距離付け可能定理について - 手を動かさなくても分かる行間ゼロの大学数学

$(X,d)$ を距離空間とする。

$\all U \in {\cal O}_d \; \all x \in U \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \;\parenth{ x \in } B_{\varepsilon}(x) \subset U$ が成り立つ。

$x \in U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。
$\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\mathbb R}^+ \times X \; x \in \bigcap\limits_{(\varepsilon,y) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(y) \subset U$ である。
$\delta :\equiv \min\Set{ \varepsilon - d(x,y) }{ (\varepsilon,y) \in {\cal S} } \;\parenth{ \gt 0 }$ と置く。
$z \in B_{\delta}(x)$ を任意に取る。
$\all (\varepsilon,y) \in {\cal S} \; d(z,y) \leq d(z,x)+d(x,y) \lt \delta + d(x,y) \leq \varepsilon$ なので、 $z \in \bigcap\limits_{(\varepsilon,z) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(y)$ である。
よって、$x \in B_{\delta}(x) \subset \bigcap\limits_{(\varepsilon,z) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(y) \subset U$ である。

証明終

従って、
$\all x \in X \; \Set{ B_{\varepsilon}(x) }{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ } {\rm は}x{\rm の基本近傍系}$ であるし、
$\Set{ B_{\varepsilon}(x) }{ (\varepsilon,x) \in {\mathbb R}^+ \times X } {\rm は}{\cal O}_d{\rm の基底}$ である。

$(X,d)$ を距離空間とする。
$d_0 : X \times X \rightarrow {\mathbb R}, (x,y) \mapsto {\displaystyle \frac{ d(x,y) }{ 1+d(x,y) }}$ と定義する。

$\all x, y \in X \; d_0(x,y) \equ 1 - {\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+d(x,y) }} \lt 1$ である。
$d_0 {\rm は距離関数}$ が成り立つ。
- 明らかに、$\all x, y \in X \; 0 \leq d_0(x,y) \equ d_0(y,x) {\rm かつ} d_0(x,y) \equ 0 \Leftrightarrow x \equ y$ である。
- $0 \leq \all a, b, c \in {\mathbb R} \;\parenth{ c \leq a + b \Rightarrow {\displaystyle \frac{ c }{ 1+c }} \leq {\displaystyle \frac{ a }{ 1+a }} + {\displaystyle \frac{ b }{ 1+b }} }$ が成り立つ。
  - $0 \leq c \leq a + b$ なので ${\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+c }} \geq {\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+a+b }}$ である。
  - ${\displaystyle \frac{ c }{ 1+c }} \equ 1 - {\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+c }}$ $\leq$ 1/(1+c)≧1/(1+a+b) $1 - {\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+a+b }} \equ {\displaystyle \frac{ a+b }{ 1+a+b }}$
    $\qquad \equ {\displaystyle \frac{ a }{ 1+a+b }} + {\displaystyle \frac{ b }{ 1+a+b }}$ $\leq$ $0 \leq a, b$ ${\displaystyle \frac{ a }{ 1+a }} + {\displaystyle \frac{ b }{ 1+b }}$ である。
- 従って、任意の$x, y, z \in X$に対して、$a :\equiv d(x,y), b :\equiv d(y,z), c :\equiv d(x,z)$ と置くことにより、
  $d_0$ は三角不等式を満たす。
$id_X : (X, d) \rightarrow (X, d_0) {\rm は一様同相写像}$ が成り立つ。特に、${\cal O}_d \equ {\cal O}_{d_0}$ である。
- $\all \varepsilon \in (0,1) \all x, y \in X \;\parenth{ d(x,y) \lt {\displaystyle \frac{ \varepsilon }{ 1-\varepsilon }} \Rightarrow d_0(x,y) \lt \varepsilon }$ である。
- $\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \all x, y \in X \;\parenth{ d_0(x,y) \lt {\displaystyle \frac{ \varepsilon }{ 1+\varepsilon }} \Rightarrow d(x,y) \lt \varepsilon }$ である。

$(X, {\cal O}_i)$ を位相空間とする$\parenth{ i \equ 0, 1 }$。
$x \in X$に対し、${\mathbb V}_i^*(x)$ を$(X, {\cal O}_i)$における$x$の基本近傍系とする$\parenth{ i \equ 0, 1 }$。

