ZFC集合論1：構成可能集合
補題
- $\angle{a, \prec}$を整列集合とする。
$f : \gamma \to a \text{は順序同型写像}$とする。$\all a_0 \subseteq a \; \exi \gamma_0 \;\; f \restriction {\gamma_0} : \gamma_0 \to \alpha_0 \text{は順序同型写像}$が成り立つ。
- $\exi \gamma_0 \; \exi f_0 : \gamma_0 \to a_0 \text{は順序同型写像}$である。
- $f^{-1} \circ f_0 : \gamma_0 \to f^{-1}``a_0 \text{は順序同型写像}$なので、$f^{-1}a_0 \text{は順序数}$でもある。
- 従って、$\all \alpha \lt \gamma_0 \;\; (f^{-1} \circ f_0)`\alpha \equ \alpha$、つまり、$\all \alpha \lt \gamma_0 \;\; f`\alpha \equ f_0`\alpha$である。
$\all \alpha_1, \cdots, \alpha_n \lt \aleph(\gamma) \;\; \card{\alpha_1 \times \cdots \times \alpha_n} \lt \aleph(\gamma)$が成り立つ$^\text{AC}$。
- $\gamma$に関する超限帰納法で証明する。
- ($\text{i}$)$\aleph(0) \equ \omega$の時は明らか。
- ($\text{ii}$)$\aleph(\gamma)$の時に成り立つと仮定する。
- $\alpha_1, \cdots, \alpha_n \lt \aleph( S(\gamma) )$を任意に取る。
- 任意の$i \in \{1, \cdots, n\}$に対して、$\card{\alpha_i} \leq \alpha_i \lt \aleph( S(\gamma) )$なので、$\card{\alpha_i} \leq \aleph(\gamma)$である。
従って、$\card{\alpha_1} \times \cdots \times \card{\alpha_n} \subseteq \aleph(\gamma) \times \cdots \times \aleph(\gamma)$である。 - $\card{\alpha_1 \times \cdots \times \alpha_n}$ $\equ$ $\exi \text{全単射} f_i : \card{\alpha_i} \to \alpha$なので、
$\exi \text{全単射} f : \card{\alpha_1} \times \cdots \times \card{\alpha_n} \to \alpha_1 \times \cdots \times \alpha_n$である。 $\card{\card{\alpha_1} \times \cdots \times \card{\alpha_n}}$ $\leq^\text{AC}$ |α_1|×…×|α_n|⊆ℵ(γ)×…×ℵ(γ) $\card{\aleph(\gamma) \times \cdots \times \aleph(\gamma)}$ $\equ$ 基数$\aleph(\gamma)$の積についての定理 $\aleph(\gamma) \lt \aleph( S(\gamma) )$である。 - ($\text{iii}$)$\gamma \text{は極限順序数}$とし、任意の$\all \beta \lt \gamma$に対して主張が成り立つと仮定する。
- $\alpha_1, \cdots, \alpha_n \lt \aleph(\gamma)$を任意に取る。
- $\all i \in \{1, \cdots, n\} \; \exi \beta_i \lt \gamma \;\; \alpha_i \lt \aleph(\beta_i)$なので、$\exi \beta \lt \gamma \; \all i \in \{1, \cdots, n\} \;\; \alpha_i \lt \aleph(\beta)$である。
- $\card{\alpha_1 \times \cdots \times \alpha_n}$ $\lt$ 仮定[帰納法] $\aleph(\beta) \lt \aleph(\gamma)$である。
2項述語$\prec$を次のように定義する:
($x, y$が順序数の2項組ではない時、$x \prec y$は成り立たないものとする。)
$\newcommand{\dotprec}{{\dot{\prec}}}$ 3項述語$\dotprec$を次のように定義する:
($x, y$が順序数の3項組(第3項は9より小さい)ではない時、$x \dotprec y$は成り立たないものとする。)
述語$D$を
述語$D_1, D_2, D_3$を
と置くと、$\exi! y \;\; D_i \;\parenth{ i \equ 1, 2, 3 }$なので、
集合を構成するための操作を以下に8個定義する:
構成可能集合を産出する関数を、超限帰納法によって、次のように定義する:
($x$が順序数でないときは$\mathcal{F}(x) \equ \phi$とする。)
($x, y$が順序数の2項組ではない時、$x \prec y$は成り立たないものとする。)
$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \prec \angle{\beta_0, \beta_1} :\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \max(\alpha_0, \alpha_1) \lt \max(\beta_0, \beta_1) & \\ \lor & ( \max(\alpha_0, \alpha_1) \equ \max(\beta_0, \beta_1) \land & \alpha_0 \lt \beta_0 ) \\ \lor & ( \max(\alpha_0, \alpha_1) \equ \max(\beta_0, \beta_1) \land & \alpha_0 \equ \beta_0 \land \alpha_1 \lt \beta_1 ) \end{array}\right.$
($\max(\alpha, \beta) :\equ \alpha \cup \beta$は$\alpha, \beta$の大きい方を表す。)
($\max(\alpha, \beta) :\equ \alpha \cup \beta$は$\alpha, \beta$の大きい方を表す。)
- $A$を集合とし、$\all z \in A \; \exi \alpha_0, \alpha_1 \;\; z \equ \angle{\alpha_0, \alpha_1}$とする。
$\angle{A, \prec} \text{は整列集合}$が成り立つ。
- (1)明らかに$\all \angle{\alpha_0, \alpha_1} \in A \;\; \angle{\alpha_0, \alpha_1} \not\prec \angle{\alpha_0, \alpha_1}$である。
- (2)$\angle{\alpha_0, \alpha_1}, \angle{\beta_0, \beta_1}, \angle{\gamma_0, \gamma_1} \in A$を任意に取り、$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \prec \angle{\beta_0, \beta_1} \prec \angle{\gamma_0, \gamma_1}$を仮定する。
- $\max(\alpha_0, \alpha_1) \leq \max(\beta_0, \beta_1) \leq \max(\gamma_0, \gamma_1)$なので、$\max(\alpha_0, \alpha_1) \leq \max(\gamma_0, \gamma_1)$である。
- $\max(\alpha_0, \alpha_1) \lt \max(\gamma_0, \gamma_1)$の場合:$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \prec \angle{\gamma_0, \gamma_1}$である。
