ブール代数5:$\text{RegOp}(X) \simeq \text{Brl}(X) / ( \text{Mgr}(X) \cap \text{Brl}(X) )$
$X$をブール代数とする。
$I \subseteq X$をidealとする。
$X_1, X_2$を$\sigma\text{-ブール代数}$とする。
$f : X_1 \to X_2$を準同型写像とする。
$A \subseteq X$とする。
$(X, \mathcal{O}_X)$を位相空間とする。
$\parenth{ \mathcal{O}_X \subseteq } \text{Pow}(X)$を自然なブール代数と見る。
$(X, \mathcal{O}_X)$を位相空間とする。
$A \subseteq X$とする。
$(X, \mathcal{O}_X)$を$\text{局所compact かつ hausdorff}$な位相空間とする。
注意：$0 \equ 1$という自明なブール代数の場合を除外できていない気がする。$\text{Mgr}(X)$が"固有"idealになる証明もわからない。$I \subseteq X$をidealとする。
| $X \text{は}\sigma\text{-代数}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\all A \subseteq X \;\bracket{ \card{A} \equ \omega \Rightarrow \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \sum\limits_{a \in A} a \in X \\ \text{かつ} & \prod\limits_{a \in A} a \in X \end{array}\right.}$ |
| $I \text{は}\sigma\text{-ideal}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\all A \subseteq I \;\bracket{ \card{A} \equ \omega \Rightarrow \sum\limits_{a \in A} a \in I }$ |
$f : X_1 \to X_2$を準同型写像とする。
| $f \text{は}\sigma\text{-準同型}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\all A \subseteq X \;\bracket{ \card{A} \equ \omega \Rightarrow \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & f(\sum\limits_{a \in A} a) \equ \sum\limits_{a \in A} f(a) \\ \text{かつ} & f(\prod\limits_{a \in A} a) \equ \prod\limits_{a \in A} f(a) \end{array}\right.}$ |
$\text{Alg}(A) :\equ \bigcap\Set{ B \subseteq X }{ A \subseteq B \text{は部分ブール代数} }$
$(X, \mathcal{O}_X)$を位相空間とする。
$\parenth{ \mathcal{O}_X \subseteq } \text{Pow}(X)$を自然なブール代数と見る。
$\text{Brl}(X) :\equ \Set{ \mathcal{P} \subseteq \text{Pow}(X) }{ \mathcal{O}_X \subseteq \mathcal{P} \text{は}\sigma\text{-ブール代数} }$
超限帰納法により、$(\mathcal{B}_\alpha)$を
$\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} \mathcal{B}_0 & \equ & \mathcal{O}_X \cup \Set{ X \backslash U }{ U \in \mathcal{O}_X } \\ \mathcal{B}_{\alpha + 1} & \equ & \Set{ \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) }{ f : \omega \to \mathcal{B}_\alpha } \cup \Set{ \bigcap\limits_{n \lt \omega} f(n) }{ f : \omega \to \mathcal{B}_\alpha } \\ \mathcal{B}_\alpha & \equ & \bigcup\limits_{\beta \lt \alpha} \mathcal{B}_\beta \quad \parenth{ \alpha \text{は極限順序数} } \end{array}$
で定義する。
$\mathcal{B}_{\aleph_1} \equ \text{Brl}(X)$が成り立つ。
- $\subseteq$超限帰納法で証明する。
- ($\text{i}$)$\mathcal{O}_X \subseteq \text{Brl}(X) \text{はブール代数}$なので、$\mathcal{B}_0 \subseteq \text{Brl}(X)$である。
- ($\text{ii}$)$\mathcal{B}_\alpha \subseteq \text{Brl}(X)$を仮定する。
- $\all f : \omega \to \mathcal{B}_\alpha \;\; \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n), \bigcap\limits_{n \lt \omega} f(n)$ $\in$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \Set{ f(n) }{ n \lt \omega } \subseteq \mathcal{B}_\alpha \subseteq \text{Brl}(X) \\ \text{かつ} & \Set{ f(n) }{ n \lt \omega } \text{は高々加算} \\ \text{かつ} & \text{Brl}(X) \text{は}\sigma\text{-ブール代数} \end{array}\right.$ $\text{Brl}(X)$なので、$\mathcal{B}_{\alpha + 1} \subseteq \text{Brl}(X)$である。
