$X,Y,I$ を集合とする。 $i \in I$ に対し、$X_i \subset X, Y_i \subset Y, {\rm 全単射}f_i : X_i \rightarrow Y_i$ とする。 $X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i {\rm かつ} Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i \Rightarrow \coprod\limits_{i \in I…

$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。 $X {\rm はcompact}$ と仮定する。 $\all f : X \rightarrow Y \;\parenth{ f {\rm は連続} \Rightarrow f {\rm は一様連続} }$ が成り立つ。 $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。 ${\cal S} :\equiv \…

$(X,d)$ を距離空間とする。 $\all U \in {\cal O}_d \; \all x \in U \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \;\parenth{ x \in } B_{\varepsilon}(x) \subset U$ が成り立つ。 $x \in U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。 $\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \s…

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。 $X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ} :\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O} \; \parenth{ {\cal U} {\rm は被覆} \Rightarrow \exi {\rm 可算} {\cal V} \subset {\cal U} \; {\cal V} {\rm は被覆} }$ …

$(X, d)$ を距離空間とする。 ${\rm diam} {\rm \ or \ } {\rm diam}_X : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow [0,\infty], S \mapsto {\rm sup}\Set{ d(x,y) }{ x,y \in S }$ $X {\rm はtotally \ bounded(全有界)}$ $:\Leftrightarrow$ $\all \v…

$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。 $f : X \rightarrow Y$ を連続写像とする。 $\all A \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \Rightarrow f(A) {\rm は連結} }$ が成り立つ。 [対偶法]$f(A) {\rm は連結でない}$ と仮定する。 $\exi …

$(X,d)$ を距離空間とする。 $\exi {\rm 距離空間}(X^*,d^*) \; \exi f:X \rightarrow X^* \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & (X^*,d^*) {\rm はcomplete} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii)} & f {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii…