ブール代数2：$\text{Generic}$について
$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。
$\phi \nequ A \subseteq X$とする。
$(X, \leq)$を順序集合とする。
$\phi \nequ A \subseteq X$とする。
$X$をブール代数とする。
$X$を順序集合とも考える。
$\phi \nequ A \subseteq X$とする。
| $A$は$\text{filter}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & 1 \in A \\ (2) & \all a, b \in A \;\; a \cdot b \in A \\ (3) & \all a \in A \;\; \all x \in X \;\; a + x \in A \end{array}\right.$ |
| $A$は$\text{固有filter}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \text{はfilter}、及び \\ (4) & 0 \not\in A \end{array}\right.$ |
| $A$は$\text{極大filter}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \text{は固有filter}、及び \\ (5) & A \subseteq \all F \subseteq X \;\bracket{ F \text{は固有filter} \Rightarrow A \equ F } \end{array}\right.$ |
- $A \text{は固有filter}$とする。
$\left[\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \subseteq \all F \subseteq X \;\bracket{ F \text{は固有filter} \Rightarrow A \equ F } \\ \Leftrightarrow & \all x \in X \;\parenth{ x \in A \veebar -x \in A } \end{array}\right]$が成り立つ。
(注意:$\veebar$は排他的論理和)- $0 \not\in A$なので、$\all \in x \in X \;\; \neg \bracket{ x \in A \land -x \in A }$は常に成り立っていることに注意する。
- $\Rightarrow$$x \in X$を任意に取る。
- $F :\equ \Set{ z \in X }{ \exi y \in A \;\; x \cdot y \leq z }$と置く。
- 簡単な計算により、$A \subseteq F \text{はfilter}$である。
- 従って、仮定より、$\bracket{ 0 \not\in F \Rightarrow A \equ F }$、つまり、$\bracket{ 0 \in F \lor A \equ F }$、
つまり、$\bracket{ F \equ X \lor A \equ F }$である。 - $F \equ X$の場合:
- $-x \in X \equ F$なので、$\exi y \in A \;\; x \cdot y \leq -x$である。
- 従って、$-x \equ -x + x \cdot y \equ ( (-x) + x ) \cdot ( (-x) + y ) \equ (-x) + y$ $\in$ $A \text{はfilter}$ $A$である。
- $A \equ F$の場合:
- $x \cdot 1 \leq x$なので、$x \in F \equ A$である。
- よって、$\bracket{ x \in A \lor -x \in A }$である。
- $\Leftarrow$任意に$A \subseteq F \subseteq X$なる$F$を取り、$F \text{は固有filter}$を仮定する。
- $\all x \in F \;\; x \in A$の場合：
- $A \equ F$である。
- $\exi x \in F \;\; x \not\in A$の場合：
- 仮定より、$-x \in A$である。従って、$-x \in A \subseteq F$である。
- 従って、$0 \equ x \cdot (-x) \in F$であるが、$F \text{は固有filter}$に矛盾している。
$(X, \leq)$を順序集合とする。
$\phi \nequ A \subseteq X$とする。
| $A$は$\text{filter}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all a, b \in A \; \exi x \in A \;\bracket{ x \leq a \land x \leq b } \\ \text{かつ} & \all x \in X \;\bracket{ \exi a \in A \;\; a \leq x \Rightarrow x \in A } \end{array}\right.$ |
| $A$は$\text{極大filter}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \text{はfilter} \\ \text{かつ} & A \subseteq \all F \subseteq X \;\bracket{ F \text{はfilter} \Rightarrow A \equ F } \end{array}\right.$ |
$X$をブール代数とする。
$X$を順序集合とも考える。
$\phi \nequ \all A \subseteq X \bracket{ A は(ブール代数の)\text{filter} \Leftrightarrow Aは(順序集合の)\text{filter} }$が成り立つ。
- $\Rightarrow$$\all a, b \in A \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & a \cdot b \in A \\ かつ & a \cdot b \leq a \land a \cdot b \leq b \end{array}\right.$である。
- $x \in X$を任意に取り、$\exi a \in A \;\; a \leq x$を仮定する。
- $x \equ a + x \in A$である。
- $\Leftarrow$$A \nequ \phi$なので、$\exi c \in A$である。
- $c \leq 1$なので、$1 \in A$である。
- $a, b \in A$を任意に取る。