- ($\text{iii}$)明らかに、$\all \beta \lt \alpha \;\; \mathcal{B}_\beta \subseteq \text{Brl}(X) \Rightarrow \bigcup\limits_{\beta \lt \alpha} \mathcal{B}_\beta \subseteq \text{Brl}(X)$である。
- $\supseteq$$\text{Brl}(X)$の定義の最小性を考えると、$\mathcal{B}_{\aleph_1} \text{は}\sigma\text{-ブール代数}$を示せばよい。
- ($\text{i}$)
$\all \alpha \; \all V \in \mathcal{B}_\alpha \;\; X \backslash V \in \mathcal{B}_\alpha$
- (あ)明らかに$\all V \in \mathcal{B}_0 \;\; X \backslash V \in \mathcal{B}_0$である。
- (い)$\all V \in \mathcal{B}_\alpha \;\; X \backslash V \in \mathcal{B}_\alpha$を仮定する。
- $f : \omega \to \mathcal{B}_\alpha$を任意に取る。
- $\bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) \in \mathcal{B}_{\alpha + 1}$ならば、$X \backslash \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) \equ \bigcap\limits_{n \lt \omega} \parenth{ X \backslash f(n) }$ $\in$ $\alpha$の時の仮定 $\mathcal{B}_{\alpha + 1}$である。
- $\bigcap\limits_{n \lt \omega} f(n) \in \mathcal{B}_{\alpha + 1}$ならば、$X \backslash \bigcap\limits_{n \lt \omega} f(n) \equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} \parenth{ X \backslash f(n) } \in \mathcal{B}_{\alpha + 1}$である。
- (う)$\all \beta \lt \alpha \; \all V \in \mathcal{B}_\alpha \;\; X \backslash V \in \mathcal{B}_\alpha$ならば、明らかに$\all V \in \bigcup\limits_{\beta \lt \alpha} \mathcal{B}_\beta \;\; X \backslash V \in \bigcup\limits_{\beta \lt \alpha} \mathcal{B}_\beta$である。
- ($\text{ii}$)
$f : \omega \to \mathcal{B}_{\aleph_1} \;\; \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n), \bigcap\limits_{n \lt \omega} f(n) \in \mathcal{B}_{\aleph_1}$
- $\alpha_f : \omega \to \aleph_1, n \mapsto \mu \alpha \parenth{ f(n) \in \mathcal{B}_\alpha }$と置く。
$\alpha_0 :\equ \bigcup \Set{ \alpha_f(n) }{ n \lt \omega } \;\parenth{ \leq \aleph_1 }$と置く。 - もし、$\alpha_0 \equ \bigcup\text{Ran}(\alpha_f) \equ \aleph_1$ならば、$\text{cof}(\omega, \aleph_1)$となって、$\text{cf}(\aleph_1) \leq \omega$となる。
これは、$\omega \equ \aleph_0 \lt \aleph_1 \equ \text{cf}(\aleph_1)$に反する。
よって、$\alpha_0 \lt \aleph_1$である。 - $\all n \lt \omega \;\; f(n) \in \mathcal{B}_{\alpha_f(n)}$ $\subseteq$ $\alpha$についての超限帰納法により、
$\all \alpha, \beta \;\bracket{ \beta \leq \alpha \Rightarrow \mathcal{B}_\beta \subseteq \mathcal{B}_\alpha }$である。 $\mathcal{B}_{\alpha_0}$である。
従って、$\bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n), \bigcap\limits_{n \lt \omega} f(n) \in \mathcal{B}_{\alpha_0 + 1}$ $\subseteq$ 同じく、$\alpha_0 + 1 \lt \aleph_1$より。 $\mathcal{B}_{\aleph_1}$である。
- $\alpha_f : \omega \to \aleph_1, n \mapsto \mu \alpha \parenth{ f(n) \in \mathcal{B}_\alpha }$と置く。
- $\phi, X \in \mathcal{O}_X \subseteq \mathcal{B}_0 \subseteq \mathcal{B}_{\aleph_1}$と($\text{i}$),($\text{ii}$)より、$\mathcal{B}_{\aleph_1} \text{は}\sigma\text{-ブール代数}$である。
$(X, \mathcal{O}_X)$を位相空間とする。
$A \subseteq X$とする。
| $A \text{はmeager}$ | $:\Leftrightarrow$ | $\exi f : \omega \to \text{Pow}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all n \lt \omega \;\; \text{op}\circ\text{cl}( f(n) ) \equ \phi \\ \text{かつ} & A \equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) \end{array}\right.$ |