- $\max(\alpha_0, \alpha_1) \equ \max(\gamma_0, \gamma_1)$の場合:
- $\max(\alpha_0, \alpha_1) \equ \max(\beta_0, \beta_1) \equ \max(\gamma_0, \gamma_1)$である。
- 従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} &(あ) & \alpha_0 \lt \beta_0 \\ \lor & (い) & \bracket{ \alpha_0 \equ \beta_0 \land \alpha_1 \lt \beta_1 } \end{array}\right. \\ \land & \left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} & (う) & \beta_0 \lt \gamma_0 \\ \lor & (え) & \bracket{ \beta_0 \equ \gamma_0 \land \beta_1 \lt \gamma_1 } \end{array}\right. \\ \end{array}\right.$である。
- $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & (あ) \land (う) \\ \lor & (あ) \land (え) \\ \lor & (い) \land (う) \end{array}\right.$ならば、$\alpha_0 \lt \gamma_0$である。
- $(い) \land (え)$ならば、$\alpha_0 \equ \beta_0 \equ \gamma_0 \land \alpha_1 \lt \beta_1 \lt \gamma_1$である。
- (3)$\angle{\alpha_0, \alpha_1}, \angle{\beta_0, \beta_1} \in A$を任意に取る。
- $\max(\alpha_0, \alpha_1) \lesseqgtr \max(\beta_0, \beta_1)$である。
- $\max(\alpha_0, \alpha_1) \lt \max(\beta_0, \beta_1)$の場合:$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \prec \angle{\beta_0, \beta_1}$である。
- $\max(\alpha_0, \alpha_1) \gt \max(\beta_0, \beta_1)$の場合:$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \succ \angle{\beta_0, \beta_1}$である。
- $\max(\alpha_0, \alpha_1) \equ \max(\beta_0, \beta_1)$の場合:
- $\alpha_0 \lt \beta_0$の場合:$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \prec \angle{\beta_0, \beta_1}$である。
- $\alpha_0 \gt \beta_0$の場合:$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \succ \angle{\beta_0, \beta_1}$である。
- $\alpha_0 \equ \beta_0$の場合:
- $\alpha_1 \lt \beta_1$の場合:$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \prec \angle{\beta_0, \beta_1}$である。
- $\alpha_1 \gt \beta_1$の場合:$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \succ \angle{\beta_0, \beta_1}$である。
- $\alpha_1 \equ \beta_1$の場合:$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \equ \angle{\beta_0, \beta_1}$である。
- (4)$\phi \nequ B \subseteq A$を仮定する。
- $\gamma :\equ \min_\lt$ $\Set{ \max(\alpha, \beta) }{ \angle{\alpha, \beta} \in B }$ $\angle{\alpha, \beta} \in B$とすると、$\{ \alpha, \beta \} \in \bigcup(B)$である。
従って、$\alpha, \beta \in \bigcup\bigcup(B)$である。
従って、$\alpha \cup \beta \subseteq \bigcup\bigcup(B)$、つまり、$\max(\alpha, \beta) \in \text{Pow}( \bigcup\bigcup(B) )$である。
よって、この集合は存在している。 と置く。
$C :\equ \Set{ \angle{\alpha, \beta} \in B }{ \max(\alpha, \beta) \equ \gamma }$と置く。
$\alpha_0 :\equ \min_\lt$ $\text{Dom}(C)$ $\gamma \equ \max(\alpha_\gamma, \beta_\gamma) \in B$と表したら、
$\alpha_\gamma \in \text{Dom}(C)$である。 と置く。
$D :\equ \Set{ \angle{\alpha, \beta} \in C }{ \alpha \equ \alpha_0 }$と置く。
$\beta_0 :\equ \min_\lt$ $\text{Ran}(D)$ $\angle{\alpha_0, \beta_\gamma} \in C$と表したら、
$\beta_\gamma \in \text{Ran}(D)$である。 と置く。 - $\angle{\alpha_0, \beta_0} \in C \subseteq B$である。
- $\angle{\alpha, \beta} \in B$を任意に取る。
- $\max(\alpha_0, \beta_0) \equ \gamma \leq \max(\alpha, \beta)$である。
- $\max(\alpha_0, \beta_0) \lt \max(\alpha, \beta)$の場合:$\angle{\alpha_0, \beta_0} \prec \angle{\alpha, \beta}$である。
- $\max(\alpha_0, \beta_0) \equ \max(\alpha, \beta)$の場合:
- $\angle{\alpha, \beta} \in C$なので、$\alpha_0 \leq \alpha$である。
- $\alpha_0 \lt \alpha$の場合:$\angle{\alpha_0, \beta_0} \prec \angle{\alpha, \beta}$である。
- $\alpha_0 \equ \alpha$の場合:
- $\angle{\alpha, \beta} \in D$なので、$\beta_0 \leq \beta$である。
- よって、$\angle{\alpha_0, \beta_0} \preceq \angle{\alpha, \beta}$である。
$\newcommand{\dotprec}{{\dot{\prec}}}$ 3項述語$\dotprec$を次のように定義する:
($x, y$が順序数の3項組(第3項は9より小さい)ではない時、$x \dotprec y$は成り立たないものとする。)
$\angle{\alpha_0, \alpha_1, m} \dotprec \angle{\beta_0, \beta_1, n} :\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \angle{\alpha_0, \alpha_1} \prec \angle{\beta_0, \beta_1} & \\ \lor & ( \angle{\alpha_0, \alpha_1} \equ \angle{\beta_0, \beta_1} & \land m \lt n ) \end{array}\right.$
