$X,Y,I$ を集合とする。 $i \in I$ に対し、$X_i \subset X, Y_i \subset Y, {\rm 全単射}f_i : X_i \rightarrow Y_i$ とする。 $X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i {\rm かつ} Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i \Rightarrow \coprod\limits_{i \in I…

$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。 $X {\rm はcompact}$ と仮定する。 $\all f : X \rightarrow Y \;\parenth{ f {\rm は連続} \Rightarrow f {\rm は一様連続} }$ が成り立つ。 $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。 ${\cal S} :\equiv \…

$(X,d)$ を距離空間とする。 $\all U \in {\cal O}_d \; \all x \in U \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \;\parenth{ x \in } B_{\varepsilon}(x) \subset U$ が成り立つ。 $x \in U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。 $\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \s…

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。 $X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ} :\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O} \; \parenth{ {\cal U} {\rm は被覆} \Rightarrow \exi {\rm 可算} {\cal V} \subset {\cal U} \; {\cal V} {\rm は被覆} }$ …

$(X, d)$ を距離空間とする。 ${\rm diam} {\rm \ or \ } {\rm diam}_X : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow [0,\infty], S \mapsto {\rm sup}\Set{ d(x,y) }{ x,y \in S }$ $X {\rm はtotally \ bounded(全有界)}$ $:\Leftrightarrow$ $\all \v…

$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。 $f : X \rightarrow Y$ を連続写像とする。 $\all A \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \Rightarrow f(A) {\rm は連結} }$ が成り立つ。 [対偶法]$f(A) {\rm は連結でない}$ と仮定する。 $\exi …

$(X,d)$ を距離空間とする。 $\exi {\rm 距離空間}(X^*,d^*) \; \exi f:X \rightarrow X^* \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & (X^*,d^*) {\rm はcomplete} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii)} & f {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii…

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $X$は$T_4$ $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \; \parenth{ A \subset U \Rightarrow \exi V \in {\cal O} \;\; A \subset V \land {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。 $X$は$T_4$$\Le…

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $X$は$T_3$空間 $\Leftrightarrow$ $\all x \in X \all U \in {\cal O} \;\parenth{ x \in U \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。 $X$は$T_3$空間 $\Leftrightarrow \all …

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $\all A \subset X \; (X \backslash A)^\circ \equ X \backslash {\overline A}$ である。 $(X,{\cal O})$ を位相空間とする。 $\all A, B \subset X \; \parenth{ A {\rm は閉集合かつ} B {\rm はCompact} \Rightarrow …

Zornの補題と同値な命題の中でも、特にZornの補題と形が似ているものの同値性を証明する。 $X$を集合とする。 $C$を$X$の部分集合に関する性質とする。 $C$は有限的な性質 $:\Leftrightarrow$ $\all Y \subset X \left[\; Y \rm{は性質} C \rm{を持つ} \;\Le…

思った事を書くだけ 出産前に何らかの検査を受ける事で事前に子どもが障害児かどうかが分かるらしい。 それを事実と仮定した上で、昔から何度も思い続けてきてる事なんだが、なんで自分の子どもが障害児なのにわざわざ産もうと思ったのかが、…そういう親が居…

$\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$ $S_n^m$-定理を自分なりに纏める。 $\lambda y_1 \cdots y_m x_1 \cdots x_n \; f(y_1,\cdots,y_m,x_1,\cdots,x_n)$を$(m+n)$-変数の帰納的な部分関数とする。 この関数$f$のゲーデル数を$e$とす…

形式的体系${\cal R}$を算術化する。 $\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$ ${\cal R}$の基本記号のゲーデル数 定記号のゲーデル数： $\godel{{\mathbf 0}} \equ 3、\godel{^\prime} \equ 5、\godel{\equ} \equ 7$ 変数および関数記号…

今週のお題「最近おいしかったもの」} 形式的体系${\cal R}$を定義する。 (参考文献：廣瀬健、｢帰納的関数｣、75ページ～81ページ) ${\cal R}$の基本記号 定記号： 対象記号として、${\mathbf 0}$ (特定の)関数記号として、$^\prime$ 述語記号として、$\equ$ …

Zornの補題を証明する。 まずは用語の定義から。 $\left( X, \leq \right)$ を順序集合とする。 $c \in X, T \subset X$ とする。 $c$ は、$T \text{のupper bound(上界)}$ $:\Leftrightarrow$ $\all a \in T \; a \leq c$ $T$ は、$\text{totally ordered(…

開集合系の基底について復習する。 $(X, {\cal O}_X)$ を位相空間とする。 ${\cal U} \subset {\cal O}_X$ とする。 ${\cal U}$は${\cal O}_X$の基底である $:\Leftrightarrow$ ${\cal O}_X \equ \Set{ \bigcup {\cal V} }{ {\cal V} \subset {\cal U} }$ $\…

まず、本定理の証明に必要な命題を述べておく。 $\left( X, {\cal O}_X \right)$ を位相空間とする。 $x \in X$ とする。 ${\mathbb V}(x)$ を $x$ の近傍系とする。 ${\mathbb V}^*(x)$ を $x$ の基本近傍系とする。 $\all A \subset X \;\parenth{ x \in \…

位相空間$\left( X,{\cal O}_X \right)$に対し、 ${\cal C}_X :\equiv \Set{ A \subset X }{ X \backslash A \in {\cal O}_X }$ と置く。 $\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。 $A \subset X$ とする。 以下は同値である： $A$はCompact $\a…

私はScanSnap iX500で自炊をもう既に400冊ぐらいしています。白黒(でスキャンしても構わない)書籍が90％、グレーが5％、カラーが5％という内訳でしょうか。 その経験からiX500でのスキャンの仕上がり具合について少し経験がついたのでメモを残しておこうと思…