- $\exi x \in A \;\bracket{ x \leq a \land x \leq b }$なので、$x \leq a \cdot b$である。
- $x \in A \land x \leq a \cdot b$なので、$a \cdot b \in A$である。
- $a \in A, x \in X$を任意に取る。
- $a \in A \land a \leq a + x$なので、$a + x \in A$である。
$\mathcal{X} \equ (X, \leq)$を順序集合とする。
$\phi \nequ A \subseteq X$とする。
$M$を集合とする。
$\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} A は\mathcal{X}\text{-generic over} \ M & :\Leftrightarrow & \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all a, b \in A \; \exi x \in {\color{red} X} \;\bracket{ x \leq a \land x \leq b } \\ \text{かつ} & \all x \in X \;\bracket{ \exi a \in A \;\; a \leq x \Rightarrow x \in A } \\ \text{かつ} & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\bracket{ \text{cl}(S) \equ X \Rightarrow A \cap S \nequ \phi } \end{array}\right. \\ A は\text{強}\mathcal{X}\text{-generic over} \ M & :\Leftrightarrow & \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \text{はfilter} \\ \text{かつ} & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\bracket{ \text{cl}(S) \equ X \Rightarrow A \cap S \nequ \phi } \end{array}\right. \end{array}$
$x \in X$に対し、$(x] :\equiv \Set{ y \in X }{ y \leq x }$と置く。$M$に関する述語$\mathcal{M}_i \;(i \equ 1, 2, 3)$を次で定義する：
$\begin{array}{@{}c@{}c@{}cl} \mathcal{M}_1(X) : & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) & S \cup X \backslash \text{cl}(S) & \in M \\ \mathcal{M}_2(X) : & \all x \in X & (x] \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) & \in M \\ \mathcal{M}_3(X) : & \all x, y \in X & \bracket{ (x] \cap (y] } \cup X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } & \in M \end{array}$
$M \cap \text{Pow}(X) \text{は加算}$を仮定する。
$\all x \in X \;\; x \in \exi A \subseteq X \;\; A \text{は}\text{強}\mathcal{X}\text{-generic over} \ M$が成り立つ$^{AC}$。
- $\Set{ S \in M \cap \text{Pow}(X) }{ \text{cl}(S) \equ X}$ $\equ$ 仮定により
こちらも加算 $\braces{ S_0, S_1, \cdots, S_n, \cdots }$と表す。 - $\all n \in \mathbb{N} \;\; \all x \in X \;\; (x] \cap S_n$ $\nequ$ $\text{cl}(S_n) \equ X$ $\phi$なので、$\exi f \in \prod\limits_{(n, x) \in \mathbb{N} \times X} (x] \cap S_n$である$^{AC}$。
- $a_0 :\equ x, a_{n+1} :\equ f(n, a_n) \;\parenth{ n \in \mathbb{N} }$と定義する。
$A :\equiv \Set{ a \in X }{ \exi n \in \mathbb{N} \;\; a_n \leq a }$と置く。 - この$A$が求めるものであることを示す。
- (1)明らかに$x \equ a_0 \in A$である。
- (2)$a, b \in A$を任意に取り、$a_n \leq a, a_m \leq b \;\parenth{ n \leq m }$と仮定する。
- $a_{n+1} \equ f(n, a_n) \in (a_n]$なので、$a_{n+1} \leq a_n$である。
これを繰り返して、$a_m \leq \cdots \leq a_n$である。 - よって、$a_m \in A \land a_m \leq a \land a_m \leq b$である。
- また、$\all x \in X \;\bracket{ \exi a \in A \;\; a \leq x \Rightarrow x \in A }$は$A$の定義から明らか。
- (3)$n \in \mathbb{N}$を任意に取る。
- $a_{n+1} \equ f(n, a_n) \in S_n$なので、$a_{n+1} \in A \cap S_n$である。
- $\mathcal{M}_1(X)$を仮定する。
$\bracket{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\bracket{ \text{cl}(S) \equ X \Rightarrow A \cap S \nequ \phi } \\ \Leftrightarrow & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\; A \cap \parenth{ S \cup X \backslash \text{cl}(S) } \nequ \phi \end{array}}$が成り立つ。
- $\Rightarrow$仮定[$\mathcal{M}_1(X)$]より、$S \cup X \backslash \text{cl}(S) \in M \cap \text{Pow}(X)$である。