- $A$を集合とし、$\all z \in A \; \exi \alpha_0, \alpha_1 \; \exi n \lt 9 \;\; z \equ \angle{\alpha_0, \alpha_1, n}$とする。
$\angle{A, \dotprec} \text{は整列集合}$が成り立つ。
- (1)$\prec \text{は非反射的}$なので、$\dotprec \text{は非反射的}$である。
- (2)$\angle{\alpha_0, \alpha_1, k}, \angle{\beta_0, \beta_1, m}, \angle{\gamma_0, \gamma_1, n} \in A$を任意に取り、$\angle{\alpha_0, \alpha_1, k} \dotprec \angle{\beta_0, \beta_1, m} \dotprec \angle{\gamma_0, \gamma_1, n}$を仮定する。
- $\angle{\alpha_0, \alpha_1} \preceq \angle{\beta_0, \beta_1} \preceq \angle{\gamma_0, \gamma_1}$なので、$\angle{\alpha_0, \alpha_1} \preceq \angle{\gamma_0, \gamma_1}$である。
- $\angle{\alpha_0, \alpha_1} \prec \angle{\gamma_0, \gamma_1}$の場合:$\angle{\alpha_0, \alpha_1, k} \dotprec \angle{\gamma_0, \gamma_1, n}$である。
- $\angle{\alpha_0, \alpha_1} \equ \angle{\gamma_0, \gamma_1}$の場合:
- $\angle{\alpha_0, \alpha_1} \equ \angle{\beta_0, \beta_1} \equ \angle{\gamma_0, \gamma_1}$なので、仮定を併せて、$k \lt m \lt n$である。
- よって、$\angle{\alpha_0, \alpha_1, k} \dotprec \angle{\gamma_0, \gamma_1, n}$である。
- (3)$\angle{\alpha_0, \alpha_1, m}, \angle{\beta_0, \beta_1, n} \in A$を任意に取る。
- $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \angle{\alpha_0, \alpha_1} \prec \angle{\beta_0, \beta_1} \\ \lor & \angle{\alpha_0, \alpha_1} \succ \angle{\beta_0, \beta_1} \\ \lor & \angle{\alpha_0, \alpha_1} \equ \angle{\beta_0, \beta_1} \land m \lesseqgtr n \end{array}\right.$なので、 $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \angle{\alpha_0, \alpha_1, m} \dotprec \angle{\beta_0, \beta_1} \\ \lor & \angle{\alpha_0, \alpha_1, m} \dot{\succ} \angle{\beta_0, \beta_1, n} \\ \lor & \angle{\alpha_0, \alpha_1, m} \equ \angle{\beta_0, \beta_1, n} \end{array}\right.$である。
- (4)$\phi \nequ B \subseteq A$を任意に取る。
- $\angle{\alpha_0, \beta_0} :\equ \min_\prec \Set{ \angle{\alpha, \beta} }{ \exi n \lt 9 \;\; \angle{\alpha, \beta, n} \in B }$と置く。
$n_0 :\equ \min_\lt \Set{ n \lt 9 }{ \angle{\alpha_0, \beta_0, n} \in B }$と置く。 - $\angle{\alpha_0, \beta_0, n_0} \in B$である。
- $\angle{\alpha, \beta, n} \in B$を任意に取る。
- $\angle{\alpha_0, \beta_0} \preceq \angle{\alpha, \beta}$である。
- $\angle{\alpha_0, \beta_0} \prec \angle{\alpha, \beta}$の場合:$\angle{\alpha_0, \beta_0, m} \dotprec \angle{\alpha, \beta, n}$である。
- $\angle{\alpha_0, \beta_0} \equ \angle{\alpha, \beta}$の場合:$n_0 \leq n$なので、$\angle{\alpha_0, \beta_0, m} \dot{\preceq} \angle{\alpha, \beta, n}$である。
述語$D$を
$D :\equiv \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \text{Ord}(x_1) \land \text{Ord}(x_2) \land x_3 \lt 9 \\ \land & \exi \gamma \; \exi f \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & f : \angle{\gamma, \lt} \to \angle{S(x_1 \cup x_2) \times S(x_1 \cup x_2) \times 9, \dotprec} \text{は順序同型写像} \\ \land & f`y \equ \angle{x_1, x_2, x_3} \end{array}\right. \end{array}\right. \\ \lor & \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \neg\parenth{ \text{Ord}(x_1) \land \text{Ord}(x_2) \land x_3 \lt 9 } \\ \land & y \equ \phi \end{array}\right. \end{array}\right.$
と置く($S \text{は後者関数}$)と、 $\exi! y \; D$ $\gamma$と順序同型写像$f$は共に一意に存在している。 なので、
$D[y / J(x_1, x_2, x_3)]$
によって、$J(x_1, x_2, x_3)$を定義する。$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \angle{ J(\alpha, \beta, n), \lt }, \angle{ \Set{ x }{ x \dotprec \angle{\alpha, \beta, n} }, \dotprec } \text{は順序同型} \\ (\text{ii}) & J(\alpha, \beta, n) \equ \Set{ J(\gamma, \delta, m) }{ \angle{\gamma, \delta, m} \dotprec \angle{\alpha, \beta, n} } \\ (\text{iii}) & J(\alpha_0, \beta_0, m) \lt J(\alpha_1, \beta_1, n) \Leftrightarrow \angle{\alpha_0, \beta_0, m} \dotprec \angle{\alpha_1, \beta_1, n} \\ (\text{iv}) & \max(\alpha, \beta) \leq J(\alpha, \beta, n) \\ (\text{v}) & 0 \lt n \Rightarrow \max(\alpha, \beta) \lt J(\alpha, \beta, n) \\ (\text{vi}) & \all \gamma \; \exi! \angle{\alpha, \beta, n} \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & n \lt 9 \\ \text{かつ} & \gamma \equ J(\alpha, \beta, n) \end{array}\right. \end{array}\right.$が成り立つ。
