ブール代数4:極大フィルター全体から作られる空間 - 手を動かさなくても分かる行間ゼロの大学数学

$(X, \leq)$を順序集合とする。
次の定義をする:

$\text{Uf}(X)$	$:\equ$	$\Set{ F \subseteq X }{ F \text{は}X\text{の極大filter} }$
$\text{Ngb} : X \rightarrow \text{Pow}( \text{Uf}(X) ), x \mapsto \Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ x \in F }$
$\mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$	$:\equ$	$\parenth{ \Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in X }によって生成される開集合系 }$

これらによって、$(\text{Uf}(X), \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)})$を位相空間と考える。

$\all x \in X \;\; x \in \exi F \in \text{Uf}(X)$が成り立つ$^\text{AC}$。
- $\mathcal{F} \equ \Set{ F \subseteq X }{ x \in F \text{はfilter} } \; ($ $\nequ$ 明らかに$\Set{ y \in X }{ x \leq y } \in \mathcal{F}$である。 $\phi)$と置く。
- $( \mathcal{F}, \subseteq ) \text{は帰納的順序集合}$が成り立つ。
  - $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$を任意に取り、$( \mathcal{G}, \subseteq ) \text{は全順序}$を仮定する。
    $\mathcal{G} \equ \phi$の場合は、$\Set{ y \in X }{ x \leq y } \text{は}\mathcal{G}\text{の上界}$なので、$\mathcal{G} \nequ \phi$と仮定してよい。
  - $G :\equ \bigcup \mathcal{G}$と置く。
  - ($\text{i}$)$\exi F \in \mathcal{G}$なので、$x \in F \subseteq \mathcal{G}$である。
  - ($\text{ii}$)$x_0, x_1 \in G$を任意に取る。
  - $\mathcal{G} \text{は全順序}$なので、$\exi F \in \mathcal{G} \;\; x_0, x_1 \in F$である。
  - 従って、$\phi$ $\nequ$ $F \text{はfilter}$である。 $F \cap (x_0] \cap (x_1] \subseteq G \cap (x_0] \cap (x_1]$である。
  - ($\text{iii}$)任意に$x \in G, y \in X$をとり、$x \leq y$を仮定する。
  - $\exi F \in \mathcal{G} \;\; x \in F$なので、$y \in F \subseteq G$である。
  - ($\text{iv}$)$\all F \in \mathcal{G} \;\; F \subseteq G$は明らかである。
- 従って、$\text{Zornの補題}^\text{AC}$より、$\exi F \in \mathcal{F} \;\; F \text{は}\mathcal{F}\text{の極大元}$である。
- $x \in F \in \text{Uf}(X)$は明らかである。
$\mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} \equ \Set{ \mathcal{F} \subseteq \text{Uf}(X) }{ \all F \in \mathcal{F} \; \exi x \in F \;\; \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F} }$が成り立つ。
- $\mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$ $\equ$ 復習：開集合系の基底、直積位相、基本近傍系
  の生成される開集合系の項を参照。 $\Set{ \mathcal{F} \subseteq \text{Uf}(X) }{ \all F \in \mathcal{F} \; \exi x_0, \cdots, x_n \in X \;\; F \in \bigcap\limits_{i \equ 0}^n \text{Ngb}(x_i) \subseteq \mathcal{F} }$である。
- $\subseteq$$\mathcal{F} \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$を任意に取る。$F \in \mathcal{F}$を任意に取る。
- $\exi x_0, \cdots, x_n \in X \;\; F \in \bigcap\limits_{i \equ 0}^n \text{Ngb}(x_i) \subseteq \mathcal{F}$である。
- $x_0, \cdots, x_n \in F, F \text{はfilter}$なので、$\exi x \in F \; \all i \in \{ 0, \cdots, x_n \} \;\; x \leq x_i$である。
  従って、$x \in \all \text{filter} \ G \subseteq X \;\; \{ x_0, \cdots, x_n \} \subseteq G$である。
  従って、$\text{Ngb}(x) \subseteq \bigcap\limits_{i \equ 0}^n \text{Ngb}(x_i)$である。
- これらより、$\bracket{ x \in F \land \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F} }$である。
- $\supseteq$∀F∈\calF∃x0,…,xn∈FNGb(x)⊆\calFより、明らかである。
$\Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in X } \text{はUf}(X)\text{の基底}$が成り立つ。
- (2)より明らか。
$(\text{Uf}(X), \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}) \text{はT}_1\text{空間}$が成り立つ。
- $F_0, F_1 \in \text{Uf}(X)$を任意に取り、$F_0 \nequ F_1$を仮定する。
- $F_0 \subseteq F_1$ならば、$F_0 \text{は極大filter}, F_1 \text{はfilter}$より、$F_0 \equ F_1$となって矛盾する。
  従って、$F_0 \not\subseteq F_1$、つまり、$\exi x_0 \in F_0 \backslash F_1$である。
- 従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F_0 \in \text{Ngb}(x_0) \\ かつ & F_1 \not\in \text{Ngb}(x_0) \end{array}\right.$である。
- 同様に、$\exi x_1 \in X \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F_0 \not\in \text{Ngb}(x_1) \\ かつ & F_1 \in \text{Ngb}(x_1) \end{array}\right.$である。

$(X, \mathcal{O}_X)$は$(X, \leq)$から定まる位相空間である。

$\begin{array}{} ^\ast & : & \mathcal{O}_X & \rightarrow & \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}, & U & \mapsto & \bigcup \Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in U } \\ ^\Delta & : & \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} & \rightarrow & \mathcal{O}_X, & \mathcal{F} & \mapsto & \bigcup \Set{ (x] }{ x \in X \land \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F} } \end{array}$