- $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \text{cl}\bracket{ S \cup X \backslash \text{cl}(S) } & \equ & \text{cl}(S) \cup \text{cl}\parenth{ X \backslash \text{cl}(S) } \\ & \supseteq & \text{cl}(S) \cup \parenth{ X \backslash \text{cl}(S) } \\ & \equ & X \end{array}$
である。 - よって、$A \cap \parenth{ S \cup X \backslash \text{cl}(S) } \nequ \phi$である。
- $\Leftarrow$$S \in M \cap \text{Pow}(X)$を任意に取り、$\text{cl}(S) \equ X$を仮定する。
- $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \phi & \nequ & A \cap \parenth{ S \cup X \backslash \text{cl}(S) } \\ & \equ & A \cap \parenth{ S \cup \phi } \\ & \equ & A \cap S \end{array}$
である。
- $\mathcal{M}_2(X)$を仮定する。
$\phi \nequ \all A \subseteq X \;\bracket{ A は\mathcal{X}\text{-generic over} \ M \Rightarrow A \subseteq \all \text{filter} \ B \subseteq X \;\; A \equ B }$が成り立つ。
- 任意に$\text{filter} \ B \subseteq X$を取り、$A \subseteq B$を仮定する。
- $x \in B$を任意に取る。
- 仮定[$\mathcal{M}_2(X)$]より、$(x] \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) \in M \cap \text{Pow}(X)$である。
- $\text{cl}\bracket{ (x] \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) }$ $\supseteq$ (1)と同じ議論 $\text{cl}( (x] ) \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) \equ X$である。
- 従って、仮定を併せて、$\exi y \in A \cap \parenth{ (x] \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) }$である。
- $y \in A \subseteq B, x \in B かつ B \text{はfilter}$なので、$\exi z \in B \;\bracket{ z \leq x \land z \leq y }$である。
- 従って、$(y] \cap (x] \nequ \phi$つまり、$y \in \text{cl}( (x] )$つまり、$y \not\in X \backslash \text{cl}( (x] )$である。
- 従って、filterの性質を使う基となる命題を併せて、$y \in (x]$である。
- 従って、$y \in A$, 仮定[$A$]を併せて、$x \in A$である。
- よって、$B \subseteq A$である。
- $\mathcal{M}_3(X)$を仮定する。
$\phi \nequ \all A \subseteq X \;\bracket{ A は\mathcal{X}\text{-generic over} \ M \Rightarrow A \text{はfilter} }$が成り立つ。
- $\all x, y \in A \;\; A \cap \bracket{ (x] \cap (y] } \nequ \phi$を証明すればよい。
- $S :\equ \bracket{ (x] \cap (y] } \cup X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } \;( $ $\in$ 仮定[$\mathcal{M}_3(X)$] $M \cap \text{Pow}(X) )$と置く。
$\text{cl}(S) \equ X$が成り立つ。
- $z \in X$を任意に取る。
- $(z] \cap X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } \nequ \phi$の場合：
- $\phi \nequ (z] \cap X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } \subseteq (z] \cap S$なので、$z \in \text{cl}(S)$である。
- $(z] \cap X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } \equ \phi$の場合：
- $(z] \subseteq \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] )$である。
- $z \in \text{cl}( (x] )$なので、$(z] \cap (x] \nequ \phi$である。
従って、$\exi u \in X \;\bracket{ u \leq z \land u \leq x }$である。 - $u \in (z] \subseteq \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) \subseteq \text{cl}( (y] )$なので、$(u] \cap (y] \nequ \phi$である。
- これらより、$\phi \nequ (u] \cap (y] \subseteq \parenth{ (z] \cap (x] } \cap (y] \subseteq (z] \cap S$である。
- よって、$z \in \text{cl}(S)$である。
- 従って、仮定を併せて、$A \cap S \nequ \phi$である。
$A \subseteq \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] )$が成り立つ。
- $z \in A$を任意に取る。