- $f : \angle{\gamma, \lt} \to \angle{S(\alpha_1 \cup \alpha_2) \times S(\alpha_1 \cup \alpha_2) \times 9, \dotprec} \text{は順序同型写像}$とする。
- ($\text{i}$)$f \restriction J(\alpha, \beta, n) : \angle{J(\alpha, \beta, n), \lt} \to \angle{\Set{ f`\delta }{ \delta \lt J(\alpha, \beta, n) }, \dotprec} \text{は順序同型写像}$である。
- $\Set{ f`\delta }{ \delta \lt J(\alpha, \beta, n) }$ $\equ$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & f`J(\alpha, \beta, n) \equ \angle{\alpha, \beta, n} \\ \text{かつ} & f \text{は順序同型写像} \end{array}\right.$ $\Set{ x }{ x \dotprec \angle{\alpha, \beta, n} }$である。
- ($\text{ii}$)補題より、$\angle{\gamma, \delta, m} \dotprec \angle{\alpha, \beta, n}$に対して、$\exi \gamma_0 \; f \restriction \gamma_0 : \gamma_0 \to S(\gamma \cup \delta) \times S(\gamma \cup \delta) \times 9 \text{は順序同型写像}$である。
従って、$f`J(\gamma, \delta, m) \equ \angle{\gamma, \delta, n}$である。 - $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} J(\alpha, \beta, n) & \equ & f^{-1}``\Set{ \angle{\gamma, \delta, m} }{ \angle{\gamma, \delta, m} \dotprec \angle{\alpha, \beta, n} } \\ & \equ & \Set{ f^{-1}`\angle{\gamma, \delta, m} }{ \angle{\gamma, \delta, m} \dotprec \angle{\alpha, \beta, n} } \\ & \equ & \Set{ J(\gamma, \delta, m) }{ \angle{\gamma, \delta, m} \dotprec \angle{\alpha, \beta, n} } \end{array}$
である。 - ($\text{iii}$)$\Leftarrow$については、($\text{ii}$)より明らか。
- $\Rightarrow$については、対偶を証明すればよい。$\lt, \dotprec$は全順序付けるので、再度、($\text{ii}$)より明らか。
- ($\text{iv,v}$)
$\all \gamma \;\; \gamma \leq J(0, \gamma, 0)$が成り立つ。
- [背理法]$\exi \gamma \;\; J(0, \gamma, 0) \lt \gamma$を仮定する。
- $\gamma_0 :\equ \mu \gamma \bracket{ J(0, \gamma, 0) \lt \gamma }$と置く。
- $\angle{0, J(0, \gamma_0, 0)}$ $\prec$ 仮定[背理法] $\angle{0, \gamma_0}$なので、$\angle{0, J(0, \gamma_0, 0), 0} \dotprec \angle{0, \gamma_0, 0}$である。
- 従って、($\text{iii}$)を併せて、$J(0, J(0, \gamma_0, 0), 0) \lt J(0, \gamma_0, 0)$である。
- 従って、$\gamma_0$の最小性を併せて、$\gamma_0 \leq J(0, \gamma_0, 0)$である。
これは、$\gamma_0$のとり方に反している。
- $\angle{0, \max(\alpha, \beta), 0} \dot{\preceq} \angle{\alpha, \beta, n}$なので、$J(0, \max(\alpha, \beta), 0) \leq J(\alpha, \beta, n)$である。
- よって、$\max(\alpha, \beta) \leq J(0, \max(\alpha, \beta), 0) \leq J(\alpha, \beta, n)$である。
- また、$0 \lt n$ならば、$\angle{0, \max(\alpha, \beta), 0} \dotprec \angle{\alpha, \beta, n}$なので、$J(0, \max(\alpha, \beta), 0) \lt J(\alpha, \beta, n)$である。
- よって、$\max(\alpha, \beta) \leq J(0, \max(\alpha, \beta), 0) \lt J(\alpha, \beta, n)$である。
- ($\text{vi}$)$\gamma$ $\lt$ ($\text{v}$) $J(0, \gamma, 1)$ $\equ$ ($\text{ii}$) $\Set{ J(\alpha, \beta, n) }{ \angle{\alpha, \beta, n} \dotprec \angle{0, \gamma, 1} }$である。
- 一意性は($\text{iii}$)より。
述語$D_1, D_2, D_3$を
| $D_1$ | $:\equiv$ | $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \text{Ord}(x) \land \exi \gamma \; \exi n \lt 9 \;\; x \equ J(y, \gamma, n) \\ \lor & \neg\text{Ord}(x) \land y \equ \phi \end{array}\right.$ |
| $D_2$ | $:\equiv$ | $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \text{Ord}(x) \land \exi \beta \; \exi n \lt 9 \;\; x \equ J(\beta, y, n) \\ \lor & \neg\text{Ord}(x) \land y \equ \phi \end{array}\right.$ |
| $D_3$ | $:\equiv$ | $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \text{Ord}(x) \land \exi \beta \; \exi \gamma \;\; x \equ J(\beta, \gamma, y) \\ \lor & \neg\text{Ord}(x) \land y \equ \phi \end{array}\right.$ |
$D_1[y/K_1(x)], D_2[y/K_2(x)], D_3[y/N(x)]$