$\all U \in \mathcal{O}_X \;\; U \subseteq U^{\ast \Delta} \subseteq^\text{AC} \text{op}\circ\text{cl}(U)$が成り立つ。
- ($\text{i}$)$x \in U$を任意に取る。
- $\text{Ngb}(x) \subseteq U^\ast$である。
  従って、$(x] \subseteq U^{\ast \Delta}$である。
  従って、$x \in U^{\ast \Delta}$である。
- ($\text{ii}$)$x \in U^{\ast \Delta}$を任意に取る。
- $x \leq \exi z \in X \;\; \text{Ngb}(z) \subseteq U^\ast$である。
- $\all y \in (x] \; (y] \cap U \nequ \phi$が成り立つ$^\text{AC}$。
  - 極大フィルター全体のなす位相空間の(1)$^\text{AC}$より、$y \in \exi F_y \in \text{Uf}(X)$である。
    従って、$y \leq x \leq z, F_y \text{はfilter}$を併せて、$z \in F_y$である。
    従って、$F_y \in \text{Ngb}(z) \subseteq U^\ast$である。
    従って、$\exi w \in U \;\; F_y \in \text{Ngb}(w)$である。
  - 従って、$\phi$ $\nequ$ $y, w \in F_y \text{はfilter}$である。 $(y] \cap (w]$ $\subseteq$ $w \in U \in \mathcal{O}_X$なので、$(w] \subseteq U$である。 $(y] \cap U$である。
- 従って、$x \in \Set{ x^\prime \in X }{ \all y \in (x^\prime] \;\; (y] \cap U \nequ \phi }$ $\equ$ ブール代数1:ブール代数はある完備ブール代数に埋め込める
  の$\text{op}\circ\text{cl}(A)$の定理 $\text{op}\circ\text{cl}(U)$である。
$\all \mathcal{F} \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} \;\; \mathcal{F} \equ \mathcal{F}^{\Delta \ast}$が成り立つ。
- $\subseteq$$F \in \mathcal{F}$を任意に取る。
- 極大フィルター全体のなす位相空間(2)より、$\exi x \in F \;\; \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}$である。
- 従って、$\parenth{ x \in }\; (x] \subseteq \mathcal{F}^\Delta$である。
- これらより、$F \in \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}^{\Delta \ast}$である。
- $\supseteq$$F \in \mathcal{F}^{\Delta \ast}$を任意に取る。
- $\exi x \in \mathcal{F}^\Delta \;\; F \in \text{Ngb}(x)$である。つまり、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x \leq \exi y \in X \;\; \text{Ngb}(y) \subseteq \mathcal{F} \\ かつ & x \in F \end{array}\right.$である。
- $x \in F, x \leq y, F \text{はfilter}$より、$y \in F$、つまり、$F \in \text{Ngb}(y)$である。
- これらより、$F \in \text{Ngb}(y) \subseteq \mathcal{F}$である。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} (\text{i}) & \all U_0, U_1 \in \mathcal{O}_X & \bracket{ U_0 \subseteq U_1 \Rightarrow U_0^\ast \subseteq U_1^\ast } \\ (\text{ii}) & \all \mathcal{F}_0, \mathcal{F}_1 \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} & \bracket{ \mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \Rightarrow \mathcal{F}_0^\Delta \subseteq \mathcal{F}_1^\Delta } \\ (\text{iii}) & \all U \in \mathcal{O}_X & \bracket{ U^\ast \equ \phi \Rightarrow U \equ \phi } \\ (\text{iv}) & \all \mathcal{F} \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} & \bracket{ \mathcal{F}^\Delta \equ \phi \Rightarrow \mathcal{F} \equ \phi } \end{array}\right.$が成り立つ。
- ($\text{i}$)$\Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in U_0 } \subseteq \Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in U_1 }$である。
- ($\text{ii}$)$\Set{ (x] }{ x \in X \land \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}_0 } \subseteq \Set{ (x] }{ x \in X \land \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}_1 }$である。
- ($\text{iii}$)[対偶]$U \nequ \phi$を仮定する。
- $\exi x \in U$である。
- 極大フィルター全体のなす位相空間(1)より、$x \in \exi F \in \text{Uf}(X)$である。
- これらより、$F \in \text{Ngb}(x) \subseteq U^\ast$である。従って、$U^\ast \nequ \phi$である。
- ($\text{iv}$)[対偶]$\mathcal{F} \nequ \phi$を仮定する。
- $\exi F \in \mathcal{F}$である。
- 極大フィルター全体のなす位相空間(2)より、$\exi x \in F \;\; \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}$である。
- 従って、$x \in (x] \subseteq \mathcal{F}^\Delta$である。従って、$\mathcal{F}^\Delta \nequ \phi$である。
$\all U \in \text{RegOp}(X) \;\; U^\ast \in \text{RegOp}( \text{Uf}(X) )$が成り立つ$^\text{AC}$。
- $X$の開核作用素、閉包作用素を$\text{op}$、$\text{cl}$で表す。
  $\text{Uf}(X)$のそれらを$\text{op}_{\text{Uf}}$、$\text{cl}_{\text{Uf}}$で表す。
- $\parenth{ U^\ast \cap (-U)^\ast }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $U^{\ast \Delta} \cap (-U)^{\ast \Delta}$ $\equ$ $U, -U \in \text{RegOp}(X)$と(1) $^\text{AC} U \cap (-U) \equ \phi$である。
  従って、(3)($\text{iv}$)を併せて、$U^\ast \cap (-U)^\ast \equ \phi$である。
  従って、$\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast) \subseteq \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( \text{Uf}(X) \backslash (-U)^\ast ) \equ \text{op}_{\text{Uf}}( \text{Uf}(X) \backslash (-U)^\ast ) \subseteq \text{Uf}(X) \backslash (-U)^\ast$である。
- $\parenth{ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta \cap (-U) }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^{\Delta \ast} \cap (-U)^\ast$ $\equ$ (2) $\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast) \cap (-U)^\ast \equ \phi$である。
  従って、(3)($\text{iii}$)を併せて、$\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta \cap (-U) \equ \phi$である。
  従って、$\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta \subseteq X \backslash (-U)$である。
- 従って、$\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta$ $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$である。 $\text{op}\bracket{ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta } \subseteq \text{op}\bracket{ X \backslash (-U) } \equ -(-U) \equ U$である。
- 一方、$U$ $\equ$ $U \in \text{RegOp}(X)$なので、(1)は$\equ$になる。 $^\text{AC} \parenth{ U^\ast }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $\parenth{ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( U^\ast ) }^\Delta$である。
- これらより、$U \equ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( U^\ast )^\Delta$である。
  従って、$U^\ast \equ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( U^\ast )^{\Delta \ast}$ $\equ$ (2) $\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( U^\ast )$である。
