$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} $

復習:可算について

$X$ を集合とする。
$X {\rm は有限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $\exi n \in {\mathbb N} \; \exi {\rm 可逆写像} f : n \rightarrow X$
$X {\rm は無限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $X {\rm は有限集合ではない}$

  1. $\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi {\rm 可逆写像} f : m \rightarrow n \Rightarrow m \equ n }$ が成り立つ。
    • $m$ についての帰納法で証明する。
    • $m \equ 0$ ならば、$\all n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi {\rm 可逆写像} f : 0 \rightarrow n \Rightarrow 0 \equ n }$ は明らかである。
    • [帰納法]$\all n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi {\rm 可逆写像} h : m \rightarrow n \Rightarrow m \equ n }$ を仮定する。
    • $n \in {\mathbb N}$ とし、$\exi {\rm 可逆写像} f : m+1 \rightarrow n$ を仮定する。
    • $g : n \rightarrow n, k \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} k & \parenth{ k \in n \backslash \{ n-1, f(m) \} } \\ f(m) & \parenth{ k \equ n-1 } \\ n-1 & \parenth{ k \equ f(m) } \end{array}\right.$ と置く。
    • $g \circ g \equ id_n$ なので $g {\rm は可逆写像}$ であり、従って、$(g \circ f) : m+1 \rightarrow n {\rm は可逆写像}$ である。
    • 従って、$(g \circ f)(m) \equ n-1$ に注意すると、制限写像 $(g \circ f)|_m : m \rightarrow n-1 {\rm は可逆写像}$ である。
    • 従って、仮定[帰納法]より、$m \equ n-1$ である。
    • よって、$m+1 \equ m \cup \{m\} \equ n-1 \cup \{n-1\} \equ n$ である。
    • よって、$\all n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi {\rm 可逆写像} f : m+1 \rightarrow n \Rightarrow m+1 \equ n }$ である。
    証明終
  2. ${\mathbb N} {\rm は無限集合}$ が成り立つ。
    • $m \in {\mathbb N}$ に対し、$g_m : {\mathbb N} \backslash \{m\} \rightarrow {\mathbb N}, k \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} k & \parenth{ k \lt m } \\ k-1 & \parenth{ m \lt k } \end{array}\right.$ と置く。
      これは明らかに可逆写像である。
    • $n$ についての帰納法で証明する。
    • $n \equ 0$ ならば、$\all f : 0 \rightarrow {\mathbb N} \; f {\rm は可逆写像ではない}$ である。
    • [帰納法]$n \in {\mathbb N}$ とし、$\all f : n \rightarrow {\mathbb N} \; f {\rm は可逆写像ではない}$ を仮定する。
    • $f : n+1 \rightarrow {\mathbb N}$ を任意に取る。
    • $f$ の制限を $f|_n : n \rightarrow {\mathbb N} \backslash \{ f(n) \}$ で表す。
    • 仮定[帰納法]より、$g_{f(n)} \circ f|_n : n \rightarrow {\mathbb N} {\rm は可逆写像ではない}$ である。
    • 従って、$g_{f(n)} {\rm は可逆写像}$ より、$f|_n \equ g_{f(n)}^{-1} \circ ( g_{f(n)} \circ f|_n ) : n \rightarrow {\mathbb N} \backslash \{ f(n) \} {\rm は可逆写像ではない}$ である。
    • よって、$f : n+1 \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像ではない}$ である。
    • よって、$\all f : n+1 \rightarrow {\mathbb N} \; f {\rm は可逆写像ではない}$ である。
$X$ を集合とする。
${\mathbb N} \ni n {\rm は}X{\rm の濃度}$
$\parenth{ {\rm Card}\;X \equ n }$
$:\Leftrightarrow$ $\exi {\rm 可逆写像} f : n \rightarrow X$
$X {\rm は可算無限集合}$
$\parenth{ {\rm Card}\;X \equ \aleph_0 }$
$:\Leftrightarrow$ $\exi {\rm 可逆写像} f : {\mathbb N} \rightarrow X$
$X {\rm は可算集合}$ $:\Leftrightarrow$ $X {\rm は有限集合または可算無限集合}$

$A \subset {\mathbb N}$ に対して、${\rm Cnt}_A : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ を、$\left\{\begin{array}{@{}r@{}c@{}l@{}} {\rm Cnt}_A(0) & :\equiv & 0 \\ {\rm Cnt}_A(n+1) & :\equiv & \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm Cnt}_A(n)+1 & \parenth{ n \in A } \\ {\rm Cnt}_A(n) & \parenth{ n \not\in A } \end{array}\right. \end{array}\right.$
によって定義する。
  1. $\all A \subset {\mathbb N} \; \all n \in {\mathbb N} \; \all k \leq n \; {\rm Cnt}_A(k) \equ {\rm Cnt}_{A \cap n}(k)$ が成り立つ。
    • $k$ に関する帰納法によって示す。
    • $k \equ 0$ の時は明らかである。
    • $k$ の時の成立を仮定し、$k+1 \leq n$ を仮定する。
    • $k \not\in A$ の時:
      • ${\rm Cnt}_A(k+1)$ $\equ$ ${\rm Cnt}_A$ の定義
        と$k \not\in A$
        ${\rm Cnt}_A(k)$ $\equ$ 帰納法の仮定
        と$k \leq n$
        ${\rm Cnt}_{A \cap n}(k)$ $\equ$ ${\rm Cnt}_{A \cap n}$ の定義
        と$k \not\in A \cap n$
        ${\rm Cnt}_{A \cap n}(k+1)$ である。
    • $k \in A$ の時:
      • ${\rm Cnt}_A(k+1)$ $\equ$ ${\rm Cnt}_A$ の定義
        と$k \in A$
        ${\rm Cnt}_A(k)+1$ $\equ$ 帰納法の仮定
        と$k \leq n$
        ${\rm Cnt}_{A \cap n}(k)+1$ $\equ$ ${\rm Cnt}_{A \cap n}$ の定義
        と$k \in A \cap n$
        ${\rm Cnt}_{A \cap n}(k+1)$ である。
    • よって、${\rm Cnt}_A(k+1) \equ {\rm Cnt}_{A \cap n}(k+1)$ である。
  2. $\all n \in {\mathbb N} \; \all A \subset n \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (1)} & {\rm 制限写像} {\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\rm Cnt}_A(A) \;{\rm は可逆写像} \\ {\rm (2)} & {\rm Card}(A) \equ {\rm Cnt}_A(A) \equ {\rm Cnt}_A(n) \leq n \\ {\rm (3)} & {\rm Cnt}_A(n) \equ n \Rightarrow A \equ n \end{array}\right.$ が成り立つ。
    • $n$ に関する帰納法によって証明する。
    • $n \equ 0$ の時は、$A \equ \phi$ なので、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}} {\rm Cnt}_\phi|_\phi : \phi \rightarrow \phi \;{\rm は可逆写像} \\ {\rm Card}\;\phi \equ {\rm Cnt}_\phi(0) \equ 0 \\ A \equ \phi \equ 0 \end{array}\right.$ である。
    • $n$ の時の成立を仮定し、$A \subset n+1$ とする。
    • $A_n :\equiv A \cap n \subset n$ と置く。
    • $A_n$ に対して帰納法の仮定より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm Cnt}_{A_n}|_{A_n} : A_n \rightarrow {\rm Cnt}_{A_n}(A_n) \;{\rm は可逆写像} & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(A_n) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(A_n) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(n) \leq n & {\rm かつ} \\ {\rm Cnt}_{A_n}(n) \equ n \Rightarrow A_n \equ n & \end{array}\right.$ である。
    • まず、${\rm (1),(2)}$ を示す。
    • $n \not\in A$ の時:
      • $A \subset n$ つまり $A \equ A \cap n \equ A_n$ なので、帰納法の仮定から ${\rm (1),(2)}$ がそのまま成り立つ。
    • $n \in A$ の時:
      • ${\rm Cnt}_A(A) \equ {\rm Cnt}_A(n+1)$ が成り立つ。
        • $A \subset n+1$ なので $\subset$ は明らかである。
        • ${\rm Cnt}_A(k) \in {\rm Cnt}_A(n+1), k \in n+1$ とする。
        • $k \in n$ の時:
          • ${\rm Cnt}_A(k)$ $\equ$ (1) ${\rm Cnt}_{A_n}(k)$ $\in$ $k \in n$ ${\rm Cnt}_{A_n}(n)$ $\equ$ 帰納法の仮定 ${\rm Cnt}_{A_n}(A_n)$
          • 従って、$\exi l \in A_n \; {\rm Cnt}_A(k) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(l)$ である。
          • また、${\rm Cnt}_{A_n}(l)$ $\equ$ (1) ${\rm Cnt}_A(l) \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
          • 以上より、${\rm Cnt}_A(k) \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
        • $k \equ n$ の時:
          • $k \equ n \in A$ なので、 ${\rm Cnt}_A(k) \equ {\rm Cnt}_A(n) \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
      • ${\rm Cnt}_A(n+1)$ $\equ$ ${\rm Cnt}$ の定義 ${\rm Cnt}_A(n) + 1$ $\equ$ (1) ${\rm Cnt}_{A_n}(n) + 1$ $\leq$ 帰納法の仮定 $n+1$ である。
      • $x, y \in A, {\rm Cnt}_A(x) \equ {\rm Cnt}_A(y)$ とする。
      • $x, y \in A_n$ の時:
        • ${\rm Cnt}_{A_n}(x) \equ {\rm Cnt}_A(x) \equ {\rm Cnt}_A(y) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(y)$ である。
        • 従って、帰納法の仮定より、$x \equ y$ である。
      • $x \equ n \lor y \equ n$ の時:
        • どちらでも同じなので、$x \equ n$ とする。
        • $\all k \in A_n \; {\rm Cnt}_A(k) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(k) \in {\rm Cnt}_{A_n}(A_n)$ $\equ$ 帰納法の仮定 ${\rm Cnt}_{A_n}(n) \equ {\rm Cnt}_A(n) \equ {\rm Cnt}_A(y)$ である。
        • よって、$y \not\in A_n$ つまり $y \equ n$ である。
      • よって、${\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\rm Cnt}_A(A) \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • よって、${\rm Card}(A) \equ {\rm Cnt}_A(A) \equ {\rm Cnt}_A(n+1)$ である。
    • ${\rm (3)}$${\rm Cnt}_A(n+1) \equ n+1$ と仮定する。
    • ${\rm Cnt}_A(n) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(n)$ $\leq$ 帰納法の仮定 $n \lt n+1 \equ {\rm Cnt}_A(n+1)$ なので、${\rm Cnt}_A$ の定義より、$n \in A$
      つまり、$n+1 \equ {\rm Cnt}_A(n+1) \equ {\rm Cnt}_A(n)+1$ である。
    • 従って、$n \equ {\rm Cnt}_A(n) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(n)$ である。
    • よって、帰納法の仮定より、$A_n \equ n$ である。
    • よって、$A \equ A_n \coprod \{n\} \equ n \coprod \{n\} \equ n+1$ である。
  3. $\all A \subset {\mathbb N} \;\parenth{ \all n \in {\mathbb N} \; A \not\subset n \Rightarrow {\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\mathbb N} \;{\rm は可逆写像} }$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ に対して、$A_n :\equiv A \cap n$ と置く。
    • ${\rm (i)}$$x, y \in A \; {\rm Cnt}_A(x) \equ {\rm Cnt}_A(y)$ とする。
    • $n :\equiv \max\{x,y\} + 1 \in {\mathbb N}$ と置く。
    • $x, y \lt n$ なので $x, y \in A_n$ である。
    • ${\rm Cnt}_{A_n}(x)$ $\equ$ (1)と$x \lt n$ ${\rm Cnt}_A(x) \equ {\rm Cnt}_A(y)$ $\equ$ (1)と$y \lt n$ ${\rm Cnt}_{A_n}(y)$ である。
    • 従って、(2)より ${\rm Cnt}_{A_n}|_{A_n} : A_n \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は単射}$ なので、$x \equ y$ である。
    • ${\rm (ii)}$全射であることを示すためには、 $\all n \in {\mathbb N} \; n \in {\rm Cnt}_A(A)$ を示せばよい。
    • $n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法によって示す。
    • (ア)$\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ A \cap n } \equ A \cap \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} n \equ A \cap {\mathbb N} \equ A$ $\nequ$ 仮定[$\all n \in {\mathbb N} \; A \not\subset n$] $\phi$ である。
    • 従って、$\exi l \in {\mathbb N} \; A_l \nequ \phi$ である。
    • $a :\equiv \min A_l$ と置く。
    • $\all k \lt a \; k \not\in A_l$ なので、${\rm Cnt}_{A_l}(a) \equ 0$ である。
    • 従って、$0 \equ {\rm Cnt}_{A_l}(a) \equ {\rm Cnt}_A(a) \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
    • (イ)[帰納法]$n \in {\mathbb N}, n \in {\rm Cnt}_A(A)$ を仮定する。
    • $\exi k \in A \; n \equ {\rm Cnt}_A(k)$ である。
    • 従って、定義により ${\rm Cnt}_A(k+1) \equ {\rm Cnt}_A(k) + 1 \equ n + 1$ である。
    • また、仮定より $A \not\subset k+1$ なので、$A_{k+1} \subset k+1$ より、$A_{k+1} \nequ A$ つまり $A \backslash A_{k+1} \nequ \phi$ である。
    • $m :\equiv \min\parenth{ A \backslash A_{k+1} }$ と置く。
    • $m$ の最小性から $k+1 \leq \all m^\prime \lt m \;\; m^\prime \not\in A$ なので、${\rm Cnt}_A(m) \equ {\rm Cnt}_A(k+1)$ である。
    • よって、$n+1$ $\equ$ cnt(k+1)=n+1 ${\rm Cnt}_A(k+1) \equ {\rm Cnt}_A(m)$ $\in$ $m \in A$ ${\rm Cnt}_A(A)$ である。
    • よって、$\all n \in {\mathbb N} \; n \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
  4. 以下では、$A \subset {\mathbb N}$ とする。
  5. $\parenth{ \exi n \in {\mathbb N} \; A \subset n \Leftrightarrow A {\rm は有限集合} }$ が成り立つ。
    • $\Rightarrow$(2)より、${\rm 制限写像} {\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\rm Cnt}_A(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • 従って、定義により $A {\rm は有限集合}$ である。
    • $\Leftarrow$[対偶法]$\all n \in {\mathbb N} \; A \not\subset n$ と仮定する。
    • (3)より、${\rm 制限写像} {\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • $n \in {\mathbb N}, f : n \rightarrow A$ を任意に取る。
    • 上の命題の(2)より、$({\rm Cnt}_A|_A \circ f) : n \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像でない}$ である。
    • 従って、$f {\rm は可逆写像でない}$ である。
    • よって、$A {\rm は有限集合でない}$ である。
  6. $A {\rm は可算集合}$ が成り立つ。
    • $\exi n \in {\mathbb N} \; A \subset n$ の時:
      • (4)より $A {\rm は有限集合}$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; A \not\subset n$ の時:
      • (3)より $A {\rm は可算無限集合}$ である。
  7. $X$ を集合とする。
    以下は同値である:
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (i)} & X {\rm は可算集合} \\ {\rm (ii)} & \exi f : X \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は単射} \\ {\rm (iii)} & X \equ \phi \lor \exi g : {\mathbb N} \rightarrow X \; {\rm は全射} \end{array}$
    • ${\vcenter{ \begin{xy}*[F**:black][white]\xymatrix@C=20pt@R=15pt{ {\rm (i)} \ar@<1ex>[r]^-{(ア)} & {\rm (ii)} \ar@<1ex>[l]^-{(イ)} \ar@<1ex>[r]^-{(ウ)} & {\rm (iii)} \ar@<1ex>[l]^-{(エ)} }\end{xy}}}$の順に示す。
    • (ア)$X {\rm は有限集合}$ の時:
      • $n \in {\mathbb N}, f : X \rightarrow n \;{\rm は可逆写像}$ とする。
      • $n \subset {\mathbb N}$ なので $f$ の終集合を拡張した写像 $f : X \rightarrow {\mathbb N} \;{\rm は単射}$ である。
    • $X {\rm は可算無限集合}$ の時:
      • $\exi {\rm 可逆写像} f : X \rightarrow {\mathbb N}$ なので $f {\rm は単射}$ である。
    • (イ)仮定より、$f : X \rightarrow f(X) \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • $\exi n \in {\mathbb N} \; f(X) \subset n$ の時:
      • (2)より、${\rm 制限写像} {\rm Cnt}_{f(X)}|_{f(X)} : f(X) \rightarrow {\rm Cnt}_{f(X)}(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • 従って、${\rm Cnt}_{f(X)} \circ f : X \rightarrow {\rm Cnt}_{f(X)}(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • よって、$X {\rm は有限集合}$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; f(X) \not\subset n$ の時:
      • (3)より、${\rm 制限写像} {\rm Cnt}_{f(X)}|_{f(X)} : f(X) \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • 従って、${\rm Cnt}_{f(X)} \circ f : X \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • よって、$X {\rm は可算無限集合}$ である。
    • (ウ)$X \nequ \phi$ として $a \in X$ を取って固定する。
    • $g : {\mathbb N} \rightarrow X, n \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} x & \parenth{ n \equ f(x) \in f(X) {\rm の時} } \\ a & \parenth{ n \not\in f(X) {\rm の時} } \end{array}\right. \; {\rm は全射}$ である。
    • (エ)$X \equ \phi$ の時は明らかなので、 $\exi g : {\mathbb N} \rightarrow X \; {\rm は全射}$ とする。
    • $f : X \rightarrow {\mathbb N}, x \mapsto \min g^{-1}(\{x\}) \; {\rm は単射}$ である。
$X, Y$ を集合とし、$f : X \rightarrow Y$ を写像とする。
  1. $f {\rm は単射}$ とする。
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (1) & Y {\rm は可算集合} & \Rightarrow & X {\rm は可算集合} \\ (2) & Y {\rm は有限集合} & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X {\rm は有限集合} & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(X) \leq {\rm Card}(Y) & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(X) \equ {\rm Card}(Y) & \Rightarrow f {\rm は全単射} \end{array}\right. \end{array}$ が成り立つ。
    • $(1)$仮定より、$\exi g : Y \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は単射}$ である。
    • よって、$(g \circ f) : X \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は単射}$ である。
    • $(2)$$\exi n \in {\mathbb N} \; \exi {\rm 可逆写像} g : Y \rightarrow n$ である。
    • $g(f(X)) \subset n$ なので、${\rm Cnt}_{g(f(X))}|_{g(f(X))} : g(f(X)) \rightarrow {\rm Cnt}_{g(f(X))}(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • 従って、$({\rm Cnt}_{g(f(X))} \circ g \circ f) : X \rightarrow f(X) \rightarrow g(f(X)) \rightarrow {\rm Cnt}_{g(f(X))}(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • よって、$X {\rm は有限集合}$ であり、${\rm Card}(X) \equ {\rm Cnt}_{g(f(X))}(n) \leq n \equ {\rm Card}(Y)$ である。
    • ${\rm Card}(X) \equ {\rm Card}(Y)$ と仮定する。
    • ${\rm Cnt}_{g(f(X))}(n) \equ {\rm Card}(X) \equ {\rm Card}(Y) \equ n$ なので $g(f(X)) \equ n \; \parenth{ \equ g(Y) }$ である。
    • よって、$f(X) \equ Y$ つまり $f {\rm は全射}$ である。
  2. $f {\rm は全射}$ とする。
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (1) & X {\rm は可算集合} & \Rightarrow & Y {\rm は可算集合} \\ (2) & X {\rm は有限集合} & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} Y {\rm は有限集合} & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(X) \geq {\rm Card}(Y) & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(X) \equ {\rm Card}(Y) & \Rightarrow f {\rm は全単射} \end{array}\right. \end{array}$ が成り立つ。
    • $(1)$$X \equ \phi$ ならば $Y \equ \phi$ なので、$g : {\mathbb N} \rightarrow X \; {\rm は全射}$ とする。
    • $(f \circ g) : {\mathbb N} \rightarrow Y \; {\rm は全射}$ である。
    • $(2)$仮定[$X {\rm は有限集合}$]より、$\exi n \in {\mathbb N} \; \exi {\rm 可逆写像} g : n \rightarrow X$ である。
    • 従って、$(f \circ g) : n \rightarrow Y \; {\rm は全射}$ である。
    • $h : Y \rightarrow n, y \mapsto \min (f \circ g)^{-1}(\{y\})$ と定義する。
      ${\vcenter{ \begin{xy}*[F**:black][white]\xymatrix@C=20pt@R=15pt{ n \ar@<0.5ex>[r]^-{g} & X \ar@<0.5ex>[r]^-{f} & Y \ar@<0.5ex>@/^/[ll]^-{h} }\end{xy}}}$
    • 定義より $(f \circ g) \circ h \equ {\rm id}_Y$ なので、$h {\rm は単射}$ である。
    • 従って、$(g \circ h) : Y \rightarrow X \; {\rm は単射}$ である。
    • よって、(1)より、$Y {\rm は有限集合}$ かつ ${\rm Card}(Y) \leq {\rm Card}(X)$ である。
    • ${\rm Card}(Y) \equ {\rm Card}(X)$ を仮定する。
    • (1)より $(g \circ h) {\rm は全単射}$ である。
    • ${\rm id}_Y \equ (f \circ g) \circ h \equ f \circ (g \circ h)$ なので、$f \equ (g \circ h)^{-1} \;{\rm は全単射}$ である。
$1 \leq \all n \in {\mathbb N} \; {\mathbb N}^n {\rm は可算無限集合}$ が成り立つ。
  • $g : {\mathbb N} \times {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}^+, (m, n) \mapsto 2^m (2n+1)$ と置く。
  • $g {\rm は可逆写像}$ が成り立つ。
    • ${\rm (1)}$$(m_i, n_i) \in {\mathbb N} \times {\mathbb N} \;\parenth{ i \equ 0, 1 }$ とし、 $g(m_0, n_0) \equ g(m_1, n_1)$ を仮定する。
    • 素因数分解の一意性定理より、$m_0 \equ m_1$ である。
    • 従って、$2n_0 + 1 \equ 2n_1 + 1$ つまり $n_0 \equ n_1$ である。
    • ${\rm (2)}$$k \in {\mathbb N}^+$ を任意に取る。
    • $k$の素因数分解を考え、偶数の部分と奇数の部分を分けて考えれば、
      $\exi (m, n) \in {\mathbb N} \times {\mathbb N} \; g(m,n) \equ k$ である。
  • 以下、$n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法によって証明する。
  • $n \equ 1$ の時は明らかである。
  • $1 \leq n \in {\mathbb N}, {\rm 可逆写像}f : {\mathbb N}^n \rightarrow {\mathbb N}$ とする。
  • 可逆写像gと帰納法の仮定より、 $(g \circ (f, {\rm id}_{\mathbb N})) : {\mathbb N}^{n+1} \equ {\mathbb N}^n \times {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N} \times {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}^+ \;{\rm は可逆写像}$ である。
  • 明らかに、$h : {\mathbb N}^+ \rightarrow {\mathbb N}, k \mapsto k-1 \; {\rm は可逆写像}$ である。
$X, Y$ を集合とする。
$X, Y {\rm は可算集合} \Rightarrow X \times Y {\rm は可算集合}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi {\rm 単射} f : X \rightarrow {\mathbb N} & {\rm かつ} \\ \exi {\rm 単射} g : Y \rightarrow {\mathbb N} & \end{array}\right.$ である。
  • 従って、$(f, g) : X \times Y \rightarrow {\mathbb N} \times {\mathbb N} \; {\rm は単射}$ である。
  • また、${\mathbb N} \times {\mathbb N} {\rm は可算集合}$ である。
  • 以上より、$X \times Y {\rm は可算集合}$ である。
${\frak X}$ を集合とする。
${\frak X} {\rm は可算集合} {\rm かつ} \all X \in {\frak X} \; X {\rm は可算集合} \Rightarrow^{AC} \bigcup {\frak X} {\rm は可算集合}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\phi \nequ \all X \in {\frak X} \; \exi {\rm 全射} f_X : {\mathbb N} \rightarrow X$ である。
  • 従って、選択公理より、そのような全射の列$(f_X)_{\phi \nequ X \in {\frak X}}$ が存在する。
  • $f : {\frak X} \backslash \{\phi\} \times {\mathbb N} \rightarrow \bigcup \parenth{ {\frak X} \backslash \{\phi\} }, (X, n) \mapsto f_X(n)$ と定義する。
  • 仮定[${\frak X} {\rm は可算集合}$]より、$\parenth{ {\frak X} \backslash \{\phi\} } \times {\mathbb N} {\rm は可算集合}$ である。
  • 従って、$f {\rm は全射}$ より、$\bigcup {\frak X} \equ \bigcup \parenth{ {\frak X} \backslash \{\phi\} } {\rm は可算集合}$ である。