| $\text{Mgr}(X)$ | $:\equ$ | $\Set{ A \subseteq X }{ A \text{はmeager} }$ |
$\text{Mgr}(X) \text{は(Pow(}X\text{)の)}\sigma\text{-ideal}$が成り立つ$^\text{AC}$。
- (1)明らかに$\phi \in \text{Mgr}(X)$である。
- (2)$C \subseteq X, A \in \text{Mgr}(X)$を任意に取る。
- $\exi f : \omega \to \text{Pow}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all n \lt \omega \;\; \text{op}\circ\text{cl}( f(n) ) \equ \phi \\ \text{かつ} & A \equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) \end{array}\right.$である。
- $\all n \lt \omega \;\; \text{op}\circ\text{cl}( C \cap f(n) ) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}( f(n) ) \equ \phi$である。
- また、$C \cap A \equ C \cap \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) \equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} \parenth{ C \cap f(n) }$である。
- よって、$C \cap A \in \text{Mgr}(X)$である。
- (3)$A_0, A_1 \in \text{Mgr}(X)$を任意に取る。
- $\exi f_k : \omega \to \text{Pow}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all n \lt \omega \;\; \text{op}\circ\text{cl}( f_k(n) ) \equ \phi \\ \text{かつ} & A_k \equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} f_k(n) \end{array}\right. \;\parenth{ k \equ 0, 1 }$である。
- $g : \omega \to \text{Pow}(X), m \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}r@{}} f_0(n) & \parenth{ m \equ 2n \text{の場合} } \\ f_1(n) & \parenth{ m \equ 2n+1 \text{の場合} } \end{array}\right.$と置く。
- 明らかに$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all m \lt \omega \;\; \text{op}\circ\text{cl}( g(m) ) \equ \phi \\ \text{かつ} & A_0 \cup A_1 \equ \bigcup\limits_{m \lt \omega} g(m) \end{array}\right.$である。
従って、$A_0 \cup A_1 \in \text{Mgr}(X)$である。 - (4)$A : \omega \to \text{Mgr}(X)$を任意に取る。
- $k \lt \omega$に対し、$F_k :\equ \Set{ f : \omega \to \text{Pow}(X) }{ \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all n \lt \omega \;\; \text{op}\circ\text{cl}( f(n) ) \equ \phi \\ \text{かつ} & A(k) \equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) \end{array} }$と置く。
- $\all k \lt \omega \;\; F_k$ $\nequ$ $A(k) \in \text{Mgr}(X)$ $\phi$なので、$\exi (f_k)_{k \lt \omega} \in \prod\limits_{k \lt \omega} F_k$である$^\text{AC}$。
- $l : \omega \to \omega \times \omega$を全単射とし、$\text{pr}_k : \omega \times \omega \to \omega$を第$k$射影とする$\parenth{ k \equ 1, 2 }$。
$l_k :\equ \text{pr}_k \circ l : \omega \to \omega \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$と置く。
$f : \omega \to \text{Pow}(X), n \mapsto f_{l_1(n)}( l_2(n) )$と置く。 - 明らかに$\all n \lt \omega \;\; \text{op}\circ\text{cl}( f(n) ) \equ \phi$である。
$\bigcup\limits_{k \in \lt \omega} A(k) \equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n)$が成り立つ。
- $\subseteq$$x \in A(k), k \lt \omega$を仮定する。
- $x \in A(k) \equ \bigcup\limits_{m \lt \omega} f_k(m)$なので、$\exi m \lt \omega \;\; x \in f_k(m)$である。
- $l \text{は全単射}$なので、$\exi n \lt \omega \;\; l(n) \equ (k, m)$である。