$\all \mathcal{F} \in \text{RegOp}( \text{Uf}(X) ) \;\; \mathcal{F}^\Delta \in \text{RegOp}(X)$が成り立つ$^\text{AC}$。
- $X$の開核作用素、閉包作用素を$\text{op}$、$\text{cl}$で表す。
  $\text{Uf}(X)$のそれらを$\text{op}_{\text{Uf}}$、$\text{cl}_{\text{Uf}}$で表す。
- $\parenth{ \mathcal{F}^\Delta \cap (-\mathcal{F})^\Delta }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\mathcal{F}^{\Delta \ast} \cap (-\mathcal{F})^{\Delta \ast}$ $\equ$ 仮定[$\mathcal{F}$]より、$-\mathcal{F} \in \text{RegOp}( \text{Uf}(X) )$である。
  (2) $\mathcal{F} \cap (-\mathcal{F}) \equ \phi$である。
  従って、(3)($\text{iii}$)を併せて、$\mathcal{F}^\Delta \cap (-\mathcal{F})^\Delta \equ \phi$である。
  従って、$\text{op}\circ\text{cl}(\mathcal{F}^\Delta) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}( X \backslash (-\mathcal{F})^\Delta ) \equ \text{op}( X \backslash (-\mathcal{F})^\Delta ) \subseteq X \backslash (-\mathcal{F})^\Delta$である。
- $\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \cap (-\mathcal{F}) }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^{\ast \Delta} \cap (-\mathcal{F})^\Delta$ $\equ$ $U :\equ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )$とすると、
  (1)は$\equ$になる。 $^\text{AC} \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta ) \cap (-\mathcal{F})^\Delta \equ \phi$である。
  従って、(3)($\text{iv}$)を併せて、$\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \cap (-\mathcal{F}) \equ \phi$である。
  従って、$\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \subseteq \text{Uf}(X) \backslash (-\mathcal{F})$である。
- 従って、$\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast$ $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$である。 $\text{op}_{\text{Uf}}\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast } \subseteq \text{op}_{\text{Uf}}\bracket{ \text{Uf}(X) \backslash (-\mathcal{F}) } \equ -(-\mathcal{F}) \equ \mathcal{F}$である。
- 一方、$\mathcal{F}$ $\equ$ (2) $\parenth{ \mathcal{F}^\Delta }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta ) }^\ast$である。
- これらより、$\mathcal{F} \equ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast$である。
  従って、$\mathcal{F}^\Delta \equ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^{\ast \Delta}$ $\equ$ $U :\equ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )$とすると、
  (1)は$\equ$になる。 $^\text{AC} \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )$である。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \ ^\ast : \text{RegOp}(X) \rightarrow \text{RegOp}( \text{Uf}(X) ) \ \text{はブール同型写像} \\ (\text{ii}) & \ ^\Delta : \text{RegOp}( \text{Uf}(X) ) \rightarrow \text{RegOp}(X) \ \text{はブール同型写像} \end{array}\right.$が成り立つ$^\text{AC}$。
- ($\text{i}$)$U, V \in \text{RegOp}(X), \mathcal{F}, \mathcal{G} \in \text{RegOp}( \text{Uf}(X) )$を任意に取る。
- (あ)$U^\ast \equ V^\ast$ならば、$U$ $\equ$ (1) $^\text{AC} \parenth{ U^\ast }^\Delta$ $\equ$ 仮定 $\parenth{ V^\ast }^\Delta$ $\equ$ (1) $^\text{AC} V$である。
- (い)$\parenth{ \mathcal{F}^\Delta }^\ast$ $\equ$ (2) $\mathcal{F}$である。
- (う)$\parenth{ U^\ast \cap V^\ast }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $U^{\ast \Delta} \cap V^{\ast \Delta}$ $\equ$ (1) $^\text{AC} U \cap V$である。
  従って、$U^\ast \cap V^\ast$ $\equ$ (2) $\parenth{ U^\ast \cap V^\ast }^{\Delta \ast}$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\parenth{ U \cap V }^\ast$である。
- 一方、$\parenth{ U \cap V }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $U^\ast \cap V^\ast$である。
- これらより、$\parenth{ U \cap V }^\ast \equ U^\ast \cap V^\ast$である。
- (え)(え)は補題である。
- $\parenth{ \mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\mathcal{F}^{\Delta \ast} \cap \mathcal{G}^{\Delta \ast}$ $\equ$ (2) $\mathcal{F} \cap \mathcal{G}$である。
  従って、$\mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta$ $\equ$ (1) $^\text{AC} \parenth{ \mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta }^{\ast \Delta}$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $\parenth{ \mathcal{F} \cap \mathcal{G} }^\Delta$である。
- 一方、$\parenth{ \mathcal{F} \cap \mathcal{G} }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $\mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta$である。
- これらより、$\parenth{ \mathcal{F} \cap \mathcal{G} }^\Delta \equ \mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta$である。
- (お)$U \cap (-U^\ast)^\Delta$ $\equ$ (1) $^\text{AC} U^{\ast \Delta} \cap (-U^\ast)^\Delta$ $\equ$ (4)$^\text{AC}$により、(え)$^\text{AC}$が使える。 $^\text{AC} \parenth{ U^\ast \cap (-U^\ast) }^\Delta \equ \phi^\Delta \equ \phi$である。
  従って、$(-U^\ast)^\Delta \subseteq -U$である。
  従って、$-U^\ast$ $\equ$ (2) $\parenth{ -U^\ast }^{\Delta \ast}$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $(-U)^\ast$である。
- $U^\ast \cap (-U)^\ast$ $\equ$ (う) $\parenth{ U \cap (-U) }^\ast \equ \phi^\ast \equ \phi$なので、$(-U)^\ast \subseteq -U^\ast$である。
- これらより、$(-U)^\ast \equ -U^\ast$である。
- (か)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l{}} \parenth{ U + V }^\ast & \equ & \parenth{ -\bracket{ (-U) \cdot (-V) } }^\ast & \text{RegOp}(X)でのド･モルガン\\ & \equ & -\bracket{ (-U) \cdot (-V) }^\ast & (お)^\text{AC} \\ & \equ & -\bracket{ (-U)^\ast \cdot (-V)^\ast } & (う) \\ & \equ & -\bracket{ -U^\ast \cdot -V^\ast } & (お)^\text{AC} \\ & \equ & U^\ast + V^\ast & \text{RegOp}( \text{Uf}(X) )でのド･モルガン \end{array}$
  である。
- ($\text{ii}$)(1)$^\text{AC}$, (2)より、$\ ^\Delta \text{は} \ ^\ast \text{の逆写像}$である$^\text{AC}$。
- 従って、$(\text{i})^\text{AC}$を併せて、$\ ^\Delta \text{はブール同型写像}$である$^\text{AC}$。