${\cal O}_0 \subset {\cal O}_1 \Leftrightarrow \all x \in X \; \all V_0 \in {\mathbb V}_0^*(x) \; \exi V_1 \in {\mathbb V}_1^*(x) \; V_1 \subset V_0$ が成り立つ。

$\Rightarrow$$x \in X, V_0 \in {\mathbb V}_0(x)$ を任意に取る。
$V_0 \in {\mathbb V}_0^*(x)$ なので、${\mathbb V}_0^*(x)$についての仮定より、$\exi U_0 \in {\cal O}_0 \; x \in U_0 \subset V_0$ である。
$x \in U_0 \in {\cal O}_0 \subset {\cal O}_1$ なので、${\mathbb V}_1^*(x)$についての仮定より、$\exi V_1 \in {\mathbb V}_1^*(x) \; V_1 \subset U_0$ である。
よって、$V_1 \subset U_0 \subset V_0$ である。
$\Leftarrow$$U \in {\cal O}_0$ を任意に取る。
$x \in U$ を任意に取る。
${\mathbb V}_0^*(x)$ についての仮定より、$\exi V_0 \in {\mathbb V}_0^*(x) \; V_0 \subset U$ である。
仮定より、$\exi V_1 \in {\mathbb V}_1^*(x) \; V_1 \subset V_0$ である。
${\mathbb V}_1^*(x)$ についての仮定より、$\exi U_1 \in {\cal O}_1 \; x \in U_1 \subset V_1$ である。
従って、$x \in U_1 \subset V_1 \subset V_0 \subset U$ である。
よって、$U \in {\cal O}_1$ である。

$(X, O)$ を位相空間とする。

$X {\rm は距離付け可能} :\Leftrightarrow \exi {\rm 距離関数} d : X \times X \rightarrow {\mathbb R} \; {\cal O}_d \equ {\cal O}$

$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。

$X {\rm は距離付け可能} \land X \simeq Y \Rightarrow Y {\rm は距離付け可能}$ が成り立つ。

${\rm 距離関数} d_X : X \times X \rightarrow {\mathbb R}, {\cal O}_X \equ {\cal O}_{d_X}$ と
${\rm 同相写像} f : X \rightarrow Y$ を仮定する。
$d_Y : Y \times Y \rightarrow {\mathbb R}, (y_0,y_1) \mapsto d_X(f^{-1}(y_0),f^{-1}(y_1))$ と定義する。
この$d_Y$が求めるものであることを示す。
明らかに $d_Y {\rm は距離関数}$ である。
${\cal V} :\equiv \Set{ B_{Y,\varepsilon}(y) }{ (\varepsilon,y) \in {\mathbb R}^+ \times Y } \;\parenth{ \subset {\cal O}_{d_Y} }$ と置く。
${\cal V} \subset {\cal O}_Y$ が成り立つ。
- $(\varepsilon,y) \in {\mathbb R}^+ \times Y$ を任意に取る。
- $B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y)) \in {\cal O}_{d_X} \equ {\cal O}_X$ なので $f(B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y))) \in {\cal O}_Y$ である。
- 一方、$B_{Y,\varepsilon}(y)$ $\equ$ $f {\rm は可逆写像}$ $f(B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y)))$ である。
- よって、$B_{Y,\varepsilon}(y) \in {\cal O}_Y$ である。
$\all V \in {\cal O}_Y \; \all y \in V \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{Y,\varepsilon}(y) \subset V$ が成り立つ。
- $y \in V \in {\cal O}_Y$ を任意に取る。
- $f^{-1}(y) \in f^{-1}(V) \in {\cal O}_X \equ {\cal O}_{d_X}$ なので $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; f^{-1}(y) \in B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y)) \subset f^{-1}(V)$ である。
- 従って、$B_{Y,\varepsilon}(y) \equ f(B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y))) \subset f(f^{-1}(V)) \equ V$ である。
従って、${\cal V} {\rm は}{\cal O}_Y{\rm の基底}$ である。従って、${\cal O}_Y \equ {\cal O}({\cal V})$ である。
よって、${\cal O}_Y \equ {\cal O}({\cal V}) \equ {\cal O}_{d_Y}$ である。