によって、$K_1(x), K_2(x), N(x)$を定義する。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \gamma \equ J(\alpha, \beta, n) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \alpha \equ K_1(\gamma) \\ \text{かつ} & \beta \equ K_2(\gamma) \\ \text{かつ} & n \equ N(\gamma) \end{array}\right) \\ (\text{ii}) & \max( K_1(\gamma), K_2(\gamma) ) \leq \gamma \\ (\text{iii}) & 0 \lt N(\gamma) \Rightarrow \max( K_1(\gamma), K_2(\gamma) ) \lt \gamma \end{array}\right.$が成り立つ。
- $K_1, K_2, N$の定義と上記($\text{iv, v, vi}$)から明らか。
集合を構成するための操作を以下に8個定義する:
| $\mathcal{F}_1(x, y)$ | $:\equ$ | $\{x, y\}$ |
| $\mathcal{F}_2(x, y)$ | $:\equ$ | $E(x)$ |
| $\mathcal{F}_3(x, y)$ | $:\equ$ | $x \backslash y$ |
| $\mathcal{F}_4(x, y)$ | $:\equ$ | $x \restriction y$ |
| $\mathcal{F}_5(x, y)$ | $:\equ$ | $x \cap \text{Dom}(y)$ |
| $\mathcal{F}_6(x, y)$ | $:\equ$ | $x \cap y^{-1}$ |
| $\mathcal{F}_7(x, y)$ | $:\equ$ | $x \cap \text{Cnv}_1(y)$ |
| $\mathcal{F}_8(x, y)$ | $:\equ$ | $x \cap \text{Cnv}_2(y)$ |
| ただし、 | ||
| $E(x)$ | $:\equ$ | $\Set{ \angle{u, v} \in x }{ u \in v }$ |
| $\text{Cnv}_1(x)$ | $:\equ$ | $\Set{ \angle{u, w, v} }{ \angle{u, v, w} \in x }$ |
| $\text{Cnv}_2(x)$ | $:\equ$ | $\Set{ \angle{v, w, u} }{ \angle{u, v, w} \in x }$ |
| $\text{Cnv}_3(x)$ | $:\equ$ | $\Set{ \angle{w, u, v} }{ \angle{u, v, w} \in x }$ |
| $\text{Cnv}_4(x)$ | $:\equ$ | $\Set{ \angle{u, v, w} }{ \angle{u, v, w} \in x }$ |
($x$が順序数でないときは$\mathcal{F}(x) \equ \phi$とする。)
| $\mathcal{F}(\alpha)$ | $:\equ$ | $\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \mathcal{F}[\alpha] & \parenth{ N(\alpha) \equ 0 \text{の場合} } \\ \mathcal{F}_{N(\alpha)}( F( K_1(\alpha) ), F( K_2(\alpha) ) ) & \parenth{ N(\alpha) \gt 0 \text{の場合} } \end{array}\right.$ |
| ただし、$\mathcal{F}[\alpha] :\equ \Set{ \mathcal{F}(\beta) }{ \beta \lt \alpha }$である。 | ||
$\mathcal{F}(\alpha) \subseteq \mathcal{F}[\alpha]$が成り立つ。
- [超限帰納法]$\all \beta \lt \alpha \;\; \mathcal{F}(\beta) \subseteq \mathcal{F}[\beta]$を仮定する。
- $N(\alpha) \equ 0$の場合:$\mathcal{F}(\alpha) \equ \mathcal{F}[\alpha]$である。
- $N(\alpha) \equ 1$の場合:$\mathcal{F}(\alpha) \equ \braces{ \mathcal{F}( K_1(\alpha) ), \mathcal{F}( K_2(\alpha) ) }$ $\subseteq$ $K_1(\alpha), K_2(\alpha) \lt \alpha$ $\Set{ \mathcal{F}(\beta) }{ \beta \lt \alpha } \equ \mathcal{F}[\alpha]$である。
- $N(\alpha) \geq 2$の場合:
- $\mathcal{F}(\alpha) \equ \mathcal{F}_{N(\alpha)}( F( K_1(\alpha) ), F( K_2(\alpha) ) )$ $\subseteq$ $\mathcal{F}_{N(\alpha)}$の定義 $F( K_1(\alpha) )$ $\subseteq$ $K_1(\alpha) \lt \alpha$と仮定[帰納法] $\mathcal{F}[ K_1(\alpha) ]$ $\subseteq$ $K_1(\alpha) \lt \alpha$ $\mathcal{F}[\alpha]$である。
| $L(x)$ | $:\equiv$ | $\exi \alpha \;\; x \equ \mathcal{F}(\alpha)$ |
| $\text{Od}(x)$ | $:\equ$ | $\mu \alpha \bracket{ x \equ \mathcal{F}(\alpha) }$ |
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & L(x) & \Rightarrow & x \equ \mathcal{F}( \text{Od}(x) ) \\ (\text{ii}) & L(x) & \Rightarrow & \all y \in x \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & L(y) \\ \text{かつ} & \text{Od}(y) \lt \text{Od}(x) \end{array}\right. \\ (\text{iii}) & L(x) \land L(y) & \Rightarrow & 1 \leq \all n \lt 9 \;\; L( \mathcal{F}_n(x, y) ) \\ (\text{iv}) & \all x \in y \;\; L(x) & \Rightarrow & \exi z \;\bracket{ y \subseteq z \land L(z) } \end{array}\right.$が成り立つ。
- ($\text{i}$)定義から明らか。
- ($\text{ii}$)$y \in x$ $\equ$ 仮定[$L(x)$], ($\text{i}$) $\mathcal{F}( \text{Od}(x) ) \subseteq \mathcal{F}[ \text{Od}(x) ]$なので、$\exi \alpha \lt \text{Od}(x) \;\; y \equ \mathcal{F}(\alpha)$である。
- 従って、$\text{Od}(y) \leq \alpha \lt \text{Od}(x)$である。
- ($\text{iii}$)仮定より、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \exi \alpha \;\; x \equ \mathcal{F}(\alpha) \\ \text{かつ} & \exi \beta \;\; y \equ \mathcal{F}(\beta) \\ \end{array}\right.$である。
- $\gamma :\equ J(\alpha, \beta, n)$と置く。
- $\mathcal{F}(\gamma)$ $\equ$ $N(\gamma) \equ n \gt 0$ $\mathcal{F}_n( F( K_1(\gamma) ), F( K_2(\gamma) ) )$ $\equ$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & K_1(\gamma) \equ \alpha \\ \text{かつ} & K_2(\gamma) \equ \beta \end{array}\right.$ $\mathcal{F}_n( F(\alpha), F(\beta) ) \equ \mathcal{F}_n(x, y)$である。