- 従って、$x \in f_k(m) \equ f(n)$である。
- $\supseteq$$n \lt \omega$を任意に取る。
- $f(n) \equ f_{l_1(n)}( l_2(n) ) \subseteq \bigcup\limits_{m \lt \omega} f_{l_1(n)}(m) \equ A( l_1(n) ) \subseteq \bigcup\limits_{k \lt \omega} A(k)$である。
- これらより、$\bigcup\limits_{k \in \omega} A(k) \in \text{Mgr}(X)$である。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \all U \in \mathcal{O}_X \;\; \text{cl}(U) \backslash U \in \text{Mgr}(X) \\ (\text{ii}) & \all A \in \mathcal{C}_X \;\; A \backslash \text{op}(A) \in \text{Mgr}(X) \end{array}\right.$が成り立つ。
- ($\text{i}$), ($\text{ii}$)共に、$\text{op}\circ\text{cl}$の像が空集合であることを証明すればよい。
- ($\text{i}$)
$\text{op}\circ\text{cl}( \text{cl}(U) \backslash U )$ $\equ$ $U \in \mathcal{O}_X$なので、$\text{cl}(U) \backslash U \in \mathcal{C}_X$である。 $\text{op}( \text{cl}(U) \backslash U )$ $\equ$ $\text{op}$の性質 $\text{op}\circ\text{cl}(U) \cap \text{op}(X \backslash U)$ $\subseteq$ $\text{op}, \text{cl}$の関係性 $\text{cl}(U) \cap X \backslash \text{cl}(U) \equ \phi$ - ($\text{ii}$)
$\text{op}\circ\text{cl}( A \backslash \text{op}(A) )$ $\equ$ $A \in \mathcal{C}_X$なので、$A \backslash \text{op}(A) \in \mathcal{C}_X$である。 $\text{op}( A \backslash \text{op}(A) )$ $\equ$ $\text{op}$の性質 $\text{op}(A) \cap \text{op}(X \backslash \text{op}(A) )$ $\subseteq$ $\text{op}(A) \cap X \backslash \text{op}(A) \equ \phi$
$\all B \in \text{Brl}(X) \; \exi U \in \mathcal{O}_X \; \exi M_0, M_1 \in \text{Mgr}(X) \;\; B \equ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1$が成り立つ$^\text{AC}$。
- \mathcal{B}_{\aleph_1}=Brl(X)により、$\all \alpha \; \all B \in \mathcal{B}_\alpha \; \exi U \in \mathcal{O}_X \; \exi M_0, M_1 \in \text{Mgr}(X) \;\; B \equ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1$を証明すればよい。
これを$\alpha$についての超限帰納法で証明する。 - ($\text{i}$)$V \in \mathcal{O}$ならば、$V \equ \parenth{ V \cup \phi } \backslash \phi$である。
$A \in \mathcal{C}_X$ならば、$A \equ \parenth{ \text{op}(A) \cup \parenth{ A \backslash \text{op}(A) } } \backslash \phi$である。 - 従って、(2)を併せて、$\alpha \equ 0$の時は成り立っている。
- ($\text{ii}$)$\alpha$の時に成り立つと仮定する。
$\all f : \omega \to \mathcal{B}_\alpha \;\; \exi U \in \mathcal{O}_X \; \exi M_0, M_1 \in \text{Mgr}(X) \;\; \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) \equ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1$が成り立つ$^\text{AC}$。
- $n \lt \omega$に対し、$\mathcal{F}_n :\equ \Set{ (U, M_0, M_1) \in \mathcal{O}_X \times \text{Mgr}(X) \times \text{Mgr}(X) }{ f(n) \equ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1 }$と置く。
- $\all n \lt \mathcal{F}$ $\nequ$ $\alpha$の時の仮定 $\phi$なので、$\exi (U_n, M_{n,0}, M_{n,1})_{n \lt \omega} \in \prod\limits_{n \in \omega} \mathcal{F}_n$である$^\text{AC}$。
- $B :\equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n), \quad U :\equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} U_n, \quad M_0 :\equ B \backslash U, \quad M_1 :\equ U \backslash B$と置く。
- $B$ $\equ$ ベン図を考えれば自明。