$X$ を集合とする。
${\rm Fin}(X) \quad:\equiv\quad \Set{ A \subset X }{ A {\rm は有限集合} }$
${\rm bin} : {\rm Fin}({\mathbb N}) \rightarrow {\mathbb N}, A \mapsto \sum\limits_{m \in A} 2^m$ と定義する。
  1. ${\rm bin} {\rm は可逆写像}$ が成り立つ。
    • ${\rm (1)}$ $n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法により、$\all n \in {\mathbb N} \; \all A \subset n \; {\rm bin}(A) \lt 2^n$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; \all A, B \subset n \;\parenth{ {\rm bin}(A) \equ {\rm bin}(B) \Rightarrow A \equ B}$ が成り立つ。
      • $n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法で証明する。
      • $n \equ 0$ ならば $A \equ B \equ \phi$ である。
      • $n \in {\mathbb N}$ の時の成立を仮定し、$A, B \subset n+1 {\rm かつ} {\rm bin}(A) \equ {\rm bin}(B)$ とする。
      • $n \in A \Leftrightarrow n \in B$ が成り立つ。
        • $\Rightarrow$$2^n \equ {\rm bin}(\{n\}) \leq {\rm bin}(A) \equ {\rm bin}(B)$ である。
        • 従って、A⊆n⇒bin(A)<2^nより、$B \not\subset n$ である。
        • よって、$B \subset n+1$ を合わせて、$n \in B$ である。
        • $\Leftarrow$同様である。
      • 従って、${\rm bin}$ の定義と${\rm bin}(A) \equ {\rm bin}(B)$より、${\rm bin}(A \backslash \{n\}) \equ {\rm bin}(B \backslash \{n\})$ である。
      • 従って、帰納法の仮定より、$A \backslash \{n\} \equ B \backslash \{n\}$ である。
      • よって、再度n∈A⇔n∈Bより、$A \equ B$ である。
    • $\all A, B \in {\rm Fin}({\mathbb N}) \; \exi n \in {\mathbb N} \; A, B \subset n$ である。
    • 以上より、${\rm bin} {\rm は単射}$ である。
    • ${\rm (2)}$
      $\all n \in {\mathbb N} \; \all k \in 2^n \; \exi A \in {\rm Fin}({\mathbb N}) \; {\rm bin}(A) \equ k$ が成り立つ。
      • $n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法で証明する。
      • $n \equ 0$ ならば、$2^0 \equ 1 \equ \{0\}$ なので、$A \equ \phi$ として ${\rm bin}(\phi) \equ 0$ である。
      • $n \in {\mathbb N}$ の時の成立を仮定し、$k \in 2^{n+1}$ とする。
      • $k \lt 2^n$ ならば帰納法の仮定から成立は明らかなので、$2^n \leq k \lt 2^{n+1}$ とする。
      • $0 \leq k - 2^n \lt 2^n$ なので、帰納法の仮定より、$\exi A \in {\rm Fin}({\mathbb N}) \; {\rm bin}(A) \equ k - 2^n$ である。
      • ${\rm bin}(A) \equ k - 2^n \lt 2^n \equ {\rm bin}(\{n\})$ なので $n \not\in A$ である。
      • また、$A \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ なので、明らかに$A \coprod \{n\} \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ である。
      • 以上より、${\rm bin}(A \coprod \{n\}) \equ {\rm bin}(A) + {\rm bin}(\{n\}) \equ k$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; n \lt 2^n$ なので ${\mathbb N} \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} 2^n$ である。
    • 以上より、${\rm bin} {\rm は全射}$ である。
    従って、${\rm Fin}({\mathbb N}) {\rm は可算無限集合}$ である。
  2. ${\mathbb N}^{({\mathbb N})} :\equiv \Set{ a \in {\mathbb N}^{\mathbb N} }{ \Set{ n \in {\mathbb N} }{ a(n) \nequ 0 } {\rm は有限集合} }$ と置く。
    ${\mathbb N}^{({\mathbb N})} {\rm は可算無限集合}$ が成り立つ。
    • $m : {\mathbb N}^{({\mathbb N})} \backslash \{ \boldsymbol{0} \} \rightarrow {\mathbb N}, a \mapsto \max\Set{ n \in {\mathbb N} }{ a(n) \nequ 0 }$ と置く。
    • $f : {\mathbb N}^{({\mathbb N})} \rightarrow {\rm Fin}({\mathbb N})$ を
      $a \mapsto \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} \phi & \parenth{ \all n \in {\mathbb N} \; a(n) \equ 0 } \\ \{ a(0) - 1 \} & \parenth{ m(a) \equ 0 } \\ \Set{ \sum\limits_{l=0}^k a(l) + k }{ k \lt m(a) } \cup \left\{ \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + (m(a)-1) \right\} & \parenth{ m(a) \geq 1 } \end{array}\right.$
      で定義する。
    • 前命題を考えれば、$f {\rm は可逆写像}$ であることを証明すれば良いので、逆写像を定義する。
    • $\phi \nequ A \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ に対し、$a_A$ を
      ${\rm Card}_A \equ 1$ の時:
      • $k \in {\mathbb N}, a_A(k) :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm Cnt}_A^{-1}(0) + 1 & \parenth{ k \equ 0 } \\ 0 & \parenth{ {\rm Card}(A) \leq k } \end{array}\right.$
      ${\rm Card}_A \geq 2$ の時:
      • $k \in {\mathbb N}, a_A(k) :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm Cnt}_A^{-1}(0) & \parenth{ k \equ 0 } \\ {\rm Cnt}_A^{-1}(k) - {\rm Cnt}_A^{-1}(k-1) - 1 & \parenth{ 1 \leq k \lt {\rm Card}(A) - 1 } \\ {\rm Cnt}_A^{-1}(k) - {\rm Cnt}_A^{-1}(k-1) & \parenth{ k \equ {\rm Card}(A) - 1 } \\ 0 & \parenth{ {\rm Card}(A) \leq k } \end{array}\right.$
      で定義する。
      ($制限写像 {\rm Cnt}_A : A \rightarrow {\rm Card}(A) \; {\rm は可逆写像}$ であることに注意。)
      $g : {\rm Fin}({\mathbb N}) \rightarrow {\mathbb N}^{({\mathbb N})}, A \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm ゼロ列}\boldsymbol{0} & \parenth{ A \equ \phi } \\ a_A & \parenth{ A \nequ \phi } \end{array}\right.$ と置く。
    • $f,g$ で $\boldsymbol{0}$ と $\phi$ が対応しているので、これ以外の対応について考える。
    • ${\rm (1)}$$(g \circ f) \equ {\rm id}_{{\mathbb N}^{({\mathbb N})}}$ を示す。
    • $\boldsymbol{0} \nequ a \in {\mathbb N}^{({\mathbb N})}$ を任意に取る。$a_{f(a)} \equ a$ を示せば良い。
    • ${\rm (i)}$$m(a) \equ 0$ の時について。
    • この時は、$a(0) \nequ 0 {\rm かつ} 1 \leq \all k \in {\mathbb N} \; a(k) \equ 0$ である。
    • $a_{f(a)}(0) \equ {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(0) + 1 \equ (a(0) - 1) + 1 \equ a(0)$ である。
    • $1 \leq \all k \in {\mathbb N} \; a_{f(a)}(k)$ $\equ$ ${\rm Card}(f(a)) \equ 1$ $0 \equ a(k)$ である。
    • よって、$a_{f(a)} \equ a$ である。
    • ${\rm (ii)}$$m(a) \geq 1$ の時について。
    • $\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \all k \lt m(a) \; {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^k a(l) + k \right) \equ k & {\rm かつ} \\ {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 \right) \equ m(a) & \end{array}$ が成り立つ。
      • $\all A \subset {\mathbb N} \; \all p \in {\mathbb N} \; \all q \lt p \; \parenth{ q \leq \all k \lt p \; k \not\in A \Rightarrow {\rm Cnt}_A(p) \equ {\rm Cnt}_A(q) }$ である。
      • ${\rm (ア)}$ $\all p \lt a(0) \; p \not\in f(a)$ なので、${\rm Cnt}_{f(a)}(a(0)) \equ {\rm Cnt}_{f(a)}(0) \equ 0$ である。
      • ${\rm (イ)}$[帰納法]$k \lt m(a)$ に対して成り立つことを仮定し、 $k + 1 \lt m(a)$ とする。
      • $\sum\limits_{l=0}^{k} a(l) + k + 1 \leq \all p \lt \sum\limits_{l=0}^{k+1} a(l) + (k+1) \;\; p \not\in f(a)$ なので、
        Cntが一定の値を取る条件より ${\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{k+1} a(l) + (k+1) \right) \equ {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{k} a(l) + k + 1 \right)$ である。
      • よって、${\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{k+1} a(l) + (k+1) \right)$ $\equ$ $\sum\limits_{l=0}^{k} a(l) + k \in f(a)$ ${\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{k} a(l) + k \right) + 1$ $\equ$ 帰納法の仮定 $k + 1$ である。
      • ${\rm (ウ)}$ $\sum\limits_{l=0}^{m(a)-1} a(l) + m(a) \leq \all p \lt \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 \;\; p \not\in f(a)$ である。
      • よって、$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 \right) & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a)-1} a(l) + m(a) \right) \\ & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a) - 1} a(l) + m(a) - 1 \right) + 1 \\ & \equ & ( m(a) - 1 ) + 1 \\ & \equ & m(a) \end{array}$ である。
    • 従って、$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} {\rm Card}(f(a)) & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}(f(a)) \\ & \equ & \begin{array}{@{}l@{}l@{}} & \Set{ {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^k a(l) + k \right) }{ k \lt m(a) } \\ \cup & \left\{ {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 \right) \right\} \end{array} \\ & \equ & \Set{ k }{ k \leq m(a) } \\ & \equ & m(a)+1 \end{array}$ である。
    • $k \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
    • $k \equ 0$ の時:
      • $a_{f(a)}(0) \equ {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(0) \equ a(0)$ である。
    • $1 \leq k \lt {\rm Card}(f(a)) - 1 \equ m(a)$ の時:
      • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} a_{f(a)}(k) & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(k) - {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(k-1) - 1 \\ & \equ & \parenth{ \sum\limits_{l=0}^k a(l) + k } - \parenth{ \sum\limits_{l=0}^{k-1} a(l) + (k-1) } - 1\\ & \equ & a(k) \end{array}$ である。
    • $k \equ {\rm Card}(f(a)) - 1 \equ m(a)$ の時:
      • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} a_{f(a)}(m(a)) & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(m(a)) - {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(m(a)-1) \\ & \equ & \parenth{ \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 } - \parenth{ \sum\limits_{l=0}^{m(a)-1} a(l) + m(a) - 1 } \\ & \equ & a(m(a)) \end{array}$ である。
    • ${\rm Card}(f(a)) \leq k$ の時:
      • $a_{f(a)}(k) \equ 0$ $\equ$ $m(a)+1 \equ {\rm Card}(f(a)) \leq k$ $a(k)$ である。
    • 以上より、$g(f(a)) \equ a_{f(a)} \equ a$ である。
    • ${\rm (2)}$$\phi \nequ A \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ を任意に取る。$f(a_A) \equ A$ を示せば良い。
    • ${\rm Card}(A) \equ 1$ の時:
      • $a_A$ の定義より、$m(a_A) \equ 0$ である。
      • $f(a_A) \equ \{ a_A(0) - 1 \} \equ \{ {\rm Cnt}_A^{-1}(0) \} \equ A$ である。
    • ${\rm Card}(A) \geq 2$ の時:
      • $p :\equiv {\rm Card}(A) - 1$ と置く。
      • $\all a, b \in A \;\parenth{ a \lt b \Leftrightarrow {\rm Cnt}_A(a) \lt {\rm Cnt}_A(b) }$ なので、${\rm Cnt}_A^{-1}(p-1) \lt {\rm Cnt}_A^{-1}(p)$ である。
      • 従って、$a_A(p) \equ {\rm Cnt}_A^{-1}(p) - {\rm Cnt}_A^{-1}(p-1) \gt 0$ であり、ゆえに、$m(a_A) \equ p$ である。
      • 定義より、$\all k \lt {\rm Card}(A) - 1 \;\parenth{ \equ m(a_A) } \; \sum\limits_{l=0}^k a_A(l) + k \equ {\rm Cnt}_A^{-1}(k)$ である。
      • ${\rm Cnt}_A^{-1}(m(a_A)) \equ {\rm Cnt}_A^{-1}(m(a_A)-1) + a_A(m(a_A)) \equ \sum\limits_{l=0}^{m(a_A)} a_A(l) + (m(a_A)-1)$ である。
      • 従って、$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} f(g(A)) \equ f(a_A) & \equ & \begin{array}[t]{@{}c@{}l@{}} & \Set{ \sum\limits_{l=0}^k a_A(l) + k }{ k \lt m(a_A) } \\ \cup & \left\{ \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a_A(l) + m(a_A) - 1 \right\} \end{array} \\ & \equ & \Set{ {\rm Cnt}_A^{-1}(k) }{ k \leq m(a_A) } \\ & \equ & \Set{ {\rm Cnt}_A^{-1}(k) }{ k \lt {\rm Card}(A) } \\ & \equ & A \end{array}$ である。
$X$ を集合とする。
$X {\rm は可算集合} \Rightarrow {\rm Fin}(X) {\rm は可算集合}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\exi {\rm 単射} f : X \rightarrow {\mathbb N}$ である。
  • $\all A \in {\rm Fin}(X) \; f(A) \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ である。
  • $f_* : {\rm Fin}(X) \rightarrow {\rm Fin}({\mathbb N}), A \mapsto f(A)$ と置く。
  • ${\rm Fin}({\mathbb N}) {\rm は可算集合} {\rm かつ} f_* {\rm は単射}$ なので ${\rm Fin}(X) {\rm は可算集合}$ である。

那須川天心vsフロイド・メイウェザーのスペシャルエキシビジョンマッチについての感想

2018年12月31日、那須川天心 vs フロイド・メイウェザーのスペシャルエキシビジョンマッチ(3分3ラウンドのボクシングルール)が行われたのを見た。

取りあえずメディアに出ていた情報で気になったモノを纏めるとこんな感じだ:
  • 試合は、ボクシングルールのスペシャルエキシビション(3分3ラウンド)。
  • メイウェザーが1ラウンド2分19秒でTKO勝ち。
  • 契約体重は147ポンド(約66.7㎏)。(那須川は普段は60㎏以下で戦っている)
  • レフェリーはメイウェザー陣営がアメリカから連れてきた。
  • 関係者によると、那須川が蹴った場合、キック一発につき違約金500万$(約5億5000万円)。
  • メイウェザーは来日前に、完売していたリングサイドのチケット100席を要求し、来日直前に都内の高級ホテルを指定した。
  • 試合前、メイウェザーがインスタグラムの画像にファイトマネーが「9分で900万$(約9億9000万円)」であることをほのめかすような文章を添えた。

参考:

メディアでこのマッチングが表明されてからこの試合だけは気になっていた。 この試合を見るためにRizinの、余興みたいなどうでもいい無名選手の試合を数試合(2時間ほど)見せられて、いよいよ次こそ那須川vsメイウェザーの試合となっても、VTRだの登場シーンだの国歌斉唱だのでPM11時20分ぐらいまで待たされた。

当日の他のマッチメイキングは、那須川vsメイウェザー以外は全く誰か分からないし興味も無い選手ばかりで、学生スポーツレベルの女子選手の試合も複数組まれてた。 こう言う所から、「あぁ~メイウェザーのギャラが高騰しすぎて他の有名選手を呼べなくなったんだな」とは感じさせられた。私以外にも、このメインマッチのためにどうでもいいクソみたいな他の試合を見せられてると感じてた人は多いんじゃないんですかね。Rizinの興業の問題か。

とにかくそれで、いざ那須川vsメイウェザーの両選手が入場しての第一印象が、「メイウェザー、腹の脂肪を全然落としてないじゃないかよ。この試合を舐めてんじゃねぇのかよ!」ってものだった。 明らかにメイウェザーが腹・胴回りを絞ってないのが目に見えて分かる物だったのと、それに対して那須川の体が一回りぐらい小さいのが見て取れた。 それと、メイウェザーの顔が真剣な表情じゃなく、かなりリラックスした表情に見て取れた。対する那須川の表情は緊張に満ちていた感じだった。 もうこの時点で私の中では、「那須川、メイウェザーを倒して波乱を起こしてくれ」となった。

だが実際試合が始まると、そうはならなかった。試合開始直後からメイウェザーは余裕の、挑発じみた顔。対する那須川はちょんちょんとパンチを当てていく感じだった。那須川が左ストレートをメイウェザーの顔面にかすめた直後辺りから、メイウェザーがキレた感じで攻勢に出て、いきなりダウンを取る。那須川の第1ダウン目は、視聴者には「え?どこにパンチ当たったの?」ってなぐらいにダウンする理由が分からなかったし、スリップだと思ったけど、レフェリーはダウンを取る。直後に再度メイウェザーがダウンを取る。この時は那須川のおでこ辺りにもろにパンチが当たってた。この辺りで那須川の表情が「もぅ勝てねぇ」のように見えた。更に、メイウェザーが攻勢を掛けて那須川のガード越しにフックを当てて、那須川が押し飛ばされるようになって千鳥足になって転んだが、レフェリーはこれをダウンと見た。見た感じダウンじゃなかったのにこれをダウンと取られて「レフェリーに不利な裁定されたな」と私は思ったね。後々、このレフェリーがメイウェザーサイドが呼んだ奴だって知って合点がいった。

結局、映像としては階級差がありすぎてメイウェザーの余裕勝ち、ボロ勝ちで、金銭面ではRizinの金が殆どメイウェザーに取られて、他のマッチングがゴミみたいになっただけの失敗興業だった。 アリvs猪木の世紀の戦いでもルール設定などで大もめになったことは有名で、有名外国人選手相手ならリング外でも好き勝手やられるのは分かることなのに、今回のRizinは那須川vsメイウェザーありきでやったから(?)完全にメイウェザーサイドに好き勝手やられただけだった。