- $z, x \in A$と$A \text{はfilter}$より、$(z] \cap (x] \nequ \phi$である。
- 従って、$z \in \text{cl}( (x] )$である。
- 同様に、$z \in \text{cl}( (y] )$である。
- これらより、$A \cap \bracket{ (x] \cap (y] } \nequ \phi$である。
$\mathcal{X} \equ (X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。
$M$を集合とする。
$M$を集合とする。
$X はM\text{-complete(完備)} :\Leftrightarrow \all A \in M \cap \text{Pow}(X) \;\; \exi \sum\limits_{a \in A} a \in X$
$M$に関する述語$\mathcal{M}_4$を次で定義する：
$\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \mathcal{M}_4(X) : & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\; \Set{ -x }{ x \in S } \in M \end{array}$
$\phi \nequ A \subseteq X$とし、$A \text{はfilter}$とする。
$\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A \text{はcomplete(完備)} & :\Leftrightarrow & \all B \in \text{Pow}(A) & \prod\limits_{b \in B} b \in A \\ A \text{は}M\text{-complete(完備)} & :\Leftrightarrow & \all B \in M \cap \text{Pow}(A) & \prod\limits_{b \in B} b \in A \end{array}$
｢順序集合$X$における$\text{generic over} \ M$｣と｢$M \text{-完備ブール代数} \text{RegOp}^M(X)$における$M \text{-完備極大filter}$｣が可逆に対応している：
${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}*[white]\xymatrix@C=20pt@R=15pt{ & 順序集合X \ar@1{-} `l[ldd] `d[ddr] `r[r] `u[l] [] & & & M\text{-完備ブール代数}\text{RegOp}^M(X) \ar@1{-} `l[ldd] `d[ddr] `r[r] `u[l] & \\ & \text{generic over} \ M \ar@1@/^1pc/[rrr]^(.45)f & & & M\text{-完備極大filter} \ar@1@/^1pc/[lll]^(.55)g & \\ & & & & & }\end{xy} }}$
[注意](3)($\text{i}$)($\text{iii}$),(4)($\text{i}$)の証明が未完成。
$\mathcal{X} \equ (X, \leq)$を順序集合とする。
$M$を集合とし、$M$はZF集合論のモデル、かつ、$\mathcal{X} \in M$と仮定する。
$\text{RegOp}^M(X) :\equ M \cap \text{RegOp}(X)$と置く。
$M$を集合とし、$M$はZF集合論のモデル、かつ、$\mathcal{X} \in M$と仮定する。
$\text{RegOp}^M(X) :\equ M \cap \text{RegOp}(X)$と置く。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \text{RegOp}^M(X) \text{は}M\text{-完備ブール代数} \\ (\text{ii}) & \mathcal{M}_1(X), \mathcal{M}_2(X), \mathcal{M}_3(X), かつ, \mathcal{M}_4( \text{RegOp}^M(X) ) \end{array}\right.$が成り立つ。
- これらの証明は略。
- $\text{Gen}_M(X) :\equ \Set{ A \subseteq X }{ A は\mathcal{X}\text{-generic over} \ M }$と置く。
$f : \text{Gen}_M(X) \rightarrow \text{Pow}( \text{RegOp}^M(X) ), A \mapsto \Set{ U \in \text{RegOp}^M(X) }{ A \cap U \nequ \phi }$と置く。
$\text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) ) :\equ \Set{ \mathcal{B} \subseteq \text{RegOp}^M(X) }{ \mathcal{B} \text{は}M\text{-完備極大filter} }$と置く。
$g : \text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) ) \rightarrow \text{Pow}(X), \mathcal{B} \mapsto \Set{ x \in X }{ \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in \mathcal{B} }$と置く。 $\all A \in \text{Gen}_M(X) \;\; f(A) \in \text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) )$が成り立つ。
- ($\text{i}$)$\phi \not\in f(A)$は明らか。また、$\phi \nequ A \equ A \cap X$なので、$X \in f(A)$である。
- ($\text{ii}$)$U \in f(A), V \in \text{RegOp}^M(X)$を任意に取る。
- (1)($\text{i}$)より、$U + V \in \text{RegOp}^M(X)$である。
- $\phi \nequ A \cap U \subseteq A \cap \parenth{ U + V }$なので、$U + V \in f(A)$である。
- ($\text{iii}$)$U_1, U_2 \in f(A)$を任意に取る。
- (1)($\text{i}$)より、$U_1 \cdot U_2 \in \text{RegOp}^M(X)$である。