$(X, \leq)$を順序集合とする。
$X_1 :\equ X \coprod \{ 1 \}$と置く。
$\all x \in X_1 \;\; x \leq 1$として(、つまり、$\leq \cup X_1 \times \{ 1 \}$を$\leq$と置き直して)、$(X_1, \leq)$を順序集合とする。

$X \nequ \phi \Rightarrow \text{RegOp}(X), \text{RegOp}(X_1) \text{は同型}$が成り立つ。

$\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \mathcal{O}_{X_1} \equ \mathcal{O}_X \coprod \{ X_1 \} \\ (\text{ii}) & \all A \subseteq X \;\bracket{ \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 \Rightarrow \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ \text{op}_X\circ\text{cl}_X(A) } \\ (\text{iii}) & \all A \subseteq X \;\bracket{ \text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1 \Rightarrow \text{op}_{X}\circ\text{cl}_{X}(A) \equ X } \\ (\text{iv}) & \text{RegOp}(X_1) \backslash \{ X_1 \} \equ \text{RegOp}(X) \backslash \{ X \} \end{array}$が成り立つ。

($\text{i}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \mathcal{O}_{X_1} & \equ & \Set{ U \subseteq X_1 }{ \all x \in U \;\; (x]_{X_1} \subseteq U } \\ & \equ & \Set{ U \subseteq X_1 }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} & 1 \not\in U & \land \all x \in U \;\; (x]_{X_1} \subseteq U \\ \text{又は} & 1 \in U & \land \all x \in U \;\; (x]_{X_1} \subseteq U \end{array}\right. } \\ & \equ & \Set{ U \subseteq X }{ \all x \in U \;\; (x]_{X} \subseteq U } \cup \{ X_1 \} \\ & \equ & \mathcal{O}_X \coprod \{ X_1 \} \end{array}$
である。
($\text{ii}$)仮定[$\text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1$]より、$\neg\bracket{ \all y \in X_1 \equ (1]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi }$である。

$\text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A)$	$\equ$ ブール代数1：ブール代数はある完備ブール代数に埋め込めるの$\text{op}, \text{cl}$に関する定理	$\Set{ x \in X_1 }{ \all y \in (x]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi }$
	$\equ$ $x \lt 1 \text{又は} x \equ 1$で場合分け	$\Set{ x \in X_1 }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}r@{}} & x \lt 1 & \land \all y \in (x]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi \\ \text{又は} & x \equ 1 & \land \all y \in (x]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi \end{array}\right. }$
	$\equ$ ¬[∀y∈X_1;(y]_{X_1}∩A≠φ]	$\Set{ x \in X }{ \all y \in (x]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi }$
	$\equ$ $x \lt 1$なので、添字が$X$でも$X_1$でも違いはない。	$\Set{ x \in X }{ \all y \in (x]_{X} \;\; (y]_{X} \cap A \nequ \phi }$
	$\equ$ 再度、$\text{op}, \text{cl}$に関する定理	$\text{op}_X\circ\text{cl}_X(A)$