Bernsteinの定理

$X,Y,I$ を集合とする。
$i \in I$ に対し、$X_i \subset X, Y_i \subset Y, {\rm 全単射}f_i : X_i \rightarrow Y_i$ とする。
$X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i {\rm かつ} Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i \Rightarrow \coprod\limits_{i \in I} f_i : X \rightarrow Y {\rm は全単射}$ が成り立つ。
  • 仮定[$X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i$]より、$\all x \in X \; \exi! i \in I \; x \in X_i$ である。
  • 従って、$j :\equ \Set{ (x,i) \in X \times I }{ x \in X_i } {\rm は写像}$ である。
  • ${\rm 写像} f :\equiv \coprod\limits_{i \in I} f_i : X \rightarrow Y, x \mapsto f_{j(x)}(x)$ が定義できる。
  • ${\rm (1)}$$x_0, x_1 \in X, f(x_0) \equ f(x_1)$ を仮定する。
  • $Y_{j(x_0)} \ni f_{j(x_0)}(x_0) \equ f(x_0) \equ f(x_1) \equ f_{j(x_1)}(x_1) \in Y_{j(x_1)}$ である。
  • 従って、仮定[$Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i$]より、$j(x_0) \equ j(x_1)$ である。
  • 従って、$f_{j(x_0)}(x_0) \equ f_{j(x_0)}(x_1)$ である。
  • よって、仮定[$f_{j(x_0)} {\rm は全単射}$]より、$x_0 \equ x_1$ である。
  • ${\rm (2)}$$y \in Y$ を任意に取る。
  • 仮定[$Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i$]より、$\exi i \in I \; y \in Y_i$ である。
  • 仮定[$f_i {\rm は全単射}$]より、$\exi x_i \in X_i \; y \equ f_i(x_i)$ である。
  • $x_i \in X_i$ なので $j(x_i) \equ i$ である。
  • よって、$f(x_i) \equ f_{j(x_i)}(x_i) \equ f_i(x_i) \equ y$ である。
$X,Y$ を集合とする。
$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi {\rm 単射} f : X \rightarrow Y & {\rm かつ} \\ \exi {\rm 単射} g : Y \rightarrow X \end{array}\right. \Rightarrow \exi {\rm 全単射} h : X \rightarrow Y$ が成り立つ。
  • $X_0 :\equiv X, Y_0 :\equiv Y$ と置き、
    $n \in {\mathbb N}$ に対し $X_n, Y_n$ が定まった時、$X_{n+1} :\equiv g(Y_n), Y_{n+1} :\equiv f(X_n)$ と置く。
    ${\vcenter{ \begin{xy}*[F**:black][white]\xymatrix@C=20pt@R=15pt{ **[l] X_0 :\equiv X \ar[dr]_>(0.8){f} & **[r] \cdots & \cdots & **[l] X_n \ar[dr]_>(0.8){f} & **[r] X_{n+1} :\equiv g(Y_n) \ar[dr]_>(0.9){f} & **[r] \cdots \\ **[l] Y_0 :\equiv Y \ar[ur]^>(0.8){g}|!{[u];[r]}\hole & **[r] \cdots & \cdots & **[l] Y_n \ar[ur]^>(0.8){g}|!{[u];[r]}\hole & **[r] Y_{n+1} :\equiv f(X_n) \ar[ur]^>(0.9){g}|!{[u];[r]}\hole & **[r] \cdots }\end{xy}}}$
  • 次のように定義する:
    $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}c@{}r@{}c@{}l@{}} X_e & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ X_{2n} \backslash X_{2n+1} } &,& Y_e & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ Y_{2n} \backslash Y_{2n+1} } \\ X_o & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } &,& Y_o & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ Y_{2n+1} \backslash Y_{2n+2} } \\ X_\infty & :\equiv & \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} X_n &,& Y_\infty & :\equiv & \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} Y_n \end{array}$
    1. $\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ m \leq n \Rightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X_m \supset X_n & {\rm かつ} \\ Y_m \supset Y_n & \end{array}\right. }$ が成り立つ。
      • 明らかに、$X_0 \supset X_1 {\rm かつ} Y_0 \supset Y_1$ である。
      • 任意に $n \in {\mathbb N}$ を取り、$X_n \supset X_{n+1} {\rm かつ} Y_n \supset Y_{n+1}$ を仮定する。
      • $X_{n+1} \equ g(Y_n) \supset g(Y_{n+1}) \equ X_{n+2}$ である。
      • $Y_{n+1} \equ f(X_n) \supset f(X_{n+1}) \equ Y_{n+2}$ である。
      • 従って、$\all n \in {\mathbb N} \; X_n \supset X_{n+1} {\rm かつ} Y_n \supset Y_{n+1}$ である。
      • よって、主張が成り立つ。
    2. $X \equ X_e \coprod X_o \coprod X_\infty$ が成り立つ。
      • ${\rm (i)}$
        $\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \equ \phi$ が成り立つ。
        • $m \leq n$ の時:
          $\parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ \underline{X_{2n+1}} \backslash X_{2n+2} }$ $\subset$ ${\rm (1)}$ と
          $2n+1 \geq 2m+1$
          $\parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ \underline{X_{2m+1}} \backslash X_{2n+2} } \equ \phi$ である。
        • $m \gt n$ の時:
          $\parenth{ \underline{X_{2m}} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} }$ $\subset$ ${\rm (1)}$ と
          $2m \geq 2n+2$
          $\parenth{ \underline{X_{2n+2}} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \equ \phi$ である。
      • 従って、$X_e \cap X_o \equ \bigcup\limits_{m,n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } } \equ \phi$ である。
      • ${\rm (ii)}$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} X_e \cap X_\infty & \equ & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n} \backslash X_{2n+1} } \cap \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} X_m } \\ & \subset & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n} \backslash X_{2n+1} } \cap X_{2n+1} } \equ \phi \end{array}$ である。
      • ${\rm (iii)}$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} X_o \cap X_\infty & \equ & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \cap \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} X_m } \\ & \subset & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \cap X_{2n+2} } \equ \phi \end{array}$ である。
      • ${\rm (iv)}$$x \in X \backslash X_\infty$ を任意に取る。
      • $2n+k :\equ \min\Set{ m \in {\mathbb N} }{ x \not\in X_m }, n \in {\mathbb N}, k \in \{0,1\}$ と置く。
      • $k \equ 1$ の時:
        • $x \in X_{2n} \backslash X_{2n+1} \subset X_e$ である。
      • $k \equ 0$ の時:
        • $x \in X \equ X_0$ なので $n \nequ 0$ である。
        • $x \in X_{2n-1} \backslash X_{2n} \equ X_{2(n-1)+1} \backslash X_{2(n-1)+2} \subset X_o$ である。
      • よって、$X \backslash X_\infty \subset X_e \cup X_o$ である。
    3. 同様に、$Y \equ Y_e \coprod Y_o \coprod Y_\infty$ である。
    4. $f(X_e) \equ Y_o$ が成り立つ。
      • $f(X_e) \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} f(X_{2n} \backslash X_{2n+1})$ $\equ$ $f {\rm は単射}$ $\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} f(X_{2n}) \backslash f(X_{2n+1}) \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} Y_{2n+1} \backslash Y_{2n+2} \equ Y_o$ である。
    5. 同様に、$X_o \equ g(Y_e)$ である。
    6. $f(X_\infty) \equ Y_\infty$ が成り立つ。
      • $f(X_\infty) \equ f\parenth{ \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} X_m }$ $\equ$ $f {\rm は単射かつ} {\mathbb N} \nequ \phi$ $\bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} f(X_m) \equ \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} Y_{m+1}$ $\equ$ $Y_0 \equ Y$ $\bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} Y_m \equ Y$ である。
    従って、${\vcenter{ \begin{xy}*[F**:black][white]\xymatrix@C=30pt@R=10pt{ X_e \ar[dr]^>(0.3){f} & Y_e \ar[ld]_>(0.3){g}|!{[l];[d]}\hole \\ X_o & Y_o \\ X_\infty \ar@/^/[r]^-{f} & Y_\infty \ar@/^/[l]^-{g} }\end{xy}}}$という関係になる。
  • 従って、$\begin{array}{@{}r@{}c@{}l@{}} f{\rm の制限}f_e &:& X_e \rightarrow Y_o \\ g{\rm の制限}g_e &:& Y_e \rightarrow X_o \\ f{\rm の制限}f_\infty &:& X_\infty \rightarrow Y_\infty \end{array}$ は全て全単射である。
  • 以上より、上記命題を用いて、$f_e \coprod g_e^{-1} \coprod f_\infty : X \rightarrow Y {\rm は全単射}$ である。
証明終

Compactについて多少の命題

$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。
$X {\rm はcompact}$ と仮定する。
$\all f : X \rightarrow Y \;\parenth{ f {\rm は連続} \Rightarrow f {\rm は一様連続} }$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • ${\cal S} :\equiv \Set{ (\delta,x) \in {\mathbb R}^+ \times X }{ f(B_{X,2\delta}(x)) \subset B_{Y,\frac{\varepsilon}{2}}(f(x)) }$ と置く。
  • 仮定[$f {\rm は連続}$]より、$X \subset \bigcup\limits_{(\delta,x) \in {\cal S}} B_{X,\delta}(x)$ である。
  • 従って、仮定[$X {\rm はcompact}$]より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; X \equ \bigcup\limits_{(\delta,x) \in {\cal T}} B_{X,\delta}(x)$ である。
  • $\delta_0 :\equiv \min\Set{ \delta \in {\mathbb R}^+ }{ \exi x \in X \; (\delta,x) \in {\cal T} }$ と置く。
  • $a,b \in X, d_X(a,b) \lt \delta_0$ を仮定する。
  • $a \in X \equ \bigcup\limits_{(\delta,x) \in {\cal T}} B_{X,\delta}(x)$ なので $\exi (\delta,x) \in {\cal T} \; a \in B_{X,\delta}(x)$ である。
  • 従って、$d_X(a,x) \lt \delta$ である。
  • 従って、$d_X(b,x) \leq d_X(b,a) + d_X(a,x) \lt \delta_0 + \delta \leq 2\delta$ である。
  • 従って、$f(a),f(b) \in f(B_{X,2\delta}(x))$ $\subset$ $(\delta,x) \in {\cal T} \subset {\cal S}$ $B_{Y,\frac{\varepsilon}{2}}(f(x))$ である。
  • よって、$d_Y(f(a),f(b)) \leq d_Y(f(a),f(x)) + d_Y(f(x),f(b)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon$ である。
  • 証明終
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
${\rm 連続写像} f : X \rightarrow {\mathbb R}$ とする。
$\phi \nequ \all {\rm compact} A \subset X \; \min f(A), \max f(A) {\rm は存在する}$ が成り立つ。
  • どちらも同様の証明なので、$\exi \max f(A)$ の証明だけを行う。
  • $f(A) {\rm は上に有界}$ が成り立つ。
    • $A \subset X \equ f^{-1}({\mathbb R}) \equ f^{-1}(\bigcup\limits_{r \in {\mathbb R}} (-\infty,r)) \equ \bigcup\limits_{r \in {\mathbb R}} f^{-1}( (-\infty,r) )$ ${\rm は開被覆}$ $f {\rm は連続写像}$ である。
    • 従って、$\exi {\rm 有限集合}R \subset {\mathbb R} \; A \subset \bigcup\limits_{r \in R} f^{-1}( (-\infty,r) )$ である。
    • $s :\equiv \max R$ と置く。
    • $A \subset \bigcup\limits_{r \in R} f^{-1}( (-\infty,r) ) \equ f^{-1}( (-\infty,s) )$ つまり $f(A) \subset (-\infty,s)$ である。
  • $s :\equiv {\rm sup}f(A)$ と置く($A \nequ \phi$ なので $f(A) \nequ \phi$)。
  • $s \in f(A)$ を示せばよい。
  • $A \cap \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} f^{-1}([r,s]) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • ${\rm compact}$の定義の閉集合による言い換えを使って示す。
    • 仮定[$f {\rm は連続写像}$]より、$\all r \in (-\infty,s) \; f^{-1}([r,s]) \in {\cal C}$ である。
    • $r \in (-\infty,s)$ を任意に取る。
    • ${\rm sup}$の性質より、$\exi a \in A \; r \lt f(a) \leq s$ である。
    • 従って、$A \cap f^{-1}([r,s]) \nequ \phi$ である。
    • 従って、$\all {\rm 有限集合}R \subset (-\infty,s) \; A \cap \bigcap\limits_{r \in R} f^{-1}([r,s]) \equ A \cap f^{-1}([\max R,s]) \nequ \phi$ である。
    • よって、$A {\rm はcompact}$より、$A \cap \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} f^{-1}([r,s]) \nequ \phi$ である。
  • $\all t \in {\mathbb R} \;\parenth{ \all r \lt s \; r \lt t \Rightarrow s \leq t }$ なので、 $\bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} [r,s] \equ \{s\}$ である。
  • 以上より、$\phi \nequ A \cap \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} f^{-1}([r,s]) \equ A \cap f^{-1}\parenth{ \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} [r,s] } \equ A \cap f^{-1}(\{s\})$ である。
  • よって、$\exi a \in A \; f(a) \equ s$ である。

$(X, d) {\rm は距離空間}$ とする。
${\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d, \varepsilon \in {\mathbb R}^+$ とする。
$\varepsilon {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数} \quad:\Leftrightarrow\quad \phi \nequ \all A \subset X \;\parenth{ {\rm diam}(A) \lt \varepsilon \Rightarrow \exi U \in {\cal U} \; A \subset U }$
$(X,d)$ を距離空間とする。
$X {\rm はcompact} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X {\rm は全有界} & {\rm かつ} \\ \all {\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \varepsilon {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数} & \end{array}\right.$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$${\rm (i)}$ $\; \varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • $X \equ \bigcup\limits_{x \in X} B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ なので、仮定より、 $\exi {\rm 有限集合}A \subset X \; X \equ \bigcup\limits_{a \in A} B_{\frac{\varepsilon}{2}}(a)$ である。
  • $\all a \in A \; {\rm diam}(B_{\frac{\varepsilon}{2}}(a)) \leq \varepsilon$ である。
  • よって、$X {\rm は全有界}$ である。
  • ${\rm (ii)}$${\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d$ を任意に取る。
  • ${\cal S} :\equiv \Set{ (\varepsilon,x) \in {\mathbb R}^+ \times X }{ \exi U \in {\cal U} \; B_{2\varepsilon}(x) \subset U }$ と置く。
  • $X \subset \bigcup\limits_{(\varepsilon,x) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(x)$ が成り立つ。
    • $x \in X$ を任意に取る。
    • ${\cal U} {\rm は被覆}$ なので $\exi U \in {\cal U} \; x \in U$ である。
    • $\Set{ B_\varepsilon(x) }{ (\varepsilon,x) \in {\mathbb R}^+ \times X } {\rm は}{\cal O}_d{\rm の基底}$ なので $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{\varepsilon}(x) \subset U$ である。
    • 従って、$\parenth{ {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}, x } \in {\cal S}$ かつ $x \in B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ である。
  • 従って、仮定[$X {\rm はcompact}$]より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; X \subset \bigcup\limits_{(\varepsilon,x) \in {\cal T}} B_{\varepsilon}(x)$ である。
  • $\varepsilon_0 :\equiv \min\Set{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ }{ \exi x \in X \; (\varepsilon,x) \in {\cal T} }$ と置く。
  • $A \subset X ,\; {\rm diam}(A) \lt \varepsilon_0$ を仮定する。
  • $a_0 \in A$ を1つ選んで固定する。
  • $a_0 \in X \subset \bigcup\limits_{(\varepsilon,x) \in {\cal T}} B_{\varepsilon}(x)$ なので $\exi (\varepsilon,x) \in {\cal T} \; a_0 \in B_{\varepsilon}(x)$ である。
  • 従って、$\all a \in A \; d(a,x) \leq d(a,a_0) + d(a_0,x) \lt \varepsilon_0 + \varepsilon \leq 2\varepsilon$ である。
  • 従って、$A \subset B_{2\varepsilon}(x)$ である。
  • 一方、$(\varepsilon,x) \in {\cal T} \subset {\cal S}$ より、$\exi U \in {\cal U} \; B_{2\varepsilon}(x) \subset U$ である。
  • よって、$A \subset U$ である。
  • よって、$\varepsilon_0 {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数}$ である。
  • $\Leftarrow$${\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d$ を任意に取る。
  • 仮定より、$\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \varepsilon {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数}$ である。
  • 仮定[$X {\rm は全有界}$]より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
  • $S \in {\cal S}$ に対し、${\cal U}_S :\equiv \Set{ U \in {\cal U} }{ S \subset U }$ と置く。
  • εはUのLebesgue数と$\all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon$ より、$\all S \in {\cal S} \; {\cal U}_S \nequ \phi$ である。
  • 従って、$\exi (U_S)_{S \in {\cal S}} \in \prod\limits_{S \in {\cal S}} {\cal U}_S$ である。
  • よって、$X \equ \bigcup\limits_{S \in {\cal S}} S \subset \bigcup\limits_{S \in {\cal S}} U_S$ である。
  • 証明終
$(X,d)$ を${\rm compact}$な距離空間とする。
${\rm 有限集合}{\cal A} \subset {\cal C}_d \;\parenth{ \leftarrow {\rm 閉集合系} }$ とする。
$\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \all {\cal A}^\prime \subset {\cal A} \;\parenth{ \exi S \subset X \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & {\rm かつ} \\ \all A \in {\cal A}^\prime \; A \cap S \nequ \phi & \end{array}\right. \Rightarrow \bigcap {\cal A}^\prime \nequ \phi }$ が成り立つ。
  • ${\frak X} :\equiv \Set{ {\cal A}^\prime \subset {\cal A} }{ \bigcap {\cal A}^\prime \equ \phi }$ と置く。
  • ${\frak X} \equ \phi$ の時は主張の成立は明らかなので、${\frak X} \nequ \phi$ と仮定する。
  • $\all {\cal A}^\prime \in {\frak X} \; \bigcup\limits_{A \in {\cal A}^\prime} X \backslash A \equ X \backslash \bigcap\limits_{A \in {\cal A}^\prime} A \equ X \backslash \bigcap {\cal A}^\prime \equ X$ なので、
    $\all {\cal A}^\prime \in {\frak X} \; \Set{ X \backslash A }{ A \in {\cal A}^\prime }{\rm は開被覆}$ である。
  • ${\cal A}^\prime \in {\frak X}$ に対して、$F({\cal A}^\prime) :\equiv \Set{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ }{ \varepsilon {\rm は開被覆}\Set{ X \backslash A }{ A \in {\cal A}^\prime }{\rm のLebesgue数} }$ と置く。
  • 仮定[$X {\rm はcompact}$]と上記命題より、$\all {\cal A}^\prime \in {\frak X} \; F({\cal A}^\prime) \nequ \phi$ である。
  • 従って、$\exi \parenth{ \varepsilon({\cal A}^\prime) }_{{\cal A}^\prime \in {\frak X}}$ $\in$ ${\cal A}{\rm は有限集合}$なので
    ${\frak X}{\rm は有限集合}$
    $\prod\limits_{{\cal A}^\prime \in {\frak X}} F({\cal A}^\prime)$ である。
  • $\varepsilon_0 :\equiv \min\Set{ \varepsilon({\cal A}^\prime) }{ {\cal A}^\prime \in {\frak X} }$ と置く。
  • ${\cal A}^\prime \subset {\cal A}$ を任意に取る。
  • [対偶法]$\bigcap {\cal A}^\prime \equ \phi$ とし、$S \subset X$ を任意に取り ${\rm diam}(S) \lt \varepsilon_0$ を仮定する。
  • ${\cal A}^\prime \in {\frak X}$ かつ ${\rm diam}(S) \lt \varepsilon_0 \leq \varepsilon({\cal A}^\prime)$ である。
  • よって、$\exi A \in {\cal A}^\prime \; S \subset X \backslash A$ である。
  • 証明終

