$ \newcommand{\exi}{\exists\,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\nequ}{\!\neq\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} \renewcommand{\Set}[2]{\left\{\;#1\mathrel{}\middle|\mathrel{}#2\;\right\}} \newcommand{\parenth}[1]{\left(\;#1\;\right)} \newcommand{\braces}[1]{\left\{\;#1\;\right\}} \newcommand{\bracket}[1]{\left[\;#1\;\right]} \newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner #1 \right\urcorner} $

ブール代数4:極大フィルター全体から作られる空間

$(X, \leq)$を順序集合とする。
次の定義をする:
$\text{Uf}(X)$ $:\equ$ $\Set{ F \subseteq X }{ F \text{は}X\text{の極大filter} }$
$\text{Ngb} : X \rightarrow \text{Pow}( \text{Uf}(X) ), x \mapsto \Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ x \in F }$
$\mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$ $:\equ$ $\parenth{ \Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in X }によって生成される開集合系 }$
これらによって、$(\text{Uf}(X), \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)})$を位相空間と考える。
  1. $\all x \in X \;\; x \in \exi F \in \text{Uf}(X)$が成り立つ$^\text{AC}$。
    • $\mathcal{F} \equ \Set{ F \subseteq X }{ x \in F \text{はfilter} } \; ($ $\nequ$ 明らかに$\Set{ y \in X }{ x \leq y } \in \mathcal{F}$である。 $\phi)$と置く。
    • $( \mathcal{F}, \subseteq ) \text{は帰納的順序集合}$が成り立つ。
      • $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$を任意に取り、$( \mathcal{G}, \subseteq ) \text{は全順序}$を仮定する。
        $\mathcal{G} \equ \phi$の場合は、$\Set{ y \in X }{ x \leq y } \text{は}\mathcal{G}\text{の上界}$なので、$\mathcal{G} \nequ \phi$と仮定してよい。
      • $G :\equ \bigcup \mathcal{G}$と置く。
      • ($\text{i}$)$\exi F \in \mathcal{G}$なので、$x \in F \subseteq \mathcal{G}$である。
      • ($\text{ii}$)$x_0, x_1 \in G$を任意に取る。
      • $\mathcal{G} \text{は全順序}$なので、$\exi F \in \mathcal{G} \;\; x_0, x_1 \in F$である。
      • 従って、$\phi$ $\nequ$ $F \text{はfilter}$である。 $F \cap (x_0] \cap (x_1] \subseteq G \cap (x_0] \cap (x_1]$である。
      • ($\text{iii}$)任意に$x \in G, y \in X$をとり、$x \leq y$を仮定する。
      • $\exi F \in \mathcal{G} \;\; x \in F$なので、$y \in F \subseteq G$である。
      • ($\text{iv}$)$\all F \in \mathcal{G} \;\; F \subseteq G$は明らかである。
    • 従って、$\text{Zornの補題}^\text{AC}$より、$\exi F \in \mathcal{F} \;\; F \text{は}\mathcal{F}\text{の極大元}$である。
    • $x \in F \in \text{Uf}(X)$は明らかである。
  2. $\mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} \equ \Set{ \mathcal{F} \subseteq \text{Uf}(X) }{ \all F \in \mathcal{F} \; \exi x \in F \;\; \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F} }$が成り立つ。
    • $\mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$ $\equ$ 復習:開集合系の基底、直積位相、基本近傍系
      の生成される開集合系の項を参照。
      $\Set{ \mathcal{F} \subseteq \text{Uf}(X) }{ \all F \in \mathcal{F} \; \exi x_0, \cdots, x_n \in X \;\; F \in \bigcap\limits_{i \equ 0}^n \text{Ngb}(x_i) \subseteq \mathcal{F} }$である。
    • $\subseteq$$\mathcal{F} \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$を任意に取る。$F \in \mathcal{F}$を任意に取る。
    • $\exi x_0, \cdots, x_n \in X \;\; F \in \bigcap\limits_{i \equ 0}^n \text{Ngb}(x_i) \subseteq \mathcal{F}$である。
    • $x_0, \cdots, x_n \in F, F \text{はfilter}$なので、$\exi x \in F \; \all i \in \{ 0, \cdots, x_n \} \;\; x \leq x_i$である。
      従って、$x \in \all \text{filter} \ G \subseteq X \;\; \{ x_0, \cdots, x_n \} \subseteq G$である。
      従って、$\text{Ngb}(x) \subseteq \bigcap\limits_{i \equ 0}^n \text{Ngb}(x_i)$である。
    • これらより、$\bracket{ x \in F \land \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F} }$である。
    • $\supseteq$∀F∈\calF∃x0,…,xn∈FNGb(x)⊆\calFより、明らかである。
  3. $\Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in X } \text{はUf}(X)\text{の基底}$が成り立つ。
    • (2)より明らか。
  4. $(\text{Uf}(X), \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}) \text{はT}_1\text{空間}$が成り立つ。
    • $F_0, F_1 \in \text{Uf}(X)$を任意に取り、$F_0 \nequ F_1$を仮定する。
    • $F_0 \subseteq F_1$ならば、$F_0 \text{は極大filter}, F_1 \text{はfilter}$より、$F_0 \equ F_1$となって矛盾する。
      従って、$F_0 \not\subseteq F_1$、つまり、$\exi x_0 \in F_0 \backslash F_1$である。
    • 従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F_0 \in \text{Ngb}(x_0) \\ かつ & F_1 \not\in \text{Ngb}(x_0) \end{array}\right.$である。
    • 同様に、$\exi x_1 \in X \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F_0 \not\in \text{Ngb}(x_1) \\ かつ & F_1 \in \text{Ngb}(x_1) \end{array}\right.$である。

$(X, \mathcal{O}_X)$は$(X, \leq)$から定まる位相空間である。
$\begin{array}{} ^\ast & : & \mathcal{O}_X & \rightarrow & \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}, & U & \mapsto & \bigcup \Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in U } \\ ^\Delta & : & \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} & \rightarrow & \mathcal{O}_X, & \mathcal{F} & \mapsto & \bigcup \Set{ (x] }{ x \in X \land \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F} } \end{array}$
  1. $\all U \in \mathcal{O}_X \;\; U \subseteq U^{\ast \Delta} \subseteq^\text{AC} \text{op}\circ\text{cl}(U)$が成り立つ。
    • ($\text{i}$)$x \in U$を任意に取る。
    • $\text{Ngb}(x) \subseteq U^\ast$である。
      従って、$(x] \subseteq U^{\ast \Delta}$である。
      従って、$x \in U^{\ast \Delta}$である。
    • ($\text{ii}$)$x \in U^{\ast \Delta}$を任意に取る。
    • $x \leq \exi z \in X \;\; \text{Ngb}(z) \subseteq U^\ast$である。
    • $\all y \in (x] \; (y] \cap U \nequ \phi$が成り立つ$^\text{AC}$。
      • 極大フィルター全体のなす位相空間の(1)$^\text{AC}$より、$y \in \exi F_y \in \text{Uf}(X)$である。
        従って、$y \leq x \leq z, F_y \text{はfilter}$を併せて、$z \in F_y$である。
        従って、$F_y \in \text{Ngb}(z) \subseteq U^\ast$である。
        従って、$\exi w \in U \;\; F_y \in \text{Ngb}(w)$である。
      • 従って、$\phi$ $\nequ$ $y, w \in F_y \text{はfilter}$である。 $(y] \cap (w]$ $\subseteq$ $w \in U \in \mathcal{O}_X$なので、$(w] \subseteq U$である。 $(y] \cap U$である。
    • 従って、$x \in \Set{ x^\prime \in X }{ \all y \in (x^\prime] \;\; (y] \cap U \nequ \phi }$ $\equ$ ブール代数1:ブール代数はある完備ブール代数に埋め込める
      の$\text{op}\circ\text{cl}(A)$の定理
      $\text{op}\circ\text{cl}(U)$である。
  2. $\all \mathcal{F} \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} \;\; \mathcal{F} \equ \mathcal{F}^{\Delta \ast}$が成り立つ。
    • $\subseteq$$F \in \mathcal{F}$を任意に取る。
    • 極大フィルター全体のなす位相空間(2)より、$\exi x \in F \;\; \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}$である。
    • 従って、$\parenth{ x \in }\; (x] \subseteq \mathcal{F}^\Delta$である。
    • これらより、$F \in \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}^{\Delta \ast}$である。
    • $\supseteq$$F \in \mathcal{F}^{\Delta \ast}$を任意に取る。
    • $\exi x \in \mathcal{F}^\Delta \;\; F \in \text{Ngb}(x)$である。 つまり、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x \leq \exi y \in X \;\; \text{Ngb}(y) \subseteq \mathcal{F} \\ かつ & x \in F \end{array}\right.$である。
    • $x \in F, x \leq y, F \text{はfilter}$より、$y \in F$、つまり、$F \in \text{Ngb}(y)$である。
    • これらより、$F \in \text{Ngb}(y) \subseteq \mathcal{F}$である。
  3. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} (\text{i}) & \all U_0, U_1 \in \mathcal{O}_X & \bracket{ U_0 \subseteq U_1 \Rightarrow U_0^\ast \subseteq U_1^\ast } \\ (\text{ii}) & \all \mathcal{F}_0, \mathcal{F}_1 \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} & \bracket{ \mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \Rightarrow \mathcal{F}_0^\Delta \subseteq \mathcal{F}_1^\Delta } \\ (\text{iii}) & \all U \in \mathcal{O}_X & \bracket{ U^\ast \equ \phi \Rightarrow U \equ \phi } \\ (\text{iv}) & \all \mathcal{F} \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)} & \bracket{ \mathcal{F}^\Delta \equ \phi \Rightarrow \mathcal{F} \equ \phi } \end{array}\right.$が成り立つ。
    • ($\text{i}$)$\Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in U_0 } \subseteq \Set{ \text{Ngb}(x) }{ x \in U_1 }$である。
    • ($\text{ii}$)$\Set{ (x] }{ x \in X \land \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}_0 } \subseteq \Set{ (x] }{ x \in X \land \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}_1 }$である。
    • ($\text{iii}$)[対偶]$U \nequ \phi$を仮定する。
    • $\exi x \in U$である。
    • 極大フィルター全体のなす位相空間(1)より、$x \in \exi F \in \text{Uf}(X)$である。
    • これらより、$F \in \text{Ngb}(x) \subseteq U^\ast$である。従って、$U^\ast \nequ \phi$である。
    • ($\text{iv}$)[対偶]$\mathcal{F} \nequ \phi$を仮定する。
    • $\exi F \in \mathcal{F}$である。
    • 極大フィルター全体のなす位相空間(2)より、$\exi x \in F \;\; \text{Ngb}(x) \subseteq \mathcal{F}$である。
    • 従って、$x \in (x] \subseteq \mathcal{F}^\Delta$である。従って、$\mathcal{F}^\Delta \nequ \phi$である。
  4. $\all U \in \text{RegOp}(X) \;\; U^\ast \in \text{RegOp}( \text{Uf}(X) )$が成り立つ$^\text{AC}$。
    • $X$の開核作用素、閉包作用素を$\text{op}$、$\text{cl}$で表す。
      $\text{Uf}(X)$のそれらを$\text{op}_{\text{Uf}}$、$\text{cl}_{\text{Uf}}$で表す。
    • $\parenth{ U^\ast \cap (-U)^\ast }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $U^{\ast \Delta} \cap (-U)^{\ast \Delta}$ $\equ$ $U, -U \in \text{RegOp}(X)$と(1) $^\text{AC} U \cap (-U) \equ \phi$である。
      従って、(3)($\text{iv}$)を併せて、$U^\ast \cap (-U)^\ast \equ \phi$である。
      従って、$\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast) \subseteq \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( \text{Uf}(X) \backslash (-U)^\ast ) \equ \text{op}_{\text{Uf}}( \text{Uf}(X) \backslash (-U)^\ast ) \subseteq \text{Uf}(X) \backslash (-U)^\ast$である。
    • $\parenth{ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta \cap (-U) }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^{\Delta \ast} \cap (-U)^\ast$ $\equ$ (2) $\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast) \cap (-U)^\ast \equ \phi$である。
      従って、(3)($\text{iii}$)を併せて、$\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta \cap (-U) \equ \phi$である。
      従って、$\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta \subseteq X \backslash (-U)$である。
    • 従って、$\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta$ $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$である。 $\text{op}\bracket{ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}(U^\ast)^\Delta } \subseteq \text{op}\bracket{ X \backslash (-U) } \equ -(-U) \equ U$である。
    • 一方、$U$ $\equ$ $U \in \text{RegOp}(X)$なので、(1)は$\equ$になる。 $^\text{AC} \parenth{ U^\ast }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $\parenth{ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( U^\ast ) }^\Delta$である。
    • これらより、$U \equ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( U^\ast )^\Delta$である。
      従って、$U^\ast \equ \text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( U^\ast )^{\Delta \ast}$ $\equ$ (2) $\text{op}_{\text{Uf}}\circ\text{cl}_{\text{Uf}}( U^\ast )$である。
  5. $\all \mathcal{F} \in \text{RegOp}( \text{Uf}(X) ) \;\; \mathcal{F}^\Delta \in \text{RegOp}(X)$が成り立つ$^\text{AC}$。
    • $X$の開核作用素、閉包作用素を$\text{op}$、$\text{cl}$で表す。
      $\text{Uf}(X)$のそれらを$\text{op}_{\text{Uf}}$、$\text{cl}_{\text{Uf}}$で表す。
    • $\parenth{ \mathcal{F}^\Delta \cap (-\mathcal{F})^\Delta }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\mathcal{F}^{\Delta \ast} \cap (-\mathcal{F})^{\Delta \ast}$ $\equ$ 仮定[$\mathcal{F}$]より、$-\mathcal{F} \in \text{RegOp}( \text{Uf}(X) )$である。
      (2)
      $\mathcal{F} \cap (-\mathcal{F}) \equ \phi$である。
      従って、(3)($\text{iii}$)を併せて、$\mathcal{F}^\Delta \cap (-\mathcal{F})^\Delta \equ \phi$である。
      従って、$\text{op}\circ\text{cl}(\mathcal{F}^\Delta) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}( X \backslash (-\mathcal{F})^\Delta ) \equ \text{op}( X \backslash (-\mathcal{F})^\Delta ) \subseteq X \backslash (-\mathcal{F})^\Delta$である。
    • $\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \cap (-\mathcal{F}) }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^{\ast \Delta} \cap (-\mathcal{F})^\Delta$ $\equ$ $U :\equ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )$とすると、
      (1)は$\equ$になる。
      $^\text{AC} \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta ) \cap (-\mathcal{F})^\Delta \equ \phi$である。
      従って、(3)($\text{iv}$)を併せて、$\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \cap (-\mathcal{F}) \equ \phi$である。
      従って、$\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \subseteq \text{Uf}(X) \backslash (-\mathcal{F})$である。
    • 従って、$\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast$ $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X)}$である。 $\text{op}_{\text{Uf}}\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast } \subseteq \text{op}_{\text{Uf}}\bracket{ \text{Uf}(X) \backslash (-\mathcal{F}) } \equ -(-\mathcal{F}) \equ \mathcal{F}$である。
    • 一方、$\mathcal{F}$ $\equ$ (2) $\parenth{ \mathcal{F}^\Delta }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta ) }^\ast$である。
    • これらより、$\mathcal{F} \equ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^\ast$である。
      従って、$\mathcal{F}^\Delta \equ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )^{\ast \Delta}$ $\equ$ $U :\equ \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )$とすると、
      (1)は$\equ$になる。
      $^\text{AC} \text{op}\circ\text{cl}( \mathcal{F}^\Delta )$である。
  6. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \ ^\ast : \text{RegOp}(X) \rightarrow \text{RegOp}( \text{Uf}(X) ) \ \text{はブール同型写像} \\ (\text{ii}) & \ ^\Delta : \text{RegOp}( \text{Uf}(X) ) \rightarrow \text{RegOp}(X) \ \text{はブール同型写像} \end{array}\right.$が成り立つ$^\text{AC}$。
    • ($\text{i}$)$U, V \in \text{RegOp}(X), \mathcal{F}, \mathcal{G} \in \text{RegOp}( \text{Uf}(X) )$を任意に取る。
    • (あ)$U^\ast \equ V^\ast$ならば、$U$ $\equ$ (1) $^\text{AC} \parenth{ U^\ast }^\Delta$ $\equ$ 仮定 $\parenth{ V^\ast }^\Delta$ $\equ$ (1) $^\text{AC} V$である。
    • (い)$\parenth{ \mathcal{F}^\Delta }^\ast$ $\equ$ (2) $\mathcal{F}$である。
    • (う)$\parenth{ U^\ast \cap V^\ast }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $U^{\ast \Delta} \cap V^{\ast \Delta}$ $\equ$ (1) $^\text{AC} U \cap V$である。
      従って、$U^\ast \cap V^\ast$ $\equ$ (2) $\parenth{ U^\ast \cap V^\ast }^{\Delta \ast}$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\parenth{ U \cap V }^\ast$である。
    • 一方、$\parenth{ U \cap V }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $U^\ast \cap V^\ast$である。
    • これらより、$\parenth{ U \cap V }^\ast \equ U^\ast \cap V^\ast$である。
    • (え)(え)は補題である。
    • $\parenth{ \mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta }^\ast$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $\mathcal{F}^{\Delta \ast} \cap \mathcal{G}^{\Delta \ast}$ $\equ$ (2) $\mathcal{F} \cap \mathcal{G}$である。
      従って、$\mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta$ $\equ$ (1) $^\text{AC} \parenth{ \mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta }^{\ast \Delta}$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $\parenth{ \mathcal{F} \cap \mathcal{G} }^\Delta$である。
    • 一方、$\parenth{ \mathcal{F} \cap \mathcal{G} }^\Delta$ $\subseteq$ (3)($\text{ii}$) $\mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta$である。
    • これらより、$\parenth{ \mathcal{F} \cap \mathcal{G} }^\Delta \equ \mathcal{F}^\Delta \cap \mathcal{G}^\Delta$である。
    • (お)$U \cap (-U^\ast)^\Delta$ $\equ$ (1) $^\text{AC} U^{\ast \Delta} \cap (-U^\ast)^\Delta$ $\equ$ (4)$^\text{AC}$により、(え)$^\text{AC}$が使える。 $^\text{AC} \parenth{ U^\ast \cap (-U^\ast) }^\Delta \equ \phi^\Delta \equ \phi$である。
      従って、$(-U^\ast)^\Delta \subseteq -U$である。
      従って、$-U^\ast$ $\equ$ (2) $\parenth{ -U^\ast }^{\Delta \ast}$ $\subseteq$ (3)($\text{i}$) $(-U)^\ast$である。
    • $U^\ast \cap (-U)^\ast$ $\equ$ (う) $\parenth{ U \cap (-U) }^\ast \equ \phi^\ast \equ \phi$なので、$(-U)^\ast \subseteq -U^\ast$である。
    • これらより、$(-U)^\ast \equ -U^\ast$である。
    • (か)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l{}} \parenth{ U + V }^\ast & \equ & \parenth{ -\bracket{ (-U) \cdot (-V) } }^\ast & \text{RegOp}(X)でのド・モルガン\\ & \equ & -\bracket{ (-U) \cdot (-V) }^\ast & (お)^\text{AC} \\ & \equ & -\bracket{ (-U)^\ast \cdot (-V)^\ast } & (う) \\ & \equ & -\bracket{ -U^\ast \cdot -V^\ast } & (お)^\text{AC} \\ & \equ & U^\ast + V^\ast & \text{RegOp}( \text{Uf}(X) )でのド・モルガン \end{array}$
      である。
    • ($\text{ii}$)(1)$^\text{AC}$, (2)より、$\ ^\Delta \text{は} \ ^\ast \text{の逆写像}$である$^\text{AC}$。
    • 従って、$(\text{i})^\text{AC}$を併せて、$\ ^\Delta \text{はブール同型写像}$である$^\text{AC}$。

$(X, \leq)$を順序集合とする。
$X_1 :\equ X \coprod \{ 1 \}$と置く。
$\all x \in X_1 \;\; x \leq 1$として(、つまり、$\leq \cup X_1 \times \{ 1 \}$を$\leq$と置き直して)、$(X_1, \leq)$を順序集合とする。
  • $X \nequ \phi \Rightarrow \text{RegOp}(X), \text{RegOp}(X_1) \text{は同型}$が成り立つ。
    • $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \mathcal{O}_{X_1} \equ \mathcal{O}_X \coprod \{ X_1 \} \\ (\text{ii}) & \all A \subseteq X \;\bracket{ \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 \Rightarrow \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ \text{op}_X\circ\text{cl}_X(A) } \\ (\text{iii}) & \all A \subseteq X \;\bracket{ \text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1 \Rightarrow \text{op}_{X}\circ\text{cl}_{X}(A) \equ X } \\ (\text{iv}) & \text{RegOp}(X_1) \backslash \{ X_1 \} \equ \text{RegOp}(X) \backslash \{ X \} \end{array}$が成り立つ。
      • ($\text{i}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \mathcal{O}_{X_1} & \equ & \Set{ U \subseteq X_1 }{ \all x \in U \;\; (x]_{X_1} \subseteq U } \\ & \equ & \Set{ U \subseteq X_1 }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} & 1 \not\in U & \land \all x \in U \;\; (x]_{X_1} \subseteq U \\ \text{又は} & 1 \in U & \land \all x \in U \;\; (x]_{X_1} \subseteq U \end{array}\right. } \\ & \equ & \Set{ U \subseteq X }{ \all x \in U \;\; (x]_{X} \subseteq U } \cup \{ X_1 \} \\ & \equ & \mathcal{O}_X \coprod \{ X_1 \} \end{array}$
        である。
      • ($\text{ii}$)仮定[$\text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1$]より、$\neg\bracket{ \all y \in X_1 \equ (1]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi }$である。
      • $\text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A)$ $\equ$ ブール代数1:ブール代数はある完備ブール代数に埋め込める
        の$\text{op}, \text{cl}$に関する定理
        $\Set{ x \in X_1 }{ \all y \in (x]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi }$
          $\equ$ $x \lt 1 \text{又は} x \equ 1$で場合分け $\Set{ x \in X_1 }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}r@{}} & x \lt 1 & \land \all y \in (x]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi \\ \text{又は} & x \equ 1 & \land \all y \in (x]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi \end{array}\right. }$
          $\equ$ ¬[∀y∈X_1;(y]_{X_1}∩A≠φ] $\Set{ x \in X }{ \all y \in (x]_{X_1} \;\; (y]_{X_1} \cap A \nequ \phi }$
          $\equ$ $x \lt 1$なので、添字が$X$でも$X_1$でも違いはない。 $\Set{ x \in X }{ \all y \in (x]_{X} \;\; (y]_{X} \cap A \nequ \phi }$
          $\equ$ 再度、$\text{op}, \text{cl}$に関する定理 $\text{op}_X\circ\text{cl}_X(A)$
        である。
      • ($\text{iii}$)$x \in X$を任意に取る。
      • 任意の$y \in (x]_X$に対し、$y \in (x]_X \subseteq X_1 \equ \text{cl}_{X_1}(A)$より、$(y]_{X_1} \cap A \nequ \phi$である。
        つまり、$(y]_X \cap A \nequ \phi$である。
      • よって、$x \in \Set{ x^\prime \in X }{ \all y \in (x^\prime]_X \;\; (y]_X \cap A \nequ \phi } \equ \text{op}_X\circ\text{cl}_X(A) \equ A$である。
      • ($\text{iv}$)$X \subseteq \text{cl}_{X_1}(X) \land 1$ $\in$ 仮定[$X \nequ \phi$] $\text{cl}_{X_1}(X)$より、$\text{cl}_{X_1}(X) \equ X_1$である。
      • 従って、($\text{iii}$)を併せて、$\all A \in \text{RegOp}(X) \;\bracket{ \text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1 \Leftrightarrow A \equ X }$である。
      • $\text{RegOp}(X_1) \backslash \{ X_1 \}$ $\equ$ $\Set{ A \in \mathcal{O}_{X_1} }{ \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ A } \backslash \{ X_1 \}$
          $\equ$ ($\text{i}$)、
        $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 \\ \text{又は} & \text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1 \end{array}\right.$で場合分け。
        $\Set{ A \in \mathcal{O}_{X} }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} & \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 & \land \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ A \\ \text{かつ} & \text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1 & \land \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ A \\ \end{array}\right. }$
          $\equ$ $A \subsetneq X_1$なので、2つ目の条件は成り立たない。 $\Set{ A \in \mathcal{O}_{X} }{ \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 \land \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ A }$
          $\equ$ ($\text{ii}$) $\Set{ A \in \mathcal{O}_{X} }{ \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1 \land \text{op}_{X}\circ\text{cl}_{X}(A) \equ A }$
          $\equ$ cl_{X_1}(A)=X_1⇔A=X $\Set{ A \in \mathcal{O}_{X} }{ A \nequ X \land \text{op}_{X}\circ\text{cl}_{X}(A) \equ A }$
          $\equ$ $\text{RegOp}(X) \backslash \{ X \}$
    • $f : \text{RegOp}(X_1) \rightarrow \text{RegOp}(X), A \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}r@{}} A & \parenth{ A \subsetneq X_1 \text{の場合} } \\ X & \parenth{ A \equ X_1 \text{の場合} } \end{array}\right.$と置く。
    • (1)RegOp(X_1)の性質(補題)($\text{iii}$)より、$f \text{は可逆}$である。
    • $A, B \in \text{RegOp}(X_1)$を任意に取る。
    • (2)$A \subsetneq X_1 \land B \subsetneq X_1$の場合:
      • $\text{cl}_{X_1}(A \cup B) \subsetneq X_1$の場合:
        • $f(A +_{X_1} B)$ $\equ$ $A +_{X_1} B \equ \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A \cup B) \subsetneq X_1$ $A +_{X_1} B$ $\equ$ RegOp(X_1)の性質(補題)($\text{ii}$) $A +_{X} B \equ f(A) +_{X} f(B)$である。
      • $\text{cl}_{X_1}(A \cup B) \equ X_1$の場合:
        • $f(A +_{X_1} B) \equ f(X_1) \equ X$ $\equ$ RegOp(X_1)の性質(補題)($\text{iii}$) $A +_X B \equ f(A) +_X f(B)$である。
    • $A \equ X_1 \lor B \equ X_1$の場合:
      • $f(A +_{X_1} B) \equ f(X_1) \equ X$ $\equ$ $f(A) \equ X \lor f(B) \equ X$ $f(A) +_X f(B)$である。
    • (3)$A \subsetneq X_1 \lor B \subsetneq X_1$の場合:
      • $f(A \cdot_{X_1} B) \equ f(A \cap B)$ $\equ$ $A \cap B \subsetneq X_1$ $A \cap B$ $\equ$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \subsetneq X_1 \land B \subsetneq X_1 \\ \text{又は} & A \subsetneq X_1 \land B \equ X_1 \\ \text{又は} & A \equ X_1 \land B \subsetneq X_1 \\ \end{array}\right.$
        の場合分けを考えるとすぐに分かる。
        $f(A) \cap f(B) \equ f(A) \cdot_X f(B)$である。
    • $A \equ X_1 \land B \equ X_1$の場合:
      • $f(A \cdot_{X_1} B)$ $\equ$ $A \equ \text{op}_{X_1}\circ\text{cl}_{X_1}(A) \equ X_1$である。
        $B$についても同様である。
        $f(X_1 \cdot_{X_1} X_1) \equ f(X_1) \equ X \equ X \cdot_X X \equ f(A) \cdot_X f(B)$である。
    • (4)$\phi \nequ A \subsetneq X_1$の場合:
      • $\text{cl}_{X_1}(A)$ $\equ$ $A \nequ \phi$なので、$1 \in \text{cl}_{X_1}(A)$である。
        また、$\equ$は簡単な計算で分かる。
        $\text{cl}_X(A) \coprod \{ 1 \}$である。
      • $f(-_{X_1}A) \equ f( X_1 \backslash \text{cl}_{X_1}(A) )$ $\equ$ $1 \in \text{cl}_{X_1}(A)$なので、$X_1 \backslash \text{cl}_{X_1}(A) \subsetneq X_1$ $X_1 \backslash \text{cl}_{X_1}(A) \equ X \backslash \text{cl}_X(A) \equ -_X A \equ -_X f(A)$である。
    • $A \equ \phi$の場合:
      • $f(-_{X_1} \phi) \equ f(X_1) \equ X \equ -_X \phi \equ -_X f(\phi)$である。
    • $A \equ X_1$の場合:
      • $f(-_{X_1} X_1) \equ f(\phi) \equ \phi \equ -_X X \equ -_X f(X_1)$である。
従って、$\text{RegOp}(X)$を考える時は、初めから$X$に最大元が存在するとしてよい。
$I$を集合とする。
$( \mathcal{X}_i \equ (X_i, \leq_i, 1_i) )_{i \in I} \;\parenth{ 1_i \text{は}X_i\text{の最大元} }$を順序集合の列とする。
$( \mathcal{X}_i )_{i \in I}$の積$\prod_{i \in I} \mathcal{X}_i$を次で定義する:
$X :\equiv \Set{ x \in \prod_{i \in I} X_i }{ \exi \text{有限集合} \ J \subset I \; \all i \in I \backslash J \;\; x(i) \equ 1_i }$
$x, y \in X$に対し、$x \leq y :\Leftrightarrow \all i \in I \;\; x(i) \leq_i y(i)$
$1 :\equ (1_i)_{i \in I}$
$\prod_{i \in I} \mathcal{X}_i$は最大元$1$を持つ順序集合である。
  • $\Set{ \prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) ) }{ x \in X } \text{は}\prod\limits_{i \in I} \text{Uf}(X_i)\text{の基底}$が成り立つ。
    • $\Set{ \prod\limits_{i \in I} \mathcal{F}_i }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all i \in I \;\; \mathcal{F}_i \in \mathcal{O}_{\text{Uf}(X_i)} \\ \text{かつ} & \exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \all i \in I \backslash J \;\; \mathcal{F}_i \equ \text{Uf}(X_i) \end{array}\right. } \text{は}\prod\limits_{i \in I} \text{Uf}(X_i)\text{の基底}$である。
      (復習:開集合系の基底、直積位相、基本近傍系の直積位相空間の項を参照。)
    • 基底の任意の元$\prod\limits_{i \in I} \mathcal{F}_i$とその元$(F_i)_{i \in I}$に対して、より小さい近傍を取れることを言えばよい。
    • $( \mathcal{F}_i )_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \mathcal{O}_{\text{Uf}(X_i)}$を任意に取り、$\exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \all i \in I \backslash J \;\; \mathcal{F}_i \equ \text{Uf}(X_i)$を仮定する。
      $(F_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \mathcal{F}_i$を任意に取る。
    • 極大フィルター全体のなす位相空間(2)より、$\all j \in J \; \exi x(j) \in F_j \;\; \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_j)}( x(j) ) \subseteq \mathcal{F}_j$である。
    • 従って、$(F_i)_{i \in I}$ $\in$ $i \in I \backslash J$の場合、$F_i \in \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}(1_i)$ $\prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( \langle x \rangle (i) )$ $\subseteq$ $i \in I \backslash J$の場合、$\text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}(1_i) \equ \text{Uf}(X_i) \equ \mathcal{F}_i$ $\prod\limits_{i \in I} \mathcal{F}_i$である。
  • $\text{Uf}(X) \text{と} \prod_{i \in I} \text{Uf}(X_i) \text{は同相}$が成り立つ。
    ($\prod_{i \in I} \text{Uf}(X_i)$は直積位相空間である。)
    • $\text{有限集合} J \subseteq I, x \in \prod_{j \in J} X_j$に対し、$\langle x \rangle(i) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} x(i) & \parenth{ i \in J \text{の場合} } \\ 1_i & \parenth{ i \in I \backslash J \text{の場合} } \end{array}\right.$と置く。
      特に、$J \equ \{ j \}, x \equ \{ (j, x(j) \}$の場合は、$\langle x \rangle$を$\langle j, x(j) \rangle$で表す。
    • $\text{filter} \ F \subseteq X, i \in I$に対し、$F_i :\equ \Set{ x \in X_i }{ \langle i, x \rangle \in F }$と置く。
    • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & \all \text{filter} \ F \subseteq X \; \all i \in I \;\; F_i \text{はfilter} \\ (2) & \all F \in \text{Uf}(X) \; \all i \in I \;\; F_i \in \text{Uf}(X_i) \\ (3) & \all \text{filter} \ F, G \subseteq X \;\bracket{ \parenth{ \all i \in I \;\; F_i \equ G_i } \Rightarrow F \equ G } \end{array}\right.$が成り立つ。
      • (1)$\text{filter}$の3条件を確認する。
      • ($\text{i}$)$\langle i, 1_i \rangle \equ 1$ $\in$ $F \text{はfilter}$ $F$なので、$1_i \in F_i$である。
      • ($\text{ii}$)$x, y \in F_i$を任意に取る。
      • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \langle i, x \rangle, \langle i, y \rangle \in F \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\exi z \in F \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & z \leq \langle i, x \rangle \\ \text{かつ} & z \leq \langle i, y \rangle \end{array}\right.$である。
        つまり、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & z(i) \leq_i x \\ \text{かつ} & z(i) \leq_i y \end{array}\right.$である。
      • また、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F \ni z \leq \langle i, z(i) \rangle \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\langle i, z(i) \rangle \in F$、つまり、$z(i) \in F_i$である。
      • ($\text{iii}$)$y \in X_i$を任意に取り、$\exi x \in F_i \;\; x \leq_i y$を仮定する。
      • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F \ni \langle i, x \rangle \leq \langle i, y \rangle \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\langle i, y \rangle \in F$、つまり、$y \in F_i$である。
      • (2)(1)より、極大性のみを証明すればよい。
      • ($\text{iv}$)$\text{filter} \ G_i \subseteq X_i$を任意に取り、$F_i \subseteq G_i$を仮定する。
      • $G :\equ \Set{ x \in X }{ \left(\begin{array}{@{}c@{}r@{}} & x(i) \in G_i \\ \text{かつ} & \exi y \in F \; i \nequ \all j \in I \;\; y(j) \leq_j x(j) \end{array}\right. }$と置く。
      • $F \subseteq G \text{はfilter}$が成り立つ。
        • (あ)$x \in F$を任意に取る。
        • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F \ni x \leq \langle i, x(i) \rangle \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\langle i, x(i) \rangle \in F$、つまり、$x(i) \in F_i \subseteq G_i$である。
        • また、$y \equ x$と見て、$\exi y \in F \; \all j \in I \;\; y(j) \leq_j x(j)$である。
        • これらより、$x \in G$である。
        • (い)$1 \in F \subseteq G$である。
        • (う)$x_1, x_2 \in G$を任意に取る。
        • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x_1(i), x_2(i) \in G_i \\ \text{かつ} & G_i \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\exi x_{0, i} \in G_i \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x_{0, i} \leq_i x_1(i) \\ \text{かつ} & x_{0, i} \leq_i x_2(i) \end{array}\right.$である。
        • また、$\exi y_k \in F \; i \nequ \all j \in I \;\; y_k(j) \leq_j x_k(j) \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
        • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y_1, y_2 \in F \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\exi y_0 \in F \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y_0 \leq y_1 \\ \text{かつ} & y_0 \leq y_2 \end{array}\right.$である。
        • $y_k \in F \subseteq X$なので、$\exi \text{有限集合} \ J_k \subseteq I \; \all i \in I \backslash J_k \;\; y_k(i) \equ 1_i \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
        • $j \in I$に対し、$x_0(j) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}r@{}} x_{0, i} & \parenth{ i \equ j \text{の場合} } \\ y_0(j) & \parenth{ i \nequ j \in J_1 \cup J_2 \text{の場合} } \\ 1_j & \parenth{ i \nequ j \in I \backslash \parenth{ J_1 \cup J_2 } \text{の場合} } \\ \end{array}\right.$と置く。
        • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x_0(i) \equ x_{0, i} \in G_i \\ \text{かつ} & i \nequ \all j \in I \;\; y_0(j) \leq_j x_0(j) \end{array}\right.$なので、$x_0 \in G$である。
        • また、$x_0(j) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}r@{}} x_{0, i} & & \leq_i x_k(i) & \parenth{ i \equ j \text{の場合} } \\ y_0(j) & \leq_j y_k(j) & \leq_j x_k(j) & \parenth{ i \nequ j \in J_1 \cup J_2 \text{の場合} } \\ 1_j & \equ y_k(j) & \leq_j x_k(j) & \parenth{ i \nequ j \in I \backslash \parenth{ J_1 \cup J_2 } \text{の場合} } \\ \end{array}\right.$である。
          つまり、$x_0 \leq x_k \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
        • (え)$G$の定義と$G_i \text{はfilter}$より、$\all z \in X \;\bracket{ \exi x \in G \;\; x \leq z \Rightarrow z \in G }$は明らかである。
      • 任意の$x \in G_i$に対し、$\langle i, x \rangle$ $\in$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \langle i, x \rangle (i) \equ x \in G_i \\ \text{かつ} & 1 \in F \land i \nequ \all j \in I \;\; 1(j) \equ 1_j \equ \langle i, x \rangle(j) \end{array}\right.$ $G$ $\equ$ F⊆Gはfilterと$F \text{は極大filter}$ $F$、つまり、$x \in F_i$である。
      • 従って、$G_i \subseteq F_i$である。よって、$F_i \equ G_i$である。
      • (3)$\text{filter} \ F, G \subseteq X$を任意に取り、$\all i \in I \;\; F_i \equ G_i$を仮定する。
      • $x \in F$を任意に取る。
      • $x \in F \subseteq X$なので、$\exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \all i \in I \backslash J \;\; x(i) \equ 1_i$である。
      • 任意の$j \in J$に対し、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & F \ni x \leq \langle j, x(j) \rangle \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$より、$\langle j, x(j) \rangle \in F$である。
        従って、$x(j) \in F_j \equ G_j$、つまり、$\langle j, x(j) \rangle \in G$である。
      • 従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & J \text{は有限集合} \\ \text{かつ} & G \text{はfilter} \end{array}\right.$を併せて、$\exi y \in G \; \all j \in J \;\; y \leq \langle j, x(j) \rangle$である。
        従って、$\all j \in J \;\; y(j) \leq_j \langle j, x(j) \rangle (j) \equ x(j)$である。
      • 以上より、$\all i \in I \;\; y(i) \leq_i x(i)$、つまり、$y \leq x$である。
      • 従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y \in G \\ \text{かつ} & G \text{はfilter} \end{array}\right.$を併せて、$x \in G$である。
      • よって、$F \subseteq G$である。$F \supseteq G$も全く同様である。
    • $\varphi : \text{Uf}(X) \rightarrow \prod\limits_{i \in I} \text{Uf}(X_i), F \mapsto (F_i)_{i \in I}$と置く。
    • $\varphi \text{は同相写像}$を証明する。
    • (1)F→F_iはfilter性,極大性を遺伝させる(3)より、$\varphi \text{は単射}$である。
    • (2)$(G_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \text{Uf}(X_i)$を任意に取る。
    • $F :\equ \Set{ x \in X }{ \exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \exi y \in \prod\limits_{j \in J} G_j \;\; \langle y \rangle \leq x }$と置く。
    • $F \in \text{Uf}(X)$が成り立つ。
      • ($\text{i}$)明らかに$1 \in F$である。
      • ($\text{ii}$)$x_1, x_2 \in F$を任意に取る。
      • $\exi \text{有限集合} \ J_k \subseteq I \; \exi y_k \in \prod\limits_{j \in J_k} G_j \;\; \langle y_k \rangle \leq x_k \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
      • $\all i \in I \;\; G_i \text{はfilter}$なので、$\all j \in J_1 \cap J_2 \; \exi y^\prime \in G_j \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y^\prime \leq_j y_1(j) \\ \text{かつ} & y^\prime \leq_j y_2(j) \end{array}\right.$である。
        従って、$J_1 \cap J_2 \text{は有限集合}$を併せて、$\exi y_{1, 2} \in \prod\limits_{j \in J_1 \cap J_2} G_j \; \all j \in J_1 \cap J_2 \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y_{1, 2}(j) \leq_j y_1(j) \\ \text{かつ} & y_{1, 2}(j) \leq_j y_2(j) \end{array}\right.$である。
      • $j \in J_1 \cup J_2$に対し、$y_0(j) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}r@{}} y_1(j) & \parenth{ j \in J_1 \backslash \parenth{ J_1 \cap J_2 } \text{の場合} } \\ y_{1, 2}(j) & \parenth{ j \in J_1 \cap J_2 \text{の場合} } \\ y_2(j) & \parenth{ j \in J_2 \backslash \parenth{ J_1 \cap J_2 } \text{の場合} } \end{array}\right.$と置く。
      • $J_1 \cup J_2 \text{は有限集合}$なので、$\langle y_0 \rangle \in F$である。
      • $\langle y_0 \rangle (j) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}l@{}r@{}} y_1(j) & \equ \langle y_1 \rangle (j) & \leq_j x_1(j) & \leq_j 1_j \equ x_2(j) & \parenth{ j \in J_1 \backslash \parenth{ J_1 \cap J_2 } \text{の場合} } \\ y_{1, 2}(j) \leq_j y_k(j) & \equ \langle y_k \rangle (j) & \leq_j x_k(j) & & \parenth{ j \in J_1 \cap J_2 \text{の場合} } \\ y_2(j) & \equ \langle y_2 \rangle (j) & \leq_j x_2(j) & \leq_j 1_j \equ x_1(j) & \parenth{ j \in J_2 \backslash \parenth{ J_1 \cap J_2 } \text{の場合} } \\ 1_j & \equ \langle y_k \rangle (j) & \leq_j x_k(j) & & \parenth{ j \in I \backslash \parenth{ J_1 \cup J_2 } \text{の場合} } \\ \end{array}\right.$である。
        つまり、$\langle y_0 \rangle \leq x_k \;\parenth{ k \equ 1, 2 }$である。
      • ($\text{iii}$)$F$の定義より、明らかに$\all z \in X \;\bracket{ \exi x \in F \;\; x \leq z \Rightarrow z \in F }$である。
      • ($\text{iv}$)$\text{filter} \ H \subseteq X$を任意に取り、$F \subseteq H$を仮定する。
      • $\all i \in I \;\; G_i \equ H_i$が成り立つ。
        • $x \in G_i$を任意に取る。
        • $\langle i, x \rangle$ $\in$ $F$の定義より明らか $F \subseteq H$より、$x \in H_i$である。
        • よって、$G_i \subseteq H_i$である。
        • 従って、$G_i \text{は極大filter}$とF→F_iはfilter性,極大性を遺伝させる(1)を併せて、$G_i \equ H_i$である。
      • 従って、F→F_iはfilter性,極大性を遺伝させる(3)を併せて、$F \equ H$である。
    • $i \in I$を任意に取る。
    • $\all x \in G_i \;\; \langle i, x \rangle \in F$より、$G_i \subseteq F_i$である。
    • 従って、$G_i \text{は極大filter}, F_i \text{はfilter}$を併せて、$G_i \equ F_i$である。
    • よって、$\varphi(F) \equ (F_i)_{i \in I} \equ (G_i)_{i \in I}$である。
    • (3)連続性については、基底の元の逆像、像についてのみ考えればよい。
    • $x \in X$を任意に取る。
    • $\exi \text{有限集合} \ J \subseteq I \; \all i \in I \backslash J \;\; x(i) \equ 1_i$である。
    • $\varphi^{-1}\parenth{ \prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) ) }$ $\equ$ $\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ (F_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) ) }$
        $\equ$ ($\supseteq$)$i \in I \backslash J$の場合、自明に$F_i \in \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}(1_i)$である。 $\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ \all i \in J \;\; F_i \in \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) ) }$
        $\equ$ $\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ \all i \in J \;\; x(i) \in F_i }$
        $\equ$ $\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ \all i \in J \;\; \langle i, x(i) \rangle \in F }$
        $\equ$ ($\subseteq$)$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & J \text{は有限集合} \\ \text{かつ} & F \text{はfilter} \end{array}\right.$を使う。
      ($\supseteq$)$F \ni x \leq \langle i, x(i) \rangle$より。
      $\Set{ F \in \text{Uf}(X) }{ x \in F }$
        $\equ$ $\text{Ngb}_{\text{Uf}(X)}(x)$
    • よって、$\varphi \text{は連続}$である。
    • また、$\varphi \text{は可逆写像}$を併せて、$\varphi\parenth{ \text{Ngb}_{\text{Uf}(X)}(x) } \equ \prod\limits_{i \in I} \text{Ngb}_{\text{Uf}(X_i)}( x(i) )$である。
      従って、$\varphi^{-1} \text{は連続}$である。

余談
$(X, \leq)$を順序集合とする。
$X \text{はfine} :\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\bracket{ \all z \in (x] \;\; (z] \cap (y] \nequ \phi \Rightarrow x \leq y }$
  • $X \text{はfine} \Rightarrow \all y \in X \;\; (y] \in \text{RegOp}(X)$が成り立つ。
    • $\text{op}\circ\text{cl}(y) \subseteq (y]$のみを証明すれば良い。
    • $x \in \text{op}\circ\text{cl}(y)$を任意に取る。
    • $(x] \subseteq \text{cl}(y)$なので、$\all z \in (x] \;\; (z] \cap (y] \nequ \phi$である。
    • 従って、仮定[$X \text{はfine}$]を併せて、$x \leq y$、つまり、$x \in (y]$である。

ブール代数3:$\text{Rasiowa-Sikorski}$の定理と完備分配律

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。
$X \text{はc.c.c.} :\Leftrightarrow \all A \subseteq \;\bracket{ \all x, y \in A \;\parenth{ x \nequ y \Rightarrow x \cdot y \equ 0 } \Rightarrow A \text{は高々加算} }$
$\text{c.c.c.}$とはcountable chain condition(加算連鎖条件)のことである。
$(X, \leq)$を順序集合とする。
$X \text{はc.c.c.} :\Leftrightarrow \all A \subseteq X \;\bracket{ \all x, y \in A \;\parenth{ x \nequ y \Rightarrow (x] \cap (y] \equ \phi } \Rightarrow A \text{は高々加算} }$

$(X, \leq)$を順序集合とする。
$\text{順序集合} X \text{はc.c.c.} \Leftrightarrow^\text{AC} \text{ブール代数} \text{RegOp}(X) \text{はc.c.c.}$が成り立つ。
  • $\Rightarrow$$\text{AC}$より、$\exi f : \text{Pow}(X) \backslash \{ \phi \} \rightarrow X, \all A \in \text{Pow}(X) \backslash \{ \phi \} \;\; f(A) \in A$である。
  • $\mathcal{U} \subseteq \text{RegOp}(X)$を任意に取り、$\all U, V \in \mathcal{U} \;\parenth{ U \nequ V \Rightarrow U \cap V \equ \phi }$を仮定する。
  • $\phi \nequ \all U, V \in \mathcal{U} \;\bracket{ f(U) \equ f(V) \Rightarrow f(U) \equ f(V) \in U \cap V }$である。
    従って、仮定[$\mathcal{U}$]を併せて、$f : \mathcal{U} \backslash \{ \phi \} \rightarrow X \text{は単射}$である。
  • $\Set{ f(U) }{ U \in \mathcal{U} \backslash \{ \phi \} } \text{は高々加算}$が成り立つ。
    • $x \equ f(U), y \equ f(V) \in \Set{ f(W) }{ W \in \mathcal{U} \backslash \{ \phi \} }$を任意に取り、$x \nequ y$を仮定する。
    • 選択関数fは単射より、$U \nequ V$である。
    • $(x] \cap (y] \equ (f(U)] \cap (f(V)]$ $\subseteq$ $f(U) \in U \in \mathcal{O}_X$なので、$(f(U)] \subseteq U$。
      $V$も同様。
      $U \cap V$ $\equ$ 仮定[$\mathcal{U}$] $\phi$である。
    • よって、仮定[$X \text{はc.c.c.}$]より、$\Set{ f(U) }{ U \in \mathcal{U} \backslash \{ \phi \} } \text{は高々加算}$である。
  • 従って、選択関数fは単射を併せて、$\mathcal{U} \backslash \{ \phi \} \text{は高々加算}$である。
  • よって、$\mathcal{U} \text{は高々加算}$である。
  • $\Leftarrow$$A \subseteq X$を任意に取り、$\all x, y \in A \;\parenth{ x \nequ y \Rightarrow (x] \cap (y] \equ \phi }$を仮定する。
  • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \text{写像} : A \rightarrow \text{RegOp}(X), x \mapsto \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \;\text{は単射} \\ (\text{ii}) & \Set{ \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) }{ x \in A } \text{は高々加算} \end{array}\right.$が成り立つ。
    • ($\text{i}$)$x_0, x_1 \in A$を任意に取り、$x_0 \nequ x_1$を仮定する。
    • $\text{op}\circ\text{cl}( (x_0] ) \cap \text{op}\circ\text{cl}( (x_1] )$ $\equ$ ブール代数1:ブール代数はある完備ブール代数に埋め込める
      の定理
      $\text{op}\circ\text{cl}( (x_0] \cap (x_1] )$ $\equ$ 仮定[$A$] $\phi$である。
      従って、$x_i \in \text{op}\circ\text{cl}( (x_i] ) \;(i \equ 0, 1)$を併せて、$\text{op}\circ\text{cl}( (x_0] ) \nequ \text{op}\circ\text{cl}( (x_1] )$である。
    • ($\text{ii}$)$x_0, x_1 \in A$を任意に取り、$\text{op}\circ\text{cl}( (x_0] ) \nequ \text{op}\circ\text{cl}( (x_1] )$を仮定する。
    • ($\text{i}$)より、$x_0 \nequ x_1$である。
      従って、($\text{i}$)の証明と同様にして、$\text{op}\circ\text{cl}( (x_0] ) \cap \text{op}\circ\text{cl}( (x_1] ) \equ \phi$である。
    • 従って、仮定[$\text{RegOp}(X) \text{はc.c.c.}$]を併せて、$\Set{ \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) }{ x \in A } \text{は高々加算}$である。
  • よって、$A \text{は高々加算}$である。

$(X, \mathcal{O}_X)$を位相空間とする。
$\exi \text{加算}\mathcal{V} \subseteq \mathcal{O}_X \;\; \mathcal{V} \text{は}X\text{の基底} \Rightarrow \text{ブール代数} \text{RegOp}(X) \text{はc.c.c.}$が成り立つ。
  • $\mathcal{V} \backslash \{ \phi \} \equ \Set{ V_n }{ n \in \mathbb{N} }$と表す(これも明らかにまた基底である)。
  • $\mathcal{U} \subseteq \text{RegOp}(X)$を任意に取り、$\all U, V \in \mathcal{U} \;\parenth{ U \nequ V \Rightarrow U \cap V \equ \phi }$を仮定する。
  • $f : \mathcal{U} \backslash \{ \phi \} \rightarrow \mathbb{N}, U \mapsto \min\Set{ n \in \mathbb{N} }{ V_n \subseteq U } \;($ $\nequ$ 仮定[$\mathcal{V} \backslash \{ \phi \} \text{は}X\text{の基底}$] $\phi)$と置く。
  • $f \text{は単射}$が成り立つ。
    • $U_0, U_1 \in \mathcal{U} \backslash \{ \phi \}$を任意に取り、$U_0 \nequ U_1$を仮定する。
    • $V_{f(U_0)} \cap V_{f(U_1)} \subseteq U_0 \cap U_1$ $\equ$ 仮定[$\mathcal{U}$] $\phi$である。
    • 従って、$V_{f(U_i)} \nequ \phi \;(i \equ 0, 1)$を併せて、$f(U_0) \nequ f(U_1)$である。
  • 従って、$\mathcal{U} \text{は高々加算}$である。

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。
$A \subseteq X$とする。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} 上界(A) & :\equ & \Set{ x \in X }{ \all a \in A \;\; a \leq x } \\ \text{Idl}(A) & :\equ & \bigcap \Set{ I \subseteq X }{ A \subseteq I \text{はideal} } \end{array}\right.$と置く。
  1. $\text{Idl}(A) \equ \Set{ x \in X }{ \exi a_0, \cdots, a_n \in A \;\; x \leq a_0 + \cdots + a_n }$が成り立つ。
    • $B :\equ (右辺)$と置く。
    • $A \subseteq B$は明らかである。
    • $A \text{はideal}$なので、簡単な計算により、$B \text{はideal}$である。
    • 任意の$C \subseteq X$に対し、$A \subseteq C \text{はideal}$ならば、簡単な計算により、$B \subseteq C$である。
    • これらより、$B$は$A \subseteq B$なる最小の$\text{ideal}$である。
  2. $X \text{はc.c.c.} \Rightarrow \all A \subseteq X \;\; \exi \text{高々加算}B \subseteq A \;\; \text{上界}(A) \equ \text{上界}(B)$が成り立つ$^\text{AC}$。
    • $\mathcal{I} :\equ \Set{ C \subseteq \text{Idl}(A) }{ \all x, y \in C \;\bracket{ x \nequ y \Rightarrow x \cdot y \equ 0 } }$と置く。
    • $\exi C \in \mathcal{I} \;\; C \text{は}(\mathcal{I}, \subseteq)\text{の極大元}$が成り立つ$^\text{AC}$。
      • 明らかに$\phi \in \mathcal{I}$なので、$\mathcal{I} \nequ \phi$である。
      • $\text{Zornの補題}^\text{AC}$を使うための条件が成り立つことが分かれば良い。
      • $\mathcal{J} \subseteq \mathcal{I}$を任意に取り、$\mathcal{J} \text{は全順序}$を仮定する。
      • $x_0, x_1 \in \bigcup\mathcal{J}$を任意に取り、$x_0 \nequ x_1$を仮定する。
      • $\exi C_i \in \mathcal{J} \;\; x_i \in C_i$である($i \equ 0, 1$)。
      • $\exi i \in \{ 0, 1 \} \;\; x_0, x_1$ $\in$ 仮定[$\mathcal{J} \text{は全順序}$] $C_i$なので、$x_0 \cdot x_1 \equ 0$である。
      • よって、$\bigcup\mathcal{J} \in \mathcal{I}$である。
      • 一方、$\all C \in \mathcal{J} \;\; C \subseteq \bigcup\mathcal{J}$は明らかである。
      • よって、$\text{Zornの補題}^\text{AC}$より、$\exi C \in \mathcal{I} \;\; C \text{は}(\mathcal{I}, \subseteq)\text{の極大元}$である。
    • 従って、仮定[$X \text{はc.c.c.}$]を併せて、$C \equ \Set{ c_n }{ n \in \mathbb{N} }$と表せる。
    • $n \in \mathbb{N}$に対して、$\mathcal{A}(n) :\equ \Set{ \text{有限集合}A^\prime \subseteq A }{ c_n \leq \sum\limits_{x \in A^\prime} x } \; ($ $\nequ$ $c_n \in C \subseteq \text{Idl}(A)$, (1) $\phi)$と置く。
    • $\text{AC}$より、$\exi (A_n) \in \prod\limits_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{A}(n)$である。
    • $B :\equ \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n \;( \subseteq A )$と置く。
    • $\all n \in \mathbb{N} \;\; A_n \text{は有限集合}$なので、$B \text{は高々加算}$である。
    • 以下、$上界(A) \equ 上界(B)$を示す。
    • $\subseteq$$A \supseteq B$なので、$上界(A) \subseteq 上界(B)$は明らかである。
    • $\supseteq$$b \in 上界(B)$を任意に取る。
    • $a \in A$を任意に取る。
    • $a \cdot (-b) \in \text{Idl}(A)$なので、$C \cup \{ a \cdot (-b) \} \subseteq \text{Idl}(A)$である。
    • 任意に$c_n \in C$を取った時($c_n \nequ a \cdot (-b)$の仮定は使わない。)、
      $c_n \leq \sum\limits_{x \in A_n} x$ $\leq$ $b \in 上界(B)$, $\overbrace{b + \cdots + b}^{有限個} \equ b$ $b$なので、$c_n \cdot (-b) \equ 0$である。
      従って、$c_n \cdot ( a \cdot (-b) ) \equ a \cdot ( c_n \cdot (-b) ) \equ 0$である。
    • 従って、$( C \subseteq ) \; C \cup \{ a \cdot (-b) \} \in \mathcal{I}$である。
    • 従って、$C$ $\equ$ Cは(I,⊆)の極大元 $C \cup \{ a \cdot (-b) \}$、つまり、$a \cdot (-b) \in C$である。
      従って、$\exi n \in \mathbb{N} \; a \cdot (-b) \equ c_n$である。
    • 従って、$a \cdot (-b) \equ c_n \leq \sum\limits_{x \in A_n} x$ $\leq$ $b \in 上界(B)$, $\overbrace{b + \cdots + b}^{有限個} \equ b$ $b$である。
      従って、$a \cdot (-b) \equ ( a \cdot (-b) ) \cdot b \equ 0$つまり、$a \leq b$である。
    • よって、$b \in 上界(A)$である。

$X \text{は}\sigma\text{-ブール代数} :\Leftrightarrow \all \text{高々加算} A \subseteq X \;\; \exi \sum\limits_{x \in A} x \in X$
$X \text{はc.c.c.} かつ \sigma\text{-ブール代数} \Rightarrow X \text{はcomplete}$が成り立つ$^\text{AC}$。
  • $A \subseteq X$を任意に取る。
  • 仮定[$X \text{はc.c.c.}$], 前定理$^\text{AC}$より、$\exi \text{高々加算} B \subseteq A \;\; 上界(A) \equ 上界(B)$である。
  • 仮定[$X \text{は}\sigma\text{-ブール代数}$]より、$\exi \sum\limits_{x \in B} b \in X$である。
  • $\sum\limits_{x \in A} x \equ ( 上界(A)の最小元 ) \equ ( 上界(B)の最小元 ) \equ \sum\limits_{x \in B} x$である。

[$\text{Rasiowa - Sikorski}$の定理]
[補題]
$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。
  1. $\all \text{固有filter} \ A \subseteq X \; A \subseteq \exi F \subseteq X \;\; F \text{は極大filter}$が成り立つ$^\text{AC}$。
    • $\mathcal{F} :\equ \Set{ F \subseteq X }{ A \subseteq F \text{は固有filter} } \;($ $\nequ$ $A \in \mathcal{F}$ $\phi )$と置く。
    • $(\mathcal{F}, \subseteq) \text{は帰納的順序集合}$を示せば、$\text{Zornの補題}^\text{AC}$より、証明が終わる。
    • 任意に$\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$を取り、$\mathcal{G} \text{は全順序}$を仮定する。
    • $G :\equ \bigcup \parenth{ \mathcal{G} \cup \{ A \} }$ と置く $\mathcal{G} \equ \phi \Rightarrow \bigcup \mathcal{G} \equ \phi \not\in \mathcal{F}$なので、
      $\cup A$を付加させた。
    • ($\text{i}$)$1 \in A \subseteq G$である。
      また、$\all F \in \mathcal{G} \cup \{ A \} \;\; 0 \not\in F$なので、$0 \not\in G$である。
    • ($\text{ii}$)$x, y \in G$を任意に取る。
    • 仮定[$\mathcal{G} \text{は全順序}$]より、$\exi F \in \mathcal{G} \cup \{ A \} \;\; x, y \in F$である。
      従って、$x \cdot y$ $\in$ $F \text{はfilter}$ $F \subseteq G$である。
    • ($\text{iii}$)$x \in G, y \in X$を任意に取る。
    • $\exi F \in \mathcal{G} \cup \{ A \} \;\; x \in F$なので、$x + y$ $\in$ $F \text{はfilter}$ $F \subseteq G$である。
    • ($\text{iv}$)以上より、$G \in \mathcal{F}$である。$G \text{は}\mathcal{G}\text{の上界}$は明らかである。
  2. $X \supseteq F \text{は極大filter}$とする。
    ブール代数2の定理より、$\all x \in X \;\bracket{ x \in F \text{または} -x \in F \text{の一方のみ成り立つ} }$ である $0 \not\in F$に注意
    $f : X \rightarrow 2, x \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} 1 & ( x \in F の場合 ) \\ 0 & ( -x \in F の場合 ) \end{array}\right.$と定義する。
    $f \text{は準同型写像}$が成り立つ。
    • $x, y \in F$を任意に取る。
    • ($\text{i}$)$\bracket{ x \in F \lor y \in F }$の場合:
      • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x + y \in F \\ かつ & \bracket{ f(x) \equ 1 \lor f(y) \equ 1 } \end{array}\right.$なので、 $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & f(x + y) \equ 1 \\ かつ & f(x) + f(y) \equ 1 \end{array}\right.$ である。
    • $\bracket{ x \not\in F \land y \not\in F }$の場合:
      • $\bracket{ -x \in F \land -y \in F }$である。
        従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & -( x + y ) \equ (-x) \cdot (-y) \in F \text{つまり} f(x + y) \equ 0 \\ かつ & \bracket{ f(-x) \equ 0 \land f(-y) \equ 0 } \end{array}\right.$である。
    • ($\text{ii}$)$\bracket{ x \in F \land y \in F }$の場合:
      • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x \cdot y \in F \text{つまり} f(x \cdot y) \equ 1 \\ かつ & \bracket{ f(x) \equ 1 \land f(y) \equ 1 } \end{array}\right.$である。
    • $\bracket{ x \not\in F \lor y \not\in F }$の場合:
      • $\bracket{ -x \in F \lor -y \in F }$である。
        従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & -( x \cdot y ) \equ (-x) + (-y) \in F \text{つまり} f(x \cdot y) \equ 0 \\ かつ & \bracket{ f(-x) \equ 0 \lor f(-y) \equ 0 } \end{array}\right.$である。
    • ($\text{iii}$)$x \in F$の場合:
      • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & f(x) \equ 1 \\ かつ & -(-x) \equ x \in F \text{つまり} f(-x) \equ 0 \end{array}\right.$である。
    • $x \not\in F$の場合:
      • $-x \in F$なので、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & f(x) \equ 0 \\ かつ & f(-x) \equ 1 \end{array}\right.$である。

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。
$(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \;( A_n \subseteq X )$を集合列とする。
$\all n \in \mathbb{N} \;\; \exi \sum\limits_{a \in A_n} a \in X$を仮定する。
$0 \nequ b \in X$とする。
$\exi \text{準同型写像} f : X \rightarrow 2 \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & f(b) \equ 1 \\ かつ & \all n \in \mathbb{N} \;\; f( \sum\limits_{a \in A_n} a ) \equ \sum\limits_{a \in A_n} f(a) \end{array}\right.$が成り立つ$^\text{AC}$。
  • $X_0 :\equ X \backslash \{ 0 \}$と置く。
  • $n \in \mathbb{N}$に対し、$S_n :\equ \Set{ x \in X_0 }{ x \cdot \sum\limits_{a \in A_n} a \equ 0 \lor \exi a \in A_n \;\; x \leq a }$と置く。
  • $\all n \in \mathbb{N} \;\; \text{cl}_{X_0}(S_n) \equ X_0$が成り立つ(位相空間$X_0$として)。
    • $x \in X_0$を任意に取る。
    • $\all a \in A_n \;\; x \leq -a$の場合:
      • $x \leq \prod\limits_{a \in A_n} (-a) \equ -\sum\limits_{a \in A_n} a$、つまり、$x \cdot \sum\limits_{a \in A_n} a \equ 0$である。
        従って、$x \in S_n$である。
      • よって、$(x] \cap S_n \nequ \phi$、つまり、$x \in \text{cl}_{X_0}(S_n)$である。
    • $\exi a \in A_n \;\; x \not\leq -a$の場合:
      • $0 \nequ x \cdot a \leq a$なので、$x \cdot a \in S_n$である。
      • 従って、$0 \nequ x \cdot a \in (x] \cap S_n$、従って、$x \in \text{cl}_{X_0}(S_n)$である。
  • $M :\equ \Set{ S_n }{ n \in \mathbb{N} }$と置く。
  • cl_{X_0}(S_n)=X_0ブール代数2の定理$^\text{AC}$より、$b \in \exi A \subseteq X_0 \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \text{は(順序集合}X_0\text{の)filter} \\ かつ & \all n \in \mathbb{N} \;\; A \cap S_n \nequ \phi \end{array}\right.$である。
  • 従って、 簡単な計算 ブール代数2の定理
    の証明をそのまま使いまわしても良い。
    により、$A \text{は(ブール代数}X\text{の)固有filter}$ である $A \subseteq X_0$なので、$0 \not\in A$。
    このためにわざわざ$X_0$で考えていた。

    従って、上記補題(1)$^\text{AC}$を併せて、$A \subseteq \exi F \subseteq X \;\; F \text{は(ブール代数}X\text{の)極大filter}$である。
  • $f : X \rightarrow 2, x \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} 1 & ( x \in F の場合 ) \\ 0 & ( -x \in F の場合 ) \end{array}\right.$と定義する。
  • 上記補題(2)より、$f \text{は準同型写像}$である。
  • ($\text{i}$)$b \in A \subseteq F$なので、$f(b) \equ 1$である。
  • ($\text{ii}$)$n \in \mathbb{N}$を任意に取る。
  • $\phi$ $\nequ$ A∩S_n≠φ $A \cap S_n \subseteq F \cap S_n$なので、$\exi x \in F \;\bracket{ x \cdot \sum\limits_{a \in A_n} a \equ 0 \lor \exi a \in A_n \;\; x \leq a }$である。
  • $x \cdot \sum\limits_{a \in A_n} a \equ 0$の場合:
    • $0 \equ f(0) \equ f( x \cdot \sum\limits_{a \in A_n} a ) \equ f(x) \cdot f( \sum\limits_{a \in A_n} a )$ $\equ$ $x \in F$ $f( \sum\limits_{a \in A_n} a )$である。
    • $\all a^\prime \in A_n \;\; f(a^\prime)$ $\leq$ $a^\prime \leq \sum\limits_{a \in A_n} a$, $f \text{は準同型}$ $f( \sum\limits_{a \in A_n} a )$なので、$\sum\limits_{a \in A_n} f(a) \leq f( \sum\limits_{a \in A_n} a )$である。
    • これらより、$\sum\limits_{a \in A_n} f(a) \equ 0 \equ f( \sum\limits_{a \in A_n} a )$である。
  • $\exi a^\prime \in A_n \;\; x \leq a^\prime$の場合:
    • $1$ $\equ$ $x \in F$ $f(x) \leq f(a^\prime) \leq \sum\limits_{a \in A_n} f(a) \leq f( \sum\limits_{a \in A_n} a )$である。
    • よって、$\sum\limits_{a \in A_n} f(a) \equ 1 \equ f( \sum\limits_{a \in A_n} a )$である。

分配律(Distributive Law)について
$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。
$A, B \subseteq X$とし、$\exi \sum\limits_{a \in A} a, \exi \sum\limits_{b \in B} b \in X$を仮定する。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}r@{}c@{}c@{}} (1) & \all a \in X \;\; \sum\limits_{b \in B} ( a \cdot b ) & \equ & a \cdot \sum\limits_{b \in B} b \\ (2) & \sum\limits_{(a, b) \in A \times B} ( a \cdot b ) & \equ & \parenth{ \sum\limits_{a \in A} a } \cdot \parenth{ \sum\limits_{b \in B} b } \end{array}\right.$が成り立つ。
  • (1)定義に従って示す。
  • ($\text{i}$)$\all b^\prime \in B \;\; a \cdot b^\prime$ $\leq$ $b^\prime \leq \sum\limits_{b \in B} b$ $a \cdot \sum\limits_{b \in B} b$である。
  • ($\text{ii}$)$x \in X$を任意に取り、$\all b \in B \;\; a \cdot b \leq x$を仮定する。
  • 任意の$b \in B$に対し、$b \equ a \cdot b + (-a) \cdot b$ $\leq$ 仮定[$x$] $x + (-a) \cdot b \leq x + (-a)$である。
  • 従って、$\sum\limits_{b \in B} b \leq x + (-a)$である。
  • よって、$a \cdot \sum\limits_{b \in B} b \leq a \cdot x + a \cdot (-a) \leq x$である。
  • (2)$\parenth{ \sum\limits_{a \in A} a } \cdot \parenth{ \sum\limits_{b \in B} b }$ $\equ$ (1) $\sum\limits_{a \in A} \parenth{ a \cdot \sum\limits_{b \in B} b }$ $\equ$ (1) $\sum\limits_{a \in A} \sum\limits_{b \in B} ( a \cdot b )$である。
  • ($\text{i}$)$\all (a^\prime, b^\prime) \in A \times B \;\; a^\prime \cdot b^\prime \leq \sum\limits_{b \in B} ( a^\prime \cdot b ) \leq \sum\limits_{a \in A} \sum\limits_{b \in B} ( a \cdot b )$である。
  • ($\text{ii}$)$x \in X$を任意に取り、$\all (a, b) \in A \times B \;\; a \cdot b \leq x$を仮定する。
  • 仮定[$x$]より、$\all a \in A \;\; \sum\limits_{b \in B} ( a \cdot b ) \leq x$である。
    従って、$\sum\limits_{a \in A} \sum\limits_{b \in B} ( a \cdot b ) \leq x$である。
  • ($\text{iii}$)($\text{i}$),($\text{ii}$)より、$\sum\limits_{(a, b) \in A \times B} ( a \cdot b ) \equ \sum\limits_{a \in A} \sum\limits_{b \in B} ( a \cdot b )$である。

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$を完備ブール代数とする。
$I, J$は集合、$a : I \times J \rightarrow X$とする。
$X \text{は}(I, J)\text{-DLを持つ} :\Leftrightarrow \prod\limits_{i \in I} \sum\limits_{j \in J} a(i, j) \equ \sum\limits_{j : I \rightarrow J} \prod\limits_{i \in I} a(i, j(i))$
$\prod\limits_{i \in I} \sum\limits_{j \in J} a(i, j) \geq \sum\limits_{j : I \rightarrow J} \prod\limits_{i \in I} a(i, j(i))$が成り立つ。
  • $j^\prime : I \rightarrow J$を任意に取る。
  • $\all i^\prime \in I \;\; \prod\limits_{i \in I} a(i, j^\prime(i)) \leq a( i^\prime, j^\prime(i^\prime) ) \leq \sum\limits_{j \in J} a(i^\prime, j)$である。
    従って、$\prod\limits_{i \in I} a(i, j^\prime(i)) \leq \prod\limits_{i \in I} \sum\limits_{j \in J} a(i, j)$である。
  • よって、$\sum\limits_{j : I \rightarrow J} \prod\limits_{i \in I} a(i, j(i)) \leq \prod\limits_{i \in I} \sum\limits_{j \in J} a(i, j)$である。
$X \text{は complete distributive lawを持つ} :\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{}} \all I, J \; \all a : I \times J \rightarrow X \\ \quad X \text{は}(I, J)\text{-DLを持つ} \end{array}\right.$
  1. $\all \text{集合} X \nequ \phi \;\; \text{Pow}(X) \text{は complete distributive lawを持つ}$が成り立つ。
    • 集合$I, J$、写像$a : I \times J \rightarrow \text{Pow}(X)$を任意に取る。
    • $\bigcap\limits_{i \in I} \bigcup\limits_{j \in J} a(i, j) \subseteq \bigcup\limits_{j : I \rightarrow J} \bigcap\limits_{i \in I} a( i, j(i) )$のみを証明すれば良い。
    • $x \in \bigcap\limits_{i \in I} \bigcup\limits_{j \in J} a(i, j)$を任意に取る。
    • $\all i \in I \; \exi j \in J \;\; x \in a(i, j)$である。
      従って、$\text{AC}$を併せて、$\exi j^\prime : I \rightarrow J \; \all i \in I \;\; x \in a( i, j^\prime(i) )$である。
    • よって、$x \in \bigcap\limits_{i \in I} a( i, j^\prime(i) ) \subseteq \bigcup\limits_{j : I \rightarrow J} \bigcap\limits_{i \in I} a( i, j(i) )$である。
  2. $\text{完備ブール代数} X \text{は complete distributive lawを持つ}$とする。
    $\phi \nequ \exi \text{集合} A \subseteq X \;\; X \text{はPow}(A)\text{に同型}$が成り立つ。
    • $a : X \times 2 \rightarrow X, (x, \varepsilon) \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} -x & ( \varepsilon \equ 0 \text{の場合} ) \\ x & ( \varepsilon \equ 1 \text{の場合} ) \end{array}\right.$と置く。
      $A :\equ \Set{ \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) }{ j : X \rightarrow 2 } \backslash \{ 0 \}$と置く。
      $f : \text{Pow}(A) \rightarrow X, S \mapsto \sum\limits_{s \in S} s$と置く。
    • この$f$が求めるものであることを証明する。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \sum\limits_{j : X \rightarrow 2} \parenth{ \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) } & \equ & \prod\limits_{x \in X} \parenth{ a(x, 0) + a(x, 1) } & 仮定[X] \\ & \equ & 1 & a \text{の定義} \end{array}$
      なので、$\exi j : X \rightarrow 2 \;\; \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) \nequ 0$、つまり、$A \nequ \phi$である。
      更に、$f(A) \equ 1$である。
    • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \all S \subseteq A \; \all s \in A \;\bracket{ s \cdot f(S) \nequ 0 \Rightarrow s \in S } \\ (\text{ii}) & \all S \subseteq A \;\; S \equ \Set{ s \in A }{ s \leq f(S) } \\ (\text{iii}) & \all S \subseteq A \;\; A \backslash S \equ \Set{ s \in A }{ s \leq -f(S) } \end{array}\right.$が成り立つ。
      • ($\text{i}$)$s_0 \in A$を任意に取り、$s_0 \cdot f(S) \nequ 0$を仮定する。
      • $0$ $\nequ$ 仮定[$s_0$] $s_0 \cdot f(S) \equ \sum\limits_{s \in S} ( s_0 \cdot s )$なので、$\exi s_1 \in S \;\; s_0 \cdot s_1 \nequ 0$である。
      • $s_i \in A$なので、$\exi j_i : X \rightarrow 2 \;\; s_i \equ \prod\limits_{x \in X} a( x, j_i(x) )$である($i \equ 0, 1$)。
      • $\all x^\prime \in X \;\;\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} 0 \nequ s_0 \cdot s_1 & \equ & \parenth{ \prod\limits_{x \in X} a( x, j_0(x) ) } \cdot \parenth{ \prod\limits_{x \in X} a( x, j_1(x) ) } \\ & \leq & a( x^\prime, j_0(x^\prime) ) \cdot a( x^\prime, j_1(x^\prime) ) \end{array}$
        である。
        従って、$\all x \in X \;\; a( x, j_0(x) ) \cdot a( x, j_1(x) ) \nequ 0$である。
        従って、$\all x \in X \;\; j_0(x) \equ j_1(x)$である($a$の定義に注意)。
      • よって、$j_0 \equ j_1$、従って、$s_0 \equ s_1 \in S$である。
      • ($\text{ii}$)$\all s^\prime \in S \;\; s^\prime \leq \sum\limits_{s \in S} s \equ f(S)$である。
      • 逆に、任意の$s \in A$に対し、$s \leq f(S)$ならば、$s \cdot f(S) \equ s$ $\nequ$ $s \in A$ $0$である。
        従って、($\text{i}$)より、$s \in S$である。
      • ($\text{iii}$)($\subseteq$):任意の$s \in A \backslash S$に対し、($\text{i}$)より、$s \cdot f(S) \equ 0$、つまり、$s \leq -f(S)$である。
      • $\supseteq$$s \in A$を任意に取り、$s \leq -f(S)$を仮定する。
      • [背理法]$s \in S$を仮定する。
      • 仮定[背理法], ($\text{ii}$)より、$s \leq f(S)$である。
      • $0$ $\nequ$ $s \in A$ $s \leq f(S) \cdot ( -f(S) ) \equ 0$は矛盾している。
    • ($\text{i}$)$S_0, S_1 \subseteq A$を任意に取り、$f(S_0) \equ f(S_1)$を仮定する。
    • $S_0 \equ \Set{ s \in A }{ s \leq f(S_0) } \equ \Set{ s \in A }{ s \leq f(S_1) } \equ S_1$である。
    • ($\text{ii}$)$y \in X$を任意に取る。
    • $S :\equ \Set{ \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) }{ j : X \rightarrow 2 \;\land j(y) \equ 1 } \backslash \{ 0 \} \;( \subseteq A )$と置く。
    • $\sum\limits_{s \in S} s \equ \sum\limits_{j : X \rightarrow 2} \parenth{ y \cdot \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) }$が成り立つ。
      • $\all j : X \rightarrow 2 \;\; y \cdot \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) \equ \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} 0 & \parenth{ j(y) \equ 0 の場合} \\ \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) & \parenth{ j(y) \equ 1 の場合} \end{array}\right.$が成り立つ。
        • $j(y) \equ 0$の場合:
          • $y \cdot \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) \leq y \cdot a( y, j(y) ) \equ y \cdot (-y) \equ 0$である。
        • $j(y) \equ 1$の場合:
          • $\prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) \leq a( y, j(y) ) \equ y $である。
            つまり、$y \cdot \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) \equ \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) )$である。
      • $\leq$$\all s \in S \;\; s$ $\equ$ y・Π_{x∈X}a(x,jx)=0orΠ_{x∈X}a(x,jx) $y \cdot s \leq \sum\limits_{j : X \rightarrow 2} \parenth{ y \cdot \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) }$である。
        従って、$\sum\limits_{s \in S} s \leq \sum\limits_{j : X \rightarrow 2} \parenth{ y \cdot \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) }$である。
      • $\geq$$\all j : X \rightarrow 2 \;\; y \cdot \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) \leq \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) )$ $\leq$ y・Π_{x∈X}a(x,jx)=0orΠ_{x∈X}a(x,jx) $\sum\limits_{s \in S} s$である。
        従って、$\sum\limits_{j : X \rightarrow 2} \parenth{ y \cdot \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) } \leq \sum\limits_{s \in S} s$である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \sum\limits_{j : X \rightarrow 2} \parenth{ y \cdot \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) } & \equ & y \cdot \sum\limits_{j : X \rightarrow 2} \parenth{ \prod\limits_{x \in X} a( x, j(x) ) } & \\ & \equ & y \cdot \prod\limits_{x \in X} \parenth{ a(x, 0) + a(x, 1) } & 仮定[X] \\ & \equ & y \cdot 1 & a \text{の定義} \end{array}$
      である。
    • これらより、$\sum\limits_{s \in S} s \equ y$である。
    • ($\text{iii}$)$S_0, S_1 \subseteq A$を任意に取る。
    • (あ)$\all s \in S_i \;\; s \leq f(S_i) \leq f(S_0) + f(S_1) \;(i \equ 0, 1)$である。
      従って、$\all s \in S_0 \cup S_1 \;\; s \leq f(S_0) + f(S_1)$である。
    • (い)$t \in X$を任意に取り、$\all s \in S_0 \cup S_1 \;\; s \leq t$を仮定する。
    • $\all s \in S_i \;\; s \leq t$なので、$f(S_i) \equ \sum\limits_{s \in S_i} s \leq t \;(i \equ 0, 1)$である。
      従って、$f(S_0) + f(S_1) \leq t + t \equ t$である。
    • (あ),(い)より、$\parenth{ f(S_0 \cup S_1) \equ } \sum\limits_{s \in S_0 \cup S_1} s \equ f(S_0) + f(S_1)$である。
    • ($\text{iv}$)$S \subseteq A$を任意に取る。
    • $A \backslash S$ $\equ$ S=(f(S)],A\S=(-f(S)]($\text{iii}$) $\Set{ s \in A }{ s \leq -f(S) }$である。
    • 従って、$f(A \backslash S) \equ f( \Set{ s \in A }{ s \leq -f(S) } )$ $\equ$ $f$の定義 $\sum\limits_{s \in A, s \leq -f(S)} s \leq -f(S)$である。
      従って、$f(A \backslash S) \cdot f(S) \equ 0$である。
    • 一方、$f(A \backslash S) + f(S)$ $\equ$ ($\text{iii}$) $f(A \backslash S \cup S) \equ f(A) \equ 1$である。
    • これらより、$-f(S) \equ f(A \backslash S)$である。
    • ($\text{v}$)$S_0, S_1 \subseteq A$を任意に取る。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} f(S_0 \cap S_1) & \equ & f\parenth{ A \backslash \bracket{ \parenth{ A \backslash S_0 } \cup \parenth{ A \backslash S_1 } } } & \text{Pow}(A)でのド・モルガン\\ & \equ & -f\parenth{ \parenth{ A \backslash S_0 } \cup \parenth{ A \backslash S_1 } } & (\text{iv}) \\ & \equ & -\bracket{ f( A \backslash S_0 ) + f( A \backslash S_1 ) } & (\text{iii}) \\ & \equ & -\bracket{ ( -f(S_0) ) + ( -f(S_1) ) } & (\text{iv}) \\ & \equ & f(S_0) \cdot f(S_1) & Xでのド・モルガン \end{array}$
      である。

ブール代数2:$\text{Generic}$について

$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。
$\phi \nequ A \subseteq X$とする。
$A$は$\text{filter}$ $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & 1 \in A \\ (2) & \all a, b \in A \;\; a \cdot b \in A \\ (3) & \all a \in A \;\; \all x \in X \;\; a + x \in A \end{array}\right.$
$A$は$\text{固有filter}$ $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \text{はfilter}、及び \\ (4) & 0 \not\in A \end{array}\right.$
$A$は$\text{極大filter}$ $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \text{は固有filter}、及び \\ (5) & A \subseteq \all F \subseteq X \;\bracket{ F \text{は固有filter} \Rightarrow A \equ F } \end{array}\right.$
  • $A \text{は固有filter}$とする。
    $\left[\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \subseteq \all F \subseteq X \;\bracket{ F \text{は固有filter} \Rightarrow A \equ F } \\ \Leftrightarrow & \all x \in X \;\parenth{ x \in A \veebar -x \in A } \end{array}\right]$が成り立つ。
    (注意:$\veebar$は排他的論理和)
    • $0 \not\in A$なので、$\all \in x \in X \;\; \neg \bracket{ x \in A \land -x \in A }$は常に成り立っていることに注意する。
    • $\Rightarrow$$x \in X$を任意に取る。
    • $F :\equ \Set{ z \in X }{ \exi y \in A \;\; x \cdot y \leq z }$と置く。
    • 簡単な計算により、$A \subseteq F \text{はfilter}$である。
    • 従って、仮定より、$\bracket{ 0 \not\in F \Rightarrow A \equ F }$、つまり、$\bracket{ 0 \in F \lor A \equ F }$、
      つまり、$\bracket{ F \equ X \lor A \equ F }$である。
    • $F \equ X$の場合:
      • $-x \in X \equ F$なので、$\exi y \in A \;\; x \cdot y \leq -x$である。
      • 従って、$-x \equ -x + x \cdot y \equ ( (-x) + x ) \cdot ( (-x) + y ) \equ (-x) + y$ $\in$ $A \text{はfilter}$ $A$である。
    • $A \equ F$の場合:
      • $x \cdot 1 \leq x$なので、$x \in F \equ A$である。
    • よって、$\bracket{ x \in A \lor -x \in A }$である。
    • $\Leftarrow$任意に$A \subseteq F \subseteq X$なる$F$を取り、$F \text{は固有filter}$を仮定する。
    • $\all x \in F \;\; x \in A$の場合:
      • $A \equ F$である。
    • $\exi x \in F \;\; x \not\in A$の場合:
      • 仮定より、$-x \in A$である。従って、$-x \in A \subseteq F$である。
      • 従って、$0 \equ x \cdot (-x) \in F$であるが、$F \text{は固有filter}$に矛盾している。

$(X, \leq)$を順序集合とする。
$\phi \nequ A \subseteq X$とする。
$A$は$\text{filter}$ $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all a, b \in A \; \exi x \in A \;\bracket{ x \leq a \land x \leq b } \\ \text{かつ} & \all x \in X \;\bracket{ \exi a \in A \;\; a \leq x \Rightarrow x \in A } \end{array}\right.$
$A$は$\text{極大filter}$ $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \text{はfilter} \\ \text{かつ} & A \subseteq \all F \subseteq X \;\bracket{ F \text{はfilter} \Rightarrow A \equ F } \end{array}\right.$

$X$をブール代数とする。
$X$を順序集合とも考える。
$\phi \nequ \all A \subseteq X \bracket{ A は(ブール代数の)\text{filter} \Leftrightarrow Aは(順序集合の)\text{filter} }$が成り立つ。
  • $\Rightarrow$$\all a, b \in A \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & a \cdot b \in A \\ かつ & a \cdot b \leq a \land a \cdot b \leq b \end{array}\right.$である。
  • $x \in X$を任意に取り、$\exi a \in A \;\; a \leq x$を仮定する。
  • $x \equ a + x \in A$である。
  • $\Leftarrow$$A \nequ \phi$なので、$\exi c \in A$である。
  • $c \leq 1$なので、$1 \in A$である。
  • $a, b \in A$を任意に取る。
  • $\exi x \in A \;\bracket{ x \leq a \land x \leq b }$なので、$x \leq a \cdot b$である。
  • $x \in A \land x \leq a \cdot b$なので、$a \cdot b \in A$である。
  • $a \in A, x \in X$を任意に取る。
  • $a \in A \land a \leq a + x$なので、$a + x \in A$である。


$\mathcal{X} \equ (X, \leq)$を順序集合とする。
$\phi \nequ A \subseteq X$とする。
$M$を集合とする。
$\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} A は\mathcal{X}\text{-generic over} \ M & :\Leftrightarrow & \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all a, b \in A \; \exi x \in {\color{red} X} \;\bracket{ x \leq a \land x \leq b } \\ \text{かつ} & \all x \in X \;\bracket{ \exi a \in A \;\; a \leq x \Rightarrow x \in A } \\ \text{かつ} & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\bracket{ \text{cl}(S) \equ X \Rightarrow A \cap S \nequ \phi } \end{array}\right. \\ A は\text{強}\mathcal{X}\text{-generic over} \ M & :\Leftrightarrow & \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & A \text{はfilter} \\ \text{かつ} & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\bracket{ \text{cl}(S) \equ X \Rightarrow A \cap S \nequ \phi } \end{array}\right. \end{array}$
$x \in X$に対し、$(x] :\equiv \Set{ y \in X }{ y \leq x }$と置く。
$M$に関する述語$\mathcal{M}_i \;(i \equ 1, 2, 3)$を次で定義する:
$\begin{array}{@{}c@{}c@{}cl} \mathcal{M}_1(X) : & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) & S \cup X \backslash \text{cl}(S) & \in M \\ \mathcal{M}_2(X) : & \all x \in X & (x] \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) & \in M \\ \mathcal{M}_3(X) : & \all x, y \in X & \bracket{ (x] \cap (y] } \cup X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } & \in M \end{array}$

$M \cap \text{Pow}(X) \text{は加算}$を仮定する。
$\all x \in X \;\; x \in \exi A \subseteq X \;\; A \text{は}\text{強}\mathcal{X}\text{-generic over} \ M$が成り立つ$^{AC}$。
  • $\Set{ S \in M \cap \text{Pow}(X) }{ \text{cl}(S) \equ X}$ $\equ$ 仮定により
    こちらも加算
    $\braces{ S_0, S_1, \cdots, S_n, \cdots }$と表す。
  • $\all n \in \mathbb{N} \;\; \all x \in X \;\; (x] \cap S_n$ $\nequ$ $\text{cl}(S_n) \equ X$ $\phi$なので、$\exi f \in \prod\limits_{(n, x) \in \mathbb{N} \times X} (x] \cap S_n$である$^{AC}$。
  • $a_0 :\equ x, a_{n+1} :\equ f(n, a_n) \;\parenth{ n \in \mathbb{N} }$と定義する。
    $A :\equiv \Set{ a \in X }{ \exi n \in \mathbb{N} \;\; a_n \leq a }$と置く。
  • この$A$が求めるものであることを示す。
  • (1)明らかに$x \equ a_0 \in A$である。
  • (2)$a, b \in A$を任意に取り、$a_n \leq a, a_m \leq b \;\parenth{ n \leq m }$と仮定する。
  • $a_{n+1} \equ f(n, a_n) \in (a_n]$なので、$a_{n+1} \leq a_n$である。
    これを繰り返して、$a_m \leq \cdots \leq a_n$である。
  • よって、$a_m \in A \land a_m \leq a \land a_m \leq b$である。
  • また、$\all x \in X \;\bracket{ \exi a \in A \;\; a \leq x \Rightarrow x \in A }$は$A$の定義から明らか。
  • (3)$n \in \mathbb{N}$を任意に取る。
  • $a_{n+1} \equ f(n, a_n) \in S_n$なので、$a_{n+1} \in A \cap S_n$である。

  1. $\mathcal{M}_1(X)$を仮定する。
    $\bracket{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\bracket{ \text{cl}(S) \equ X \Rightarrow A \cap S \nequ \phi } \\ \Leftrightarrow & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\; A \cap \parenth{ S \cup X \backslash \text{cl}(S) } \nequ \phi \end{array}}$が成り立つ。
    • $\Rightarrow$仮定[$\mathcal{M}_1(X)$]より、$S \cup X \backslash \text{cl}(S) \in M \cap \text{Pow}(X)$である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \text{cl}\bracket{ S \cup X \backslash \text{cl}(S) } & \equ & \text{cl}(S) \cup \text{cl}\parenth{ X \backslash \text{cl}(S) } \\ & \supseteq & \text{cl}(S) \cup \parenth{ X \backslash \text{cl}(S) } \\ & \equ & X \end{array}$
      である。
    • よって、$A \cap \parenth{ S \cup X \backslash \text{cl}(S) } \nequ \phi$である。
    • $\Leftarrow$$S \in M \cap \text{Pow}(X)$を任意に取り、$\text{cl}(S) \equ X$を仮定する。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} \phi & \nequ & A \cap \parenth{ S \cup X \backslash \text{cl}(S) } \\ & \equ & A \cap \parenth{ S \cup \phi } \\ & \equ & A \cap S \end{array}$
      である。
  2. $\mathcal{M}_2(X)$を仮定する。
    $\phi \nequ \all A \subseteq X \;\bracket{ A は\mathcal{X}\text{-generic over} \ M \Rightarrow A \subseteq \all \text{filter} \ B \subseteq X \;\; A \equ B }$が成り立つ。
    • 任意に$\text{filter} \ B \subseteq X$を取り、$A \subseteq B$を仮定する。
    • $x \in B$を任意に取る。
    • 仮定[$\mathcal{M}_2(X)$]より、$(x] \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) \in M \cap \text{Pow}(X)$である。
    • $\text{cl}\bracket{ (x] \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) }$ $\supseteq$ (1)と同じ議論 $\text{cl}( (x] ) \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) \equ X$である。
    • 従って、仮定を併せて、$\exi y \in A \cap \parenth{ (x] \cup X \backslash \text{cl}( (x] ) }$である。
    • $y \in A \subseteq B, x \in B かつ B \text{はfilter}$なので、$\exi z \in B \;\bracket{ z \leq x \land z \leq y }$である。
    • 従って、$(y] \cap (x] \nequ \phi$つまり、$y \in \text{cl}( (x] )$つまり、$y \not\in X \backslash \text{cl}( (x] )$である。
    • 従って、filterの性質を使う基となる命題を併せて、$y \in (x]$である。
    • 従って、$y \in A$, 仮定[$A$]を併せて、$x \in A$である。
    • よって、$B \subseteq A$である。
  3. $\mathcal{M}_3(X)$を仮定する。
    $\phi \nequ \all A \subseteq X \;\bracket{ A は\mathcal{X}\text{-generic over} \ M \Rightarrow A \text{はfilter} }$が成り立つ。
    • $\all x, y \in A \;\; A \cap \bracket{ (x] \cap (y] } \nequ \phi$を証明すればよい。
    • $S :\equ \bracket{ (x] \cap (y] } \cup X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } \;( $ $\in$ 仮定[$\mathcal{M}_3(X)$] $M \cap \text{Pow}(X) )$と置く。
    • $\text{cl}(S) \equ X$が成り立つ。
      • $z \in X$を任意に取る。
      • $(z] \cap X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } \nequ \phi$の場合:
        • $\phi \nequ (z] \cap X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } \subseteq (z] \cap S$なので、$z \in \text{cl}(S)$である。
      • $(z] \cap X \backslash \bracket{ \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) } \equ \phi$の場合:
        • $(z] \subseteq \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] )$である。
        • $z \in \text{cl}( (x] )$なので、$(z] \cap (x] \nequ \phi$である。
          従って、$\exi u \in X \;\bracket{ u \leq z \land u \leq x }$である。
        • $u \in (z] \subseteq \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] ) \subseteq \text{cl}( (y] )$なので、$(u] \cap (y] \nequ \phi$である。
        • これらより、$\phi \nequ (u] \cap (y] \subseteq \parenth{ (z] \cap (x] } \cap (y] \subseteq (z] \cap S$である。
        • よって、$z \in \text{cl}(S)$である。
    • 従って、仮定を併せて、$A \cap S \nequ \phi$である。
    • $A \subseteq \text{cl}( (x] ) \cap \text{cl}( (y] )$が成り立つ。
      • $z \in A$を任意に取る。
      • $z, x \in A$と$A \text{はfilter}$より、$(z] \cap (x] \nequ \phi$である。
      • 従って、$z \in \text{cl}( (x] )$である。
      • 同様に、$z \in \text{cl}( (y] )$である。
    • これらより、$A \cap \bracket{ (x] \cap (y] } \nequ \phi$である。

$\mathcal{X} \equ (X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。
$M$を集合とする。
$X はM\text{-complete(完備)} :\Leftrightarrow \all A \in M \cap \text{Pow}(X) \;\; \exi \sum\limits_{a \in A} a \in X$
$M$に関する述語$\mathcal{M}_4$を次で定義する:
$\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \mathcal{M}_4(X) : & \all S \in M \cap \text{Pow}(X) \;\; \Set{ -x }{ x \in S } \in M \end{array}$
$\phi \nequ A \subseteq X$とし、$A \text{はfilter}$とする。
$\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A \text{はcomplete(完備)} & :\Leftrightarrow & \all B \in \text{Pow}(A) & \prod\limits_{b \in B} b \in A \\ A \text{は}M\text{-complete(完備)} & :\Leftrightarrow & \all B \in M \cap \text{Pow}(A) & \prod\limits_{b \in B} b \in A \end{array}$

「順序集合$X$における$\text{generic over} \ M$」と「$M \text{-完備ブール代数} \text{RegOp}^M(X)$における$M \text{-完備極大filter}$」が可逆に対応している:
${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}*[white]\xymatrix@C=20pt@R=15pt{ & 順序集合X \ar@1{-} `l[ldd] `d[ddr] `r[r] `u[l] [] & & & M\text{-完備ブール代数}\text{RegOp}^M(X) \ar@1{-} `l[ldd] `d[ddr] `r[r] `u[l] & \\ & \text{generic over} \ M \ar@1@/^1pc/[rrr]^(.45)f & & & M\text{-完備極大filter} \ar@1@/^1pc/[lll]^(.55)g & \\ & & & & & }\end{xy} }}$
[注意](3)($\text{i}$)($\text{iii}$),(4)($\text{i}$)の証明が未完成。
$\mathcal{X} \equ (X, \leq)$を順序集合とする。
$M$を集合とし、$M$はZF集合論のモデル、かつ、$\mathcal{X} \in M$と仮定する。
$\text{RegOp}^M(X) :\equ M \cap \text{RegOp}(X)$と置く。
  1. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \text{RegOp}^M(X) \text{は}M\text{-完備ブール代数} \\ (\text{ii}) & \mathcal{M}_1(X), \mathcal{M}_2(X), \mathcal{M}_3(X), かつ, \mathcal{M}_4( \text{RegOp}^M(X) ) \end{array}\right.$が成り立つ。
    • これらの証明は略。
  2. $\text{Gen}_M(X) :\equ \Set{ A \subseteq X }{ A は\mathcal{X}\text{-generic over} \ M }$と置く。
    $f : \text{Gen}_M(X) \rightarrow \text{Pow}( \text{RegOp}^M(X) ), A \mapsto \Set{ U \in \text{RegOp}^M(X) }{ A \cap U \nequ \phi }$と置く。
    $\text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) ) :\equ \Set{ \mathcal{B} \subseteq \text{RegOp}^M(X) }{ \mathcal{B} \text{は}M\text{-完備極大filter} }$と置く。
    $g : \text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) ) \rightarrow \text{Pow}(X), \mathcal{B} \mapsto \Set{ x \in X }{ \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in \mathcal{B} }$と置く。
  3. $\all A \in \text{Gen}_M(X) \;\; f(A) \in \text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) )$が成り立つ。
    • ($\text{i}$)$\phi \not\in f(A)$は明らか。また、$\phi \nequ A \equ A \cap X$なので、$X \in f(A)$である。
    • ($\text{ii}$)$U \in f(A), V \in \text{RegOp}^M(X)$を任意に取る。
    • (1)($\text{i}$)より、$U + V \in \text{RegOp}^M(X)$である。
    • $\phi \nequ A \cap U \subseteq A \cap \parenth{ U + V }$なので、$U + V \in f(A)$である。
    • ($\text{iii}$)$U_1, U_2 \in f(A)$を任意に取る。
    • (1)($\text{i}$)より、$U_1 \cdot U_2 \in \text{RegOp}^M(X)$である。
    • $A \cap U_i \nequ \phi$なので、$\exi u_i \in A \;\; u_i \in U_i$、従って、$(u_i] \subseteq U_i$である($i \equ 1, 2$)。
    • $A \in \text{Gen}_M(X)$, (1)($\text{ii}$)の$\mathcal{M}_3(X)$とM_iの定義と性質(3)より、$A \cap \parenth{ (u_1] \cap (u_2] } \nequ \phi$である。
    • これらより、$\phi \nequ A \cap \parenth{ (u_1] \cap (u_2] } \subseteq A \cap \parenth{ U_1 \cap U_2 }$である。
    • よって、$U_1 \cdot U_2 \equ U_1 \cap U_2 \in f(A)$である。
    • ($\text{iv}$)極大であることを証明するために、その同値命題を証明する。
    • $U \in \text{RegOp}^M(X)$を任意に取る。
    • $U \cup (-U) \equ U \cup X \backslash \text{cl}(U)$ $\in$ $\mathcal{M}_1(X)$ $M$である。
    • $\text{cl}( U \cup (-U) ) \supseteq \text{op}\circ\text{cl}( U \cup (-U) ) \equ U + (-U) \equ X$である。
    • これらより、$A \in \text{Gen}_M(X)$を併せて、$A \cap ( U \cup (-U) ) \nequ \phi$
      つまり、$\bracket{ A \cap U \nequ \phi \lor A \cap (-U) \nequ \phi }$である。
    • よって、$\bracket{ U \in f(A) \lor (-U) \in f(A) }$である。
    • ($\text{v}$)$\mathcal{B}_0 \in M \cap \text{Pow}( f(A) )$を任意に取る。
    • (あ)まず、$\Set{ -U }{ U \in \mathcal{B}_0 }$ $\in$ $\mathcal{B}_0 \in M \cap \text{Pow}( \text{RegOp}^M(X) )$,
      (1)($\text{ii}$)の$\mathcal{M}_4( \text{RegOp}^M(X) )$
      $M$である。
      従って、(1)($\text{i}$)を併せて、$\exi \sum\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) \in \text{RegOp}^M(X)$である。
    • 従って、$\prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \equ -\sum\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) \in \text{RegOp}^M(X)$である。
    • (い)$A \in \text{Gen}_M(X)$, (1)($\text{ii}$)の$\mathcal{M}_1(X)$, M_iの定義と性質(1)より、$A \cap \bracket{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \cup X \backslash \text{cl}\parenth{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } } \nequ \phi$である。
    • $A \cap X \backslash \text{cl}\parenth{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } \equ \phi$が成り立つ。
      • [背理法]$A \cap X \backslash \text{cl}\parenth{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } \nequ \phi$を仮定する。
      • $A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) } \nequ \phi$が成り立つ。
        • 仮定[背理法]より、$\exi a \in A \;\; a \in X \backslash \text{cl}\parenth{ \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } \equ \text{op}\parenth{ X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U }$である。
          従って、$(a] \subseteq X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U$である。
        • 従って、$\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U }$ $\equ$ $X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \text{は閉集合}$ $\text{op}\parenth{ X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U } \subseteq X \backslash \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U$である。
        • $\mathcal{B}_1 :\equ \mathcal{B}_0 \cup \{ \text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \}$と置く。
        • $\prod\limits_{U \in \mathcal{B}_1} U $ $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap\limits_{ U \in \mathcal{B}_1} U } \equ \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \cap \bigcap\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U }$
            $\subseteq$ $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( (a] ) } \cap \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U }$
            $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \cap \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U$ $\equ$ opcl(a]・ΠU=φ $\phi$
          である。
        • 従って、$X \equ -\prod\limits_{U \in \mathcal{B}_1} U \equ \sum\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) \equ \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) } \subseteq \text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) }$である。
        • 従って、$A \in \text{Gen}_M(X)$より、$A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) } \nequ \phi$である。
        • ところで、$\all x \in A \;\; (x] \cap (a]$ $\nequ$ $A \text{は(順序集合の)filter}$ $\phi$、つまり、$A \subseteq \text{cl}( (a] )$である。
          従って、$A \subseteq \text{cl}\circ\text{op}( (a] ) \equ \text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}( (a] ) \equ \text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}( (a] )$である。
          従って、$A \cap X \backslash \text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}( (a] ) } \equ \phi$である。
        • これらより、
          $\phi$ $\nequ$ $A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_1} (-U) }$ $\equ$ $A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) \cup -\text{op}\circ\text{cl}( (a] )}$
            $\equ$ $\bracket{ A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) } } \cup \bracket{ A \cap -\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) }$
            $\equ$ $A \cap \parenth{ \bigcup\limits_{U \in \mathcal{B}_0} (-U) }$
          である。
      • 従って、$\exi a_0 \in A \;\; \exi U \in \mathcal{B}_0 \;\; a_0 \in -U \equ \text{op}( X \backslash U )$である。
        従って、$(a_0] \subseteq X \backslash U$、つまり、$(a_0] \cap U \equ \phi$である。
      • また、$U \in \mathcal{B}_0 \subseteq f(A)$なので、$A \cap U \nequ \phi$、つまり、$\exi a_1 \in A \;\; a_1 \in U \equ \text{op}(U)$である。
      • これらより、$\phi$ $\nequ$ $A \text{は(順序集合の)filter}$ $(a_0] \cap (a_1] \subseteq (a_0] \cap U \equ \phi$となって矛盾する。
    • これらより、$A \cap \prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \nequ \phi$である。
    • よって、$\prod\limits_{U \in \mathcal{B}_0} U \in f(A)$である。
  4. $\all \mathcal{B} \in \text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) ) \;\; g(\mathcal{B}) \in \text{Gen}_M(X)$が成り立つ。
    • [注意]$g(\mathcal{B}) \nequ \phi$の証明がわからない。
    • ($\text{i}$)$x, y \in g(\mathcal{B})$を任意に取る。
    • $\text{op}\circ\text{cl}( (x] \cap (y] )$ $\equ$ $(x], (y] \text{は開集合}$ $\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \cap \text{op}\circ\text{cl}( (y] )$ $\in$ $\mathcal{B} \text{は(ブール代数の)filter}$ $\mathcal{B}$である。
      従って、$\phi \not\in \mathcal{B}$を併せて、$\text{op}\circ\text{cl}( (x] \cap (y] ) \nequ \phi$である。
      従って、$(x] \cap (y] \nequ \phi$、つまり、$\exi z \in X \;\bracket{ z \leq x \lor z \leq y }$である。
    • ($\text{ii}$)$x \in X$を任意に取り、$\exi a \in g(\mathcal{B}) \;\; a \leq x$を仮定する。
    • $\text{op}\circ\text{cl}( (x] )$ $\equ$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}( (x] )$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) + \text{op}\circ\text{cl}( (x] )$ $\in$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \in \mathcal{B}$
      $\mathcal{B} \text{は(ブール代数の)filter}$
      $\mathcal{B}$である。
      従って、$x \in \mathcal{B}$である。
    • ($\text{iii}$)$S \in M \cap \text{Pow}(X)$を任意に取り、$\text{cl}(S) \equ X$を仮定する。
    • $\sum\limits_{x \in S} \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \equ \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{x \in S} \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) }$ $\supseteq$ $\text{op}\circ\text{cl}( (a] ) \supseteq (x] \supseteq \{x\}$ $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{x \in S} \{ x \} } \equ \text{op}\circ\text{cl}(S) \equ X$である。
    • $\exi x \in S \;\; \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in \mathcal{B}$が成り立つ。
      • [背理法]$\all x \in S \;\; \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \not\in \mathcal{B}$を仮定する。
      • 仮定[$\mathcal{B} \text{は極大}$]より、$\all x \in S \;\; -\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in \mathcal{B}$である。
      • 従って、仮定[$\mathcal{B} \text{は}M\text{-完備}$]を併せて、$\prod\limits_{x \in S} ( -\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) ) \in \mathcal{B}$である。
        注意 $\mathcal{B}$は${\color{red}M}\text{-complete}$なので、
        この定義を$\mathcal{B}_0 :\equ \Set{ -\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) }{ x \in S }$に適用するに際しては、
        $\mathcal{B}_0 \in M$であることをも証明してからでないとダメ。
        でも、その証明が分からないし、
        竹内外史の「Axiomatic Set Theory」 p33,
        倉田令二郎、篠田寿一の「公理的集合論」 p145
        においても全く触れられていない。
      • 従って、$\mathcal{B} \ni \prod\limits_{x \in S} ( -\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) ) \equ -\sum\limits_{x \in S} \text{op}\circ\text{cl}( (x] )$ $\equ$ Σ_{x∈S}opcl(x]=X $-X \equ \phi$
      • しかし、仮定[$\mathcal{B} \text{は極大filter}$]より$\phi \not\in \mathcal{B}$であるので、これらは矛盾している。
    • 従って、$x \in g(\mathcal{B}) \cap S$である。
  5. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \all A \in \text{Gen}_M(X) & g( f(A) ) & \equ & A \\ (\text{ii}) & \all \mathcal{B} \in \text{CMF}_M( \text{RegOp}^M(X) ) & f( g(\mathcal{B}) ) & \equ & \mathcal{B} \end{array}\right.$が成り立つ。
    • ($\text{i}$)$\all x \in A \;\; x \in A \cap \text{op}\circ\text{cl}( (x] )$なので、$\all x \in A \;\; \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in f(A)$である。
      注意 $\text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in M$であることをも証明しなくてはいけない。
      しかし、その証明が分からない。
      竹内外史の「Axiomatic Set Theory」 p21~p22に若干近いことは書いてある。
    • 従って、$A \subseteq g( f(A) )$である。
    • よって、(1)($\text{ii}$)の$\mathcal{M}_2(X)$とM_iの定義と性質(2)より、$A \equ g( f(A) )$である。
    • ($\text{ii}$)$U \in f( g(\mathcal{B}) )$を任意に取る。
    • $g(\mathcal{B}) \cap U \nequ \phi$なので、$\exi x \in g(\mathcal{B}) \;\; x \in U$である。
      従って、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \in \mathcal{B} \\ かつ & \text{op}\circ\text{cl}( (x] ) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}(U) \equ U \end{array}\right.$である。
    • 従って、$\mathcal{B} \text{は(ブール代数の)(固有)filter}$を併せて、$U \in \mathcal{B}$である。
    • よって、$f( g(\mathcal{B}) ) \subseteq \mathcal{B}$である。
    • よって、(2)[$f( g(\mathcal{B}) ) \text{は極大filter}$], $\mathcal{B}\text{は固有filter}$を併せて、$f( g(\mathcal{B}) ) \equ \mathcal{B}$である。

ブール代数1:ブール代数はある完備ブール代数に埋め込める

下図の「1→2→3」の順で議論を進めていく(定理の番号に対応しているわけではない):
${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}*[white]\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ ブール代数 \ar@1@<1ex> `d/2pt[dr]_{3} `r/2pt[r] [r] \ar@1{^{(}->} [r] & 完備ブール代数 \\ 順序集合 \ar@1 `r/2pt[ur]_{2} [ur] & 位相空間 \ar@1@<-1ex>[u]_{1} }\end{xy} }}$
$(X, \mathcal{O}_X)$ を位相空間とする。
$\text{op}$ は開核作用素、$\text{cl}$ は閉包作用素とする。
  1. $A \subseteq X$ とする。
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}(A) \equ \text{op}\circ\text{cl}(A) \\ (\text{ii}) & \text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}(A) \equ \text{cl}\circ\text{op}(A) \end{array}$ が成り立つ。
    • $(\text{i})$$\text{op}(\text{cl}(A)) \subseteq \text{cl}(A)$ なので、$\text{cl}\bracket{\text{op}(\text{cl}(A))} \subseteq \text{cl}\bracket{\text{cl}(A)} \equ \text{cl}(A)$ である。
    • この両辺に$\text{op}$をとって、$\text{op}\bracket{\text{cl}(\text{op}(\text{cl}(A)))} \subseteq \text{op}\bracket{\text{cl}(A)}$ である。
    • 一方、$\text{op}\circ\text{cl}(A) \subseteq \text{cl}\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}(A) }$ である。
    • この両辺に$\text{op}$をとって、$\text{op}\circ\text{cl}(A) \equ \text{op}\bracket{\text{op}\circ\text{cl}(A)} \subseteq \text{op}\bracket{\text{cl}(\text{op}\circ\text{cl}(A))}$ である。
    • $(\text{ii})$$\text{op}(A) \subseteq \text{cl}(\text{op}(A))$ なので、$\text{op}(A) \equ \text{op}\bracket{\text{op}(A)} \subseteq \text{op}\bracket{\text{cl}(\text{op}(A))}$ である。
    • この両辺に$\text{cl}$をとって、$\text{cl}\bracket{\text{op}(A)} \subseteq \text{cl}\bracket{ \text{op}( \text{cl}( \text{op}(A) ) )}$ である。
    • 一方、$\text{op}\bracket{ \text{cl}\circ\text{op}(A) } \subseteq \text{cl}\circ\text{op}(A)$ である。
    • この両辺に$\text{cl}$をとって、$\text{cl}\bracket{ \text{op}( \text{cl}\circ\text{op}(A) ) } \subseteq \text{cl}\bracket{ \text{cl}\circ\text{op}(A) } \equ \text{cl}\circ\text{op}(A)$ である。
  2. $\all A \in \mathcal{O}_X \; \all B \subseteq X \;\bracket{ A \cap \text{cl}(B) \subseteq \text{cl}(A \cap B) }$ が成り立つ。
    • $x \in A \cap \text{cl}(B)$ を任意に取る。
    • $x \in \all U \in \mathcal{O}_X \;\; U \cap ( A \cap B ) \equ ( U \cap A ) \cap B$ $\nequ$ $x \in U \cap A \in \mathcal{O}_X$ かつ
      $x \in \text{cl}(B)$
      $\phi$ である。
    • よって、$x \in \text{cl}(A \cap B)$ である。
  3. $\all A, B \in \mathcal{O}_X \;\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(B) \equ \text{op}\circ\text{cl}(A \cap B) }$ が成り立つ。
    • 実際は、$A, B$の一方さえ開集合であれば良い。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l{}} \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(B) & \equ & \text{op}\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{cl}(B) } & \text{op}の性質 \\ & \subseteq & \text{op}\bracket{ \text{cl}\bracket{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap B } } & \text{op}\circ\text{cl}(A)は開集合, (2) \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}\bracket{ \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cap B } } } & \text{op}の性質 \\ & \subseteq & \text{op}\bracket{ \text{cl}\bracket{ \text{op}\bracket{ \text{cl}( A \cap B ) } } } & Bは開集合, (2) \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A \cap B) } & (1) \\ & \subseteq & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cap \text{cl}(B) } & \text{cl}の単調性 \\ & \equ & \text{op}( \text{cl}(A) ) \cap \text{op}( \text{cl}(B) ) & \text{op}の性質 \end{array}$
      である。
$(X, \mathcal{O}_X)$ を位相空間とする。
$\text{op}$ は開核作用素、$\text{cl}$ は閉包作用素とする。
$\text{RegOp}(X) :\equiv \Set{ A \subseteq X }{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \equ A }$
$A, B \in \text{RegOp}(X)$ に対し、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} A + B & :\equiv & \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) \\ A \cdot B & :\equiv & A \cap B \\ - A & :\equiv & \text{op}(X \backslash A) \equ X \backslash \text{cl}(A) \end{array}\right.$ と置く。
  1. $(\text{RegOp}(X), +, \cdot, -, \phi, X) \text{はブール代数}$ が成り立つ。
      以下において、$A, B, C \in \text{RegOp}(X)$ とする。
    • $\phi, X \in \text{RegOp}(X)$ は明らかである。
    • $(0)$
      $\text{RegOp}(X) \text{は}+, \cdot, -\text{の演算で閉じている}$が成り立つ。
      • $(\text{i})$$\text{op}\circ\text{cl}(A + B) \equ \text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) \equ \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) \equ A + B$ である。
      • よって、$A + B \in \text{RegOp}(X)$ である。
      • $(\text{ii})$$\text{op}\circ\text{cl}(A \cap B)$ $\equ$ 4個の作用素は2個にできる(他) $\text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(B)$ $\equ$ $A, B \in \text{RegOp}(X)$ $A \cap B$ である。
      • よって、$A \cdot B \in \text{RegOp}(X)$ である。
      • $(\text{iii})$$\text{op}\circ\text{cl}(-A) \equ \text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}(X \backslash A)$ $\equ$ $X \backslash A$ は閉集合 $\text{op}\circ\text{cl}\circ\text{op}\circ\text{cl}(X \backslash A) \equ \text{op}\circ\text{cl}(X \backslash A)$
        $\equ$ $X \backslash A$ は閉集合 $\text{op}(X \backslash A) \equ -A$ である。
      • よって、$-A \in \text{RegOp}(X)$ である。
    • $(1)$交換則は明らか。
    • $(2)$結合則について。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A + (B + C) & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}\parenth{ A \cup \text{op}\circ\text{cl}(B \cup C) } } & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A ) \cup \text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}(B \cup C) } } & \text{cl}の性質 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A ) \cup \text{cl}\parenth{ \text{op}\circ\text{cl}(\text{op}(B \cup C) ) } } & B \cup C \text{は開集合} \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A ) \cup \text{cl}(\text{op}(B \cup C)) } & 上記定理 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A ) \cup \text{cl}(B \cup C) } & B \cup C \text{は開集合} \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}( A \cup B \cup C ) } & \text{cl}の性質 \\ \end{array}$
      である。
    • 同様にして$(A + B) + C \equ \text{op}\circ\text{cl}( A \cup B \cup C )$である。
    • よって、$A + (B + C) \equ (A + B) + C$ である。
    • また、明らかに$A \cdot (B \cdot C) \equ (A \cdot B) \cdot C$ である。
    • $(3)$吸収則について。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A \cdot ( A + B ) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cap \text{cl}(A \cup B) } & \text{op}の性質 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cap \parenth{ \text{cl}(A) \cup \text{cl}(B) } } & \text{cl}の性質 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) } & \cap, \cupの吸収律 \\ & \equ & A & \end{array}$
      である。
    • また、$A + (A \cdot B) \equ \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ A \cup (A \cap B) } \equ \text{op}\circ\text{cl}( A ) \equ A$ である。
    • $(\text{4})$分配則について。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A \cdot ( B + C ) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(A) \cap \text{op}\circ\text{cl}(B \cup C) & \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ A \cap (B \cup C) } & 上記定理 \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ (A \cap B) \cup (A \cap C) } & \\ & \equ & A \cdot B + A \cdot C \end{array}$
      である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} (A + B) \cdot (A + C) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) \cap \text{op}\circ\text{cl}(A \cup C) & \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ (A \cup B) \cap (A \cup C) } & 上記定理 \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ A \cup (B \cap C) } & \\ & \equ & A + B \cdot C \end{array}$
      である。
    • $(\text{5})$単位元について。
    • 明らかに$A \cdot \phi \equ \phi$ である。
    • $A + X \equ \text{op}\circ\text{cl}(A \cup X) \equ X$ である。
    • $(\text{6})$補元則について。
    • $A \cdot (-A) \equ A \cap (X \backslash \text{cl}(A)) \subseteq \text{cl}(A) \cap (X \backslash \text{cl}(A)) \equ \phi$ である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A + (-A) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ A \cup \parenth{ X \backslash \text{cl}(A) } } & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cup \text{cl}\parenth{ X \backslash \text{cl}(A) } } & \text{cl}の性質 \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cup \parenth{ X \backslash \text{op}(\text{cl}(A)) } } & \text{op}, \text{cl}の書き換え \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cup \parenth{ X \backslash A } } & A \in \text{RegOp}(X) \\ & \supseteq & \text{op}\bracket{ A \cup (X \backslash A) } & \\ & \equ & \text{op}(X) \equ X & \\ \end{array}$
      である。
  2. ブール代数から順序集合が定義できることについては省略。
    $\text{RegOp}(X) \text{は完備}$、つまり、
    $\all \mathcal{U} \subseteq \text{RegOp}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}c@{}l@{}} & \sum\limits_{U \in \mathcal{U}} U & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup \mathcal{U} } \\ \text{かつ} & \prod\limits_{U \in \mathcal{U}} U & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap \mathcal{U} } \end{array}\right.$が成り立つ。
    • 注意:$A, B \in \text{RegOp}(X)$に対して、$A \leq B \Leftrightarrow A \cdot B \equ A \Leftrightarrow A \cap B \equ A \Leftrightarrow A \subseteq B$ である。
    • $(\text{i})$$\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup \mathcal{U} } \in \text{RegOp}(X)$である。
    • $\all U \in \mathcal{U} \; U \equ \text{op}\circ\text{cl}(U) \subseteq \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup \mathcal{U} }$ である。
    • 任意に$A \in \text{RegOp}(X)$を取り、$\all U \in \mathcal{U} \; U \subseteq A$を仮定する。
    • $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup \mathcal{U} }$ $\subseteq$ 仮定 $\text{op}\circ\text{cl}(A)$ $\equ$ $A \in \text{RegOp}(X)$ $A$である。
    • $(\text{ii})$$\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap \mathcal{U} } \in \text{RegOp}(X)$である。
    • $\all U \in \mathcal{U} \; \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap \mathcal{U} } \subseteq \text{op}\circ\text{cl}(U) \equ U$ である。
    • 任意に$A \in \text{RegOp}(X)$を取り、$\all U \in \mathcal{U} \; A \subseteq U$を仮定する。
    • $A$ $\equ$ $A \in \text{RegOp}(X)$ $\text{op}\circ\text{cl}(A)$ $\subseteq$ 仮定 $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap \mathcal{U} }$である。
$(X, \leq)$を順序集合とする。
$x \in X$に対し、$(x] :\equiv \Set{ y \in X }{ y \leq x }$と置く。
$\mathcal{O}_X :\equiv \parenth{ \Set{ (x] }{ x \in X } \text{から生成される開集合系} }$と置き、
$(X, \mathcal{O}_X)$を位相空間と考える。
  1. $\mathcal{O}_X \equ \Set{ U \subseteq X }{ \all x \in U \; (x] \subseteq U }$が成り立つ。
  2. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \all A \subseteq X \;\; \text{op}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \subseteq A } \\ (\text{ii}) & \all A \subseteq X \;\; \text{cl}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \cap A \nequ \phi } \end{array}\right.$が成り立つ。
    • $(\text{i})$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \text{op}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ x \in \exi U \in \mathcal{O}_X \;\; U \subseteq A } & \\ & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \subseteq A } & (1) \end{array}$
      である。
    • $(\text{ii})$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \text{cl}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ x \in \all U \in \mathcal{O}_X \;\; U \cap A \nequ \phi } & \\ & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \cap A \nequ \phi } & (1) \end{array}$
      である。
  3. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (\text{i}) & \all x, y \in X \;\bracket{ x \leq y \Rightarrow y \in \text{cl}(\{x\}) } \\ (\text{ii}) & \all a \in X \;\bracket{ \all x \in X \;\; x \leq a \Rightarrow \phi \nequ \all A \subseteq X \;\; a \in \text{cl}(A) } \end{array}\right.$が成り立つ。
    • ($\text{i}$)$x \in (y] \cap \{x\}$なので、(2)$(\text{ii})\supseteq$より、 $y \in \text{cl}(\{x\})$である。
    • ($\text{ii}$)$\exi c \in A$である。
    • $a$ $\in$ $c \leq a$と($\text{i}$) $\text{cl}(\{c\}) \subseteq \text{cl}(A)$である。
  4. $\all A \subseteq X \;\; \text{op}\circ\text{cl}(A) \equ \Set{ x \in X }{ \all y \in (x] \;\; (y] \cap A \nequ \phi }$が成り立つ。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \text{op}\circ\text{cl}(A) & \equ & \Set{ x \in X }{ (x] \subseteq \text{cl}(A) } & (2)(\text{i}) \\ & \equ & \Set{ x \in X }{ \all y \in (x] \;\; (y] \cap A \nequ \phi } & (2)(\text{ii}) \end{array}$
      である。
  5. $\text{RegOp}(X) \equ \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \all x \in X \backslash A \; \exi y \in (x] \;\bracket{ (y] \cap A \equ \phi } }$が成り立つ。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \text{RegOp}(X) & \equ & \Set{ A \subseteq X }{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \equ A } & 定義 \\ & \equ & \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \equ A } & \text{op}\circ\text{cl}(A) \in \mathcal{O}_X \\ & \equ & \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \text{op}\circ\text{cl}(A) \subseteq A } & \supseteq \text{は} A \in \mathcal{O}_X \text{から} \end{array}$
      $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} & \equ & \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \all x \in X \;\bracket{ \bracket{ \all y \in (x] \;\; (y] \cap A \nequ \phi } \Rightarrow x \in A } }& (4) \\ & \equ & \Set{ A \in \mathcal{O}_X }{ \all x \in X \backslash A \;\bracket{ \exi y \in (x] \;\; (y] \cap A \equ \phi } } & 対偶 \\ \end{array}$
      である。