である。

($\text{iii}$)$x \in X$を任意に取る。
任意の$y \in (x]_X$に対し、$y \in (x]_X \subseteq X_1 \equ \text{cl}_{X_1}(A)$より、$(y]_{X_1} \cap A \nequ \phi$である。
つまり、$(y]_X \cap A \nequ \phi$である。
よって、$x \in \Set{ x^\prime \in X }{ \all y \in (x^\prime]_X \;\; (y]_X \cap A \nequ \phi } \equ \text{op}_X\circ\text{cl}_X(A) \equ A$である。
($\text{iv}$)$X \subseteq \text{cl}_{X_1}(X) \land 1$ $\in$ 仮定[$X \nequ \phi$] $\text{cl}_{X_1}(X)$より、$\text{cl}_{X_1}(X) \equ X_1$である。
従って、($\text{iii}$)を併せて、$\all A \in \text{RegOp}(X) \;\bracket{ \text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1 \Leftrightarrow A \equ X }$である。

$\text{RegOp}(X_1) \backslash \{ X_1 \}$	$\equ$	$\Set{ A \in \mathcal{O}_{X_1} }{ \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ A } \backslash \{ X_1 \}$
	$\equ$ ($\text{i}$)、 $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 \\ \text{又は} & \text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1 \end{array}\right.$で場合分け。	$\Set{ A \in \mathcal{O}_{X} }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} & \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 & \land \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ A \\ \text{かつ} & \text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1 & \land \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ A \\ \end{array}\right. }$
	$\equ$ $A \subsetneq X_1$なので、2つ目の条件は成り立たない。	$\Set{ A \in \mathcal{O}_{X} }{ \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 \land \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ A }$
	$\equ$ ($\text{ii}$)	$\Set{ A \in \mathcal{O}_{X} }{ \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 \land \text{op}_{X}\circ\text{cl}_{X}(A) \equ A }$
	$\equ$ cl_{X_1}(A)=X_1⇔A=X	$\Set{ A \in \mathcal{O}_{X} }{ A \nequ X \land \text{op}_{X}\circ\text{cl}_{X}(A) \equ A }$
	$\equ$	$\text{RegOp}(X) \backslash \{ X \}$

$f : \text{RegOp}(X_1) \rightarrow \text{RegOp}(X), A \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}r@{}} A & \parenth{ A \subsetneq X_1 \text{の場合} } \\ X & \parenth{ A \equ X_1 \text{の場合} } \end{array}\right.$と置く。
(1)RegOp(X_1)の性質(補題)($\text{iii}$)より、$f \text{は可逆}$である。
$A, B \in \text{RegOp}(X_1)$を任意に取る。
(2)$A \subsetneq X_1 \land B \subsetneq X_1$の場合:
- $\text{cl}_{X_1}(A \cup B) \subsetneq X_1$の場合:
  - $f(A +_{X_1} B)$ $\equ$ $A +_{X_1} B \equ \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A \cup B) \subsetneq X_1$ $A +_{X_1} B$ $\equ$ RegOp(X_1)の性質(補題)($\text{ii}$) $A +_{X} B \equ f(A) +_{X} f(B)$である。
- $\text{cl}_{X_1}(A \cup B) \equ X_1$の場合:
  - $f(A +_{X_1} B) \equ f(X_1) \equ X$ $\equ$ RegOp(X_1)の性質(補題)($\text{iii}$) $A +_X B \equ f(A) +_X f(B)$である。
$A \equ X_1 \lor B \equ X_1$の場合:
- $f(A +_{X_1} B) \equ f(X_1) \equ X$ $\equ$ $f(A) \equ X \lor f(B) \equ X$ $f(A) +_X f(B)$である。
(3)$A \subsetneq X_1 \lor B \subsetneq X_1$の場合:
- $f(A \cdot_{X_1} B) \equ f(A \cap B)$ $\equ$ $A \cap B \subsetneq X_1$ $A \cap B$ $\equ$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \subsetneq X_1 \land B \subsetneq X_1 \\ \text{又は} & A \subsetneq X_1 \land B \equ X_1 \\ \text{又は} & A \equ X_1 \land B \subsetneq X_1 \\ \end{array}\right.$
  の場合分けを考えるとすぐに分かる。 $f(A) \cap f(B) \equ f(A) \cdot_X f(B)$である。
$A \equ X_1 \land B \equ X_1$の場合:
- $f(A \cdot_{X_1} B)$ $\equ$ $A \equ \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1$である。
  $B$についても同様である。 $f(X_1 \cdot_{X_1} X_1) \equ f(X_1) \equ X \equ X \cdot_X X \equ f(A) \cdot_X f(B)$である。
(4)$\phi \nequ A \subsetneq X_1$の場合:
- $\text{cl}_{X_1}(A)$ $\equ$ $A \nequ \phi$なので、$1 \in \text{cl}_{X_1}(A)$である。
  また、$\equ$は簡単な計算で分かる。 $\text{cl}_X(A) \coprod \{ 1 \}$である。
- $f(-_{X_1}A) \equ f( X_1 \backslash \text{cl}_{X_1}(A) )$ $\equ$ $1 \in \text{cl}_{X_1}(A)$なので、$X_1 \backslash \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1$ $X_1 \backslash \text{cl}_{X_1}(A) \equ X \backslash \text{cl}_X(A) \equ -_X A \equ -_X f(A)$である。
$A \equ \phi$の場合:
- $f(-_{X_1} \phi) \equ f(X_1) \equ X \equ -_X \phi \equ -_X f(\phi)$である。
$A \equ X_1$の場合:
- $f(-_{X_1} X_1) \equ f(\phi) \equ \phi \equ -_X X \equ -_X f(X_1)$である。

従って、$\text{RegOp}(X)$を考える時は、初めから$X$に最大元が存在するとしてよい。

$I$を集合とする。
$( \mathcal{X}_i \equ (X_i, \leq_i, 1_i) )_{i \in I} \;\parenth{ 1_i \text{は}X_i\text{の最大元} }$を順序集合の列とする。
$( \mathcal{X}_i )_{i \in I}$の積$\prod_{i \in I} \mathcal{X}_i$を次で定義する:

$X :\equiv \Set{ x \in \prod_{i \in I} X_i }{ \exi \text{有限集合} \ J \subset I \; \all i \in I \backslash J \;\; x(i) \equ 1_i }$

$x, y \in X$に対し、$x \leq y :\Leftrightarrow \all i \in I \;\; x(i) \leq_i y(i)$

$1 :\equ (1_i)_{i \in I}$

$\prod_{i \in I} \mathcal{X}_i$は最大元$1$を持つ順序集合である。

$\Set{ \prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) ) }{ x \in X } \text{は}\prod\limits_{i \in I} \text{Uf}(X_i)\text{の基底}$が成り立つ。
- $\Set{ \prod\limits_{i \in I} \mathcal{F}_i }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all i \in I \;\; \mathcal{F}_i \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X_i)} \\ \text{かつ} & \exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \all i \in I \backslash J \;\; \mathcal{F}_i \equ \text{Uf}(X_i) \end{array}\right. } \text{は}\prod\limits_{i \in I} \text{Uf}(X_i)\text{の基底}$である。
  (復習：開集合系の基底、直積位相、基本近傍系の直積位相空間の項を参照。)
- 基底の任意の元$\prod\limits_{i \in I} \mathcal{F}_i$とその元$(F_i)_{i \in I}$に対して、より小さい近傍を取れることを言えばよい。
- $( \mathcal{F}_i )_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \mathcal{O}_{\text{Uf}(X_i)}$を任意に取り、$\exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \all i \in I \backslash J \;\; \mathcal{F}_i \equ \text{Uf}(X_i)$を仮定する。
  $(F_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \mathcal{F}_i$を任意に取る。
- 極大フィルター全体のなす位相空間(2)より、$\all j \in J \; \exi x(j) \in F_j \;\; \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_j)}( x(j) ) \subseteq \mathcal{F}_j$である。
- 従って、$(F_i)_{i \in I}$ $\in$ $i \in I \backslash J$の場合、$F_i \in \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}(1_i)$ $\prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( \langle x \rangle (i) )$ $\subseteq$ $i \in I \backslash J$の場合、$\text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}(1_i) \equ \text{Uf}(X_i) \equ \mathcal{F}_i$ $\prod\limits_{i \in I} \mathcal{F}_i$である。

$\text{Uf}(X) \text{と} \prod_{i \in I} \text{Uf}(X_i) \text{は同相}$が成り立つ。
($\prod_{i \in I} \text{Uf}(X_i)$は直積位相空間である。)