- ($\text{iv}$)$\alpha :\equ \bigcup \Set{ \text{Od}(x) }{ x \in y } + 1$と置く。
$\gamma :\equ J(\alpha, \alpha, 0)$と置く。 - $x \in y$を任意に取る。
- $\text{Od}(x)$ $\lt$ $\alpha$の定義 $\alpha \equ K_1(\gamma)$ $\leq$ $K_1$の性質 $\gamma$である。
- $x$ $\equ$ ($\text{i}$) $\mathcal{F}( \text{Od}(x) )$ $\in$ Od(x)<γ $\mathcal{F}[\gamma]$ $\equ$ $N(\gamma) \equ 0$ $\mathcal{F}(\gamma)$である。
- $L(x) \text{かつ} L(y)$を仮定する。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & L(\{x, y\}) & (\text{ii}) & L(\angle{x, y}) & (\text{iii}) & L(x \backslash y) \\ (\text{iv}) & L(x \cap y) & (\text{v}) & L(x \cup y) & (\text{vi}) & L(x \times y) \end{array}\right.$が成り立つ。
- ($\text{i}$)(1)($\text{iii}$)より、$L( \mathcal{F}_1(x, y) )$である。
- ($\text{ii}$)($\text{i}$)より、$L(\{x\}) \text{かつ} L(\{x, y\})$である。
- 従って、($\text{i}$)より、$L(\{ \{x\}, \{x, y\} \})$である。
- ($\text{iii}$)(1)($\text{iii}$)より、$L( \mathcal{F}_3(x, y) )$である。
- ($\text{iv}$)$x \cap y \equ x \backslash ( x \backslash y )$である。
- $L(x) \text{かつ} L(x \backslash y)$なので、$L( x \backslash (x \backslash y) )$である。
- ($\text{v}$)(1)($\text{ii}$)より、$\all z \in x \cup y \;\; L(z)$である。
- 従って、(1)($\text{iv}$)を併せて、$\exi z \;\bracket{ x \cup y \subseteq z \land L(z) }$である。
- $x \cup y \equ z \backslash \bracket{ z \backslash x \cap z \backslash y }$である。
- $L(z \backslash x) \text{かつ} L(z \backslash y)$なので、$L(z \backslash x \cap z \backslash y)$である。
従って、$L(z \backslash \bracket{ z \backslash x \cap z \backslash y })$、つまり、$L(x \cup y)$である。 - ($\text{vi}$)
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (あ) & \exi z \;\bracket{ x \times y \subseteq z \land L(z) } \\ (い) & \exi w \;\bracket{ y \times x \subseteq w \land L(w) } \\ (う) & x \times y \equ (z \restriction x) \cap (w \restriction y)^{-1} \end{array}\right.$が成り立つ。
- (あ)$u \equ \angle{p, q} \in x \times y$を任意に取る。
- $p \in x \land q \in y$なので、$L(p) \land L(q)$である。
従って、($\text{ii}$)を併せて、$L(\angle{p, q})$、つまり、$L(u)$である。 - 従って、(1)($\text{iv}$)を併せて、$\exi z \;\bracket{ x \times y \subseteq z \land L(z) }$である。
- (い)(あ)と同様である。
- (う)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} (z \restriction x) \cap (w \restriction y)^{-1} & \equ & \Set{ \angle{p, q} \in z }{ p \in x } \cap \Set{ \angle{p, q} }{ \angle{q, p} \in w \land q \in y } \\ & \equ & \Set{ \angle{p, q} \in x \times y }{ \angle{p, q} \in z \land \angle{q, p} \in w } \\ & \equ & x \times y \end{array}$
である。
- $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & L( \mathcal{F}_4(z, x) ) \\ \text{かつ} & L( \mathcal{F}_4(w, y) ) \end{array}\right.$なので、 $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & L(z \restriction y) \\ \text{かつ} & L(w \restriction y) \end{array}\right.$である。
従って、$L( \mathcal{F}_6(z \restriction x, w \restriction y) )$、つまり、$L( (z \restriction x) \cap (w \restriction y)^{-1} )$である。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & L(x_1) \land \cdots \land L(x_n) \Rightarrow \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & L(\angle{x_1, \cdots, x_n}) \\ \text{かつ} & L(\angle{x_1 \times \cdots \times x_n}) \end{array}\right. \\ (\text{ii}) & \all n \lt \omega \;\; L(n) \end{array}\right.$が成り立つ。
- ($\text{i}$)(2)($\text{ii, vi}$)より。
- ($\text{ii}$)$J(0, 0, 0) \equ \Set{ J(\alpha, \beta, n) }{ \angle{\alpha, \beta, n} \dotprec \angle{0, 0, 0} } \equ \phi$なので、$N(0) \equ 0$である。
- 従って、$\mathcal{F}(0) \equ \mathcal{F}[0] \equ \phi$、故に、$L(0)$である。
- 任意の$n \lt \omega$に対して、$L(n)$ならば、(2)($\text{i}$)より、$L(\{n\})$である。
従って、(2)($\text{v}$)を併せて、$L(n \cup \{n\})$、つまり、$L( S(n) )$である。
