Compact、点列Compact、完備かつ全有界の同値性
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ} :\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O} \; \parenth{ {\cal U} {\rm は被覆} \Rightarrow \exi {\rm 可算} {\cal V} \subset {\cal U} \; {\cal V} {\rm は被覆} }$
$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は可分} \Rightarrow X {\rm は第2可算}$ が成り立つ。
- $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ に対し $B_{\varepsilon} : X \rightarrow {\cal O}_d, x \mapsto \Set{ y \in X }{ d(y,x) \lt \varepsilon }$ と定義する。
- 仮定より、$\exi {\rm 可算} A \subset X \; \overline{A} \equ X$ である。
- ${\cal U} :\equiv \Set{ B_r(a) }{ (r,a) \in {\mathbb Q}^+ \times A } \;\parenth{ \subset {\cal O}_d }$ と置く。
- ${\cal U}$ が求めるものであることを示す。
- ${\mathbb Q}^+, A {\rm は可算}$ なので ${\mathbb Q}^+ \times A {\rm は可算}$ である。従って、${\cal U} {\rm は可算}$ である。
- $x \in X, \varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
- $x \in X \equ \overline{A}$ なので $\exi a \in A \cap B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ である。
- $\exi r \in {\mathbb Q}^+ \; d(a,x) \lt r \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
- 従って、$x \in B_r(a) \in {\cal U}$ である。
- また、$\all y \in X \;\parenth{ d(y,a) \lt r \Rightarrow d(y,x) \leq d(y,a) + d(a,x) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon }$ なので、
$B_r(a) \subset B_{\varepsilon}(x)$ である。 - よって、${\cal U} {\rm は可算かつ基底}$ である。
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$X {\rm は第2可算} \Rightarrow^{AC} X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ}$ が成り立つ。
- 仮定より、$\exi {\rm 可算}{\cal W} \subset {\cal O} \; {\cal W} {\rm は基底}$ である。
- ${\cal U} \subset {\cal O}$ を任意に取り、${\cal U} {\rm は被覆}$ を仮定する。
- $F : {\cal W} \rightarrow {\frak P}({\cal U}), W \mapsto \Set{ U \in {\cal U} }{ W \subset U }$ と定義する。
${\cal W}^\prime :\equiv \Set{ W \in {\cal W} }{ F(W) \nequ \phi }$ と定義する。 - 選択公理より、$\exi f \in \prod\limits_{W \in {\cal W}^\prime} F(W)$ である。
- ${\cal V} :\equiv \Set{ f(W) }{ W \in {\cal W}^\prime } \;\parenth{ \subset {\cal U} }$ と置く。
- ${\rm (i)}$${\cal W} {\rm は可算}$ なので ${\cal W}^\prime \;\parenth{ \subset {\cal W} } {\rm は可算}$ である。
- 従って、$全射：{\cal W}^\prime \rightarrow {\cal V}, W \mapsto f(W)$ より、${\cal V} {\rm は可算}$ である。
- ${\rm (ii)}$$x \in X$ を任意に取る。
- $x \in \exi U \in {\cal U}$ である。従って、$x \in \exi W \in {\cal W} \; W \subset U$ である。
- 従って、$U \in F(W)$ である。従って、$W \in {\cal W}^\prime$ である。従って、$W \subset f(W)$ である。
- 従って、$x \in W \subset f(W) \subset \bigcup {\cal V}$ である。
- よって、${\cal V} {\rm は被覆}$ である。
$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は点列compact} :\Leftrightarrow \all x \in X^{\mathbb N} \; \exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$
$(X, d)$ を距離空間とする。
$a \in X$ とする。
$a \in X$ とする。
$\all x \in X^{\mathbb N} \;\bracket{ \parenth{ x {\rm はcauchy列} \land \exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は}a{\rm に収束} } \Rightarrow x {\rm は}a{\rm に収束} }$ が成り立つ。
- $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
- 仮定[$x {\rm はcauchy列}$]より、$\exi N_0 \in {\mathbb N} \; N_0 \leq \all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \; d(x(n_0),x(n_1)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
- 仮定[$(x \circ m) {\rm は}a{\rm に収束}$]より、$\exi N_1 \in {\mathbb N} \; N_1 \leq \all n \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n), a ) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
- $\max\{N_0,N_1\} \leq n \in {\mathbb N}$ を仮定する。
- $m {\rm は狭義単調増加}$ なので $N_0 \leq n \leq m(n)$ である。
