Zornの補題と同値な命題(集合論編)
$X$を集合とする。
$C$を$X$の部分集合に関する性質とする。
$C$を$X$の部分集合に関する性質とする。
| $C$は有限的な性質 | $:\Leftrightarrow$ |
| $\all Y \subset X \left[\; Y \rm{は性質} C \rm{を持つ} \;\Leftrightarrow\; \all Z \subset Y \parenth{ Z \rm{は有限集合} \Rightarrow Z \rm{は性質} C \rm{を持つ} } \;\right]$ | |
以下の命題は同値である。
- Zornの補題
$(X,\leq)$ を順序集合とする。
$\phi \neq \all S \subset X \; \parenth{ S {\rm は帰納的} \Rightarrow \all p \in S \; p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元} }$ が成り立つ。 - (Tukey)
$X$を集合とする。$C$を$X$の部分集合に関する有限的な性質とする。
${\frak X} :\equiv \Set{ Y \subset X }{ Y {\rm は性質} C {\rm を持つ} }$ と置く。
$\all Y \in {\frak X} \;\; Y \subset \exi Z \in {\frak X} \; Z {\rm は} ( {\frak X}, \subset ) {\rm の極大元}$ である。 - (Kuratowski)
$(X,\leq)$を順序集合とする。
$\all Y \in {\rm TotOrd}(X) \;\; Y \subset \exi Z \in {\rm TotOrd}(X) \; Z {\rm は} ( {\rm TotOrd}(X), \subset ) {\rm の極大元}$ である。
[証明]
- ${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ (1) \ar@2{->}[r]^-{[1]} & (2) \ar@2{->}[r]^-{[2]} & (3) \ar@2{->} `d/0pt[d] `/0pt[dll]_-{[3]} [ll] \\ & & }\end{xy}}}$ の順で証明する。
- [1] ${\frak X} \neq \phi$ として、${\frak X}$ が帰納的である事を証明すればよい。
- ${\cal Y} \; \parenth{ \subset {\frak X} }$ を ${\frak X}$ の全順序部分集合とする。
$\bigcup {\cal Y} \in {\frak X}$ が成り立つ。
- $Z \; \parenth{ \subset \bigcup {\cal Y} }$ を任意の有限集合とする( $Z$ が性質$C$を持つ事を示せばよい $C$は有限的な性質 )。
- $Z$ は有限集合なので、 有限部分集合${\cal Y}_0 \subset {\cal Y}$ が存在して、 $Z \subset \bigcup {\cal Y}_0$ が成り立つ。
- ${\cal Y}_0$ は有限集合なので、全順序部分集合Yより、$\exi Y \in {\cal Y}_0 \; Y {\rm は} {\cal Y}_0 {\rm の最大元}$ である。
従って、 $\bigcup {\cal Y}_0 \equ Y$ である。 - $Z$ は有限集合であり、かつ、$\parenth{ Z \subset }\; Y$ は性質$C$を持つので、$Z$ は性質$C$を持つ。
- 従って、明らかに $\bigcup {\cal Y}$ が ${\cal Y}$ の上界である事も合わせて、 ${\frak X}$ が帰納的である事が示された。
- [2]｢全順序部分集合である｣が有限的な性質であることを証明すればよい。
- $\Rightarrow$$Y \; \parenth{ \subset X }$ が全順序ならば、 明らかに、$\all Z \subset Y \; Z {\rm は全順序}$ である。
- $\Leftarrow$$Y \subset X$ とし、 $\all Z \subset Y \; \parenth{ Z {\rm は有限集合} \Rightarrow Y {\rm は全順序} }$ であると仮定する。
- 任意の$x,y \in Y$に対して、仮定より$\{x,y\}$は全順序だから、$x \leq y \lor x \geq y$ である。
従って、$Y$は全順序である。 - [3]$S \; \parenth{ \subset X }$ を帰納的と仮定し、$p \in S$ とする。
- 仮定(3)により、$\{ p \} \subset \exi Z \in {\rm TotOrd}(X) \; Z {\rm は} ({\rm TotOrd}(X), \subset) {\rm の極大元}$ である。
- $S$の仮定により、$\exi c \in S \; c {\rm は} Z {\rm の上界}$ である。
- Zの上界cより、$p \leq c$ である。
$c {\rm は} S {\rm の極大元}$ である。
- $c \leq d \in $ なる $d$ を任意に取る。
- $Z \subset Z \cup \{ d \}$ $\in$ Zの上界cより。 ${\rm TotOrd}(X)$ なので、極大元Zより、$Z \equ Z \cup \{ d \}$ である。
- 従って、$d \in Z$だが、Zの上界cより、$d \leq c$である。よって、$c \equ d$である。
- 以上より、Zornの補題が成立する。