- $A \cap U_i \nequ \phi$なので、$\exi u_i \in A \;\; u_i \in U_i$、従って、$(u_i] \subseteq U_i$である($i \equ 1, 2$)。
- $A \in \text{Gen}_M(X)$, (1)($\text{ii}$)の$\mathcal{M}_3(X)$とM_iの定義と性質(3)より、$A \cap \parenth{ (u_1] \cap (u_2] } \nequ \phi$である。
- これらより、$\phi \nequ A \cap \parenth{ (u_1] \cap (u_2] } \subseteq A \cap \parenth{ U_1 \cap U_2 }$である。
- よって、$U_1 \cdot U_2 \equ U_1 \cap U_2 \in f(A)$である。
- ($\text{iv}$)極大であることを証明するために、その同値命題を証明する。
- $U \in \text{RegOp}^M(X)$を任意に取る。
- $U \cup (-U) \equ U \cup X \backslash \text{cl}(U)$ $\in$ $\mathcal{M}_1(X)$ $M$である。
- $\text{cl}( U \cup (-U) ) \supseteq \text{op}\circ\text{cl}( U \cup (-U) ) \equ U + (-U) \equ X$である。
- これらより、$A \in \text{Gen}_M(X)$を併せて、$A \cap ( U \cup (-U) ) \nequ \phi$
つまり、$\bracket{ A \cap U \nequ \phi \lor A \cap (-U) \nequ \phi }$である。 - よって、$\bracket{ U \in f(A) \lor (-U) \in f(A) }$である。
- ($\text{v}$)$\mathcal{B}_0 \in M \cap \text{Pow}( f(A) )$を任意に取る。
- (あ)まず、$\Set{ -U }{ U \in \mathcal{B}_0 }$ $\in$ $\mathcal{B}_0 \in M \cap \text{Pow}( \text{RegOp}^M(X) )$,
(1)($\text{ii}$)の$\mathcal{M}_4( \text{RegOp}^M(X) )$ $M$である。
従って、(1)($\text{i}$)を併せて、$\exi \sum\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) \in \text{RegOp}^M(X)$である。 - 従って、$\prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \equ -\sum\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) \in \text{RegOp}^M(X)$である。
- (い)$A \in \text{Gen}_M(X)$, (1)($\text{ii}$)の$\mathcal{M}_1(X)$, M_iの定義と性質(1)より、$A \cap \bracket{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \cup X \backslash \text{cl}\parenth{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } } \nequ \phi$である。
$A \cap X \backslash \text{cl}\parenth{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } \equ \phi$が成り立つ。
- [背理法]$A \cap X \backslash \text{cl}\parenth{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } \nequ \phi$を仮定する。
$A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) } \nequ \phi$が成り立つ。
- 仮定[背理法]より、$\exi a \in A \;\; a \in X \backslash \text{cl}\parenth{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } \equ \text{op}\parenth{ X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U }$である。
従って、$(a] \subseteq X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U$である。 - 従って、$\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U }$ $\equ$ $X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \text{は閉集合}$ $\text{op}\parenth{ X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } \subseteq X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U$である。
- $\mathcal{B}_1 :\equ \mathcal{B}_0 \cup \{ \text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \}$と置く。
-
である。$\prod\limits_{U \in \mathcal{B}_1} U $ $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap\limits_{ U \in \mathcal{B}_1} U } \equ \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \cap \bigcap\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U }$ $\subseteq$ $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( (a] ) } \cap \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U }$ $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \cap \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U$ $\equ$ opcl(a]･ΠU=φ $\phi$ - 従って、$X \equ -\prod\limits_{U \in \mathcal{B}_1} U \equ \sum\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) \equ \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) } \subseteq \text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) }$である。
