} a }$ $\equ$ $(\text{ii})$ $\sum\limits_{a \in A} f(a)$ $\equ$ 正則開集合全体の成す集合は完備ブール代数(2) $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{a \in A} f(a) }$ $\equ$ 集合Aの別表記 $\text{op}\circ\text{cl}(A)$ $\equ$ $A \in \text{RegOp}(X_0)$ $A$である。

以下は余談。
$(X, \leq)$は順序集合とする。
$A \subseteq X$に対し、$極小(A) :\equiv \Set{ a \in A }{ \all x \in A \;\bracket{ x \leq a \Rightarrow x \equ a } }$と定義する。
  1. $\all A \in \mathcal{O}_X \; \all B \subseteq X \;\bracket{ A \subseteq B \Rightarrow 極小(A) \subseteq 極小(B) }$が成り立つ。
    • $a \in 極小(A)$を任意に取る。
    • $a \in A \subseteq B$である。
    • $x \in B$を任意に取り、$x \leq a$を仮定する。
    • $x \in (a]$ $\subseteq$ $A \in \mathcal{O}_X$ $A$なので、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & a \in 極小(A) \\ \land & x \leq a \end{array}\right.$を併せて、$x \equ a$である。
    • よって、$a \in 極小(B)$である。
  2. $\all A \in \mathcal{O}_X \;\; 極小(A) \in \mathcal{O}_X$が成り立つ。
    • $x \in 極小(A)$を任意に取る。
    • $x \in 極小(A)$ $\subseteq$ $A \in \mathcal{O}_X$と(1) $極小(X)$なので、$(x] \equ \{x\}$である。
    • よって、$(x] \equ \{x\} \subseteq 極小(A)$である。
  3. 以下では、$\all x \in X \;\; 極小(x] \nequ \phi$を仮定する。
  4. $\all A \in \mathcal{O}_X \;\; \text{cl}(A) \equ \text{cl}(極小(A))$が成り立つ。
    • $\subseteq$$x \in \text{cl}(A)$を任意に取る。
    • $(x] \cap A \nequ \phi$なので、$\exi y \in (x] \cap A$である。
    • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} & 極小(y] \subseteq (x] & \\ かつ & 極小(y] \subseteq 極小(A) & A \in \mathcal{O}_X, (1) \end{array}\right.$である。
    • $\phi$ $\nequ$ 仮定 $極小(y]$ $\subseteq$ 非空な切片の部分集合から極小元を取れる $(x] \cap 極小(A)$である。
    • よって、$x \in \text{cl}(極小(A))$である。
    • $\supseteq$$A \supseteq 極小(A)$なので明らか。
  5. $A, B \in \text{RegOp}(X)$とする。
    $\left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}c@{}c@{}} (\text{i}) & A & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(極小(A)) \\ (\text{ii}) & A \cdot B & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ 極小(A) \cap 極小(B) } \\ (\text{iii}) & A + B & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ 極小(A) \cup 極小(B) } \\ (\text{iv}) & -A & \equ & \text{op}\bracket{ X \backslash 極小(A) } \\ \end{array}\right.$が成り立つ。
    • ($\text{i}$)$A \equ \text{op}\circ\text{cl}(A)$ $\equ$ (3) $\text{op}\circ\text{cl}(極小(A))$である。
    • ($\text{ii}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A \cdot B & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(極小(A)) \cap \text{op}\circ\text{cl}(極小(B)) & (\text{i}) \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ 極小(A) \cap 極小(B) } & (2),定理1(3) \end{array}$
      である。
    • ($\text{iii}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A + B & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cup \text{cl}(B) } & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(極小(A)) \cup \text{cl}(極小(B)) } & (3) \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}\bracket{ 極小(A) \cup 極小(B) } } & \\ \end{array}$
      である。
    • ($\text{iv}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} -A & \equ & \text{op}(X \backslash A) \equ X \backslash \text{cl}(A) & 定義 \\ & \equ & X \backslash \text{cl}(極小(A)) & (3) \\ & \equ & \text{op}\bracket{ X \backslash 極小(A) } & \text{op}と\text{cl}の関係 \end{array}$
      である。