無駄な集合を足してから引いているだけ。 $\parenth{ B \cup \parenth{ U \backslash B } } \backslash \parenth{ U \backslash B }$ $\equ$ $B \cup U \backslash B \equ B \cup U \equ B \backslash U \cup U$ $\parenth{ U \cup \parenth{ B \backslash U } } \backslash \parenth{ U \backslash B }$である。 - $B \backslash U \equ \parenth{ \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) } \backslash \parenth{ \bigcup\limits_{m \lt \omega} U_m } \subseteq \bigcup\limits_{n \lt \omega} \parenth{ f(n) \backslash U_n }$ $\subseteq$ $f(n) \equ \parenth{ U_n \cup M_{n,0} } \backslash M_{n,1}$ $\bigcup\limits_{n \lt \omega} M_{n,0}$ $\in$ $\all n \lt \omega \;\; M_{n,0} \in \text{Mgr}(X)$と(1) $^\text{AC} \text{Mgr}(X)$である。
従って、(1)を併せて、$B \backslash U \in \text{Mgr}(X)$である。 - $U \backslash B \equ \parenth{ \bigcup\limits_{n \lt \omega} U_n } \backslash \parenth{ \bigcup\limits_{m \lt \omega} f(m) } \subseteq \bigcup\limits_{n \lt \omega} \parenth{ U_n \backslash f(n) }$ $\subseteq$ $U_n \backslash M_{n,1} \subseteq f(n)$なので、
$U_n \cap X \backslash f(n) \cap X \backslash M_{n,1} \equ \phi$である。
従って、$U_n \backslash f(n) \subseteq M_{n,1}$である。 $\bigcup\limits_{n \lt \omega} M_{n,1}$ $\in$ $\all n \lt \omega \;\; M_{n,1} \in \text{Mgr}(X)$と(1) $^\text{AC} \text{Mgr}(X)$である。
従って、(1)を併せて、$U \backslash B \in \text{Mgr}(X)$である。
- 従って、$\bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n)$に対して成り立つことは分かったので、以下、$\bigcap\limits_{n \lt \omega} f(n)$に対して成り立つことを証明する。
- $f : \omega \to \mathcal{B}_\alpha$を任意に取る。
- $\all n \lt \omega \;\; X \backslash f(n)$ $\in$ $\all \alpha \; \all V \in \mathcal{B}_\alpha \;\; X \backslash V \in \mathcal{B}_\alpha$ $\mathcal{B}_\alpha$である。
- 従って、∪f(n)=(U∪M0)＼M1$^\text{AC}$を併せて、$\exi U \in \mathcal{O}_X \; \exi M_0, M_1 \in \text{Mgr}(X) \;\; \bigcup\limits_{n \lt \omega} \parenth{ X \backslash f(n) } \equ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1$である。
- 見易さの都合上、$\cup, \cap, \backslash$を$+, \cdot, -$で表すと、
$-\bracket{ (U+M_0) \cdot (-M_1) } \equ -(U+M_0) + M_1 \equ (-U) \cdot (-M_0) + M_1$である。
また、$(-U+M_1) \cdot -\parenth{ M_0 \cdot (-M_1) } \equ (-U+M_1) \cdot ( (-M_0)+M_1 ) \equ (-U) \cdot (-M_0) + M_1$である。 - これらより、$\bigcap\limits_{n \lt \omega} f(n) \equ X \backslash \bracket{ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1 } \equ \parenth{ X \backslash U \cup M_1 } \backslash \parenth{ M_0 \backslash M_1 }$である。
従って、$\bigcap\limits_{n \lt \omega} f(n)$ $\equ$ $X \backslash U \equ \text{op}(X \backslash U) \cup \parenth{ X \backslash U } \backslash \text{op}(X \backslash U)$ $\bracket{ \text{op}(X \backslash U) \cup \parenth{ X \backslash U } \backslash \text{op}(X \backslash U) \cup M_1 } \backslash \parenth{ M_0 \backslash M_1 }$である。 - また、$\parenth{ X \backslash U } \backslash \text{op}(X \backslash U)$ $\in$ $X \backslash U \in \mathcal{C}_X$と(2) $\text{Mgr}(X)$なので、$\parenth{ X \backslash U } \backslash \text{op}(X \backslash U) \cup M_1 \in \text{Mgr}(X)$である。
- ($\text{iii}$)$\alpha \text{は極限順序数}$の場合は明らかである。
