$\newcommand{\angle}[1]{{\left\langle{#1}\right\rangle}}$ $\newcommand{\card}[1]{{\left|{#1}\right|}}$ 補題 $\angle{a, \prec}$を整列集合とする。 $f : \gamma \to a \text{は順序同型写像}$とする。 $\all a_0 \subseteq a \; \exi \gamma_0 \;\; f…

$\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}$ 今回の記事の内容は、竹内外史,Wilson M.Zaring共著｢Axiomatic Set Theory｣(1973年)の第3章"Boolean σ-Algebras"の丸々まとめである。 $X$をブール代数とする。 $I \subseteq X$をidealとする。 $X \text{は}\sigm…

$(X, \leq)$を順序集合とする。 次の定義をする: $\text{Uf}(X)$ $:\equ$ $\Set{ F \subseteq X }{ F \text{は}X\text{の極大filter} }$ $\text{Ngb} : X \rightarrow \text{Pow}( \text{Uf}(X) ), x \mapsto \Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ x \in F }$ $\math…

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。 $X \text{はc.c.c.} :\Leftrightarrow \all A \subseteq \;\bracket{ \all x, y \in A \;\parenth{ x \nequ y \Rightarrow x \cdot y \equ 0 } \Rightarrow A \text{は高々加算} }$ $\text{c.c.c.}$とはcounta…

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。 $\phi \nequ A \subseteq X$とする。 $A$は$\text{filter}$ $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & 1 \in A \\ (2) & \all a, b \in A \;\; a \cdot b \in A \\ (3) & \all a \in A \;…

下図の｢1→2→3｣の順で議論を進めていく(定理の番号に対応しているわけではない)： ${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}*[white]\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ ブール代数 \ar@1@<1ex> `d/2pt[dr]_{3} `r/2pt[r] [r] \ar@1{^{(}->} [r] & 完備ブー…