$(X, d)$ を距離空間とする。

$\all A \subset X \; {\cal O}_A \equ {\cal O}_{d|_A}$ である。

明らかに、$d|_A {\rm は距離関数}$ である。
${\cal U}_A :\equiv \Set{ B_{A,\varepsilon}(a) }{ (\varepsilon,a) \in {\mathbb R}^+ \times A }$ と置く。
$\all (\varepsilon,a) \in {\mathbb R}^+ \times A \; B_{A,\varepsilon}(a) \equ A \cap B_{X,\varepsilon}(a) \in {\cal O}_A$ なので、 ${\cal U}_A \subset {\cal O}_A$ である。
$a \in A \cap U \in {\cal O}_A, \; U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。
$U \in {\cal O}_d$ なので $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{X,\varepsilon}(a) \subset U$ である。
従って、$a \in B_{A,\varepsilon}(a) \equ A \cap B_{X,\varepsilon}(a) \subset A \cap U$ である。
従って、${\cal U}_A {\rm は}{\cal O}_A{\rm の基底}$ である。
よって、${\cal O}_A \equ {\cal O}({\cal U}_A) \equ {\cal O}_{d|_A}$ である。

従って、位相空間が距離付け可能ならば、その任意の部分空間は距離付け可能である。

$\parenth{ (X_n, d_n) }_{n \in {\mathbb N}}$ を距離空間の列とする。

$\prod\limits_{n \in {\mathbb N}} X_n {\rm は距離付け可能}$ が成り立つ。

上記命題より、$\all n \in {\mathbb N} \; \all x_n, y_n \in X_n \; d_n(x_n,y_n) \lt 1$ としてよい。
$X :\equiv \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} X_n$ と置く。この直積位相空間の開集合系を ${\cal O}_X$ で表す。
$d : X \times X \rightarrow {\mathbb R}, (x,y) \mapsto \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) \;\parenth{ \leq \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} \equ 2 }$ と定義する。
この$d$が求めるものであることを示す。
$d {\rm は距離関数}$ が成り立つ。
- $x, y, z \in X$ を任意に取る。
- 明らかに、$0 \leq d(x,y) \equ d(y,x)$ である。
- $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n)$ は$0$以上の項の級数なので、$d(x,y) \equ 0 \Leftrightarrow x \equ y$ である。
- 任意の$m \in {\mathbb N}$に対して、
  $\begin{array}{@{}r@{}c@{}l@{}} \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, z_n) & \leq & \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) + \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(y_n, z_n) \\ & \leq & \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(y_n, z_n) \end{array}$ なので、
  $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, z_n) \leq \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(y_n, z_n)$ である。
${\cal O}_d \equ {\cal O}_X$ が成り立つ。
- $\varepsilon \in {\mathbb R}^+, n \in {\mathbb N}$ に対し、
  $B_{d, \varepsilon} : X \rightarrow {\cal O}_d, x \mapsto \Set{ y \in X }{ d(x,y) \lt \varepsilon }$ と定義し、
  $B_{n, \varepsilon} : X_n \rightarrow {\cal O}_{d_n}, x_n \mapsto \Set{ y_n \in X_n }{ d_n(x_n,y_n) \lt \varepsilon }$ と定義する。
- $x \in X$ に対し、
  ${\mathbb V}_d^*(x) :\equiv \Set{ B_{d, \varepsilon}(x) }{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ }$ と定義し、