- 従って、$A \in \text{Gen}_M(X)$より、$A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) } \nequ \phi$である。
- ところで、$\all x \in A \;\; (x] \cap (a]$ $\nequ$ $A \text{は(順序集合の)filter}$ $\phi$、つまり、$A \subseteq \text{cl}( (a] )$である。
従って、$A \subseteq \text{cl}\circ\text{op}( (a] ) \equ \text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}( (a] ) \equ \text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}( (a] )$である。
従って、$A \cap X \backslash \text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( (a] ) } \equ \phi$である。 - これらより、
である。$\phi$ $\nequ$ $A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) }$ $\equ$ $A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) \cup -\text{op}\circ\text{cl}( (a] )}$ $\equ$ $\bracket{ A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) } } \cup \bracket{ A \cap -\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) }$ $\equ$ $A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) }$
- 仮定[背理法]より、$\exi a \in A \;\; a \in X \backslash \text{cl}\parenth{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } \equ \text{op}\parenth{ X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U }$である。
- 従って、$\exi a_0 \in A \;\; \exi U \in \mathcal{B}_0 \;\; a_0 \in -U \equ \text{op}( X \backslash U )$である。
従って、$(a_0] \subseteq X \backslash U$、つまり、$(a_0] \cap U \equ \phi$である。 - また、$U \in \mathcal{B}_0 \subseteq f(A)$なので、$A \cap U \nequ \phi$、つまり、$\exi a_1 \in A \;\; a_1 \in U \equ \text{op}(U)$である。
- これらより、$\phi$ $\nequ$ $A \text{は(順序集合の)filter}$ $(a_0] \cap (a_1] \subseteq (a_0] \cap U \equ \phi$となって矛盾する。
- これらより、$A \cap \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \nequ \phi$である。
- よって、$\prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \in f(A)$である。
$\all \mathcal{B} \in \text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) ) \;\; g(\mathcal{B}) \in \text{Gen}_M(X)$が成り立つ。
- [注意]$g(\mathcal{B}) \nequ \phi$の証明がわからない。
- ($\text{i}$)$x, y \in g(\mathcal{B})$を任意に取る。
- $\text{op}\circ\text{cl}( (x] \cap (y] )$ $\equ$ $(x], (y] \text{は開集合}$ $\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \cap \text{op}\circ\text{cl}( (y] )$ $\in$ $\mathcal{B} \text{は(ブール代数の)filter}$ $\mathcal{B}$である。
従って、$\phi \not\in \mathcal{B}$を併せて、$\text{op}\circ\text{cl}( (x] \cap (y] ) \nequ \phi$である。
従って、$(x] \cap (y] \nequ \phi$、つまり、$\exi z \in X \;\bracket{ z \leq x \lor z \leq y }$である。 - ($\text{ii}$)$x \in X$を任意に取り、$\exi a \in g(\mathcal{B}) \;\; a \leq x$を仮定する。
- $\text{op}\circ\text{cl}( (x] )$ $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}( (x] )$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) + \text{op}\circ\text{cl}( (x] )$ $\in$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \in \mathcal{B}$
$\mathcal{B} \text{は(ブール代数の)filter}$ $\mathcal{B}$である。