- \mathcal{B}_{\aleph_1}=Brl(X)により、$\all \alpha \; \all B \in \mathcal{B}_\alpha \; \exi U \in \mathcal{O}_X \; \exi M_0, M_1 \in \text{Mgr}(X) \;\; B \equ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1$を証明すればよい。
$\all B \in \text{Brl}(X) \; \exi U \in \text{RegOp}(X) \; \exi M_0, M_1 \in \text{Mgr}(X) \;\; B \equ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1$が成り立つ$^\text{AC}$。
- (3)$^\text{AC}$より、$\exi U \in \mathcal{O}_X \; \exi M_0, M_1 \in \text{Mgr}(X) \;\; B \equ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1$である。
- $U_0 :\equ \text{op}\circ\text{cl}(U) \;\parenth{ \in \text{RegOp}(X) \subseteq \mathcal{O}_X }$と置く。
- 見易さの都合上、$\cup, \cap, \backslash$を$+, \cdot, -$で表すと、
$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \parenth{ U_0 + M_0 } \cdot -\bracket{ U_0 \cdot (-U) \cdot M_0 + M_1 } & \equ & \parenth{ U_0 + M_0 } \cdot \bracket{ -\parenth{ U_0 \cdot (-U) \cdot (-M_0) } \cdot (-M_1) } \\ & \equ & \parenth{ U_0 + M_0 } \cdot \bracket{ \parenth{ (-U_0) + U + M_0 } \cdot (-M_1) } \\ & \equ & \bracket{ \parenth{ U_0 + M_0 } \cdot \parenth{ (-U_0) + U + M_0 } } \cdot (-M_1) \\ & \equ & \bracket{ U_0 \cdot \parenth{ (-U_0) + U } + M_0 } \cdot (-M_1) \\ & \equ & \bracket{ U_0 \cdot U + M_0 } \cdot (-M_1) \\ & \equ & \bracket{ U + M_0 } \cdot (-M_1) \equ B \\ \end{array}$
である。 - また、$M_0 \in \text{Mgr}(X)$と(1)より、$U_0 \backslash U \cap M_0 \in \text{Mgr}(X)$である。
従って、(1)を併せて、$U_0 \backslash U \cap M_0 \cup M_1 \in \text{Mgr}(X)$である。
$(X, \mathcal{O}_X)$を$\text{局所compact かつ hausdorff}$な位相空間とする。
$\mathcal{O}_X \cap \text{Mgr}(X) \equ \{ \phi \}$が成り立つ$^\text{AC}$。
- $\supseteq$は明らかなので、$\subseteq$を証明する。
- $\phi \nequ U \in \mathcal{O}_X$に対し、$\mathcal{V}(U) :\equ \Set{ \phi \nequ V \in \mathcal{O}_X }{ \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \text{cl}(V) \subseteq U \\ \text{かつ} & \text{cl}(V) \text{はcompact} \end{array} }$と置く。
- $\phi \nequ \all U \in \mathcal{O}_X \;\; \mathcal{V}(U)$ $\nequ$ 仮定[$X \text{は局所compactかつhausdorff}$]
この証明は将来的にどこかの記事に書こうと思う。 $\phi$なので、$\exi g \in \prod\limits_{\phi \nequ U \in \mathcal{O}_X} \mathcal{V}(U)$である$^\text{AC}$。 - [背理法]$\phi \nequ \exi M \in \mathcal{O}_X \cap \text{Mgr}(X)$を仮定する。
- $M \in \text{Mgr}(X)$なので、$\exi f : \omega \to \text{Pow}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all n \lt \omega \;\; \text{op}\circ\text{cl}( f(n) ) \equ \phi \\ \text{かつ} & M \equ \bigcup\limits_{n \lt \omega} f(n) \end{array}\right.$である。
- 任意の$A \subseteq X$に対し、
である。$\text{op}\circ\text{cl}(A) \equ \phi$ $\Leftrightarrow$ $\Rightarrow$は$V \equ \text{op}(V) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}(A) \equ \phi$
$\Leftarrow$は$\text{op}\circ\text{cl}(A) \subseteq \text{cl}(A)$より$\text{op}\circ\text{cl}(A) \equ \phi$。$\all V \in \mathcal{O}_X \;\bracket{ V \subseteq \text{cl}(A) \Rightarrow V \equ \phi }$ $\Leftrightarrow$ 対偶 $\phi \nequ \all V \in \mathcal{O}_X \; V \backslash \text{cl}(A) \nequ \phi$ - 従って、仮定[$\phi \nequ M \in \mathcal{O}_X$]を併せて、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} V_0 & :\equ & g(M) \\ V_{n+1} & :\equ & g( V_n \backslash \text{cl}( f(n) ) ) \end{array}\right.$と定義できる。