- $d(x(n),a) \leq d( x(n),(x \circ m)(n) ) + d( (x \circ m)(n),a ) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon$ である。
$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は点列compact} \Leftrightarrow^{AC} X {\rm は有限集合} \lor \all {\rm 無限集合} A \subset X \; \exi x \in X \; x \in \overline{ A \backslash \{x\} }$ が成り立つ。
- $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ に対し $B_{\varepsilon} : X \rightarrow {\cal O}_d, a \mapsto \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon }$ と置く。
- $\Rightarrow$$X {\rm は有限集合ではない}$ と仮定し、${\rm 無限集合} A \subset X$ を任意に取る。
- $\aleph_0 \leq |A|$ と選択公理より、$\exi x \in A^{\mathbb N} \; x {\rm は単射}$ である。
- 仮定[$X {\rm は点列compact}$]より、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$ である。
- $a :\equiv \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (x \circ m)(n) \;( \in X )$ と置く。
- $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
- $\exi N \in {\mathbb N} \; N \leq \all n \in {\mathbb N} \; (x \circ m)(n) \in B_{\varepsilon}(a)$ である。
- 従って、$\phi$ $\nequ$ $x, m {\rm 従って}$
$(x \circ m) {\rm は単射}$ $\{ (x \circ m)(N), (x \circ m)(N+1) \} \backslash \{x\} \subset B_{\varepsilon}(a) \cap \parenth{ A \backslash \{a\} }$ である。 - よって、$a \in \overline{A \backslash \{a\}}$ である。
- $\Leftarrow$$x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
- $x({\mathbb N}) {\rm は有限集合}$ の場合：
- この場合、$\exi k \in {\mathbb N} \; \Set{ n \in {\mathbb N} }{ x(n) \equ x(k) } {\rm は無限集合}$ である。
- $n \in {\mathbb N}$ に対して $m(n) :\equiv \min \Set{ n^\prime \in {\mathbb N} }{ x(n^\prime) \equ x(k) } \backslash \{m(0), \cdots, m(n-1)\}$ と定義する。
- 定義より、$m {\rm は狭義単調増加}$ かつ $\all n \in {\mathbb N} \; (x \circ m)(n) \equ x(k)$ である。
- $x({\mathbb N}) {\rm は無限集合}$ の場合：
- この場合、$X {\rm は有限集合ではない}$ なので仮定より、$\exi a \in X \; a \in \overline{x({\mathbb N}) \backslash \{a\}}$ である。
- 従って、$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{\epsilon}(a) \cap \parenth{ x({\mathbb N}) \backslash \{a\} } \nequ \phi$ である。
- 従って、$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \Set{ k \in {\mathbb N} }{ 0 \lt d(x(k),a) \lt \varepsilon } \nequ \phi$ である。
- $f : {\mathbb R}^+ \rightarrow {\mathbb N}, \varepsilon \mapsto \min\Set{ k \in {\mathbb N} }{ 0 \lt d(x(k),a) \lt \varepsilon }$ と定義する。
- $m(0) :\equ f(1)$ と定義する。
$n \in {\mathbb N}$ に対し $m(n)$ が定義され、$0 \lt d(x(m(n)),a)$ を満たす時、
$m(n+1) :\equiv f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n),a)}{2}} }$ と定義すると、
$0 \lt d(x(m(n+1)),a)$ なので矛盾無く帰納的に数列$m$を定義出来る。 $m {\rm は狭義単調増加}$ が成り立つ。
- $f$の定義より、$\all \varepsilon_0, \varepsilon_1 \in {\mathbb R}^+ \parenth{ \varepsilon_0 \lt \varepsilon_1 \Rightarrow f(\varepsilon_1) \leq f(\varepsilon_0) }$ である。
- $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
- ${\displaystyle \frac{d(x(m(n)),a)}{2}} \lt d(x(m(n)),a)$ $\lt$ $m(n) \equ f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n-1),a)}{2}} }$より ${\displaystyle \frac{d(x(m(n-1)),a)}{2}}$ である。
ただし、$n \equ 0$ の場合は、${\displaystyle \frac{d(x(m(-1)),a)}{2}} \equ 1$ と見なす。 - 従って、$m(n) \equ f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n-1)),a)}{2}} } \leq f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n)),a)}{2}} } \equ m(n+1)$ である。
- 一方、$d(x(m(n+1)),a) \lt {\displaystyle \frac{d(x(m(n)),a)}{2}}$ なので、$m(n) \nequ m(n+1)$ である。
- よって、$m(n) \lt m(n+1)$ である。
- $\all n \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n), a ) \lt {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ なので、$(x \circ m) {\rm は}a{\rm に収束}$ である。