$\text{有限集合} J \subseteq I, x \in \prod_{j \in J} X_j$に対し、$\langle x \rangle(i) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} x(i) & \parenth{ i \in J \text{の場合} } \\ 1_i & \parenth{ i \in I \backslash J \text{の場合} } \end{array}\right.$と置く。
特に、$J \equ \{ j \}, x \equ \{ (j, x(j) \}$の場合は、$\langle x \rangle$を$\langle j, x(j) \rangle$で表す。
$\text{filter} \ F \subseteq X, i \in I$に対し、$F_i :\equ \Set{ x \in X_i }{ \langle i, x \rangle \in F }$と置く。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & \all \text{filter} \ F \subseteq X \; \all i \in I \;\; F_i \text{はfilter} \\ (2) & \all F \in \text{Uf}(X) \; \all i \in I \;\; F_i \in \text{Uf}(X_i) \\ (3) & \all \text{filter} \ F, G \subseteq X \;\bracket{ \parenth{ \all i \in I \;\; F_i \equ G_i } \Rightarrow F \equ G } \end{array}\right.$が成り立つ。
- (1)$\text{filter}$の3条件を確認する。
- ($\text{i}$)$\langle i, 1_i \rangle \equ 1$ $\in$ $F \text{はfilter}$ $F$なので、$1_i \in F_i$である。
- ($\text{ii}$)$x, y \in F_i$を任意に取る。
- $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \langle i, x \rangle, \langle i, y \rangle \in F \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\exi z \in F \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & z \leq \langle i, x \rangle \\ \text{かつ} & z \leq \langle i, y \rangle \end{array}\right.$である。
  つまり、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & z(i) \leq_i x \\ \text{かつ} & z(i) \leq_i y \end{array}\right.$である。
- また、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F \ni z \leq \langle i, z(i) \rangle \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\langle i, z(i) \rangle \in F$、つまり、$z(i) \in F_i$である。
- ($\text{iii}$)$y \in X_i$を任意に取り、$\exi x \in F_i \;\; x \leq_i y$を仮定する。
- $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F \ni \langle i, x \rangle \leq \langle i, y \rangle \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\langle i, y \rangle \in F$、つまり、$y \in F_i$である。
- (2)(1)より、極大性のみを証明すればよい。
- ($\text{iv}$)$\text{filter} \ G_i \subseteq X_i$を任意に取り、$F_i \subseteq G_i$を仮定する。
- $G :\equ \Set{ x \in X }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}r@{}} & x(i) \in G_i \\ \text{かつ} & \exi y \in F \; i \nequ \all j \in I \;\; y(j) \leq_j x(j) \end{array}\right. }$と置く。
- $F \subseteq G \text{はfilter}$が成り立つ。
  - (あ)$x \in F$を任意に取る。
  - $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F \ni x \leq \langle i, x(i) \rangle \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\langle i, x(i) \rangle \in F$、つまり、$x(i) \in F_i \subseteq G_i$である。
  - また、$y \equ x$と見て、$\exi y \in F \; \all j \in I \;\; y(j) \leq_j x(j)$である。
  - これらより、$x \in G$である。
  - (い)$1 \in F \subseteq G$である。
  - (う)$x_1, x_2 \in G$を任意に取る。
  - $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x_1(i), x_2(i) \in G_i \\ \text{かつ} & G_i \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\exi x_{0, i} \in G_i \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x_{0, i} \leq_i x_1(i) \\ \text{かつ} & x_{0, i} \leq_i x_2(i) \end{array}\right.$である。
  - また、$\exi y_k \in F \; i \nequ \all j \in I \;\; y_k(j) \leq_j x_k(j) \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
  - $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y_1, y_2 \in F \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\exi y_0 \in F \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y_0 \leq y_1 \\ \text{かつ} & y_0 \leq y_2 \end{array}\right.$である。
  - $y_k \in F \subseteq X$なので、$\exi \text{有限集合} \ J_k \subseteq I \; \all i \in I \backslash J_k \;\; y_k(i) \equ 1_i \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
  - $j \in I$に対し、$x_0(j) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}r@{}} x_{0, i} & \parenth{ i \equ j \text{の場合} } \\ y_0(j) & \parenth{ i \nequ j \in J_1 \cup J_2 \text{の場合} } \\ 1_j & \parenth{ i \nequ j \in I \backslash \parenth{ J_1 \cup J_2 } \text{の場合} } \\ \end{array}\right.$と置く。
  - $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x_0(i) \equ x_{0, i} \in G_i \\ \text{かつ} & i \nequ \all j \in I \;\; y_0(j) \leq_j x_0(j) \end{array}\right.$なので、$x_0 \in G$である。
  - また、$x_0(j) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}r@{}} x_{0, i} & & \leq_i x_k(i) & \parenth{ i \equ j \text{の場合} } \\ y_0(j) & \leq_j y_k(j) & \leq_j x_k(j) & \parenth{ i \nequ j \in J_1 \cup J_2 \text{の場合} } \\ 1_j & \equ y_k(j) & \leq_j x_k(j) & \parenth{ i \nequ j \in I \backslash \parenth{ J_1 \cup J_2 } \text{の場合} } \\ \end{array}\right.$である。
    つまり、$x_0 \leq x_k \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
  - (え)$G$の定義と$G_i \text{はfilter}$より、$\all z \in X \;\bracket{ \exi x \in G \;\; x \leq z \Rightarrow z \in G }$は明らかである。
- 任意の$x \in G_i$に対し、$\langle i, x \rangle$ $\in$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \langle i, x \rangle (i) \equ x \in G_i \\ \text{かつ} & 1 \in F \land i \nequ \all j \in I \;\; 1(j) \equ 1_j \equ \langle i, x \rangle(j) \end{array}\right.$ $G$ $\equ$ F⊆Gはfilterと$F \text{は極大filter}$ $F$、つまり、$x \in F_i$である。
- 従って、$G_i \subseteq F_i$である。よって、$F_i \equ G_i$である。
- (3)$\text{filter} \ F, G \subseteq X$を任意に取り、$\all i \in I \;\; F_i \equ G_i$を仮定する。
- $x \in F$を任意に取る。
- $x \in F \subseteq X$なので、$\exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \all i \in I \backslash J \;\; x(i) \equ 1_i$である。
- 任意の$j \in J$に対し、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F \ni x \leq \langle j, x(j) \rangle \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\langle j, x(j) \rangle \in F$である。
  従って、$x(j) \in F_j \equ G_j$、つまり、$\langle j, x(j) \rangle \in G$である。
- 従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & J \text{は有限集合} \\ \text{かつ} & G \text{はfilter} \end{array}\right.$を併せて、$\exi y \in G \; \all j \in J \;\; y \leq \langle j, x(j) \rangle$である。
  従って、$\all j \in J \;\; y(j) \leq_j \langle j, x(j) \rangle (j) \equ x(j)$である。
- 以上より、$\all i \in I \;\; y(i) \leq_i x(i)$、つまり、$y \leq x$である。
- 従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y \in G \\ \text{かつ} & G \text{はfilter} \end{array}\right.$を併せて、$x \in G$である。
- よって、$F \subseteq G$である。$F \supseteq G$も全く同様である。
$\varphi : \text{Uf}(X) \rightarrow \prod\limits_{i \in I} \text{Uf}(X_i), F \mapsto (F_i)_{i \in I}$と置く。
$\varphi \text{は同相写像}$を証明する。
(1)F→F_iはfilter性,極大性を遺伝させる(3)より、$\varphi \text{は単射}$である。
(2)$(G_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \text{Uf}(X_i)$を任意に取る。
$F :\equ \Set{ x \in X }{ \exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \exi y \in \prod\limits_{j \in J} G_j \;\; \langle y \rangle \leq x }$と置く。
$F \in \text{Uf}(X)$が成り立つ。
- ($\text{i}$)明らかに$1 \in F$である。
- ($\text{ii}$)$x_1, x_2 \in F$を任意に取る。
- $\exi \text{有限集合} \ J_k \subseteq I \; \exi y_k \in \prod\limits_{j \in J_k} G_j \;\; \langle y_k \rangle \leq x_k \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
- $\all i \in I \;\; G_i \text{はfilter}$なので、$\all j \in J_1 \cap J_2 \; \exi y^\prime \in G_j \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y^\prime \leq_j y_1(j) \\ \text{かつ} & y^\prime \leq_j y_2(j) \end{array}\right.$である。
  従って、$J_1 \cap J_2 \text{は有限集合}$を併せて、$\exi y_{1, 2} \in \prod\limits_{j \in J_1 \cap J_2} G_j \; \all j \in J_1 \cap J_2 \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y_{1, 2}(j) \leq_j y_1(j) \\ \text{かつ} & y_{1, 2}(j) \leq_j y_2(j) \end{array}\right.$である。
- $j \in J_1 \cup J_2$に対し、$y_0(j) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}r@{}} y_1(j) & \parenth{ j \in J_1 \backslash \parenth{ J_1 \cap J_2 } \text{の場合} } \\ y_{1, 2}(j) & \parenth{ j \in J_1 \cap J_2 \text{の場合} } \\ y_2(j) & \parenth{ j \in J_2 \backslash \parenth{ J_1 \cap J_2 } \text{の場合} } \end{array}\right.$と置く。
- $J_1 \cup J_2 \text{は有限集合}$なので、$\langle y_0 \rangle \in F$である。
- $\langle y_0 \rangle (j) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}l@{}r@{}} y_1(j) & \equ \langle y_1 \rangle (j) & \leq_j x_1(j) & \leq_j 1_j \equ x_2(j) & \parenth{ j \in J_1 \backslash \parenth{ J_1 \cap J_2 } \text{の場合} } \\ y_{1, 2}(j) \leq_j y_k(j) & \equ \langle y_k \rangle (j) & \leq_j x_k(j) & & \parenth{ j \in J_1 \cap J_2 \text{の場合} } \\ y_2(j) & \equ \langle y_2 \rangle (j) & \leq_j x_2(j) & \leq_j 1_j \equ x_1(j) & \parenth{ j \in J_2 \backslash \parenth{ J_1 \cap J_2 } \text{の場合} } \\ 1_j & \equ \langle y_k \rangle (j) & \leq_j x_k(j) & & \parenth{ j \in I \backslash \parenth{ J_1 \cup J_2 } \text{の場合} } \\ \end{array}\right.$である。
  つまり、$\langle y_0 \rangle \leq x_k \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
- ($\text{iii}$)$F$の定義より、明らかに$\all z \in X \;\bracket{ \exi x \in F \;\; x \leq z \Rightarrow z \in F }$である。
- ($\text{iv}$)$\text{filter} \ H \subseteq X$を任意に取り、$F \subseteq H$を仮定する。
- $\all i \in I \;\; G_i \equ H_i$が成り立つ。
  - $x \in G_i$を任意に取る。
  - $\langle i, x \rangle$ $\in$ $F$の定義より明らか $F \subseteq H$より、$x \in H_i$である。
  - よって、$G_i \subseteq H_i$である。
  - 従って、$G_i \text{は極大filter}$とF→F_iはfilter性,極大性を遺伝させる(1)を併せて、$G_i \equ H_i$である。
- 従って、F→F_iはfilter性,極大性を遺伝させる(3)を併せて、$F \equ H$である。
$i \in I$を任意に取る。
$\all x \in G_i \;\; \langle i, x \rangle \in F$より、$G_i \subseteq F_i$である。
従って、$G_i \text{は極大filter}, F_i \text{はfilter}$を併せて、$G_i \equ F_i$である。
よって、$\varphi(F) \equ (F_i)_{i \in I} \equ (G_i)_{i \in I}$である。
(3)連続性については、基底の元の逆像、像についてのみ考えればよい。
$x \in X$を任意に取る。
$\exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \all i \in I \backslash J \;\; x(i) \equ 1_i$である。