  ${\mathbb V}_X^*(x) :\equiv \Set{ \prod\limits_{n \in {\mathbb N} \backslash M} X_n \times \prod\limits_{n \in M} B_{n, \varepsilon}(x_n) }{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ {\rm かつ} {\mathbb N} \supset M {\rm は有限集合} }$ と定義する。
- $\all x \in X \; {\mathbb V}_d^*(x) {\rm は}(X, {\cal O}_d){\rm における}x{\rm の基本近傍系}$ である。
  $\all x \in X \; {\mathbb V}_X^*(x) {\rm は}(X, {\cal O}_X){\rm における}x{\rm の基本近傍系}$ である。
- $\all x \in X \; \all V_d \in {\mathbb V}_d^*(x) \; \exi V_X \in {\mathbb V}_X^*(x) \; V_X \subset V_d$ が成り立つ。
  - $V_d \equ B_{d,\varepsilon}(x) \in {\mathbb V}_d^*(x)$ を任意に取る。
  - $\exi m \in {\mathbb N} \; 2 {\displaystyle \frac{1}{2^{m+1}}} \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  - $y \in \prod\limits_{n = m+1}^{\infty} X_n \times \prod\limits_{n = 0}^m B_{n,\frac{\varepsilon}{4}}(x_n)$ を任意に取る。
  - $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} d(x,y) & \equ & \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n,y_n) + \sum\limits_{n = m+1}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n,y_n) \\ & \lt & \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} \cdot {\displaystyle \frac{\varepsilon}{4}} + \sum\limits_{n = m+1}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} \cdot 1 \\ & \equ & {\displaystyle \frac{\varepsilon}{4}} \cdot 2 \parenth{ 1 - {\displaystyle \frac{1}{2^{m+1}}} } + 2 {\displaystyle \frac{1}{2^{m+1}}} \\ & \lt & {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon \end{array}$ である。
  - よって、$\prod\limits_{n = m+1}^{\infty} X_n \times \prod\limits_{n = 0}^m B_{n,\frac{\varepsilon}{2}}(x_n) \subset B_{d,\varepsilon}(x)$ である。
- $\all x \in X \; \all V_X \in {\mathbb V}_X^*(x) \; \exi V_d \in {\mathbb V}_d^*(x) \; V_d \subset V_X$ が成り立つ。
  - $V_X \equ \prod\limits_{n \in {\mathbb N} \backslash M} X_n \times \prod\limits_{n \in M} B_{n,\varepsilon}(x_n) \in {\mathbb V}_X^*(x) \;\parenth{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ {\rm かつ} {\mathbb N} \supset M {\rm は有限集合} }$ を任意に取る。
  - $\delta :\equiv \min\Set{ {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2^n}} }{ n \in M }$ と置く。
  - $y \in B_{d,\delta}(x)$ を任意に取る。
  - 任意の$n \in M$に対し、${\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n,y_n) \leq d(x,y) \lt \delta \leq {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2^n}}$ なので、
    $d_n(x_n,y_n) \lt \varepsilon$ つまり $y_n \in B_{n,\varepsilon}(x_n)$ である。
  - よって、$B_{d,\delta}(x) \subset \prod\limits_{n \in {\mathbb N} \backslash M} X_n \times \prod\limits_{n \in M} B_{n,\varepsilon}(x_n) \equ V_X$ である。
- 以上より、${\cal O}_d \equ {\cal O}_X$ である。