- $L(x)$を仮定する。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & L( E(x) ) & (\text{ii}) & L(x^{-1}) & (\text{iii}) & L( \text{Dom}(x) ) \\ (\text{iv}) & L( \text{Ran}(x) ) & (\text{v}) & L( \bigcup(x) ) & (\text{vi}) & L( \text{Cnv}_1(x) ) \\ (\text{vii}) & L( \text{Cnv}_2(x) ) & (\text{viii}) & L( \text{Cnv}_3(x) ) & (\text{ix}) & L( \text{Cnv}_4(x) ) \end{array}\right.$が成り立つ。
- ($\text{i}$)(1)($\text{iii}$)より、$L( \mathcal{F}_2(x, x) )$、つまり、$L( E(x) )$である。
- ($\text{ii}$)任意の$y \equ \angle{v, u} \in x^{-1}$に対して、$\angle{u, v} \in x$なので、$L(\angle{u, v})$である。
従って、$u, v \in \{u, v\} \in \angle{u, v}$を併せて、$L(v) \land L(u)$である。
従って、$L(\angle{v, u})$、つまり、$L(y)$である。 - 従って、$\exi z \;\bracket{ x^{-1} \subseteq z \land L(z) }$である。
従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & z \cap x^{-1} \equ x^{-1} \\ \text{かつ} & L( \mathcal{F}_6(z, x) ) \end{array}\right.$、故に、$L(x^{-1})$である。 - ($\text{iii}$)任意の$u \in \text{Dom}(x)$に対して、$\exi v \;\; \angle{u, v} \in x$なので、同様の議論で$L(u)$である。
- 従って、$\exi z \;\bracket{ \text{Dom}(x) \subseteq z \land L(z) }$である。
従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & z \cap \text{Dom}(x) \equ \text{Dom}(x) \\ \text{かつ} & L( \mathcal{F}_5(z, x) ) \end{array}\right.$、故に、$L( \text{Dom}(x) )$である。 - ($\text{iv}$)$L(x^{-1})$なので、$L( \text{Dom}(x^{-1}) )$である。
従って、$\text{Ran}(x) \equ \text{Dom}(x^{-1})$を併せて、$L( \text{Ran}(x) )$である。 - ($\text{v}$)任意の$y \in \bigcup(x)$に対して、$\exi u \in x \;\; y \in u$なので、$L(u)$、故に、$L(y)$である。
- 従って、$\exi z \;\bracket{ \bigcup(x) \subseteq z \land L(z) }$である。
- $L(z \times x) \rightarrow L( \mathcal{F}_2(z \times x, x) ) \rightarrow L( \text{Dom}( \mathcal{F}_2(z \times x, x) ) )$、つまり、$L( \text{Dom}( E(z \times x) ) )$である。
- $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \text{Dom}( E(z \times x) ) & \equ & \Set{ u }{ \exi v \;\; \angle{u, v} \in E(z \times x) } \\ & \equ & \Set{ u }{ \exi v \;\bracket{ \angle{u, v} \in z \times x \land u \in v } } \\ & \equ & \Set{ u \in z }{ \exi v \in x \;\; u \in v } \\ & \equ & \Set{ u }{ \exi v \in x \;\; u \in v } \equ \bigcup(x) \end{array}$
である。 - これらより、$L( \bigcup(x) )$である。
- ($\text{vi}$)任意の$y \equ \angle{u, w, v} \in \text{Cnv}_1(x)$に対して、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & u, v \in \{u, v\} \in \angle{u, v} \in \{ \angle{u, v}, w \} \in \angle{ \angle{u, v}, w } \equ \angle{u, v, w} \in x \\ \text{かつ} & w \in \{ \angle{u, v}, w \} \in \cdots \equ x \end{array}\right.$である。
従って、$L(u) \land L(w) \land L(v)$、故に、$L(\angle{u, w, v})$、つまり、$L(y)$である。 - 従って、$\exi z \;\bracket{ \text{Cnv}_1(x) \subseteq z \land L(z) }$である。
- 従って、$L( \mathcal{F}_7(z, x) )$、つまり、$L( \text{Cnv}_1(x) )$である。
- ($\text{vii}$)($\text{vi}$)と同様である。
- ($\text{viii}$)$\text{Cnv}_3(x)$ $\equ$ $\text{Cnv}_3(x)$は1右シフト
$\text{Cnv}_2(x)$は1左シフト $\text{Cnv}_2( \text{Cnv}_2(x) )$なので、($\text{vii}$)を適用する。 - ($\text{ix}$)$\text{Cnv}_4(x)$ $\equ$ $\text{Cnv}_4(x)$は0シフト
$\text{Cnv}_1(x)$は第2,3座標の交換 $\text{Cnv}_1( \text{Cnv}_1(x) )$なので、($\text{vi}$)を適用する。
- $L(x) \text{かつ} L(y)$を仮定する。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & L( \Set{ \angle{u, v, w} }{ \angle{u, v} \in x \land w \in y } ) \\ (\text{ii}) & L( \Set{ \angle{w, u, v} }{ \angle{u, v} \in x \land w \in y } ) \\ (\text{iii}) & L( \Set{ \angle{u, w, v} }{ \angle{u, v} \in x \land w \in y } ) \end{array}\right.$が成り立つ。
- ($\text{i}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \text{Cnv}_4(x \times y) & \equ & \Set{ \angle{u, v, w} }{ \angle{u, v, w} \equ \angle{ \angle{u, v}, w } \in x \times y } \\ & \equ & \Set{ \angle{u, v, w} }{ \angle{u, v} \in x \land v \in y } \end{array}$
である。 - ($\text{ii}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \text{Cnv}_3(x \times y) & \equ & \Set{ \angle{w, u, v} }{ \angle{u, v, w} \equ \angle{ \angle{u, v}, w } \in x \times y } \\ & \equ & \Set{ \angle{w, u, v} }{ \angle{u, v} \in x \land v \in y } \end{array}$