距離付け可能定理について

$(X,d)$ を距離空間とする。
$\all U \in {\cal O}_d \; \all x \in U \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \;\parenth{ x \in } B_{\varepsilon}(x) \subset U$ が成り立つ。
  • $x \in U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。
  • $\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\mathbb R}^+ \times X \; x \in \bigcap\limits_{(\varepsilon,y) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(y) \subset U$ である。
  • $\delta :\equiv \min\Set{ \varepsilon - d(x,y) }{ (\varepsilon,y) \in {\cal S} } \;\parenth{ \gt 0 }$ と置く。
  • $z \in B_{\delta}(x)$ を任意に取る。
  • $\all (\varepsilon,y) \in {\cal S} \; d(z,y) \leq d(z,x)+d(x,y) \lt \delta + d(x,y) \leq \varepsilon$ なので、 $z \in \bigcap\limits_{(\varepsilon,z) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(y)$ である。
  • よって、$x \in B_{\delta}(x) \subset \bigcap\limits_{(\varepsilon,z) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(y) \subset U$ である。
証明終
従って、
$\all x \in X \; \Set{ B_{\varepsilon}(x) }{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ } {\rm は}x{\rm の基本近傍系}$ であるし、
$\Set{ B_{\varepsilon}(x) }{ (\varepsilon,x) \in {\mathbb R}^+ \times X } {\rm は}{\cal O}_d{\rm の基底}$ である。
$(X,d)$ を距離空間とする。
$d_0 : X \times X \rightarrow {\mathbb R}, (x,y) \mapsto {\displaystyle \frac{ d(x,y) }{ 1+d(x,y) }}$ と定義する。
  1. $\all x, y \in X \; d_0(x,y) \equ 1 - {\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+d(x,y) }} \lt 1$ である。
  2. $d_0 {\rm は距離関数}$ が成り立つ。
    • 明らかに、$\all x, y \in X \; 0 \leq d_0(x,y) \equ d_0(y,x) {\rm かつ} d_0(x,y) \equ 0 \Leftrightarrow x \equ y$ である。
    • $0 \leq \all a, b, c \in {\mathbb R} \;\parenth{ c \leq a + b \Rightarrow {\displaystyle \frac{ c }{ 1+c }} \leq {\displaystyle \frac{ a }{ 1+a }} + {\displaystyle \frac{ b }{ 1+b }} }$ である。
    • 従って、任意の$x, y, z \in X$に対して、$a :\equiv d(x,y), b :\equiv d(y,z), c :\equiv d(x,z)$ と置くことにより、
      $d_0$ は三角不等式を満たす。
  3. $id_X : (X, d) \rightarrow (X, d_0) {\rm は一様同相写像}$ が成り立つ。特に、${\cal O}_d \equ {\cal O}_{d_0}$ である。
    • $\all \varepsilon \in (0,1) \all x, y \in X \;\parenth{ d(x,y) \lt {\displaystyle \frac{ \varepsilon }{ 1-\varepsilon }} \Rightarrow d_0(x,y) \lt \varepsilon }$ である。
    • $\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \all x, y \in X \;\parenth{ d_0(x,y) \lt {\displaystyle \frac{ \varepsilon }{ 1+\varepsilon }} \Rightarrow d(x,y) \lt \varepsilon }$ である。
$(X, {\cal O}_i)$ を位相空間とする$\parenth{ i \equ 0, 1 }$。
$x \in X$に対し、${\mathbb V}_i^*(x)$ を$(X, {\cal O}_i)$における$x$の基本近傍系とする$\parenth{ i \equ 0, 1 }$。
${\cal O}_0 \subset {\cal O}_1 \Leftrightarrow \all x \in X \; \all V_0 \in {\mathbb V}_0^*(x) \; \exi V_1 \in {\mathbb V}_1^*(x) \; V_1 \subset V_0$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$$x \in X, V_0 \in {\mathbb V}_0(x)$ を任意に取る。
  • $V_0 \in {\mathbb V}_0^*(x)$ なので、${\mathbb V}_0^*(x)$についての仮定より、$\exi U_0 \in {\cal O}_0 \; x \in U_0 \subset V_0$ である。
  • $x \in U_0 \in {\cal O}_0 \subset {\cal O}_1$ なので、${\mathbb V}_1^*(x)$についての仮定より、$\exi V_1 \in {\mathbb V}_1^*(x) \; V_1 \subset U_0$ である。
  • よって、$V_1 \subset U_0 \subset V_0$ である。
  • $\Leftarrow$$U \in {\cal O}_0$ を任意に取る。
  • $x \in U$ を任意に取る。
  • ${\mathbb V}_0^*(x)$ についての仮定より、$\exi V_0 \in {\mathbb V}_0^*(x) \; V_0 \subset U$ である。
  • 仮定より、$\exi V_1 \in {\mathbb V}_1^*(x) \; V_1 \subset V_0$ である。
  • ${\mathbb V}_1^*(x)$ についての仮定より、$\exi U_1 \in {\cal O}_1 \; x \in U_1 \subset V_1$ である。
  • 従って、$x \in U_1 \subset V_1 \subset V_0 \subset U$ である。
  • よって、$U \in {\cal O}_1$ である。

$(X, O)$ を位相空間とする。
$X {\rm は距離付け可能} :\Leftrightarrow \exi {\rm 距離関数} d : X \times X \rightarrow {\mathbb R} \; {\cal O}_d \equ {\cal O}$
$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。
$X {\rm は距離付け可能} \land X \simeq Y \Rightarrow Y {\rm は距離付け可能}$ が成り立つ。
  • ${\rm 距離関数} d_X : X \times X \rightarrow {\mathbb R}, {\cal O}_X \equ {\cal O}_{d_X}$ と
    ${\rm 同相写像} f : X \rightarrow Y$ を仮定する。
  • $d_Y : Y \times Y \rightarrow {\mathbb R}, (y_0,y_1) \mapsto d_X(f^{-1}(y_0),f^{-1}(y_1))$ と定義する。
  • この$d_Y$が求めるものであることを示す。
  • 明らかに $d_Y {\rm は距離関数}$ である。
  • ${\cal V} :\equiv \Set{ B_{Y,\varepsilon}(y) }{ (\varepsilon,y) \in {\mathbb R}^+ \times Y } \;\parenth{ \subset {\cal O}_{d_Y} }$ と置く。
  • ${\cal V} \subset {\cal O}_Y$ が成り立つ。
    • $(\varepsilon,y) \in {\mathbb R}^+ \times Y$ を任意に取る。
    • $B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y)) \in {\cal O}_{d_X} \equ {\cal O}_X$ なので $f(B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y))) \in {\cal O}_Y$ である。
    • 一方、$B_{Y,\varepsilon}(y)$ $\equ$ $f {\rm は可逆写像}$ $f(B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y)))$ である。
    • よって、$B_{Y,\varepsilon}(y) \in {\cal O}_Y$ である。
  • $\all V \in {\cal O}_Y \; \all y \in V \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{Y,\varepsilon}(y) \subset V$ が成り立つ。
    • $y \in V \in {\cal O}_Y$ を任意に取る。
    • $f^{-1}(y) \in f^{-1}(V) \in {\cal O}_X \equ {\cal O}_{d_X}$ なので $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; f^{-1}(y) \in B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y)) \subset f^{-1}(V)$ である。
    • 従って、$B_{Y,\varepsilon}(y) \equ f(B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y))) \subset f(f^{-1}(V)) \equ V$ である。
  • 従って、${\cal V} {\rm は}{\cal O}_Y{\rm の基底}$ である。従って、${\cal O}_Y \equ {\cal O}({\cal V})$ である。
  • よって、${\cal O}_Y \equ {\cal O}({\cal V}) \equ {\cal O}_{d_Y}$ である。
$(X, d)$ を距離空間とする。
$\all A \subset X \; {\cal O}_A \equ {\cal O}_{d|_A}$ である。
  • 明らかに、$d|_A {\rm は距離関数}$ である。
  • ${\cal U}_A :\equiv \Set{ B_{A,\varepsilon}(a) }{ (\varepsilon,a) \in {\mathbb R}^+ \times A }$ と置く。
  • $\all (\varepsilon,a) \in {\mathbb R}^+ \times A \; B_{A,\varepsilon}(a) \equ A \cap B_{X,\varepsilon}(a) \in {\cal O}_A$ なので、 ${\cal U}_A \subset {\cal O}_A$ である。
  • $a \in A \cap U \in {\cal O}_A, \; U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。
  • $U \in {\cal O}_d$ なので $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{X,\varepsilon}(a) \subset U$ である。
  • 従って、$a \in B_{A,\varepsilon}(a) \equ A \cap B_{X,\varepsilon}(a) \subset A \cap U$ である。
  • 従って、${\cal U}_A {\rm は}{\cal O}_A{\rm の基底}$ である。
  • よって、${\cal O}_A \equ {\cal O}({\cal U}_A) \equ {\cal O}_{d|_A}$ である。
従って、位相空間が距離付け可能ならば、その任意の部分空間は距離付け可能である。

$\parenth{ (X_n, d_n) }_{n \in {\mathbb N}}$ を距離空間の列とする。
$\prod\limits_{n \in {\mathbb N}} X_n {\rm は距離付け可能}$ が成り立つ。
  • 上記命題より、$\all n \in {\mathbb N} \; \all x_n, y_n \in X_n \; d_n(x_n,y_n) \lt 1$ としてよい。
  • $X :\equiv \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} X_n$ と置く。この直積位相空間の開集合系を ${\cal O}_X$ で表す。
  • $d : X \times X \rightarrow {\mathbb R}, (x,y) \mapsto \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) \;\parenth{ \leq \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} \equ 2 }$ と定義する。
  • この$d$が求めるものであることを示す。
  • $d {\rm は距離関数}$ が成り立つ。
    • $x, y, z \in X$ を任意に取る。
    • 明らかに、$0 \leq d(x,y) \equ d(y,x)$ である。
    • $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n)$ は$0$以上の項の級数なので、$d(x,y) \equ 0 \Leftrightarrow x \equ y$ である。
    • 任意の$m \in {\mathbb N}$に対して、
      $\begin{array}{@{}r@{}c@{}l@{}} \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, z_n) & \leq & \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) + \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(y_n, z_n) \\ & \leq & \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(y_n, z_n) \end{array}$ なので、
      $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, z_n) \leq \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(y_n, z_n)$ である。
  • ${\cal O}_d \equ {\cal O}_X$ が成り立つ。
    • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+, n \in {\mathbb N}$ に対し、
      $B_{d, \varepsilon} : X \rightarrow {\cal O}_d, x \mapsto \Set{ y \in X }{ d(x,y) \lt \varepsilon }$ と定義し、
      $B_{n, \varepsilon} : X_n \rightarrow {\cal O}_{d_n}, x_n \mapsto \Set{ y_n \in X_n }{ d_n(x_n,y_n) \lt \varepsilon }$ と定義する。
    • $x \in X$ に対し、
      ${\mathbb V}_d^*(x) :\equiv \Set{ B_{d, \varepsilon}(x) }{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ }$ と定義し、
      ${\mathbb V}_X^*(x) :\equiv \Set{ \prod\limits_{n \in {\mathbb N} \backslash M} X_n \times \prod\limits_{n \in M} B_{n, \varepsilon}(x_n) }{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ {\rm かつ} {\mathbb N} \supset M {\rm は有限集合} }$ と定義する。
    • $\all x \in X \; {\mathbb V}_d^*(x) {\rm は}(X, {\cal O}_d){\rm における}x{\rm の基本近傍系}$ である。
      $\all x \in X \; {\mathbb V}_X^*(x) {\rm は}(X, {\cal O}_X){\rm における}x{\rm の基本近傍系}$ である。
    • $\all x \in X \; \all V_d \in {\mathbb V}_d^*(x) \; \exi V_X \in {\mathbb V}_X^*(x) \; V_X \subset V_d$ が成り立つ。
      • $V_d \equ B_{d,\varepsilon}(x) \in {\mathbb V}_d^*(x)$ を任意に取る。
      • $\exi m \in {\mathbb N} \; 2 {\displaystyle \frac{1}{2^{m+1}}} \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
      • $y \in \prod\limits_{n = m+1}^{\infty} X_n \times \prod\limits_{n = 0}^m B_{n,\frac{\varepsilon}{4}}(x_n)$ を任意に取る。
      • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} d(x,y) & \equ & \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n,y_n) + \sum\limits_{n = m+1}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n,y_n) \\ & \lt & \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} \cdot {\displaystyle \frac{\varepsilon}{4}} + \sum\limits_{n = m+1}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} \cdot 1 \\ & \equ & {\displaystyle \frac{\varepsilon}{4}} \cdot 2 \parenth{ 1 - {\displaystyle \frac{1}{2^{m+1}}} } + 2 {\displaystyle \frac{1}{2^{m+1}}} \\ & \lt & {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon \end{array}$ である。
      • よって、$\prod\limits_{n = m+1}^{\infty} X_n \times \prod\limits_{n = 0}^m B_{n,\frac{\varepsilon}{2}}(x_n) \subset B_{d,\varepsilon}(x)$ である。
    • $\all x \in X \; \all V_X \in {\mathbb V}_X^*(x) \; \exi V_d \in {\mathbb V}_d^*(x) \; V_d \subset V_X$ が成り立つ。
      • $V_X \equ \prod\limits_{n \in {\mathbb N} \backslash M} X_n \times \prod\limits_{n \in M} B_{n,\varepsilon}(x_n) \in {\mathbb V}_X^*(x) \;\parenth{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ {\rm かつ} {\mathbb N} \supset M {\rm は有限集合} }$ を任意に取る。
      • $\delta :\equiv \min\Set{ {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2^n}} }{ n \in M }$ と置く。
      • $y \in B_{d,\delta}(x)$ を任意に取る。
      • 任意の$n \in M$に対し、${\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n,y_n) \leq d(x,y) \lt \delta \leq {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2^n}}$ なので、
        $d_n(x_n,y_n) \lt \varepsilon$ つまり $y_n \in B_{n,\varepsilon}(x_n)$ である。
      • よって、$B_{d,\delta}(x) \subset \prod\limits_{n \in {\mathbb N} \backslash M} X_n \times \prod\limits_{n \in M} B_{n,\varepsilon}(x_n) \equ V_X$ である。
    • 以上より、${\cal O}_d \equ {\cal O}_X$ である。
  • 証明終
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$X {\rm はregularかつ第2可算} \Rightarrow^{AC} X {\rm は距離付け可能}$ が成り立つ。
  • 仮定[$X {\rm は第2可算}$]より、$\exi {\rm 可算}{\cal U} \subset {\cal O} \; {\cal U} {\rm は基底}$ である。
  • ${\cal W} :\equiv \Set{ (U,V) \in {\cal U} \times {\cal U} }{ \overline{U} \subset V }$ と定義する。
  • ${\cal U} \times {\cal U} {\rm は可算}$ なので ${\cal W} {\rm は可算}$ である。
  • ${\cal W} \equ \Set{ (U_n,V_n) }{ n \in {\mathbb N} }$ と表す。
  • $n \in {\mathbb N}$ に対し $F_n :\equiv \Set{ {\rm 連続写像} f : X \rightarrow [0,1] }{ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} f(\overline{U_n}) \subset \{0\} & {\rm かつ} \\ f(X \backslash V_n) \subset \{1\} \end{array}\right. }$ と定義する。
  • 仮定と$T_3 {\rm 空間かつ第2可算ならば}T_4{\rm 空間}$より、$X {\rm は}T_4{\rm 空間}$ である。
  • 従って、Urysohnの補題$^{AC}$より、 $\all n \in {\mathbb N} \; F_n \nequ \phi$ である。
  • 従って、選択公理より、$\exi (f_n)_{n \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} F_n$ である。
  • $f : X \rightarrow [0,1]^{\mathbb N}, x \mapsto (f_n(x))_{n \in {\mathbb N}}$ と定義する。
  • $f : X \rightarrow f(X) {\rm は同相写像}$ が成り立つ。
    • ${\rm (i)}$$\all n \in {\mathbb N} \; f_n {\rm は連続写像}$ なので $f : X \rightarrow [0,1]^{\mathbb N} {\rm は連続写像}$ である。
    • 従って、$f : X \rightarrow f(X) {\rm は連続写像}$ である。
    • ${\rm (ii)}$
      $f {\rm は単射}$ が成り立つ。
      • $x, y \in X, x \nequ y$ を仮定する。
      • 仮定[$X {\rm はregular}$]より、$X {\rm はhausdorff}$ である。
      • 従って、${\cal U} {\rm は基底}$ より、 $x \in \exi V \in {\cal U} \; y \in \exi V^\prime \in {\cal U} \; V \cap V^\prime \equ \phi$ である。
      • 従って、仮定[$X {\rm は}T_3$]と${\cal U} {\rm は基底}$より、$x \in \exi U \in {\cal U} \; \overline{U} \subset V$ である。
      • $(U,V) \in {\cal W}$ なので $\exi m \in {\mathbb N} \; (U,V) \equ (U_m,V_m)$ である。
      • $f_m(x) \in f_m(\overline{U_m}) \subset \{0\}$ なので $f_m(x) \equ 0$ である。
      • $f_m(y) \in f_m(V^\prime) \subset f_m(X \backslash V_m) \subset \{1\}$ なので $f_m(y) \equ 1$ である。
      • 従って、$f_m(x) \nequ f_m(y)$ である。
      • よって、$f(x) \equ (f_n(x))_{n \in {\mathbb N}} \nequ (f_n(y))_{n \in {\mathbb N}} \equ f(y)$ である。
    • ${\rm (iii)}$
      $\all W \in {\cal O} \; f(W) \in {\cal O}_{f(X)}$ が成り立つ。
      • 閉包の記号は$[0,1]$における閉包として使う。
      • $f(W) \subset f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) }$ が成り立つ。
        • $x \in W$ を任意に取る。
        • ${\cal U} {\rm は基底}$ なので $x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset W$ である。
        • 仮定[$X {\rm は}T_3$]と${\cal U} {\rm は基底}$ より、$x \in \exi U \in {\cal U} \; \overline{ U } \subset V$ である。
        • $(U,V) \in {\cal W}$ なので $\exi m \in {\mathbb N} \; (U,V) \equ (U_m,V_m)$ である。
        • $\overline{ f_m(X \backslash W) } \subset \overline{ f_m(X \backslash V_m) } \subset \overline{ \{1\} } \equ \{1\}$ である。
        • $f_m(x) \in f_m(\overline{ U_m }) \subset \{0\}$ なので $f_m(x) \equ 0$ である。
        • 従って、$f_m(x) \not\in \overline{ f_m(X \backslash W) }$ である。
        • 従って、$f(x) \equ (f_n(x))_{n \in {\mathbb N}} \not\in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} \overline{ f_n(X \backslash W) }$ である。
        • 一方、$f(X \backslash W) \subset \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} f_n(X \backslash W)$ なので、
          $\overline{ f(X \backslash W) } \subset \overline{ \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} f_n(X \backslash W) }$ $\equ$ 復習:開集合系の基底、直積位相、基本近傍系
          の直積空間における閉包の分配$^{AC}$
          $\prod\limits_{n \in {\mathbb N}} \overline{ f_n(X \backslash W) }$ である。
        • 以上より、$f(x) \not\in \overline{ f(X \backslash W) }$ である。
        • よって、$f(x) \in f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) }$ である。
      • 一方、$f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) } \subset f(X) \backslash f(X \backslash W)$ $\equ$ ${\rm (ii)}$より $f( X \backslash ( X \backslash W ) ) \equ f(W)$ である。
      • よって、$f(W) \equ f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) } \in {\cal O}_{f(X)}$ である。
    • 以上より、$f : X \rightarrow f(X) {\rm は同相写像}$ である。
  • 上記命題より $[0,1]^{\mathbb N} {\rm は距離付け可能}$ なので、その部分空間$f(X) {\rm は距離付け可能}$ である。
  • 以上より、$X {\rm は距離付け可能}$ である。
  • 証明終

Compact、点列Compact、完備かつ全有界の同値性

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ} :\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O} \; \parenth{ {\cal U} {\rm は被覆} \Rightarrow \exi {\rm 可算} {\cal V} \subset {\cal U} \; {\cal V} {\rm は被覆} }$

$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は可分} \Rightarrow X {\rm は第2可算}$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ に対し $B_{\varepsilon} : X \rightarrow {\cal O}_d, x \mapsto \Set{ y \in X }{ d(y,x) \lt \varepsilon }$ と定義する。
  • 仮定より、$\exi {\rm 可算} A \subset X \; \overline{A} \equ X$ である。
  • ${\cal U} :\equiv \Set{ B_r(a) }{ (r,a) \in {\mathbb Q}^+ \times A } \;\parenth{ \subset {\cal O}_d }$ と置く。
  • ${\cal U}$ が求めるものであることを示す。
  • ${\mathbb Q}^+, A {\rm は可算}$ なので ${\mathbb Q}^+ \times A {\rm は可算}$ である。従って、${\cal U} {\rm は可算}$ である。
  • $x \in X, \varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • $x \in X \equ \overline{A}$ なので $\exi a \in A \cap B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ である。
  • $\exi r \in {\mathbb Q}^+ \; d(a,x) \lt r \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  • 従って、$x \in B_r(a) \in {\cal U}$ である。
  • また、$\all y \in X \;\parenth{ d(y,a) \lt r \Rightarrow d(y,x) \leq d(y,a) + d(a,x) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon }$ なので、
    $B_r(a) \subset B_{\varepsilon}(x)$ である。
  • よって、${\cal U} {\rm は可算かつ基底}$ である。
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$X {\rm は第2可算} \Rightarrow^{AC} X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\exi {\rm 可算}{\cal W} \subset {\cal O} \; {\cal W} {\rm は基底}$ である。
  • ${\cal U} \subset {\cal O}$ を任意に取り、${\cal U} {\rm は被覆}$ を仮定する。
  • $F : {\cal W} \rightarrow {\frak P}({\cal U}), W \mapsto \Set{ U \in {\cal U} }{ W \subset U }$ と定義する。
    ${\cal W}^\prime :\equiv \Set{ W \in {\cal W} }{ F(W) \nequ \phi }$ と定義する。
  • 選択公理より、$\exi f \in \prod\limits_{W \in {\cal W}^\prime} F(W)$ である。
  • ${\cal V} :\equiv \Set{ f(W) }{ W \in {\cal W}^\prime } \;\parenth{ \subset {\cal U} }$ と置く。
  • ${\rm (i)}$${\cal W} {\rm は可算}$ なので ${\cal W}^\prime \;\parenth{ \subset {\cal W} } {\rm は可算}$ である。
  • 従って、$全射:{\cal W}^\prime \rightarrow {\cal V}, W \mapsto f(W)$ より、${\cal V} {\rm は可算}$ である。
  • ${\rm (ii)}$$x \in X$ を任意に取る。
  • $x \in \exi U \in {\cal U}$ である。従って、$x \in \exi W \in {\cal W} \; W \subset U$ である。
  • 従って、$U \in F(W)$ である。従って、$W \in {\cal W}^\prime$ である。従って、$W \subset f(W)$ である。
  • 従って、$x \in W \subset f(W) \subset \bigcup {\cal V}$ である。
  • よって、${\cal V} {\rm は被覆}$ である。
証明終


$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は点列compact} :\Leftrightarrow \all x \in X^{\mathbb N} \; \exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$