従って、$x \in \mathcal{B}$である。 - ($\text{iii}$)$S \in M \cap \text{Pow}(X)$を任意に取り、$\text{cl}(S) \equ X$を仮定する。
- $\sum\limits_{x \in S} \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \equ \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{x \in S} \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) }$ $\supseteq$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \supseteq (x] \supseteq \{x\}$ $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{x \in S} \{ x \} } \equ \text{op}\circ\text{cl}(S) \equ X$である。
$\exi x \in S \;\; \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in \mathcal{B}$が成り立つ。
- [背理法]$\all x \in S \;\; \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \not\in \mathcal{B}$を仮定する。
- 仮定[$\mathcal{B} \text{は極大}$]より、$\all x \in S \;\; -\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in \mathcal{B}$である。
- 従って、仮定[$\mathcal{B} \text{は}M\text{-完備}$]を併せて、$\prod\limits_{x \in S} ( -\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) ) \in \mathcal{B}$である。
↑注意↑ $\mathcal{B}$は${\color{red}M}\text{-complete}$なので、
この定義を$\mathcal{B}_0 :\equ \Set{ -\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) }{ x \in S }$に適用するに際しては、
$\mathcal{B}_0 \in M$であることをも証明してからでないとダメ。
でも、その証明が分からないし、
竹内外史の｢Axiomatic Set Theory｣ p33,
倉田令二郎、篠田寿一の｢公理的集合論｣ p145
においても全く触れられていない。 - 従って、$\mathcal{B} \ni \prod\limits_{x \in S} ( -\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) ) \equ -\sum\limits_{x \in S} \text{op}\circ\text{cl}( (x] )$ $\equ$ Σ_{x∈S}opcl(x]=X $-X \equ \phi$
- しかし、仮定[$\mathcal{B} \text{は極大filter}$]より$\phi \not\in \mathcal{B}$であるので、これらは矛盾している。
- 従って、$x \in g(\mathcal{B}) \cap S$である。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \all A \in \text{Gen}_M(X) & g( f(A) ) & \equ & A \\ (\text{ii}) & \all \mathcal{B} \in \text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) ) & f( g(\mathcal{B}) ) & \equ & \mathcal{B} \end{array}\right.$が成り立つ。
- ($\text{i}$)$\all x \in A \;\; x \in A \cap \text{op}\circ\text{cl}( (x] )$なので、$\all x \in A \;\; \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in f(A)$である。
↑注意↑ $\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in M$であることをも証明しなくてはいけない。
しかし、その証明が分からない。
竹内外史の｢Axiomatic Set Theory｣ p21~p22に若干近いことは書いてある。 - 従って、$A \subseteq g( f(A) )$である。
- よって、(1)($\text{ii}$)の$\mathcal{M}_2(X)$とM_iの定義と性質(2)より、$A \equ g( f(A) )$である。
- ($\text{ii}$)$U \in f( g(\mathcal{B}) )$を任意に取る。
- $g(\mathcal{B}) \cap U \nequ \phi$なので、$\exi x \in g(\mathcal{B}) \;\; x \in U$である。
従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in \mathcal{B} \\ かつ & \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}(U) \equ U \end{array}\right.$である。 - 従って、$\mathcal{B} \text{は(ブール代数の)(固有)filter}$を併せて、$U \in \mathcal{B}$である。
- よって、$f( g(\mathcal{B}) ) \subseteq \mathcal{B}$である。
- よって、(2)[$f( g(\mathcal{B}) ) \text{は極大filter}$], $\mathcal{B}\text{は固有filter}$を併せて、$f( g(\mathcal{B}) ) \equ \mathcal{B}$である。
- ($\text{i}$)$\all x \in A \;\; x \in A \cap \text{op}\circ\text{cl}( (x] )$なので、$\all x \in A \;\; \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in f(A)$である。