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。

$X {\rm はregularかつ第2可算} \Rightarrow^{AC} X {\rm は距離付け可能}$ が成り立つ。

仮定[$X {\rm は第2可算}$]より、$\exi {\rm 可算}{\cal U} \subset {\cal O} \; {\cal U} {\rm は基底}$ である。
${\cal W} :\equiv \Set{ (U,V) \in {\cal U} \times {\cal U} }{ \overline{U} \subset V }$ と定義する。
${\cal U} \times {\cal U} {\rm は可算}$ なので ${\cal W} {\rm は可算}$ である。
${\cal W} \equ \Set{ (U_n,V_n) }{ n \in {\mathbb N} }$ と表す。
$n \in {\mathbb N}$ に対し $F_n :\equiv \Set{ {\rm 連続写像} f : X \rightarrow [0,1] }{ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} f(\overline{U_n}) \subset \{0\} & {\rm かつ} \\ f(X \backslash V_n) \subset \{1\} \end{array}\right. }$ と定義する。
仮定と$T_3 {\rm 空間かつ第2可算ならば}T_4{\rm 空間}$より、$X {\rm は}T_4{\rm 空間}$ である。
従って、Urysohnの補題$^{AC}$より、 $\all n \in {\mathbb N} \; F_n \nequ \phi$ である。
従って、選択公理より、$\exi (f_n)_{n \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} F_n$ である。
$f : X \rightarrow [0,1]^{\mathbb N}, x \mapsto (f_n(x))_{n \in {\mathbb N}}$ と定義する。
$f : X \rightarrow f(X) {\rm は同相写像}$ が成り立つ。
- ${\rm (i)}$$\all n \in {\mathbb N} \; f_n {\rm は連続写像}$ なので $f : X \rightarrow [0,1]^{\mathbb N} {\rm は連続写像}$ である。
- 従って、$f : X \rightarrow f(X) {\rm は連続写像}$ である。
- ${\rm (ii)}$
  $f {\rm は単射}$ が成り立つ。
  - $x, y \in X, x \nequ y$ を仮定する。
  - 仮定[$X {\rm はregular}$]より、$X {\rm はhausdorff}$ である。
  - 従って、${\cal U} {\rm は基底}$ より、 $x \in \exi V \in {\cal U} \; y \in \exi V^\prime \in {\cal U} \; V \cap V^\prime \equ \phi$ である。
  - 従って、仮定[$X {\rm は}T_3$]と${\cal U} {\rm は基底}$より、$x \in \exi U \in {\cal U} \; \overline{U} \subset V$ である。
  - $(U,V) \in {\cal W}$ なので $\exi m \in {\mathbb N} \; (U,V) \equ (U_m,V_m)$ である。
  - $f_m(x) \in f_m(\overline{U_m}) \subset \{0\}$ なので $f_m(x) \equ 0$ である。
  - $f_m(y) \in f_m(V^\prime) \subset f_m(X \backslash V_m) \subset \{1\}$ なので $f_m(y) \equ 1$ である。
  - 従って、$f_m(x) \nequ f_m(y)$ である。
  - よって、$f(x) \equ (f_n(x))_{n \in {\mathbb N}} \nequ (f_n(y))_{n \in {\mathbb N}} \equ f(y)$ である。
- ${\rm (iii)}$
  $\all W \in {\cal O} \; f(W) \in {\cal O}_{f(X)}$ が成り立つ。
  - 閉包の記号は$[0,1]$における閉包として使う。
  - $f(W) \subset f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) }$ が成り立つ。
    
    $x \in W$ を任意に取る。
    
    ${\cal U} {\rm は基底}$ なので $x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset W$ である。
    
    仮定[$X {\rm は}T_3$]と${\cal U} {\rm は基底}$ より、$x \in \exi U \in {\cal U} \; \overline{ U } \subset V$ である。
    
    $(U,V) \in {\cal W}$ なので $\exi m \in {\mathbb N} \; (U,V) \equ (U_m,V_m)$ である。
    
    $\overline{ f_m(X \backslash W) } \subset \overline{ f_m(X \backslash V_m) } \subset \overline{ \{1\} } \equ \{1\}$ である。
    
    $f_m(x) \in f_m(\overline{ U_m }) \subset \{0\}$ なので $f_m(x) \equ 0$ である。
    
    従って、$f_m(x) \not\in \overline{ f_m(X \backslash W) }$ である。
    
    従って、$f(x) \equ (f_n(x))_{n \in {\mathbb N}} \not\in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} \overline{ f_n(X \backslash W) }$ である。
    
    一方、$f(X \backslash W) \subset \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} f_n(X \backslash W)$ なので、
    $\overline{ f(X \backslash W) } \subset \overline{ \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} f_n(X \backslash W) }$ $\equ$ 復習：開集合系の基底、直積位相、基本近傍系
    の直積空間における閉包の分配$^{AC}$ $\prod\limits_{n \in {\mathbb N}} \overline{ f_n(X \backslash W) }$ である。
    
    以上より、$f(x) \not\in \overline{ f(X \backslash W) }$ である。
    
    よって、$f(x) \in f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) }$ である。
  - 一方、$f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) } \subset f(X) \backslash f(X \backslash W)$ $\equ$ ${\rm (ii)}$より $f( X \backslash ( X \backslash W ) ) \equ f(W)$ である。
  - よって、$f(W) \equ f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) } \in {\cal O}_{f(X)}$ である。
- 以上より、$f : X \rightarrow f(X) {\rm は同相写像}$ である。
上記命題より $[0,1]^{\mathbb N} {\rm は距離付け可能}$ なので、その部分空間$f(X) {\rm は距離付け可能}$ である。
以上より、$X {\rm は距離付け可能}$ である。