$(X, d)$ を距離空間とする。
$a \in X$ とする。
$\all x \in X^{\mathbb N} \;\bracket{ \parenth{ x {\rm はcauchy列} \land \exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は}a{\rm に収束} } \Rightarrow x {\rm は}a{\rm に収束} }$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • 仮定[$x {\rm はcauchy列}$]より、$\exi N_0 \in {\mathbb N} \; N_0 \leq \all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \; d(x(n_0),x(n_1)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  • 仮定[$(x \circ m) {\rm は}a{\rm に収束}$]より、$\exi N_1 \in {\mathbb N} \; N_1 \leq \all n \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n), a ) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  • $\max\{N_0,N_1\} \leq n \in {\mathbb N}$ を仮定する。
  • $m {\rm は狭義単調増加}$ なので $N_0 \leq n \leq m(n)$ である。
  • $d(x(n),a) \leq d( x(n),(x \circ m)(n) ) + d( (x \circ m)(n),a ) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon$ である。
証明終
$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は点列compact} \Leftrightarrow^{AC} X {\rm は有限集合} \lor \all {\rm 無限集合} A \subset X \; \exi x \in X \; x \in \overline{ A \backslash \{x\} }$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ に対し $B_{\varepsilon} : X \rightarrow {\cal O}_d, a \mapsto \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon }$ と置く。
  • $\Rightarrow$$X {\rm は有限集合ではない}$ と仮定し、${\rm 無限集合} A \subset X$ を任意に取る。
  • $\aleph_0 \leq |A|$ と選択公理より、$\exi x \in A^{\mathbb N} \; x {\rm は単射}$ である。
  • 仮定[$X {\rm は点列compact}$]より、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$ である。
  • $a :\equiv \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (x \circ m)(n) \;( \in X )$ と置く。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • $\exi N \in {\mathbb N} \; N \leq \all n \in {\mathbb N} \; (x \circ m)(n) \in B_{\varepsilon}(a)$ である。
  • 従って、$\phi$ $\nequ$ $x, m {\rm 従って}$
    $(x \circ m) {\rm は単射}$
    $\{ (x \circ m)(N), (x \circ m)(N+1) \} \backslash \{x\} \subset B_{\varepsilon}(a) \cap \parenth{ A \backslash \{a\} }$ である。
  • よって、$a \in \overline{A \backslash \{a\}}$ である。
  • $\Leftarrow$$x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
  • $x({\mathbb N}) {\rm は有限集合}$ の場合:
    • この場合、$\exi k \in {\mathbb N} \; \Set{ n \in {\mathbb N} }{ x(n) \equ x(k) } {\rm は無限集合}$ である。
    • $n \in {\mathbb N}$ に対して $m(n) :\equiv \min \Set{ n^\prime \in {\mathbb N} }{ x(n^\prime) \equ x(k) } \backslash \{m(0), \cdots, m(n-1)\}$ と定義する。
    • 定義より、$m {\rm は狭義単調増加}$ かつ $\all n \in {\mathbb N} \; (x \circ m)(n) \equ x(k)$ である。
  • $x({\mathbb N}) {\rm は無限集合}$ の場合:
    • この場合、$X {\rm は有限集合ではない}$ なので仮定より、$\exi a \in X \; a \in \overline{x({\mathbb N}) \backslash \{a\}}$ である。
    • 従って、$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{\epsilon}(a) \cap \parenth{ x({\mathbb N}) \backslash \{a\} } \nequ \phi$ である。
    • 従って、$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \Set{ k \in {\mathbb N} }{ 0 \lt d(x(k),a) \lt \varepsilon } \nequ \phi$ である。
    • $f : {\mathbb R}^+ \rightarrow {\mathbb N}, \varepsilon \mapsto \min\Set{ k \in {\mathbb N} }{ 0 \lt d(x(k),a) \lt \varepsilon }$ と定義する。
    • $m(0) :\equ f(1)$ と定義する。
      $n \in {\mathbb N}$ に対し $m(n)$ が定義され、$0 \lt d(x(m(n)),a)$ を満たす時、
      $m(n+1) :\equiv f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n),a)}{2}} }$ と定義すると、
      $0 \lt d(x(m(n+1)),a)$ なので矛盾無く帰納的に数列$m$を定義出来る。
    • $m {\rm は狭義単調増加}$ が成り立つ。
      • $f$の定義より、$\all \varepsilon_0, \varepsilon_1 \in {\mathbb R}^+ \parenth{ \varepsilon_0 \lt \varepsilon_1 \Rightarrow f(\varepsilon_1) \leq f(\varepsilon_0) }$ である。
      • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
      • ${\displaystyle \frac{d(x(m(n)),a)}{2}} \lt d(x(m(n)),a)$ $\lt$ $m(n) \equ f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n-1),a)}{2}} }$より ${\displaystyle \frac{d(x(m(n-1)),a)}{2}}$ である。
        ただし、$n \equ 0$ の場合は、${\displaystyle \frac{d(x(m(-1)),a)}{2}} \equ 1$ と見なす。
      • 従って、$m(n) \equ f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n-1)),a)}{2}} } \leq f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n)),a)}{2}} } \equ m(n+1)$ である。
      • 一方、$d(x(m(n+1)),a) \lt {\displaystyle \frac{d(x(m(n)),a)}{2}}$ なので、$m(n) \nequ m(n+1)$ である。
      • よって、$m(n) \lt m(n+1)$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n), a ) \lt {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ なので、$(x \circ m) {\rm は}a{\rm に収束}$ である。
証明終
$(X, d)$ を距離空間とする。
以下は同値である:
  1. $X {\rm はcompact}$ である。
  2. $X {\rm は点列compact}$ である。
  3. $X {\rm は完備かつ全有界}$ である。
[証明]
  • ${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ (1) \ar@2{->}[r]^-{[1]} & (2) \ar@2{->}[r]^-{[2]^{AC}} & (3) \ar@2{->} `d/0pt[d] `/0pt[dll]_-{[3]^{AC}} [ll] \\ & & }\end{xy}}}$ の順で証明する。
  • $[1]$上記命題の$\Leftarrow$によって示す。
  • ${\rm 無限集合} A \subset X$ を任意に取る。
  • $\all {\rm 有限集合} Y \subset X \; \bigcap\limits_{y \in Y} A \backslash \{y\} \equ A \backslash \bigcup\limits_{y \in Y} \{y\} \equ A \backslash Y$ $\nequ$ $A {\rm は無限集合}$ より $\phi$ である。
  • 従って、仮定[$A {\rm はcompact}$]より、$\bigcap\limits_{y \in X} \overline{ A \backslash \{y\} } \nequ \phi$ である。
  • 従って、$\exi x \in \bigcap\limits_{y \in X} \overline{ A \backslash \{y\} }$ である。 従って、$\all y \in X \; x \in \overline{ A \backslash \{y\} }$ である。
  • よって、$x \in \overline{ A \backslash \{x\} }$ である。
  • $[2]$${\rm (i)}$ $\;{\rm cauchy列} x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
  • 仮定[$X {\rm は点列compact}$]より、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$ である。
  • 従って、上記命題$^{AC}$ より、$x {\rm は収束}$ である。
  • よって、$X {\rm は完備}$ である。
  • ${\rm (ii)}$$x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
  • 仮定[$X {\rm は点列compact}$]より、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$ である。
  • 従って、$(x \circ m) {\rm はcauchy列}$ である。
  • よって、全有界について多少の命題$^{AC}$より、$X {\rm は全有界}$ である。
  • $[3]$
    $X {\rm は点列compact}$ が成り立つ。
    • $x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
    • 仮定[$X {\rm は全有界}$]と全有界について多少の命題$^{AC}$より、
      $\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm はcauchy列}$ である。
    • 従って、仮定[$X {\rm は完備}$]より、$(x \circ m) {\rm は収束}$ である。
  • 仮定[$X {\rm は全有界}$]と全有界について多少の命題$^{AC}$より、$X {\rm は可分}$ である。
    従って、$X {\rm は第2可算}$ であり、従って、$X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ}$ である。
  • 従って、可算被覆について証明を完了すればよい。
  • $\parenth{ {\cal O}_d \supset } {\cal U} {\rm は可算かつ被覆}$ であると仮定する。
    ${\cal U} \equ \Set{ U_n }{ n \in {\mathbb N} }$ と表しておく。
  • $\exi n \in {\mathbb N} \; X \equ \bigcup\limits_{k = 0}^n U_n$ が成り立つ。
    • [背理法]$\all n \in {\mathbb N} \; \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k \subsetneq X$ と仮定する。
    • $n \in {\mathbb N}$ に対し $A_n :\equiv X \backslash \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k$ と置く。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; A_n \nequ \phi$ なので $\exi (a_n)_{n \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n$ である。
    • Xは点列compactより、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (a \circ m) {\rm は収束}$ である。
    • $a :\equiv \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (a \circ m)(n) \;\parenth{ \in X }$ と置く。
    • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
    • $(A_k)_{k \in {\mathbb N}} {\rm は単調減少列}$ なので $n \leq \all k \in {\mathbb N} \; (a \circ m)(k) \in A_{m(k)}$ $\subset$ $k \leq m(k)$ $A_k \subset A_n$ である。
    • 従って、$\varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; A_n \cap \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon } \nequ \phi$ である。
    • 従って、$a \in \overline{ A_n } \equ A_n$ である。
    • 従って、$a \in \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n \equ \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ X \backslash \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k } \equ X \backslash \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k \equ X \backslash \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} U_n \equ \phi$ である。
    • よって、矛盾が導かれた。
  • よって、$X {\rm はcompact}$ である。
証明終

全有界について多少の命題

$(X, d)$ を距離空間とする。
${\rm diam} {\rm \ or \ } {\rm diam}_X : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow [0,\infty], S \mapsto {\rm sup}\Set{ d(x,y) }{ x,y \in S }$
$X {\rm はtotally \ bounded(全有界)}$ $:\Leftrightarrow$  
$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon \end{array}\right.$

$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。
$f : X \rightarrow Y$ を一様連続かつ全射とする。
$X {\rm は全有界} \Rightarrow Y {\rm は全有界}$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • 仮定[$f {\rm は一様連続}$]より、$\exi \delta \in {\mathbb R}^+ \; \all x_0,x_1 \in X \;\parenth{ d_X(x_0,x_1) \lt \delta \Rightarrow d_Y(f(x_0),f(x_1)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} }$ である。
  • 仮定[$X {\rm は全有界}$]より、$\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}_X(S) \lt \delta \end{array}\right.$ である。
  • $\Set{ f(S) }{ S \in {\cal S} }$ が求めるものであることを示す。
  • $\Set{ f(S) }{ S \in {\cal S} } {\rm は有限集合}$ である。
  • $Y$ $\equ$ 仮定[$f {\rm は全射}$]より $f(X) \equ f(\bigcup {\cal S}) \equ \bigcup \Set{ f(S) }{ S \in {\cal S} }$ である。
  • $S \in {\cal S}$ を任意に取る。
  • $\all x_0, x_1 \in S \; d_X(x_0, x_1) \leq {\rm diam}_X(S) \lt \delta$ である。
  • 従って、fの一様連続性より、$\all x_0, x_1 \in S \; d_Y(f(x_0), f(x_1)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  • よって、${\rm diam}_Y(S) \leq {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \lt \varepsilon$ である。
証明終
$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は全有界} \Leftrightarrow \all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x,A) \lt \varepsilon$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$仮定[$X {\rm は全有界}$]より、 $\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
  • $(a_S)_{S \in {\cal S}} \in \prod\limits_{S \in {\cal S}} S$ を1つ取り、$A :\equiv \Set{ a_S }{ S \in {\cal S} }$ と置く。
  • 任意の$x \in X$に対して、$S \in {\cal S}$が存在して、$x, a_S \in S$なので、
    $d(x, A) \leq d(x, a_S) \leq {\rm diam}(S) \lt \varepsilon$ である。
  • $\Leftarrow$$\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • $\varepsilon_0 \in \parenth{ 0, {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}}$ を1つ取って固定する。
  • 仮定より、$\exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x,A) \lt \varepsilon_0$ が成り立つ。
  • $B : X \rightarrow {\cal O}_d, a \mapsto \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon_0 }$ と置く。
  • $B(A) (\subset {\cal O})$ が求めるものであることを示す。
  • $\all a \in A \; {\rm diam}(B(a)) \leq 2\varepsilon_0 \lt \varepsilon$ である。
  • $x \in X$ を任意に取る。
  • $A {\rm は有限集合}$ なので $\exi a \in A \; d(x, a) \equ d(x, A) \lt \varepsilon_0$ である。
  • 従って、$x \in B(a) \subset \bigcup B(A)$ である。
$X {\rm は全有界} \Rightarrow^{AC} X {\rm は可分}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x,A) \lt \varepsilon$ である。
  • 従って、選択公理より、$\exi (A_n)_{n \in {\mathbb N}} \in {\frak P}(X)^{\mathbb N} \; \all n \in {\mathbb N} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} A_n {\rm は有限集合} & {\rm かつ} \\ \all x \in X \; d(x, A_n) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}} & \end{array}\right.$ である。
  • $A :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n$ と置く。
  • $\all n \in {\mathbb N} \; |A_n| \lt \aleph_0$ なので $|A| \leq |{\mathbb N}| \cdot \aleph_0 \equ \aleph_0$ つまり $A {\rm は可算}$ である。
  • $x \in X$ を任意に取る。
  • $\all n \in {\mathbb N} \; d(x,A) \leq d(x,A_n) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ である。
  • 従って、$d(x,A) \equ 0$ である。よって、$x \in \overline{A}$ である。
$X {\rm は全有界} \ ^{AC}\Leftrightarrow^{AC} \all x \in X^{\mathbb N} \; \exi {狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; x \circ m {\rm はcauchy列}$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$$(x, \varepsilon) \in X^{\mathbb N} \times {\mathbb R}^+$ に対し、
    $M(x, \varepsilon) :\equiv \Set{ m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} }{\;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} m {\rm は狭義単調増加} & {\rm かつ} \\ \all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n_0), (x \circ m)(n_1) ) \lt \varepsilon & \end{array}\right.}$ と置く。
  • $\all (x, \varepsilon) \in X^{\mathbb N} \times {\mathbb R}^+ \; M(x, \varepsilon) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • 仮定[$X {\rm は全有界}$]より、$\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
    • $S \in {\cal S}$ に対し $N_S :\equiv \Set{ n \in {\mathbb N} }{ x_n \in S }$ と置く。
    • $X \equ \bigcup {\cal S}$ より ${\mathbb N} \equ \bigcup\limits_{S \in {\cal S}} N_S$ である。
    • 従って、${\cal S} {\rm は有限集合}$ より、$\exi S \in {\cal S} \; |N_S| \equ \aleph_0$ である。
    • $m(n) :\equiv \min N_S \backslash \Set{ m(k) }{ k \lt n } \;\parenth{ n \in {\mathbb N} }$ と定義する。
    • $m {\rm は狭義単調増加}$ である。
    • $\all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n_0),(x \circ m)(n_1) ) \leq {\rm diam}(S) \lt \varepsilon$ である。
    • よって、$m \in M(x, \varepsilon)$ である。
  • 従って、選択公理より、$f \in \prod\limits_{(x, \varepsilon) \in X^{\mathbb N} \times {\mathbb R}^+} M(x, \varepsilon)$ を取れる。
  • $x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
  • $m_0 :\equiv id_{\mathbb N} : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ と置く。
  • $k \in {\mathbb N}$ に対し、$m_0, \cdots, m_k$ が定義された時、
    $m_{k+1} :\equiv f\parenth{ (x \circ m_0 \circ \cdots \circ m_k), {\displaystyle \frac{1}{k+1}} }$ と定義する。
  • $m : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}, n \mapsto (m_0 \circ \cdots \circ m_n)(n)$ と定義する。
  • この$m$が求めるものであることを示す。
  • $m {\rm は狭義単調増加}$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
    • $m_{n+1} {\rm は狭義単調増加}$ なので $n \lt n+1 \leq m_{n+1}(n+1)$ である。
    • 狭義単調増加な写像の合成はまた狭義単調増加なので、$m_0 \circ \cdots \circ m_n {\rm は狭義単調増加}$ である。
    • これらより、$m(n) \equ (m_0 \circ \cdots \circ m_n)(n) \lt (m_0 \circ \cdots \circ m_n)(m_{n+1}(n+1))$
      $\equ (m_0 \circ \cdots \circ m_n \circ m_{n+1})(n+1) \equ m(n+1)$ である。
  • $x \circ m {\rm はcauchy列}$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取り、$n_0, n_1 \in {\mathbb N}$ を任意に取り、$n+2 \leq n_0, n_1$ を仮定する。
    • $N_0 :\equiv (m_{n+2} \circ \cdots \circ m_{n_0})(n_0),N_1 :\equiv (m_{n+2} \circ \cdots \circ m_{n_1})(n_1) \in {\mathbb N}$ と置く。
    • $d( (x \circ m)(n_0), (x \circ m)(n_1) ) \equ$
      $d( (x \circ m_0 \cdots \circ m_n \circ m_{n+1})(N_0), (x \circ m_0 \cdots \circ m_n \circ m_{n+1})(N_1) ) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ である。
    • よって、$\lim\limits_{n_0, n_1 \rightarrow \infty} d( (x \circ m)(n_0), (x \circ m)(n_1) ) \equ 0$ である。
  • $\Leftarrow$[対偶法]$X {\rm は全有界でない}$ と仮定する。
  • $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \all {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \nequ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \neg \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
  • $\varepsilon_0 \in \parenth{ 0, {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} }$ を1つ取って固定する。
  • ${\rm Fin}(X) :\equiv \Set{ A \subset X }{ A {\rm は有限集合} }$,
    $B : X \rightarrow {\cal O}_d, a \mapsto \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon_0 }$ と置く。
  • $\all A \in {\rm Fin}(X) \; X \backslash \bigcup B(A) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • $\all a \in A \; {\rm diam}(B(a)) \leq 2 \varepsilon_0 \lt \varepsilon$ である。
    • 従って、eの下ではe-被覆を取り得ないより、$X \nequ \bigcup B(A)$ である。
  • 従って、選択公理より、$\exi f \in \prod\limits_{A \in {\rm Fin}(X)} X \backslash \bigcup B(A)$ である。
  • $a(0) \in X$ を1つ取って固定し、$n \in {\mathbb N}$ に対して $a(0), \cdots, a(n)$ が定まった時、
    $a(n+1) :\equiv f(\{a(0), \cdots, a(n)\})$ と定義する。
  • $\all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \;\parenth{ n_0 \nequ n_1 \Rightarrow d(a(n_0), a(n_1)) \geq \varepsilon_0 }$ が成り立つ。
    • $n_0 \gt n_1$ と仮定してよい。
    • $a(n_0) \equ f(\{a(0), \cdots, a(n_0-1)\}) \in X \backslash \bigcup B(\{a(0), \cdots, a(n_0-1)\}) \subset X \backslash B(a(n_1))$ である。
    • 従って、$d(a(n_0), a(n_1)) \geq \varepsilon_0$ である。
  • 従って、$\all {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (a \circ m) {\rm はcauchy列ではない}$ である。
証明終
$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。
$X \nequ \phi, Y \nequ \phi$ とする。
$X, Y {\rm は全有界} \Leftrightarrow X \times Y {\rm は全有界}$ である。
  • $\Rightarrow$$\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • 仮定より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x, A) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{\sqrt 2}} & {\rm かつ} \\ \exi {\rm 有限集合} B \subset Y \; \all y \in Y \; d(y, B) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{\sqrt 2}} & \end{array}\right.$ である。
  • $A \times B \;( \subset X \times Y ) {\rm は有限集合}$ である。
  • $(x,y) \in X \times Y$ を任意に取る。
  • $A, B {\rm は有限集合}$ なので、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi a \in A \; d(x,a) \equ d(x,A) & {\rm かつ} \\ \exi b \in B \; d(y,b) \equ d(y,B) \end{array}\right.$ である。
  • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} d_{X \times Y}( (x,y), A \times B ) & \leq & d_{X \times Y}( (x,y), (a,b) ) \\ & \equ & \sqrt{ d_X(x,a)^2 + d_Y(y,b)^2 } \\ & \equ & \sqrt{ d_X(x,A)^2 + d_Y(y,Y)^2 } \\ & \lt & \sqrt{ {\displaystyle \frac{\varepsilon^2}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon^2}{2}} } \equ \varepsilon \end{array}$ である。
  • $\Leftarrow$$X$について全有界を示せば、$Y$については同様である。
  • $pr_1 : X \times Y \rightarrow X$ を第1射影とする。
  • $pr_1$は明らかに全射である($X,Y \nequ \phi$なる仮定はここで使う)。
  • 任意の $(x_0,y_0),(x_1,y_1) \in X \times Y$ に対して、
    $d_X(pr_1(x_0,y_0),pr_1(x_1,y_1)) \equ d_X(x_0,x_1) \leq d_{X \times Y}( (x_0,y_0), (x_1,y_1) )$ である。
  • 従って、$pr_1$は一様連続である。

連結性について多少の命題

$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。
$f : X \rightarrow Y$ を連続写像とする。
$\all A \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \Rightarrow f(A) {\rm は連結} }$ が成り立つ。
  • [対偶法]$f(A) {\rm は連結でない}$ と仮定する。
  • $\exi U_0, U_1 \in {\cal O}_Y \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} f(A) \subset U_0 \cup U_1 & {\rm かつ} & \rightarrow & A \subset f^{-1}(U_0) \cup f^{-1}(U_1) & {\rm かつ} \\ f(A) \cap U_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & A \cap f^{-1}(U_0) \cap f^{-1}(U_1) \equ \phi & {\rm かつ} \\ f(A) \cap U_0 \nequ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & A \cap f^{-1}(U_0) \nequ \phi & {\rm かつ} \\ f(A) \cap U_1 \nequ \phi & {\rm である。} & \rightarrow & A \cap f^{-1}(U_1) \nequ \phi & {\rm である。} \end{array}\right.$
  • $f {\rm は連続写像}$ なので $f^{-1}(U_0), f^{-1}(U_1) \in {\cal O}_X$ である。
  • よって、$A {\rm は連結でない}$ である。
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$\all A, B \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \land A \subset B \subset \overline{A} \Rightarrow B {\rm は連結} }$ が成り立つ。
  • $U, V \in {\cal O}$ が $\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} B \subset U \cup V & {\rm かつ} \\ B \cap U \cap V \equ \phi & \\ \end{array}\right.$ を満たすと仮定する。
  • $A {\rm は連結}$ かつ $\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} A \subset B \subset U \cup V & {\rm かつ} \\ A \cap U \cap V \subset B \cap U \cap V \equ \phi & \\ \end{array}\right.$ なので $A \cap U \equ \phi \lor A \cap V \equ \phi$ である。
  • 従って、$\overline{A} \cap U \equ \phi \lor \overline{A} \cap V \equ \phi$ である。
  • よって、$B \subset \overline{A}$より、$B \cap U \equ \phi \lor B \cap V \equ \phi$ である。
$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
${\cal A} \subset \Set{ A \subset X }{ A {\rm は連結} }$ とする。
$\all A, B \in {\cal A} \; A \cap B \nequ \phi \Rightarrow \bigcup {\cal A} {\rm は連結}$ が成り立つ。
  • [対偶法]$\bigcup {\cal A} {\rm は連結ではない}$ と仮定する。
  • $\exi U_0, U_1 \in {\cal O} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} \bigcup {\cal A} \subset U_0 \cup U_1 & {\rm かつ} & \rightarrow & \all A \in {\cal A} \; A \subset U_0 \cup U_1 & {\rm かつ} \\ \bigcup {\cal A} \cap U_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & \all A \in {\cal A} \; A \cap U_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} \\ \bigcup {\cal A} \cap U_0 \nequ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & \exi A_0 \in {\cal A} \; A_0 \cap U_0 \nequ \phi & {\rm かつ} \\ \bigcup {\cal A} \cap U_1 \nequ \phi & {\rm である。} & \rightarrow & \exi A_1 \in {\cal A} \; A_1 \cap U_1 \nequ \phi & {\rm である。} \end{array}\right.$
  • 従って、$A_0,A_1 {\rm は連結}$より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} A_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} \\ A_1 \cap U_0 \equ \phi & {\rm である。} \end{array}\right.$
  • この時、$A_0 \cap A_1 \equ \parenth{ A_0 \cap \parenth{ U_0 \cup U_1 } } \cap \parenth{ A_1 \cap \parenth{ U_0 \cup U_1 } }$
    $\equ \parenth{ A_0 \cap A_1 } \cap \parenth{ U_0 \cup U_1 } \subset \parenth{ A_1 \cap U_0 } \cup \parenth{ A_0 \cap U_1 } \equ \phi$ となる。
証明終

$(X_i, {\cal O}_i)_{i \in I}$ を位相空間の族とする。
$J \subset I$とし、$(a_i)_{i \in I \backslash J} \in \prod\limits_{i \in I \backslash J} X_i$ とする。
$\Set{ x \equ (x_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i }{ \all i \in I \backslash J \; x_i \equ a_i } \approx \prod\limits_{j \in J} X_j \approx \prod\limits_{j \in J} X_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$ が成り立つ。
  • $X_J :\equ \prod\limits_{j \in J} X_j, A :\equiv \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$ と置く。
  • ${\rm (i)}$$X_a :\equiv \Set{ x \equ (x_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i }{ \all i \in I \backslash J \; x_i \equ a_i }$ と置く。
  • $g : X_a \rightarrow X_J, x \mapsto (x_j)_{j \in J}$ と置く。
  • 明らかに$g$は可逆写像である。
  • $\Set{ X_a \cap \prod\limits_{i \in I} U_i }{ \all i \in I \; U_i \in {\cal O}_i \land \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ は$X_a$の基底である。
  • $\Set{ \prod\limits_{j \in J} U_j }{ \all j \in J \; U_j \in {\cal O}_j \land \Set{ j \in J }{ U_j \subsetneq X_j } {\rm は有限集合} }$ は$X_J$の基底である。
  • これらの集合の元は$g$によって対応していることが容易に分かるので、$g$は同相写像である。
  • ${\rm (ii)}$$f : X_J \rightarrow X_J \times A ,\; (x_j)_{j \in J} \mapsto \parenth{ (x_j)_{j \in J}, (a_i)_{i \in I \backslash J} }$ と置く。
  • 明らかに$f$は可逆写像である。
  • $|A| \equ 1$なので、$A$の開集合系は$\{\phi, A\}$である。
  • 従って、$X_J \times A$の基底は、$\Set{ U \times A^\prime }{ U \in {\cal O}_{X_J}, A^\prime \in {\cal O}_A } \equ \Set{ U \times A }{ U \in {\cal O}_{X_J} }$ である。
    $({\cal O}_{X_J}, {\cal O}_A {\rm はそれぞれ} X_J,A {\rm の開集合系})$
  • よって、$f$は同相写像である。

$(X,{\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。
$X, Y {\rm は連結} \Rightarrow X \times Y {\rm は連結}$ が成り立つ。
  • $A : X \times Y \rightarrow {\frak P}(X \times Y), (x,y) \mapsto \{x\} \times Y \cup X \times \{y\}$ と定義する。
  • $\all (x,y) \in X \times Y \; A(x,y) {\rm は連結}$ が成り立つ。
    • $Y {\rm は連結} \land Y \approx \{x\} \times Y$ なので $\{x\} \times Y {\rm は連結}$ である。
    • $X {\rm は連結} \land X \approx X \times \{y\}$ なので $X \times \{y\} {\rm は連結}$ である。
    • $(x,y) \in \{x\} \times Y \cap X \times \{y\}$ なので $\{x\} \times Y \cap X \times \{y\} \nequ \phi$ である。
    • 以上より、$A(x,y) \equ \{x\} \times Y \cup X \times \{y\} {\rm は連結}$である。
  • $y_* \in Y$ を1つとって固定する。
  • $\all x_0, x_1 \in X \; A(x_0,y_*) \cap A(x_1,y_*) \supset X \times \{y_*\} \nequ \phi$ である。
  • 従って、(x,y)から作られる連結集合より、$\bigcup \Set{ A(x,y_*) }{ x \in X } {\rm は連結}$ である。
  • $\all (x,y) \in X \times Y \; (x,y) \in A(x,y_*)$ なので $X \times Y \equ \bigcup \Set{ A(x,y_*) }{ x \in X }$ である。
  • よって、$X \times Y {\rm は連結}$ である。
$(X_i, {\cal O}_i)_{i \in I}$ を位相空間の族とする。
$\all i \in I \; X_i {\rm は連結} \Rightarrow \prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ が成り立つ。
  • ${\rm Fin}(I) :\equiv \Set{ J \subset I }{ J {\rm は有限集合} }$ と置く。
  • $J \in {\rm Fin}(I)$ に対して $X_J :\equiv \prod\limits_{j \in J} X_j$ と置く。
    $J \in {\rm Fin}(I), a \equ (a_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ に対して $X_J(a) :\equiv X_J \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$ と置く。
  • $\all a \in \prod\limits_{i \in I} X_i \; \overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)} {\rm は連結}$ が成り立つ。
    • 任意の$J \in {\rm Fin}(I)$に対して、$X_J {\rm は連結}$ かつ $X_J \approx X_J(a)$ なので、$X_J(a) {\rm は連結}$ である。
    • また、$\all J \in {\rm Fin}(I) \; a \in X_J(a)$ である。
    • 従って、$\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a) {\rm は連結}$ である。
    • よって、$\overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)} {\rm は連結}$ である。
  • $\all a \in \prod\limits_{i \in I} X_i \; \overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)} \equ \prod\limits_{i \in I} X_i$ が成り立つ。
    • $x \equ (x_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ を任意に取る。
    • $\bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) }$ は、$x$の基本近傍系である。
      (ただし、${\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right)$ は $X_j$ の点 $x_j$ の近傍系であり、 $pr_j : \prod\limits_{i \in I} X_i \rightarrow X_j$ である。)
      この事実を今一度思い出しておく。
    • $x \in \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j), J \in {\rm Fin}(I), \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}(x_j)$ を仮定する。
    • $\parenth{ \bigcup\limits_{J^\prime \in {\rm Fin}(I)} X_{J^\prime}(a) } \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \supset X_J(a) \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j)$
      $\equ \parenth{ \prod\limits_{j \in J} X_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\} } \cap \parenth{ \prod\limits_{j \in J} V_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} X_i } \equ \prod\limits_{j \in J} V_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$
      $\ni ( (x_j)_{j \in J}, (a_i)_{i \in I \backslash J} )$ つまり $\nequ \phi$ である。
    • 従って、$x \in \overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)}$ である。
  • よって、$\prod\limits_{i \in I} X_i \nequ \phi$ ならば $\prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ である。
  • $\prod\limits_{i \in I} X_i \equ \phi$ ならば当然 $\prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ である。


$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$(\{0,1\}, {\frak P}(\{0,1\}))$ を離散空間とする。
$X {\rm は連結} \Leftrightarrow \all {\rm 連続写像} f : X \rightarrow \{0,1\}, f {\rm は定値写像}$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$$f : X \rightarrow \{0,1\}$ を連続写像とする。
  • $f {\rm は連続写像}$ なので $f^{-1}(\{0\}), f^{-1}(\{1\}) \in {\cal O}$ である。
  • $X \equ f^{-1}(\{0\} \cup \{1\}) \equ f^{-1}(\{0\}) \cup f^{-1}(\{1\})$ かつ $f^{-1}(\{0\}) \cap f^{-1}(\{1\}) \equ \phi$
  • 従って、仮定[$X {\rm は連結}$]より、$f^{-1}(\{0\}) \equ \phi \lor f^{-1}(\{1\}) \equ \phi$ である。
  • 従って、$X \equ f^{-1}(\{1\}) \lor X \equ f^{-1}(\{0\})$ である。
  • よって、$f(X) \subset \{1\} \lor f(X) \subset \{0\}$ である。
  • $\Leftarrow$$U, V \in {\cal O}$ が $X \equ U \cup V \land U \cap V \equ \phi$ を満たすと仮定する。
  • $f : X \rightarrow \{0,1\}, x \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} 0 & \parenth{ x \in U } \\ 1 & \parenth{ x \in V } \end{array}\right.$ と定義出来る。
  • $\{ f^{-1}(\phi), f^{-1}(\{0\}), f^{-1}(\{1\}), f^{-1}(\{0,1\}) \} \equ \{ \phi, U, V, X \} \subset {\cal O}$ なので $f {\rm は連続写像}$ である。
  • 従って、仮定により、$f {\rm は定値写像}$ である。
  • 従って、$f(X) \equ \{0\} \lor f(X) \equ \{1\}$ である。
  • よって、$V \equ \phi \lor U \equ \phi$ である。
(先ほどの命題の別証明)
$(X_i, {\cal O}_i)_{i \in I}$ を位相空間の族とする。
$\all i \in I \; X_i {\rm は連結} \Rightarrow \prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ が成り立つ。
  • $X :\equiv \prod\limits_{i \in I}$ と置く。
  • $\{0,1\}$ を離散空間とし、$f : X \rightarrow \{0,1\} {\rm は連続写像}$ を仮定する。
  • $R :\equ \Set{ (x, y) \in X \times X }{ \Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } {\rm は有限集合} }$ と定義する。
  • $\all (x, y) \in R \; f(x) \equ f(y)$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ に対し $R_n :\equiv \Set{ (x, y) \in X \times X }{ {\rm Card}\Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } \leq n }$ と置く。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; \all (x, y) \in R_n \; f(x) \equ f(y)$ が成り立つ。
      • 明らかに$n \equ 0$ に対して成立する。
      • $n \in {\mathbb N}$ に対して成立を仮定する。
      • $(x,y) \in R_{n+1}$ を任意に取る。
      • $j \in \Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i }$ を1つとって固定する。
      • $f_j : X_j \rightarrow X, z_j \mapsto ( (z_j)_{j = i}, (y_i)_{j \not= i \in I} )$ と定義する。
      • $X$ の基底の元として、$\prod\limits_{i \in I} U_i$ を任意に取る。
        (ただし、$(U_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} {\cal O}_i, \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i} {\rm は有限集合}$。)
      • $j \nequ \all i \in I \; y_i \in U_i$ ならば $f_j^{-1}\parenth{ \prod\limits_{i \in I} U_i } \equ U_j \in {\cal O}_j$ であり、
        $j \nequ \exi i \in I \; y_i \not\in U_i$ ならば $f_j^{-1}\parenth{ \prod\limits_{i \in I} U_i } \equ \phi \in {\cal O}_j$ である。
      • 従って、$f_j {\rm は連続写像}$ である。
      • 従って、$(f \circ f_j) : X_j \rightarrow \{0,1\} {\rm は連続写像}$ である。
      • 従って、$X_j {\rm は連結}$より、$(f \circ f_j) {\rm は定値写像}$ である。
      • 従って、$(f \circ f_j)(x_j) \equ (f \circ f_j)(y_j) \equ f(y)$ である。
      • 一方、$x$と$f_j(x_j)$は第$j$成分が一致しているので、$(x, f_j(x_j)) \in R_n$ である。
      • 従って、帰納法の仮定より、$f(x) \equ f(f_j(x_j))$ である。
      • よって、$f(x) \equ f(y)$ である。
    • 従って、$R \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} R_n$ より、$\all (x,y) \in R \; f(x) \equ f(y)$ である。
  • $y \in X$ を任意に取る。
  • $S :\equiv \Set{ x \in X }{ \Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } {\rm は有限集合} }$ と置く。
  • $\overline{S} \equ X$ が成り立つ。
    • $z \equ (z_i)_{i \in I} \in X$ を任意に取る。
    • $z$の基本近傍系の元として、
      $\prod\limits_{i \in I} U_i \;\parenth{ \all i \in I \; z_i \in U_i \in {\cal O}_i \land \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ を任意に取る。
    • $x \equ (x_i)_{i \in I}$ を $x_i :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} y_i & \parenth{ U_i \equ X_i } \\ z_i & \parenth{ U_i \subsetneq X_i } \end{array}\right.$ で定義する。
    • 明らかに $x \in \prod\limits_{i \in I} U_i$ である。
    • $\Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } \subset \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合}$ つまり $x \in S$ である。
    • 従って、$x \in S \cap \prod\limits_{i \in I} U_i$ つまり $S \cap \prod\limits_{i \in I} U_i \nequ \phi$ である。
    • よって、$z \in \overline{S}$ である。
  • 従って、$f(X) \equ f(\overline{S})$ $\subset$ $f {\rm は連続写像}$ $\overline{f(S)}$ $\equ$ $\{0,1\} {\rm は離散空間}$ $f(S)$ である。
  • $x \in X$ を任意に取る。
  • $\exi z \in S \; f(x) \equ f(z)$ である。
  • $(z,y) \in R$ と 有限個の違いの下では値は一致より、$f(x) \equ f(z) \equ f(y)$ である。
  • よって、$\all x, y \in X \; f(x) \equ f(y)$ つまり $f {\rm は定値写像}$ である。

距離空間の完備化

$(X,d)$ を距離空間とする。
  1. $\exi {\rm 距離空間}(X^*,d^*) \; \exi f:X \rightarrow X^* \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & (X^*,d^*) {\rm はcomplete} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii)} & f {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ {\rm (iii)} & \overline{f(X)} \equ X^* \end{array}\right.$ が成り立つ。
    • ${\rm Cauchy}(X) :\equiv \Set{ x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} }{ x {\rm はcauchy列} }$ と定義する。
    • $\all x, y \in {\rm Cauchy}(X) \; (d(x_n,y_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm は収束}$ が成り立つ。
      • $\all m, n \in {\mathbb N} \; \left| d(x_m,y_m) - d(x_n,y_n) \right| \leq \cdots \leq d(x_m,x_n) + d(y_m,y_n)$ である。
      • 従って、$(d(x_n,y_n))_{n \in {\mathbb N}}$ は、(${\mathbb R}$の)${\rm cauchy列}$である。
      • ${\mathbb R}$は${\rm complete}$なので、$(d(x_n,y_n))_{n \in {\mathbb N}}$は収束する。
    • $R :\equiv \Set{ (x,y) \in {\rm Cauchy}(X) \times {\rm Cauchy}(X) }{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \equ 0 }$ と置く。
    • 明らかに、$R$は同値関係である。
    • $X^* :\equiv {\rm Cauchy}(X) / R$ と置く。
    • $q : {\rm Cauchy}(X) \rightarrow X^*$ を商写像とする。
    • 写像$d^* : X^* \times X^* \rightarrow {\mathbb R}, (q(x), q(y)) \mapsto \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n, y_n)$ を定義することが出来る。
      • $(q(x^i),q(y^i)) \in X^* \times X^* \;(i=0,1)$ とし、 $q(x^0) \equ q(x^1)$ かつ $q(y^0) \equ q(y^1)$ と仮定する。
        (注意:ここでの$^0,^1$は添え字であって冪乗ではない。)
      • $\all n \in {\mathbb N} \; d(x_n^0,y_n^0) \leq d(x_n^0,x_n^1) + d(x_n^1,y_n^1) + d(y_n^1,y_n^0)$ である。
      • 従って、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^0,y_n^0) \leq 0 + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^1,y_n^1) + 0$ である。
      • 同様に、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^1,y_n^1) \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^0,y_n^0)$ である。
      • よって、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^0,y_n^0) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^1,y_n^1)$ である。
    • $d^* {\rm は} X^* {\rm の距離}$ が成り立つ。
      • $q(x), q(y), q(z) \in X^*$ を任意に取る。
      • (i)$d^*(q(x),q(y)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \geq 0$ である。
      • (ii)$d^*(q(x),q(y)) \equ 0 \Leftrightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \equ 0 \Leftrightarrow (x,y) \in R \Leftrightarrow q(x) \equ q(y)$ である。
      • (iii)$d^*(q(x),q(y)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(y_n,x_n) \equ d^*(q(y),q(x))$ である。
      • (iv)$d^*(q(x),q(z)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,z_n) \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(y_n,z_n)$
        $\equ d^*(q(x),q(y)) + d^*(q(y),q(z))$ である。
    • $f : X \rightarrow X^*, x \mapsto q( (x)_{n \in {\mathbb N}} )$ と定義する。
    • (ii)明らかに、 $\all x, y \in X \; d^*(f(x),f(y)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x,y) \equ d(x,y)$ である。
    • $\all x \equ (x_m)_{m \in {\mathbb N}} \in {\rm Cauchy}(X) \; \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d^*(q(x),f(x_n)) \equ 0$ が成り立つ。
      • $0 \lt \varepsilon \in {\mathbb R}$ を任意に取る。
      • $x \in {\rm Cauchy}(X)$ なので、 $\exi k \in {\mathbb N} \; k \leq \all m, n \in {\mathbb N} \; d(x_m, x_n) \lt \varepsilon$ である。
      • 従って、 $k \leq \all n \in {\mathbb N} \; d^*(q(x),f(x_n)) \equ \lim\limits_{m \rightarrow \infty} d(x_m,x_n) \leq \varepsilon$ である
      • これは、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d^*(q(x),f(x_n)) \equ 0$ という意味である。
    • (iii)cauchy点列自体が持つ性質より、 $\all q(x) \in X^* \exi (y_n^*)_{n \in {\mathbb N}} \in (f(X))^{\mathbb N} \; q(x) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} y_n^*$ である。
    • 従って、$X^* \subset \overline{f(X)}$ である。
    • (i)$x^* \equ (x^*_n)_{n \in {\mathbb N}} \in (X^*)^{\mathbb N}$ を任意に取り、 $x^* {\rm はcauchy列}$ であると仮定する。
    • ${\rm (iii)}$より、 $\all m \in {\mathbb N} \; x_m^* \in \overline{f(X)}$ である。
    • 従って、 $\all m \in {\mathbb N} \; \Set{ a \in X }{ d^*(x_m^*, f(a)) \lt {\displaystyle \frac{1}{m+1}} } \nequ \phi$ である。
    • 従って、選択公理より、$\exi x \equ (x_m)_{m \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{m \in {\mathbb N}} \Set{ a \in X }{ d^*(x_m^*, f(a)) \lt {\displaystyle \frac{1}{m+1}} }$ である。
    • $x \in {\rm Cauchy}(X)$ が成り立つ。
      • $0 \lt \varepsilon \in {\mathbb R}$ を任意に取る。
      • $\exi N_0 \in {\mathbb N} \; N_0 \leq \all m, n \in {\mathbb N} \; d^*(x_m^*,x_n^*) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}}$ である。
      • $\exi N_1 \in {\mathbb N} \; {\displaystyle \frac{1}{N+1}} \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}}$ である。
      • $\max\{N_0,N_1\} \leq m, n \in {\mathbb N}$ なる$m,n$を任意に取る。
      • $d(x_m,x_n) \equ d^*(f(x_m),f(x_n)) \leq d^*(f(x_m),x_m^*) + d^*(x_m^*,x_n^*) + d^*(x_n^*,f(x_n))$
        $\qquad \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}} \equ \varepsilon$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; d^*(x_n^*,q(x)) \leq d^*(x_n^*,f(x_n)) + d^*(f(x_n),q(x))$ $\xrightarrow{n \rightarrow \infty}$ $x$の取り方と
      cauchy点列自体が持つ性質より
      $0 + 0 \equ 0$ である。
    • 従って、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d^*(x_n^*,q(x)) \equ 0$ である。
    • これは、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n^* \equ q(x)$ という意味である。
    証明終
  2. $\all {\rm 距離空間}(Y_i, d_i) \; \all g_i : X \rightarrow Y_i \;(i \equ 0,1) \\ \bracket{ g_0, g_1 {\rm は(1)の(i) \sim (iii)を満たす} \Rightarrow^{AC} \exi {\rm 可逆写像}h : Y_0 \rightarrow Y_1 \; \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} h {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ g_1 \equ h \circ g_0 & \end{array}\right. }$ が成り立つ。
    • $h :\equiv \Set{ (y_0, y_1) \in Y_0 \times Y_1 }{ \exi x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} \bracket{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x_n), y_i) \equ 0 \;(i \equ 0,1) } }$ と置く。
    • この$h$が求めるものであることを示す。
    • $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & \all y_0 \in Y_0 \exi y_1 \in Y_1 \; (y_0,y_1) \in h \\ {\rm (ii)}^{AC} & \all y_1 \in Y_1 \exi y_0 \in Y_0 \; (y_0,y_1) \in h \\ {\rm (iii)} & \all (y_0,y_1),(y_0^\prime,y_1^\prime) \in h \; d_0(y_0,y_0^\prime) \equ d_1(y_1,y_1^\prime) \\ {\rm (iv)} & \all y_0 \in Y_0 \all y_1,y_1^\prime \in Y_1 \;\parenth{ (y_0,y_1),(y_0,y_1^\prime) \in h \Rightarrow y_1 \equ y_1^\prime } \\ {\rm (v)} & \all y_0,y_0^\prime \in Y_0 \all y_1 \in Y_1 \;\parenth{ (y_0,y_1),(y_0^\prime,y_1) \in h \Rightarrow y_0 \equ y_0^\prime } \\ \end{array}$ が成り立つ。
      • ${\rm (i)}$$y_0 \in Y_0 \equ \overline{g_0(X)}$ なので、 $\all n \in {\mathbb N} \; g_0(X) \cap \Set{ y \in Y_0 }{ d_0(y,y_0) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}} } \nequ \phi$ である。
      • 従って、選択公理より、$\exi x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} \Set{ a \in X }{ d_0(g_0(a),y_0) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}} }$ である。
      • $\all n \in {\mathbb N} \; d_0(g_0(x_n),y_0) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ なので、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_0(g_0(x_n),y_0) \equ 0$ である。
      • $(g_1(x_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm は収束}$ が成り立つ。
        • 任意の$m, n \in {\mathbb N}$に対して以下である:
          $d_1(g_1(x_m),g_1(x_n)) \equ d(x_m,x_n) \equ d_0(g_0(x_m),g_0(x_n)) \leq d_0(g_0(x_m),y_0) + d_0(y_0,g_0(x_n))$
        • 従って、$\lim\limits_{m,n \rightarrow \infty} d_1(g_1(x_m),g_1(x_n)) \equ 0$ である。
        • 従って、$(g_1(x_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm はcauchy列}$ である。
        • よって、$(g_1(x_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm は収束}$ する。
      • 従って、$\parenth{y_0,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} g_1(x_n)} \in h$ である。
      • ${\rm (ii)}$${\rm (i)}$と同様である。
      • ${\rm (iii)}$$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} \bracket{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x_n), y_i) \equ 0 \;(i \equ 0,1) } & {\rm かつ} \\ \exi x^\prime \equ (x_n^\prime)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} \bracket{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x_n^\prime), y_i^\prime) \equ 0 \;(i \equ 0,1) } & \end{array}\right.$ である。
      • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
      • $d_0(y_0,y_0^\prime) \leq d_0(y_0,g_0(x_n)) + \underline{d_0(g_0(x_n),g_0(x_n^\prime))} + d_0(g_0(x_n^\prime),y_0^\prime)$ である。
      • $\underline{d_0(g_0(x_n),g_0(x_n^\prime))} \equ d(x_n,x_n^\prime) \equ d_1(g_1(x_n),g_1(x_n^\prime))$
        $\leq d_1(g_1(x_n),y_1) + d_1(y_1,y_1^\prime) + d_1(y_1^\prime,g_1(x_n^\prime))$ である。
      • 従って、$d_0(y_0,y_0^\prime) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_0(y_0,y_0^\prime) \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_1(y_1,y_1^\prime) \equ d_1(y_1,y_1^\prime)$ である。
      • 同様にして、$d_1(y_1,y_1^\prime) \leq d_0(y_0,y_0^\prime)$ である。
      • よって、$d_0(y_0,y_0^\prime) \equ d_1(y_1,y_1^\prime)$ である。
      • ${\rm (iv)}$${\rm (iii) }$より、 $0 \equ d_0(y_0,y_0) \equ d_1(y_1,y_1^\prime)$ である。
      • よって、$y_1 \equ y_1^\prime$ である。
      • ${\rm (v)}$${\rm (iv)}$と同様である。
    • ${\rm (i)}$hの性質${\rm (i),(iv)}$より、$h$は${\rm 写像}h : Y_0 \rightarrow Y_1$ である。
    • hの性質${\rm (ii)}$より$h$は全射であり、hの性質${\rm (v)}$より$h$は単射である。
    • ${\rm (ii)}$hの性質${\rm (iii)}$より$h$は${\rm isometry}$である。
    • ${\rm (iii)}$$x \in X$ を任意に取る。
    • 当然、$(x)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N}$ である。
    • 明らかに、$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x),g_i(x)) \equ 0 \;(i \equ 0,1)$ である。
    • 従って、$(g_0(x),g_1(x)) \in h$ つまり $h(g_0(x)) \equ g_1(x)$ である。
    証明終

Urysohnの補題

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$X$は$T_4$ $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \; \parenth{ A \subset U \Rightarrow \exi V \in {\cal O} \; A \subset V \land {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。
  • $X$は$T_4$
    $\Leftrightarrow \all A, B \in {\cal C} \;\parenth{ A \cap B \equ \phi \Rightarrow A \subset \exi U \in {\cal O} \; B \subset \exi V \in {\cal O} \; U \cap V \equ \phi }$
    $\Leftrightarrow \all A, B \in {\cal C} \;\parenth{ A \subset X \backslash B \Rightarrow A \subset \exi U \in {\cal O} \; \exi V \in {\cal O} \;\; U \subset X \backslash V \subset X \backslash B }$
    $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \;\parenth{ A \subset U \Rightarrow A \subset \exi V \in {\cal O} \; \exi C \in {\cal C} \;\; V \subset C \subset U }$
    $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \;\parenth{ A \subset U \Rightarrow A \subset \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$

$(X,{\cal O})$ を$T_4$位相空間とする。
$A, B \in {\cal C}$ とし、$A \cap B \equ \phi$ を仮定する。
$\exi {\rm 連続関数} f : X \rightarrow [0,1] \;\; f(A) \subset \{0\} \land f(B) \subset \{1\}$ が成り立つ[$AC$]。
  • $n \in {\mathbb N}$ に対し、$I_n :\equiv \Set{ {\displaystyle \frac{k}{2^n}} }{ k \in \{0, \cdots, 2^n\} }$, $I :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} I_n$ と置く。
  • $\exi U : I \rightarrow {\cal O} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}} A \subset U(0) \land U(1) \equ X \backslash B \\ \all r, s \in I \;\parenth{ r \lt s \Rightarrow \overline{U(r)} \subset U(s) } \end{array}\right.$ が成り立つ。
    • ${\cal S} :\equiv \Set{ (P,Q) \in {\cal C} \times {\cal O} }{ P \subset Q }$ と置く。
    • $(P,Q) \in {\cal S}$ に対し、${\cal U}_{(P,Q)} :\equiv \Set{ U \in {\cal O} }{ P \subset U \land \overline{U} \subset Q }$ と置く。
    • $(A, X \backslash B) \in {\cal S}$ だから ${\cal S} \nequ \phi$ である。 仮定[$X$は$T_4$空間]より、$\all (P,Q) \in {\cal S} \;\; {\cal U}_{(P,Q)} \nequ \phi$ である。
    • 従って、選択公理より、$g \in \prod\limits_{(P,Q) \in {\cal S}} {\cal U}_{(P,Q)}$ を取れる。
    • $n$についての帰納法で$U$を拡張して定義していくことにより、定義域を$I$とする写像にする。
    • $I_0$ においては、$U(0) :\equiv g(A, X \backslash B)$, $U(1) :\equiv X \backslash B$ と定義する。
      (勿論、$\overline{U(0)} \subset U(1)$ である。)
    • $I_n$ で $U$ が定義され、かつ、
      $\all k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\} \;\; \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{k}{2^n}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{k+1}{2^n}} \right)$ が成り立っていると仮定する。
    • $(I_n)_{n \in {\mathbb N}}$は狭義単調増加な集合列なので、
      $I_{n+1} \backslash I_n$での定義を追加する事により、$U$は$I_{n+1}$で定義された事になることに注意する。
    • $I_{n+1} \backslash I_n \equ \Set{ {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}} }{ k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\} }$ である事に注意する。
    • $k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\}$ に対し、 $U\left( {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}} } \right) :\equiv g\left( \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{k}{2^n}} \right) }, U\left( {\displaystyle \frac{k+1}{2^n}} \right) \right)$ と 定義する 帰納的定義をするために必要な仮定より
      この定義が可能である。
    • $g$の定義により、$\all k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\}$
      $\qquad \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{2k}{2^{n+1}}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}} \right)$ かつ $\overline{ U\left( {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{2k+2}{2^{n+1}}} \right)$ である。
    • これは、$\all m \in \{0,1,\cdots,2^{n+1}-1\} \;\; \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{m}{2^{n+1}}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{m+1}{2^{n+1}}} \right) $ ということである。
    • $(I_n)_{n \in {\mathbb N}}$は(狭義)単調増加列なので、
      任意の$r \lt s$なる$r,s \in I$は$r \equ {\displaystyle \frac{k}{2^n}}$, $s \equ {\displaystyle \frac{m}{2^n}}$, $\; k \lt m \;\parenth{ k,m \in \{0,1,\cdots,2^n\} }$と表せる。
    • 帰納的定義をするために必要な仮定は実際に成り立っているので、 $\overline{U(r)} \subset U(s)$ が成り立つ。
  • $f : X \rightarrow [0,1] ,\; x \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm inf}\Set{ r \in I }{ x \in U(r) } & \parenth{ x \in U(1) } \\ 1 & \parenth{ x \in X \backslash U(1) \equ B } \end{array}\right.$ と定義する。
  • この$f$が求めるものである事を示す。
  • 定義から明らかに$f(A) \subset \{0\}$かつ$f(B) \subset \{1\}$である。
    1. $\all r \in I \; f^{-1}([0,r)) \subset U(r)$ が成り立つ。
      • $x \in f^{-1}([0,r))$ つまり $f(x) \lt r$なる$x \in X$ を任意に取る。
      • ${\rm inf}$の定義より $\exi s \in I \;\; x \in U(s) \land s \lt r$ である。
      • 従って、$x \in U(s) \subset \overline{U(s)}$ $\subset$ 写像Uの存在 $U(r)$ である。
    2. $\all r \in I \; f^{-1}( (r,1] ) \subset X \backslash \overline{U(r)}$ が成り立つ。
      • $x \in f^{-1}( (r,1] )$ つまり $r \lt f(x)$なる$x \in X$ を任意に取る。
      • $I$の稠密性より $\exi s \in I \;\; r \lt s \lt f(x)$ である。
      • ${\rm inf}$の定義より $x \not\in U(s)$ である。従って、$x \in X \backslash U(s)$ $\subset$ 写像Uの存在 $X \backslash \overline{U(r)}$ である。
    3. $\all r \in I \; U(r) \subset f^{-1}( [0,r] )$ が成り立つ。
      • $U(r) \subset \overline{U(r)}$ $\subset$ (2)より $X \backslash f^{-1}( (r,1] ) \equ f^{-1}( [0,r] )$ である。
    4. $\all r \in I \; X \backslash \overline{U(r)} \subset f^{-1}( [r,1] )$ が成り立つ。
      • $X \backslash \overline{U(r)} \subset X \backslash U(r)$ $\subset$ (1)より $X \backslash f^{-1}( [0,r) ) \equ f^{-1}( [r,1] )$ である。
  • $c \in X$ を任意に取る。$0 \lt \varepsilon \in {\mathbb R}$ を任意に取る。
  • $c \in \parenth{ f^{-1}( (f(c)-\varepsilon,f(c)+\varepsilon) \cap [0,1] ) }^\circ$ である事を示せばよい。
  • $f(c) \equ 0$ の時:
    • $\exi s \in I \; 0 \equ f(c) \lt s \lt f(c)+\varepsilon \equ \varepsilon$ である。
    • 従って、$c \in f^{-1}( [0,s) )$ $\subset$ U(r)とfの関係(1)より $U(s)$ $\subset$ U(r)とfの関係(3)より $f^{-1}( [0,s] ) \subset f^{-1}( [0,\varepsilon) )$ である。
  • $f(c) \equ 1$ の時:
    • $\exi r \in I \; 1-\varepsilon \equ f(c)-\varepsilon \lt r \lt f(c) \equ 1$ である。
    • 従って、$c \in f^{-1}( (r,1] )$ $\subset$ U(r)とfの関係(2)より $X \backslash \overline{U(r)}$ $\subset$ U(r)とfの関係(4)より $f^{-1}( [r,1] ) \subset f^{-1}( (1-\varepsilon,1] )$ である。
  • $f(c) \in (0,1)$ の時:
    • $\exi r,s \in I \; f(c)-\varepsilon \lt r \lt f(c) \lt s \lt f(c)+\varepsilon$ である。
    • 従って、$c \in f^{-1}( (r,1] ) \cap f^{-1}( [0,s) )$ $\subset$ U(r)とfの関係(1),(2)より $U(s) \backslash \overline{U(r)}$ $\subset$ U(r)とfの関係(3),(4)より
      $f^{-1}( [0,s] ) \cap f^{-1}( [r,1] ) \equ f^{-1}( [r,s] ) \subset f^{-1}( (f(c)-\varepsilon,f(c)+\varepsilon) )$ である。
証明終

$T_3$空間かつ第2可算ならば$T_4$空間

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$X$は$T_3$空間 $\Leftrightarrow$ $\all x \in X \all U \in {\cal O} \;\parenth{ x \in U \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。
  • $X$は$T_3$空間
    $\Leftrightarrow \all x \in X \all A \in {\cal C} \;\parenth{ x \not\in A \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; A \subset \exi U \in {\cal O} \; V \cap U \equ \phi }$
    $\Leftrightarrow \all x \in X \all A \in {\cal C} \;\parenth{ x \in X \backslash A \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; \exi U \in {\cal O} \; V \subset X \backslash U \subset X \backslash A }$
    $\Leftrightarrow$ $\all x \in X \all U \in {\cal O} \;\parenth{ x \in U \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$X$は$T_3$空間かつ第2可算 $\Rightarrow$ $X$は$T_4$空間 である。
  • $A, B \in {\cal C}$ を任意に取り、$A \cap B \equ \phi$ を仮定する(${\cal C}$は$(X,{\cal O})$の閉集合系である)。
  • ${\cal W} \subset {\cal O}$ を仮定[$X$は第2可算]により存在する可算な基底とする。
  • $\left.\begin{array}{@{}r@{}} {\cal U} :\equiv \Set{ U \in {\cal W} }{ A \cap U \nequ \phi \land B \cap {\overline U} \equ \phi } \\ {\cal V} :\equiv \Set{ V \in {\cal W} }{ A \cap {\overline V} \equ \phi \land B \cap V \nequ \phi } \end{array}\right\}$ と置く。
  • $A \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} }$ かつ $B \subset \parenth{ \bigcup {\cal V} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
    • $A \subset \bigcup {\cal U}$ かつ $B \subset X \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ が成り立つ。
      • (i)$a \in A$ を任意に取る。
      • $a \in A \subset X \backslash B \in {\cal O}$ なので、仮定[$X$は$T_3$空間]より、$a \in \exi W \in {\cal O} \; {\overline W} \subset X \backslash B$ である。
      • ${\cal W}$は基底なので、$a \in \exi U \in {\cal W} \; U \subset W$ である。
      • 従って、$U \in {\cal U}$ であり、よって、$a \in U \subset \bigcup {\cal U}$ である。
      • (ii)${\cal U}$の定義から$\phi \equ \bigcup \Set{ B \cap {\overline U} }{ U \in {\cal U} } \equ B \cap \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
      • 従って、$B \subset X \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
    • 同様に$A \subset X \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} }$ かつ $B \subset \bigcup {\cal V}$ が成り立つ。
    • 以上より、$A \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} }$ かつ $B \subset \parenth{ \bigcup {\cal V} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
  • 仮定[$X$は第2可算]より、${\cal U} \equ \Set{ U_n }{ n \in {\mathbb N} }, {\cal V} \equ \Set{ V_n }{ n \in {\mathbb N} }$ と表せる。
  • $S_0 :\equiv U_0$, $T_n :\equiv V_n \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline S_k}$, $S_{n+1} :\equiv U_{n+1} \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T_k} \;\parenth{ n \in {\mathbb N} }$ と定義する。
    $\xymatrix@C=5pt@R=10pt{ S_0 :\equiv U_0 \ar[d] & \cdots & \cdots & S_n \ar[d] & S_{n+1} :\equiv U_{n+1} \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T_k} \ar[d] & \cdots \\ T_0 \ar[ur] & \cdots & \cdots \ar[ur] & T_n :\equiv V_n \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline S_k} \ar[ur] & T_{n+1} \ar[ur] & \cdots }$
  • $U :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} S_n$, $V :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} T_n$ と定義する。
  • $U,V$が求めるものである事を示す。
  • 定義により、明らかに$U \in {\cal O}$ かつ $V \in {\cal O}$ である。
  • $A \subset U$ かつ $B \subset V$ である。
    • (i)任意の自然数$n$に対して、$\bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T}_k \subset \bigcup\limits_{k=0}^n V_n \subset \bigcup \Set{ {\overline{V^\prime}} }{ V^\prime \in {\cal V} }$ なので、
      $U_{n+1} \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \subset U_{n+1} \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T}_k \equ S_{n+1}$ である。
    • 勿論、$U_0 \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \subset U_0 \equ S_0$ である。
    • 従って、$A$ $\subset$ A,Bを含む部分集合 $\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ U_n \backslash \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } } \subset \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} S_n \equ U$ である。
    • (ii)全く同様にして、$B \subset$ $\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ V_n \backslash \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} } } \subset \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} T_n \equ V$ である。
  • $U \cap V \equ \phi$ である。
    • $\all n, m \in {\mathbb N} \; S_n \cap T_m \equ \phi$ を示せばよい。
    • $n \leq m$ の時:
      • $T_m \equ V_m \backslash \bigcup\limits_{k=0}^m {\overline S}_k \subset V_m \backslash {\overline S}_n \subset V_m \backslash S_n$ なので $S_n \cap T_m \equ \phi$ である。
    • $n \gt m$ の時:
      • $S_n \equ U_n \backslash \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} {\overline T}_k \subset U_n \backslash {\overline T}_m \subset U_n \backslash T_m$ なので $S_n \cap T_m \equ \phi$ である。
証明終

位相空間の一点コンパクト化

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$\all A \subset X \; (X \backslash A)^\circ \equ X \backslash {\overline A}$ である。
$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$\all A, B \subset X \; \parenth{ A {\rm は閉集合かつ} B {\rm はCompact} \Rightarrow A \cap B {\rm はCompact} }$ である。
  • ${\cal U} \subset {\cal O}$ を任意に取り、$A \cap B \subset \bigcup {\cal U}$ を仮定する。
  • $B \equ B \cap \parenth{ A \cup X\backslash A } \equ \parenth{ A \cap B } \cup \parenth{ B \backslash A } \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \cup \parenth{ X \backslash A }$ である。
  • 従って、$\exi {\rm 有限部分集合} {\cal V} \subset {\cal U} \; B \subset \parenth{ \bigcup {\cal V} } \cup \parenth{ X\backslash A }$ が 成り立つ 仮定[$B$はCompact]と$X \backslash A \in {\cal O}$
  • よって、$A \cap B \subset \bigcup {\cal V}$ である。
従って、$B \equ X$として、
$X {\rm はCompact} \Rightarrow \all A \subset X \parenth{ A {\rm は閉集合} \Rightarrow A {\rm はCompact} }$ でもある。
$X {\rm はHausdorff} \Rightarrow \all A \subset X \; \parenth{ A {\rm は閉集合} \Leftarrow A {\rm はCompact} }$ である。
  • $A$ を $X$ のCompact部分集合とする。
  • $X \backslash A \in {\cal O}$ を示す。
  • $x \in X \backslash A$ を任意に取る。
  • ${\cal U} :\equiv \Set{ U \in {\cal O} }{ x \in (X \backslash U)^\circ }$ と置く。
  • $A \subset \bigcup {\cal U}$ が成り立つ。
    • $a \in A$ を任意に取る。
    • 仮定[$X$はHausdorrf]より、$a \in \exi U \in {\cal O} \; x \in \exi V \in {\cal O} \;\; U \cap V \equ \phi$ である。
    • 従って、$x \in V \subset X \backslash U$ つまり、$x \in (X \backslash U)^\circ$ である。
    • 従って、$U \in {\cal U}$ である。
    • よって、$a \in U \subset \bigcup {\cal U}$ である。
  • Compact部分集合Aより、$\exi {\rm 有限部分集合} {\cal V} \subset {\cal U} \; A \subset \bigcup {\cal V}$ が成り立つ。
  • $U :\equiv \bigcap \Set{ (X \backslash V)^\circ }{ V \in {\cal V} }$ と置く。
  • ${\cal U}$ の定義より$x \in U$ であり、${\cal V}$ は有限集合だから$U \in {\cal O}$ である。
  • 一方、$U$ $\equ$ 上記の命題 $\bigcap \Set{ X \backslash {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \equ X \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \subset X \backslash \bigcup {\cal V}$ $\subset$ AはVで被覆される $X \backslash A$ である。
  • 従って、$x \in (X \backslash A)^\circ$ である。
  • よって、$X \backslash A \equ (X \backslash A)^\circ$ である。

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$X^* :\equiv X \coprod \{ c \}$ と置く(つまり、$c \not\in X$)。
${\cal U}_* :\equiv \Set{ U \in {\cal O} }{ X \backslash U {\rm は (} X {\rm の)Compact集合} }$ と置く。
${\cal O}_{X^*} :\equiv {\cal O} \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_*}$ と置く。
  1. $(X^*, {\cal O}_{X^*})$ はCompactな位相空間である。
    • まずは、${\cal O}_{X^*}$ は開集合系である事を示す。
    • (i) ${\cal U} \equ {\cal U}_0 \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_1 } \subset {\cal O} \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \equ {\cal O}_{X^*}$ を任意に取る。
    • ${\cal U}_1 \equ \phi$ の時:
      • $\bigcup {\cal U} \equ \bigcup {\cal U}_0 \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • ${\cal U}_1 \neq \phi$ の時:
      • この時、$U \in {\cal U}_1$ が取れる。
      • $\bigcup {\cal U} \equ \parenth{ \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } } \coprod \{c\}$ であり、 $\bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } \in {\cal O}$ である。
      • $X \backslash \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } \equ$ $X \backslash \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup \parenth{ {\cal U}_1 \backslash \{U\} } }$ 閉集合 $\;\cap\;$ $X \backslash U$ Compact はCompact である 上記の命題
      • 従って、$\bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } \in {\cal U}_*$ である。
      • よって、$\bigcup {\cal U} \in \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • (ii)$V_0,V_1 \in {\cal O}_{X^*}$ を任意に取る。
    • $V_0,V_1 \in {\cal O}$ の時:
      • 明らかに、$V_0 \cap V_1 \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • $V_0 \in {\cal O}$ かつ $V_1 \equ U \coprod \{c\} \in \Set{ U^\prime \coprod \{c\} }{ U^\prime \in {\cal U}_* }$ の時:
      • $V_0 \cap V_1 \equ V_0 \cap U \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • $V_i \equ U_i \coprod \{c\} \in \Set{ U^\prime \coprod \{c\} }{ U^\prime \in {\cal U}_* } (i \equ 0,1)$ の時:
      • $V_0 \cap V_1 \equ \parenth{ U_0 \cap U_1 } \coprod \{c\}$ である。
      • $U_0 \cap U_1 \in {\cal O}$ かつ、$X \backslash \parenth{ U_0 \cap U_1 } \equ \parenth{ X \backslash U_0 } \cup \parenth{ X \backslash U_1 }$ はCompact である Compact集合の有限和は
        またCompact集合である。
      • よって、$V_0 \cap V_1 \in \Set{ U^\prime \coprod \{c\} }{ U^\prime \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • (iii)$X^* \equ X \coprod \{c\} \in \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • (iv)次にCompactである事を示す。
    • ${\cal U} \subset {\cal O}_{X^*}$ を任意に取り、$X^* \subset \bigcup {\cal U}$ を仮定する。
      ${\cal U} \equ {\cal U}_0 \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_1 }$ と表しておく。
    • $c \in X^* \subset \bigcup {\cal U}$ なので、$U \in {\cal U}_1$ が取れる。
    • $X \backslash U \subset X \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \backslash \{c\} \equ \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 }$ である。
    • 従って、$\exi {\rm 有限部分集合} {\cal V} \subset {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 \; X \backslash U \subset \bigcup {\cal V}$ である。
    • ${\cal V} \equ {\cal V}_0 \cup {\cal V}_1 \; \parenth{ {\cal V}_i \subset {\cal U}_i \; (i \equ 0,1) }$ と表しておく。
    • よって、$X^* \subset \bigcup \parenth{ {\cal V}_0 \cup {\cal V}_1 \cup \{U\} } \coprod \{c\} \equ \bigcup \parenth{ {\cal V}_0 \coprod \Set{ V \coprod \{c\} }{ V \in {\cal V}_1 \cup \{U\} } }$ である。
  2. $\Set{ U \cap X }{ U \in {\cal O}_{X^*} } \equ {\cal O}$ である。
    • ${\cal U}_*, {\cal O}_{X^*}$ の定義により明らか。
  3. $(X,{\cal O}) {\rm はlocally\;Compact かつ Hausdorff } \Leftrightarrow (X^*, {\cal O}_{X^*}) {\rm はHausdorff}$ である。
    • ($\Rightarrow$)$x,y \in X^*$ を任意に取り、$x \neq y$ を仮定する。
    • $x,y \in X$ の時:
      • 仮定[$X$はHausdorff]により、$x \in \exi U \in {\cal O} \; y \in \exi V \in {\cal O} \; U \cap V \equ \phi$ である。
      • $U,V \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • $x \in X$ かつ $y \equ c$ の時:
      • 仮定[$X$はlocally Compact]より、$\exi {\rm Compactな} A \subset X \; A {\rm は(} X {\rm における)} x {\rm の近傍}$ である。
      • 従って、仮定[$X$はHausdorff],上記の命題より、$A$は($X$の)閉集合である。
      • 従って、$X \backslash A \in {\cal U}_*$ である。
      • 一方、xの近傍Aより、$x \in \exi U \in {\cal O} \; U \subset A$ である。
      • 以上より、$x \in U \in {\cal O}_{X^*}$ かつ $c \in X \backslash A \coprod \{c\} \in {\cal O}_{X^*}$ かつ $U \cap \parenth{ X \backslash A \coprod \{c\} } \equ \phi$ である。
    • ($\Leftarrow$)$X^*$がHausdorffならば、その部分空間$X$は明らかにHausdorffである。
    • $X$がlocally Compactである事を示す。
    • $x \in X$ を任意に取る。
    • $x \neq c$なので、仮定[$X^*$はHausdorff]と${\cal O}_{X^*}$の定義より、$x \in \exi U \in {\cal O} \; \exi V \in {\cal U}_* \; U \cap V \equ \phi$ である。
    • 従って、$x \in U \subset X \backslash V$ かつ $X \backslash V$ は($X$の)Compact集合である。
    • よって、$X \backslash V$ は $x$ の($X$の)Compactな($X$の)近傍である。
  4. ${\cal O}_*$ を $X^*$ の任意の開集合系とする時、
    $\left.\begin{array}{@{}l@{}} (X^*, {\cal O}_*) {\rm はCompact かつ Hausdorff} \\ \Set{ U \cap X }{ U \in {\cal O}_* } \equ {\cal O} \end{array}\right\} \Rightarrow {\cal O}_* \equ {\cal O}_{X^*}$ である。
    • 仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はHausdorff]より、$\{c\}$ は $(X^*,{\cal O}_*)$ の閉集合である。
    • 従って、$X \equ X^* \backslash \{c\} \in {\cal O}_*$ である。
    • ($\supset$)仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]とXはX^*の開集合より、 ${\cal O} \subset {\cal O}_*$ である。
    • $\Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_*$ である。
      • $U \in {\cal U}_*$ を任意に取る。
      • $X \backslash U$ は($X$の)Compact集合であるので、$X \backslash U$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ のCompact集合 である 仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]
        より
      • 従って、仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はHausdorff]と上記の命題より、$X \backslash U$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ の閉集合である。
      • よって、$U \coprod \{c\} \equ X^* \backslash \parenth{ X \backslash U } \in {\cal O}_*$ である。
    • 以上より、${\cal O}_{X^*} \equ {\cal O} \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_*$ である。
    • ($\subset$)$V \in {\cal O}_*$ を任意に取る。
    • $c \not\in V$ の時:
      • $V \subset X$ であり、仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$の$X$への制限が${\cal O}$]より、$V \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
    • $c \in V$ の時:
      • $X^* \backslash V \subset X$ である。
      • $X^* \backslash V$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ の閉集合なので、$X^* \backslash V$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ のCompact集合 である 仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はCompact]
        と上記命題より
      • 従って、$X^* \backslash V$ は $(X,{\cal O})$ のCompact集合 である 仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]
        より
      • 仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はHausdorff]より、その 部分空間$(X,{\cal O})$ ここでも
        仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]
        を使っている。
        はHausdorrfである。
      • 従って、上記命題より、$X^* \backslash V$ は $(X,{\cal O})$ の閉集合である。
      • 従って、Compact集合X^*-Vも合わせて、 $V \backslash \{c\} \equ X \backslash \parenth{ X^* \backslash V } \in {\cal U}_*$ である。
      • よって、$V \equ V \backslash \{c\} \coprod \{c\} \in {\cal O}_{X^*}$ である。

Zornの補題と同値な命題(集合論編)

Zornの補題と同値な命題の中でも、特にZornの補題と形が似ているものの同値性を証明する。
$X$を集合とする。
$C$を$X$の部分集合に関する性質とする。
$C$は有限的な性質 $:\Leftrightarrow$
$\all Y \subset X \left[\; Y \rm{は性質} C \rm{を持つ} \;\Leftrightarrow\; \all Z \subset Y \parenth{ Z \rm{は有限集合} \Rightarrow Z \rm{は性質} C \rm{を持つ} } \;\right]$

以下の命題は同値である。
  1. Zornの補題
    $(X,\leq)$ を順序集合とする。
    $\phi \neq \all S \subset X \; \parenth{ S {\rm は帰納的} \Rightarrow \all p \in S \; p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元} }$ が成り立つ。
  2. (Tukey)
    $X$を集合とする。$C$を$X$の部分集合に関する有限的な性質とする。
    ${\frak X} :\equiv \Set{ Y \subset X }{ Y {\rm は性質} C {\rm を持つ} }$ と置く。
    $\all Y \in {\frak X} \;\; Y \subset \exi Z \in {\frak X} \; Z {\rm は} ( {\frak X}, \subset ) {\rm の極大元}$ である。
  3. (Kuratowski)
    $(X,\leq)$を順序集合とする。
    $\all Y \in {\rm TotOrd}(X) \;\; Y \subset \exi Z \in {\rm TotOrd}(X) \; Z {\rm は} ( {\rm TotOrd}(X), \subset ) {\rm の極大元}$ である。
[証明]
  • ${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ (1) \ar@2{->}[r]^-{[1]} & (2) \ar@2{->}[r]^-{[2]} & (3) \ar@2{->} `d/0pt[d] `/0pt[dll]_-{[3]} [ll] \\ & & }\end{xy}}}$ の順で証明する。
  • [1] ${\frak X} \neq \phi$ として、${\frak X}$ が帰納的である事を証明すればよい。
  • ${\cal Y} \; \parenth{ \subset {\frak X} }$ を ${\frak X}$ の全順序部分集合とする。
  • $\bigcup {\cal Y} \in {\frak X}$ が成り立つ。
    • $Z \; \parenth{ \subset \bigcup {\cal Y} }$ を任意の有限集合とする( $Z$ が性質$C$を持つ事を示せばよい $C$は有限的な性質 )。
    • $Z$ は有限集合なので、 有限部分集合${\cal Y}_0 \subset {\cal Y}$ が存在して、 $Z \subset \bigcup {\cal Y}_0$ が成り立つ。
    • ${\cal Y}_0$ は有限集合なので、全順序部分集合Yより、$\exi Y \in {\cal Y}_0 \; Y {\rm は} {\cal Y}_0 {\rm の最大元}$ である。
      従って、 $\bigcup {\cal Y}_0 \equ Y$ である。
    • $Z$ は有限集合であり、かつ、$\parenth{ Z \subset }\; Y$ は性質$C$を持つので、$Z$ は性質$C$を持つ。
  • 従って、明らかに $\bigcup {\cal Y}$ が ${\cal Y}$ の上界である事も合わせて、 ${\frak X}$ が帰納的である事が示された。
  • [2]「全順序部分集合である」が有限的な性質であることを証明すればよい。
  • $\Rightarrow$$Y \; \parenth{ \subset X }$ が全順序ならば、 明らかに、$\all Z \subset Y \; Z {\rm は全順序}$ である。
  • $\Leftarrow$$Y \subset X$ とし、 $\all Z \subset Y \; \parenth{ Z {\rm は有限集合} \Rightarrow Y {\rm は全順序} }$ であると仮定する。
  • 任意の$x,y \in Y$に対して、仮定より$\{x,y\}$は全順序だから、$x \leq y \lor x \geq y$ である。
    従って、$Y$は全順序である。
  • [3]$S \; \parenth{ \subset X }$ を帰納的と仮定し、$p \in S$ とする。
  • 仮定(3)により、$\{ p \} \subset \exi Z \in {\rm TotOrd}(X) \; Z {\rm は} ({\rm TotOrd}(X), \subset) {\rm の極大元}$ である。
  • $S$の仮定により、$\exi c \in S \; c {\rm は} Z {\rm の上界}$ である。
  • Zの上界cより、$p \leq c$ である。
  • $c {\rm は} S {\rm の極大元}$ である。
    • $c \leq d \in $ なる $d$ を任意に取る。
    • $Z \subset Z \cup \{ d \}$ $\in$ Zの上界cより。 ${\rm TotOrd}(X)$ なので、極大元Zより、$Z \equ Z \cup \{ d \}$ である。
    • 従って、$d \in Z$だが、Zの上界cより、$d \leq c$である。よって、$c \equ d$である。
  • 以上より、Zornの補題が成立する。
証明終

胎児が障害を持っていると分かったのに産む理由が分からない

思った事を書くだけ

出産前に何らかの検査を受ける事で事前に子どもが障害児かどうかが分かるらしい。
それを事実と仮定した上で、昔から何度も思い続けてきてる事なんだが、なんで自分の子どもが障害児なのにわざわざ産もうと思ったのかが、…そういう親が居るのかが…理解できない。

  1. そのまま産んだとしても、生まれた障害児が人生の過程において健常者よりも余分に苦しむ事は明白である。
  2. そのまま産んだとしても、親にとってもその障害児の面倒を見るのにかかる労力が健常者の場合よりも甚大なのは明白である。

それに、一度産んでしまったら「やっぱりこんな障害児は自分には育てられない」と育児放棄は出来ないのだから(赤ちゃんポストみたいな例外はあるかも知れないが)、判断は速いほうがいいと思う。

胎児の段階で障害者と分かったとしても、その胎児の命は存在が始まってからごく数週間~数十週間に過ぎない訳だから、当然命の価値も軽く判断できるし、何よりも仮に堕胎等をしたとしても両親の心理的負担は格段に小さい事は明白である。
これは簡単な思考実験で分かる。5歳6歳の子供を死なせた時の悲しさ・心理的ショックと母胎の健康上の問題等で胎児が死産となった時の悲しさ・心理的ショックを比べた場合どちらがより大きいかと言えば、前者である事は明白である。

だから、自分の子供が障害を持っていると分かったら、勿論障害の程度による事は言うまでも無いが、堕ろしてしまう方が、後々のリスク・不幸を比べた場合に、より合理的であるとしか私には思えない。
たとえ障害を持っているとは言え堕ろしてしまったら悲しいだろうし、母胎への肉体的な意味での負担も当然ある。何よりも「俺は堕ろす(=殺す)事を選んでしまった」という十字架を背負う事が心理的負担にはなるだろう。

でも、そういうのは一時の負の感情にしかすぎず、10年も経てば「そんなことあったなぁ」程度になる事はほぼ間違いない。
それなら、さっさと堕ろして次の健常な胎児を作る事に専念した方がよっぽどマシだと思う。

それでも産むという選択をした親は、そういう負担よりも「殺したくない」という感情論を優先させたか、もしくは、誰でも想像がつくような後々の負担さえも思わないぐらいの、一種の”変わった”心理状態だったのだろう。
考えられるのは、

  1. 「何があっても堕ろさず育てる!」という、宗教的バックグラウンドがありそうな、固い決意・信念
  2. 高齢出産、母胎が弱ってる等の理由で今回産む期を逃すともう自分の子供が得られない

ぐらいか?
1に関しては率直に「頭がおかしい」としか思えない。
2に関しては当人の感情としては分からないでもないが、「お前の『子供欲しい!』欲求で産まされた障害児はたまったもんじゃねぇよ」っていう批判が出来てしまう。もはや(養子を取るなどの選択を取らず)ここまで親のエゴを突き通して障害児を産むなら、育てられなくなったら親に刑事罰があっていいと思う。


…と、まぁ考えを書いてみたが、現実では中絶は沢山あった:平成25年度衛生行政報告例の概況
のpage -9-を見ると、平成25年度の中絶件数の総数が、186,253件とある。
こう言う数字を見ると、結局は人は「障害児なんて自分の子供には要らない」って判断してる現実的な"リアルな"感じが伝わってくる。

結局、メディアを通して聞こえてくる「命を大切に」みたいなセリフは美辞麗句に過ぎず、私の率直な考えが現実を多少は捉えていると確認できただけだ。

一応、前もって弁明しておくと、
人々は「自分の子供に障害児なんて要らない」と思ってる事を論証するには、(自分の子供が障害児だと分かったから堕ろした件数) ÷ (自分の子供が障害児だと分かった件数) の値を得ないといけないんですがね。

${\rm S}_n^m$-定理を自分なりに纏める。

$\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$ $S_n^m$-定理を自分なりに纏める。
$\lambda y_1 \cdots y_m x_1 \cdots x_n \; f(y_1,\cdots,y_m,x_1,\cdots,x_n)$を$(m+n)$-変数の帰納的な部分関数とする。
この関数$f$のゲーデル数を$e$とする。
この時、原始帰納的関数$\lambda z y_1 \cdots y_m \; S_n^m(z,y_1,\cdots,y_m)$が存在して、任意の$y_1,\cdots,y_m$に対し、
$\lambda x_1 \cdots x_n \left[ \{e\}(y_1,\cdots,y_m,x_1,\cdots,y_n) \simeq \{ S_n^m(e,y_1,\cdots,y_m) \}(x_1,\cdots,x_n) \right]$
が成り立つ。
証明
  • $m \equ 0$の場合は、${\rm S}_n^0(z) \equ z$ とすればよい。$m \geq 1$とする。
  • 表記を簡単にするために、$x_1,\cdots,x_n$ を ${\boldsymbol x}$ で表す。
    自然数の列$x_1,\cdots,x_n$にそれぞれ対応する数項の列${\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n$ を ${\overline {\boldsymbol x}}$ で表す。
    $y_1,\cdots,y_m$についても同様である。
  • $\varphi(z,{\boldsymbol y},{\boldsymbol x}) :\equiv {\rm U}(\mu w {\rm T}_{m+n}(z,{\boldsymbol y},{\boldsymbol x},w))$ と置く。
  • $\varphi$は帰納的部分関数、従って、形式的に計算可能なので、方程式系$D$が存在して、任意の$z,{\boldsymbol y},{\boldsymbol x}, v$ に対して、
    $D \vdash g({\overline z},{\overline {\boldsymbol y}}, {\overline {\boldsymbol x}}) \equ {\overline v} \Leftrightarrow \varphi(z, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \equ v$
    が成り立つ。ただし、$g$は$D$の主関数記号である。
  • $h$を$D$に含まれない関数記号とする。
  • $z,{\boldsymbol y}$ に対し、方程式系$E_{z, {\boldsymbol y}}$ を $D, h(a_1,\cdots,a_n) \equ g({\overline z}, {\overline {\boldsymbol y}}, a_1,\cdots,a_n)$ とし、
    $S_n^m(z, {\boldsymbol y}) :\equiv \godel{ E_{z, {\boldsymbol y}} }$ と定義する。
  • $S_n^m(z, {\boldsymbol y}) \equ \godel{D} * 2^{\godel{h(a_1,\cdots,a_n) \equ g({\overline z}, {\overline {\boldsymbol y}}, a_1,\cdots,a_n)}} \equ$
    ${\LARGE \godel{D} * 2^{ 2^{\godel{\equ}} \cdot 3^{\godel{h(a_1,\cdots,a_n)}} \cdot 5^{\godel{g({\overline z}, {\overline {\boldsymbol y}}, a_1,\cdots,a_n)}} }}$
    なので、原始帰納的関数である事が分かる(自然数$k$に対して$\godel{{\overline k}}$を求める関数は原始帰納的である)。
  • ${\boldsymbol y}$ を任意にとって固定しておく。
  • φが形式的に計算可能より、任意の${\boldsymbol x}, v$に対して、
    $E_{e, {\boldsymbol y}} \vdash h({\overline {\boldsymbol x}}) \equ {\overline v} \Leftrightarrow \varphi(e, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \equ v$
    が成り立つ。
  • 従って、定義により、$\lambda {\boldsymbol x} \left[ \; {\rm U}(\mu w {\rm T}_n ( S_n^m(e, {\boldsymbol y}), {\boldsymbol x}, w ) ) \simeq \varphi(e, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \; \right]$ が成り立つ(${\boldsymbol y}$に応じて存在する方程式系が変わるので、$\lambda {\boldsymbol x}$となるのだ)。
  • また、帰納的部分関数$\lambda {\boldsymbol x} {\rm U}(\mu w {\rm T}_n ( S_n^m(e, {\boldsymbol y}), {\boldsymbol x}, w ) )$ のゲーデル数は明らかに ${\rm S}_n^m(e, {\boldsymbol y})$ なので、
    $\lambda {\boldsymbol x} \left[ \; \{ {\rm S}_n^m (e, {\boldsymbol y}) \}({\boldsymbol x}) \simeq {\rm U}(\mu w {\rm T}_n ( S_n^m(e, {\boldsymbol y}), {\boldsymbol x}, w ) ) \; \right]$
    である。
  • そして、$\varphi(z, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x})$ と $e$ の定義より、
    $\lambda \left[ \; \varphi(e, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x} ) \simeq \{e\}({\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \; \right]$
    である。
  • 以上より、$\lambda {\boldsymbol x} \left[ \; \{ {\rm S}_n^m (e, {\boldsymbol y}) \}({\boldsymbol x}) \simeq \{e\}({\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \; \right]$ である。
証明終