$(X, d)$ を距離空間とする。
以下は同値である：
以下は同値である：
- $X {\rm はcompact}$ である。
- $X {\rm は点列compact}$ である。
- $X {\rm は完備かつ全有界}$ である。
[証明]
- ${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ (1) \ar@2{->}[r]^-{[1]} & (2) \ar@2{->}[r]^-{[2]^{AC}} & (3) \ar@2{->} `d/0pt[d] `/0pt[dll]_-{[3]^{AC}} [ll] \\ & & }\end{xy}}}$ の順で証明する。
- $[1]$上記命題の$\Leftarrow$によって示す。
- ${\rm 無限集合} A \subset X$ を任意に取る。
- $\all {\rm 有限集合} Y \subset X \; \bigcap\limits_{y \in Y} A \backslash \{y\} \equ A \backslash \bigcup\limits_{y \in Y} \{y\} \equ A \backslash Y$ $\nequ$ $A {\rm は無限集合}$ より $\phi$ である。
- 従って、仮定[$A {\rm はcompact}$]より、$\bigcap\limits_{y \in X} \overline{ A \backslash \{y\} } \nequ \phi$ である。
- 従って、$\exi x \in \bigcap\limits_{y \in X} \overline{ A \backslash \{y\} }$ である。 従って、$\all y \in X \; x \in \overline{ A \backslash \{y\} }$ である。
- よって、$x \in \overline{ A \backslash \{x\} }$ である。
- $[2]$${\rm (i)}$ $\;{\rm cauchy列} x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
- 仮定[$X {\rm は点列compact}$]より、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$ である。
- 従って、上記命題$^{AC}$ より、$x {\rm は収束}$ である。
- よって、$X {\rm は完備}$ である。
- ${\rm (ii)}$$x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
- 仮定[$X {\rm は点列compact}$]より、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$ である。
- 従って、$(x \circ m) {\rm はcauchy列}$ である。
- よって、全有界について多少の命題$^{AC}$より、$X {\rm は全有界}$ である。
- $[3]$
$X {\rm は点列compact}$ が成り立つ。
- $x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
- 仮定[$X {\rm は全有界}$]と全有界について多少の命題$^{AC}$より、
$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm はcauchy列}$ である。 - 従って、仮定[$X {\rm は完備}$]より、$(x \circ m) {\rm は収束}$ である。
- 仮定[$X {\rm は全有界}$]と全有界について多少の命題$^{AC}$より、$X {\rm は可分}$ である。
従って、$X {\rm は第2可算}$ であり、従って、$X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ}$ である。 - 従って、可算被覆について証明を完了すればよい。
- $\parenth{ {\cal O}_d \supset } {\cal U} {\rm は可算かつ被覆}$ であると仮定する。
${\cal U} \equ \Set{ U_n }{ n \in {\mathbb N} }$ と表しておく。 $\exi n \in {\mathbb N} \; X \equ \bigcup\limits_{k = 0}^n U_n$ が成り立つ。
- [背理法]$\all n \in {\mathbb N} \; \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k \subsetneq X$ と仮定する。
- $n \in {\mathbb N}$ に対し $A_n :\equiv X \backslash \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k$ と置く。
- $\all n \in {\mathbb N} \; A_n \nequ \phi$ なので $\exi (a_n)_{n \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n$ である。
- Xは点列compactより、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (a \circ m) {\rm は収束}$ である。
- $a :\equiv \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (a \circ m)(n) \;\parenth{ \in X }$ と置く。
- $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
- $(A_k)_{k \in {\mathbb N}} {\rm は単調減少列}$ なので $n \leq \all k \in {\mathbb N} \; (a \circ m)(k) \in A_{m(k)}$ $\subset$ $k \leq m(k)$ $A_k \subset A_n$ である。
- 従って、$\varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; A_n \cap \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon } \nequ \phi$ である。
- 従って、$a \in \overline{ A_n } \equ A_n$ である。
- 従って、$a \in \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n \equ \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ X \backslash \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k } \equ X \backslash \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k \equ X \backslash \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} U_n \equ \phi$ である。
- よって、矛盾が導かれた。
- よって、$X {\rm はcompact}$ である。