$\varphi^{-1}\parenth{ \prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) ) }$	$\equ$	$\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ (F_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) ) }$
	$\equ$ ($\supseteq$)$i \in I \backslash J$の場合、自明に$F_i \in \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}(1_i)$である。	$\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ \all i \in J \;\; F_i \in \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) ) }$
	$\equ$	$\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ \all i \in J \;\; x(i) \in F_i }$
	$\equ$	$\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ \all i \in J \;\; \langle i, x(i) \rangle \in F }$
	$\equ$ ($\subseteq$)$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & J \text{は有限集合} \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$を使う。 ($\supseteq$)$F \ni x \leq \langle i, x(i) \rangle$より。	$\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ x \in F }$
	$\equ$	$\text{Ngb}_{\text{Uf}(X)}(x)$

よって、$\varphi \text{は連続}$である。
また、$\varphi \text{は可逆写像}$を併せて、$\varphi\parenth{ \text{Ngb}_{\text{Uf}(X)}(x) } \equ \prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) )$である。
従って、$\varphi^{-1} \text{は連続}$である。

余談

$(X, \leq)$を順序集合とする。

$X \text{はfine} :\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\bracket{ \all z \in (x] \;\; (z] \cap (y] \nequ \phi \Rightarrow x \leq y }$

$X \text{はfine} \Rightarrow \all y \in X \;\; (y] \in \text{RegOp}(X)$が成り立つ。
- $\text{op}\circ\text{cl}(y) \subseteq (y]$のみを証明すれば良い。
- $x \in \text{op}\circ\text{cl}(y)$を任意に取る。
- $(x] \subseteq \text{cl}(y)$なので、$\all z \in (x] \;\; (z] \cap (y] \nequ \phi$である。
- 従って、仮定[$X \text{はfine}$]を併せて、$x \leq y$、つまり、$x \in (y]$である。