- $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & V_0 \text{はcompact} \\ \text{かつ} & \all m \lt \omega \;\; V_0 \cap \bigcap\limits_{n \equ 0}^m V_{n+1} \equ V_{m+1} \nequ \phi \end{array}\right.$より、$V_0 \cap \bigcap\limits_{n \lt \omega} \text{cl}(V_{n+1}) \nequ \phi$である。
従って、$\exi x \in V_0 \cap \bigcap\limits_{n \lt \omega} \text{cl}(V_{n+1})$である。 - 従って、$\all m \lt \omega \;\; x \in \bigcap\limits_{n \lt \omega} \text{cl}(V_{n+1}) \subseteq \text{cl}(V_{m+1})$ $\subseteq$ $g$の定義 $V_m \backslash \text{cl}( f(m) ) \subseteq X \backslash f(m)$である。
つまり、$x \not\in \bigcup\limits_{m \lt \omega} f(m) \equ M$である。
また、$x \in V_0 \subseteq \text{cl}(V_0) \subseteq M$である。
これらは矛盾している。
$\text{RegOp}(X) と \text{Brl}(X) / \parenth{ \text{Mgr}(X) \cap \text{Brl}(X) } \text{は(ブール代数として)同型}$が成り立つ$^\text{AC}$。
- $\mathcal{I} :\equ \text{Mgr}(X) \cap \text{Brl}(X)$と置く。
- $(\sigma\text{-})$ブール代数$\text{Brl}(X)$の$(\sigma\text{-})\text{ideal} \ \mathcal{I}$による剰余$\text{Brl}(X) / \mathcal{I} \text{はブール代数}$であることは既に知られている。
- $f : \text{RegOp}(X) \to \text{Brl}(X) / \mathcal{I}, U \mapsto U/\mathcal{I}$と置く。
(注意：$\text{RegOp}(X) \subseteq \mathcal{O}_X \subseteq \text{Brl}(X)$である。) - $f$が同型写像であることを証明する。
- ($\text{i}$)$U, V \in \text{RegOp}(X)$を任意に取り、$U/\mathcal{I} \equ V/\mathcal{I}$を仮定する。
- $U \backslash V \cup V \backslash U$ $\in$ これこそが$\mathcal{I}$を法とした同値関係の定義 $\mathcal{I}$なので、$\mathcal{I} \text{はideal}$を併せて、$U \backslash V, V \backslash U \in \mathcal{I}$である。
- $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & U \backslash \text{cl}(V) \in \mathcal{O}_X \\ \text{かつ} & U \backslash \text{cl}(V) \subseteq U \backslash V \in \mathcal{I} \subseteq \text{Mgr}(X) \text{はideal} \end{array}\right.$なので、(1)$^\text{AC}$を併せて、$U \backslash \text{cl}(V) \equ \phi$である。
従って、$U \equ \text{op}(U) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}(V) \equ V$である。 - 同様に、$V \subseteq U$なので、$U \equ V$である。
- ($\text{ii}$)$B/\mathcal{I} \in \text{Brl}(X) / \mathcal{I}$を任意に取る。
- Meagerに関する各種定理(Baire Category Theorem等)(4)$^\text{AC}$より、$\exi U \in \text{RegOp}(X) \; \exi M_0, M_1 \in \text{Mgr}(X) \;\; B \equ \parenth{ U \cup M_0 } \backslash M_1$である。
- $B \backslash U \subseteq M_0 \in \text{Mgr}(X)$なので、$B \backslash U \in \text{Mgr}(X)$である。
また、$B, U \in \text{Brl}(X)$なので、$B \backslash U \in \text{Brl}(X)$である。
従って、$B \backslash U \in \text{Mgr}(X) \cap \text{Brl}(X) \equ \mathcal{I}$である。 - $U \backslash B \equ \cdots \equ U \cap M_1 \subseteq M_1 \in \text{Mgr}(X)$なので、$U \backslash B \in \text{Mgr}(X)$である。
従って、$U \backslash B \in \text{Brl}(X)$を併せて、$U \backslash B \in \text{Mgr}(X) \cap \text{Brl}(X) \equ \mathcal{I}$である。 - これらより、$B \backslash U \cup U \backslash B \in \mathcal{I}$、つまり、$B/\mathcal{I} \equ U/\mathcal{I}$である。
- よって、$f(U) \equ U/\mathcal{I} \equ B/\mathcal{I}$である。
- ($\text{iii}$)準同型については定義からそのままである。