である。 - ($\text{iii}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \text{Cnv}_1(x \times y) & \equ & \Set{ \angle{u, w, v} }{ \angle{u, v, w} \equ \angle{ \angle{u, v}, w } \in x \times y } \\ & \equ & \Set{ \angle{u, w, v} }{ \angle{u, v} \in x \land v \in y } \end{array}$
である。
- ($\text{i}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \text{Cnv}_4(x \times y) & \equ & \Set{ \angle{u, v, w} }{ \angle{u, v, w} \equ \angle{ \angle{u, v}, w } \in x \times y } \\ & \equ & \Set{ \angle{u, v, w} }{ \angle{u, v} \in x \land v \in y } \end{array}$
$\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \all \angle{\alpha, \beta, n} \in \aleph(\gamma) \times \aleph(\gamma) \times 9 \;\; J(\alpha, \beta, n) \lt \aleph(\gamma) \\ (\text{ii}) & J(0, \aleph(\gamma), 0) \equ \aleph(\gamma) \end{array}$が成り立つ$^\text{AC}$。
- ($\text{i}$)$\delta :\equ \max(\alpha, \beta) + 1 \;\parenth{ \lt \aleph(\gamma) }$と置く。
$M :\equ \Set{ x }{ x \dotprec \angle{\alpha, \beta, n} } \;\parenth{ \subseteq \delta \times \delta \times 9 }$と置く。 - $\card{J(\alpha, \beta, n)}$ $\equ$ J(α,β,n)に関する基礎的命題($\text{i}$) $\card{M} \leq \card{\delta \times \delta \times 9}$ $\lt^\text{AC}$ (冒頭の)補題(2) $\aleph(\gamma)$なので、$J(\alpha, \beta, n) \not\supseteq \aleph(\gamma)$、つまり、$J(\alpha, \beta, n) \lt \aleph(\gamma)$である。
- ($\text{ii}$)J(α,β,n)に関する基礎的命題($\text{iii}$)より、$\aleph(\gamma) \leq J(0, \aleph(\gamma), 0)$である。
- [背理法]$\aleph(\gamma) \lt J(0, \aleph(\gamma), 0)$を仮定する。
- $\aleph(\gamma) \lt J(0, \aleph(\gamma), 0)$ $\equ$ J(α,β,n)に関する基礎的命題($\text{ii}$) $\Set{ J(\alpha, \beta, n) }{ \angle{\alpha, \beta, n} \dotprec \angle{0, \aleph(\gamma), 0} }$なので、$\exi \angle{\alpha, \beta, n} \dotprec \angle{0, \aleph(\gamma), 0} \;\; \aleph(\gamma) \equ J(\alpha, \beta, n)$である。
- 定義より、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \angle{\alpha, \beta} \prec \angle{0, \aleph(\gamma)} \\ \text{または} & \angle{\alpha, \beta} \equ \angle{0, \aleph(\gamma)} \land n \lt 0 \end{array}\right.$なので、$\angle{\alpha, \beta} \prec \angle{0, \aleph(\gamma)}$である。
従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \max(\alpha, \beta) \lt \max( 0, \aleph(\gamma) ) \equ \aleph(\gamma) \\ \text{または} & \max(\alpha, \beta) \equ \max( 0, \aleph(\gamma) ) \land \alpha \lt 0 \\ \text{または} & \max(\alpha, \beta) \equ \max( 0, \aleph(\gamma) ) \land \alpha \equ 0 \land \beta \lt \aleph(\gamma) \end{array}\right.$である。
従って、$\max(\alpha, \beta) \lt \aleph(\gamma)$である。 - 従って、($\text{i}$)$^\text{AC}$を併せて、$J(\alpha, \beta, n) \lt \aleph(\gamma)$である。
- 以上より、$J(\alpha, \beta, n) \lt \aleph(\gamma) \equ J(\alpha, \beta, n)$となって矛盾する。
- ($\text{i}$)$\delta :\equ \max(\alpha, \beta) + 1 \;\parenth{ \lt \aleph(\gamma) }$と置く。
$\card{\mathcal{F}[\aleph(\alpha)]} \equ \aleph(\alpha)$が成り立つ$^\text{AC}$。
- まず、$\card{\aleph(\alpha)} \equ \aleph(\alpha)$である。
- $\leq$$\mathcal{F} \restriction \aleph(\alpha) : \aleph(\alpha) \to \mathcal{F}[\aleph(\alpha)] \text{は全射}$なので、$\card{\mathcal{F}[\aleph(\alpha)]} \leq \card{\aleph(\alpha)}$である$^\text{AC}$。
- $\geq$$f : \equ \Set{ \angle{\beta, \mathcal{F}( J(0, \beta, 0) )} }{ \beta \lt \aleph(\alpha) }$と置く。
$f : \aleph(\alpha) \to \mathcal{F}[\aleph(\alpha)] \text{は単射}$が成り立つ。
- ($\text{i}$)任意の$\beta \lt \aleph(\alpha)$に対して、$J(0, \beta, 0)$ $\lt$ (1)($\text{i}$)$^\text{AC}$ $\aleph(\alpha)$なので、$f`\beta \equ \mathcal{F}( J(0, \beta, 0) ) \in \mathcal{F}[\aleph(\alpha)]$である。
- ($\text{ii}$)$\beta_0, \beta_1 \in \aleph(\alpha)$を任意に取り、$\beta_0 \lt \beta_1$を仮定する。
- $\angle{0, \beta_0, 0} \dotprec \angle{0, \beta_1, 0}$,J(α,β,n)に関する基礎的命題($\text{iii}$)より、$J(0, \beta_0, 0) \lt J(0, \beta_1, 0)$である。
- $f`\beta_0 \equ \mathcal{F}( J(0, \beta_0, 0) ) \in \mathcal{F}[J(0, \beta_1, 0)]$ $\equ$ $\mathcal{F}$の定義 $\mathcal{F}( J(0, \beta_1, 0) ) \equ f`\beta_1$である。
- 従って、$\card{\aleph(\alpha)} \leq \card{\mathcal{F}[\aleph(\alpha)]}$である$^\text{AC}$。