$X$は完備ブール代数とする。
$(X_0 :\equiv X \backslash \{0\}, \leq)$はブール代数から定められる順序集合とする(詳細は略)。
$X \text{は} \text{RegOp}(X_0) \text{とブール代数として同型}$が成り立つ。
  • $f : X \rightarrow \text{Pow}(X_0), x \mapsto (x]$と定義する。
    $(x] \subseteq X_0$で考えているので、$(0] \equ \phi$であることに注意。
  • この$f$が$X$から$\text{RegOp}(X_0)$へのブール同型写像であることを示す。
  • $(\text{i})$
    $\all z \in X \; f(z) \in \text{RegOp}(X_0)$が成り立つ。
    • (あ)[対偶]$x \in X_0 \backslash (z]$を任意に取る。
    • $x \not\leq z$なので、$x \cdot (-z) \nequ 0$である。
    • また、$x \cdot (-z) \leq x$であり、
      $(x \cdot (-z)] \cap (z]$ $\equ$ $(x \cdot (-z)) \cdot z \equ 0 \not\in X_0$ $\phi$である。
    • これらより、$\exi y \in (x] \;\; (y] \cap (z] \equ \phi$である。
    • 従って、ブール代数→順序集合→位相→完備ブール代数(4)より、$x \not\in \text{op}\circ\text{cl}(z]$である。
    • よって、$X_0 \backslash (z] \subseteq X_0 \backslash \text{op}\circ\text{cl}(z]$である。
    • (い)$(z] \subseteq \text{op}\circ\text{cl}(z]$は明らかである。
  • $(\text{ii})$
    $f \text{は準同型}$が成り立つ。
    • $x, y \in X$を任意に取る。
    • (あ)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} (x] \cap (y] & \equ & \Set{ z \in X_0 }{ z \leq x \land z \leq y } \\ & \equ & \Set{ z \in X_0 }{ z \leq x \cdot y } \\ & \equ & (x \cdot y] \end{array}$
      である。
    • (い)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} -(x] & \equ & X_0 \backslash \text{cl}(x] & \\ & \equ & \Set{ y \in X_0 }{ (y] \cap (x] \equ \phi } & 上記(2)(\text{ii}) \\ & \equ & \Set{ y \in X_0 }{ x \cdot y \equ 0 } & \\ & \equ & \Set{ y \in X_0 }{ y \leq -x } \equ (-x] & \end{array}$
      である。
    • (う)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} (x] + (y] & \equ & -\bracket{ -(x] \cdot -(y] } & \text{RegOp}(X_0)でのド・モルガンの法則 \\ & \equ & -\bracket{ (-x] \cdot (-y] } & (い) \\ & \equ & -( (-x) \cdot (-y) ] & (あ) \\ & \equ & ( -\parenth{ (-x) \cdot (-y) } ] & (い) \\ & \equ & (x + y] & Xでのド・モルガンの法則 \\ \end{array}$
      である。
    • (え)$A \subseteq X$を任意に取る。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \prod\limits_{a \in A} f(a) & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcap\limits_{a \in A} f(a) } & \text{RegOp}(X_0)は完備 \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\Set{ x \in X_0 }{ \all a \in A \;\; x \leq a } & \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\Set{ x \in X_0 }{ x \leq \prod\limits_{a \in A} a } & \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\left( \prod\limits_{a \in A} a \right] & \\ & \equ & \left( \prod\limits_{a \in A} a \right] \equ f\parenth{ \prod\limits_{a \in A} a } & (\text{i}) \end{array}$
      である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \sum\limits_{a \in A} f(a) & \equ & -\prod\limits_{a \in A} \; -f(a) & \text{RegOp}(X_0)でのドモルガンの法則 \\ & \equ & -\prod\limits_{a \in A} \; f(-a) & (い) \\ & \equ & -f\parenth{ \prod\limits_{a \in A} \; -a } & \\ & \equ & f\parenth{ -\prod\limits_{a \in A} \; -a } & (い) \\ & \equ & f\parenth{ \sum\limits_{a \in A} \; a } & Xでのドモルガンの法則 \\ \end{array}$
      である。
  • $(\text{iii})$
    $f \text{は全単射}$が成り立つ。
    • $(\text{あ})$$x, y \in X$を任意に取り、$f(x) \equ f(y)$を仮定する。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (x + (-y)] & \equ & f( x + (-y) ) & \equ & f(x) + f(-y) & & \\ & \equ & f(x) + ( -f(y) ) & \equ & f(y) + ( -f(y) ) & \equ & X_0 \ni 1 \end{array}$
      なので、$1 \leq x + (-y)$である。
    • 従って、$y \equ y \cdot ( x + (-y) ) \equ x \cdot y$つまり、$y \leq x$である。
    • $\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (x \cdot (-y)] & \equ & f( x \cdot (-y) ) & \equ & f(x) \cdot f(-y) & & \\ & \equ & f(x) \cdot ( -f(y) ) & \equ & f(y) \cdot ( -f(y) ) & \equ & \phi \end{array}$
      なので、$0 \equ x \cdot (-y)$である。
    • 従って、$x \cdot y \equ x \cdot y + x \cdot (-y) \equ x$つまり、$x \leq y$である。
    • 単射の証明1,単射の証明2より、$x \equ y$である。
    • $(\text{い})$$A \in \text{RegOp}(X_0)$を任意に取る。
    • $\bigcup\limits_{a \in A} f(a)$ $\equ$ $\subseteq$は、$A \in \mathcal{O}_{X_0}$とブール代数→順序集合→位相→完備ブール代数(1)
      $\supseteq$は明らか。
      $A$である。
    • $f\parenth{ \sum\limits_{a \in A} a }$ $\equ$ $(\text{ii})$ $\sum\limits_{a \in A} f(a)$ $\equ$ 正則開集合全体の成す集合は完備ブール代数(2) $\text{op}\circ\text{cl}\parenth{ \bigcup\limits_{a \in A} f(a) }$ $\equ$ 集合Aの別表記 $\text{op}\circ\text{cl}(A)$ $\equ$ $A \in \text{RegOp}(X_0)$ $A$である。

以下は余談。
$(X, \leq)$は順序集合とする。
$A \subseteq X$に対し、$極小(A) :\equiv \Set{ a \in A }{ \all x \in A \;\bracket{ x \leq a \Rightarrow x \equ a } }$と定義する。
  1. $\all A \in \mathcal{O}_X \; \all B \subseteq X \;\bracket{ A \subseteq B \Rightarrow 極小(A) \subseteq 極小(B) }$が成り立つ。
    • $a \in 極小(A)$を任意に取る。
    • $a \in A \subseteq B$である。
    • $x \in B$を任意に取り、$x \leq a$を仮定する。
    • $x \in (a]$ $\subseteq$ $A \in \mathcal{O}_X$ $A$なので、$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & a \in 極小(A) \\ \land & x \leq a \end{array}\right.$を併せて、$x \equ a$である。
    • よって、$a \in 極小(B)$である。
  2. $\all A \in \mathcal{O}_X \;\; 極小(A) \in \mathcal{O}_X$が成り立つ。
    • $x \in 極小(A)$を任意に取る。
    • $x \in 極小(A)$ $\subseteq$ $A \in \mathcal{O}_X$と(1) $極小(X)$なので、$(x] \equ \{x\}$である。
    • よって、$(x] \equ \{x\} \subseteq 極小(A)$である。
  3. 以下では、$\all x \in X \;\; 極小(x] \nequ \phi$を仮定する。
  4. $\all A \in \mathcal{O}_X \;\; \text{cl}(A) \equ \text{cl}(極小(A))$が成り立つ。
    • $\subseteq$$x \in \text{cl}(A)$を任意に取る。
    • $(x] \cap A \nequ \phi$なので、$\exi y \in (x] \cap A$である。
    • $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} & 極小(y] \subseteq (x] & \\ かつ & 極小(y] \subseteq 極小(A) & A \in \mathcal{O}_X, (1) \end{array}\right.$である。
    • $\phi$ $\nequ$ 仮定 $極小(y]$ $\subseteq$ 非空な切片の部分集合から極小元を取れる $(x] \cap 極小(A)$である。
    • よって、$x \in \text{cl}(極小(A))$である。
    • $\supseteq$$A \supseteq 極小(A)$なので明らか。
  5. $A, B \in \text{RegOp}(X)$とする。
    $\left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}c@{}c@{}} (\text{i}) & A & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(極小(A)) \\ (\text{ii}) & A \cdot B & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ 極小(A) \cap 極小(B) } \\ (\text{iii}) & A + B & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ 極小(A) \cup 極小(B) } \\ (\text{iv}) & -A & \equ & \text{op}\bracket{ X \backslash 極小(A) } \\ \end{array}\right.$が成り立つ。
    • ($\text{i}$)$A \equ \text{op}\circ\text{cl}(A)$ $\equ$ (3) $\text{op}\circ\text{cl}(極小(A))$である。
    • ($\text{ii}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A \cdot B & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(極小(A)) \cap \text{op}\circ\text{cl}(極小(B)) & (\text{i}) \\ & \equ & \text{op}\circ\text{cl}\bracket{ 極小(A) \cap 極小(B) } & (2),定理1(3) \end{array}$
      である。
    • ($\text{iii}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} A + B & \equ & \text{op}\circ\text{cl}(A \cup B) & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(A) \cup \text{cl}(B) } & \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}(極小(A)) \cup \text{cl}(極小(B)) } & (3) \\ & \equ & \text{op}\bracket{ \text{cl}\bracket{ 極小(A) \cup 極小(B) } } & \\ \end{array}$
      である。
    • ($\text{iv}$)$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} -A & \equ & \text{op}(X \backslash A) \equ X \backslash \text{cl}(A) & 定義 \\ & \equ & X \backslash \text{cl}(極小(A)) & (3) \\ & \equ & \text{op}\bracket{ X \backslash 極小(A) } & \text{op}と\text{cl}の関係 \end{array}$
      である。

帰納的関数論 3:自然数論の形式的体系${\cal P}$

自然数論の形式的体系${\cal P}$を定義する。
  1. 記号
    • 対象記号:${\mathbf 0}$
    • 関数記号:$^\prime$
    • 論理記号:$\neg$、$\lor$、$\all$
    • 補助記号:$($、$)$
    • 変数記号:おのおのの型ごとに、それぞれ可算個無限個ずつの変数を用意する。
      • $1$階のタイプの変数記号:$x_1$、$y_1$、$z_1$、$\cdots$

        これは、${\mathbf 0}$を含む自然数全体上の変数を表す記号である。

      • $2$階のタイプの変数記号:$x_2$、$y_2$、$z_2$、$\cdots$

        これは、自然数上で定義された1変数の述語を表す。

      • …:…
      • $n$階のタイプの変数記号:$x_n$、$y_n$、$z_n$、$\cdots$
      • $n+1$階のタイプの変数記号:$x_{n+1}$、$y_{n+1}$、$z_{n+1}$、$\cdots$

        これは、$n$階のタイプの対象のクラスに対する変数を表す。

      • …:…
  2. 項(term)
    1. 対象記号${\mathbf 0}$は1階のタイプの項である。
    2. 1階のタイプの変数記号は1階のタイプの項である。
    3. ${\mathbf t}$が1階のタイプの項である時、${\mathbf t}^\prime$は1階のタイプの項である。
      (${\mathbf 0}, {\mathbf 0}^\prime, {\mathbf 0}^{\prime\prime}, \cdots,$ を特に、数項(numeral)と呼ぶ。)
    4. 以上によって定義されるもののみが1階のタイプの項である。
    5. $1 \lt n$の時、$n$階のタイプの項とは$n$階のタイプの変数記号のことである。
    6. 以上によって定義される各階のタイプの項のみが項である。
  3. 論理式(formula)
    1. ${\mathbf s}$が$n+1$階のタイプの項で、${\mathbf t}$が$n$階のタイプの項である時、${\mathbf s} ( {\mathbf t} )$は論理式である。
      特に、このような論理式を基本論理式(prime formula、atomic formula)と呼ぶ。
    2. ${\mathbf A}$が論理式である時、$\neg ( {\mathbf A} )$は論理式である。
    3. ${\mathbf A, B}$が論理式である時、$( {\mathbf A} ) \lor ( {\mathbf B} )$は論理式である。
    4. ${\mathbf A}$が論理式で${\mathbf x}$が($n$階のタイプの)変数記号である時、$\all {\mathbf x} ( {\mathbf A} )$は論理式である。
    5. 以上によって定義されるもののみが論理式である。
  4. 束縛変数、自由変数
    論理式$\all {\mathbf x} ( {\mathbf A} )$においては、変数${\mathbf x}$は束縛されているという。
    別の論理式${\mathbf B}$の一部分として$\all {\mathbf x} ( {\mathbf A} )$という論理式が現れる場合にも、「$\all {\mathbf x} ( {\mathbf A} )$という部分において変数${\mathbf x}$は束縛されている」という。
    従って、1つの論理式${\mathbf B}$の中においても、同じ変数${\mathbf x}$が、ある場所においては束縛され、ある場所においては束縛されていない、ということはあり得る。
    束縛されている変数を束縛変数という。
    束縛されていない変数を自由変数という。
    束縛変数とか自由変数とかは、論理式中の各場所における各変数の用いられ方についての名称と考えなければならない
  5. 補助記号の省略と追加
    誤解の恐れが無い場合には、論理式$\neg({\mathbf A}), ( {\mathbf A} ) \to ( {\mathbf B} ), \all {\mathbf x} ( {\mathbf A} )$などを単に$\neg {\mathbf A}, {\mathbf A} \to {\mathbf B}, \all {\mathbf x} {\mathbf A}$などと書き表す。
    また、読みやすくするため、$(,)$の代わりに$[,]$や$\{,\}$をも適宜使用する。
  6. 補助的論理記号
    • 論理式$( {\mathbf A} ) \land ( {\mathbf B} )$を$\neg ( ( \neg ( {\mathbf A} ) ) \lor ( \neg ( {\mathbf B} ) ) )$で定義する。
    • 論理式$( {\mathbf A} ) \Rightarrow ( {\mathbf B} )$を$( \neg ( {\mathbf A} ) ) \lor ( {\mathbf B} )$で定義する。
    • 論理式$\exi {\mathbf x}( {\mathbf A} )$を$\neg ( \all {\mathbf x} ( \neg ( {\mathbf A} ) ) )$で定義する。
    • 論理式$( {\mathbf A} ) \Leftrightarrow ( {\mathbf B} )$を$( ( {\mathbf A} ) \Rightarrow ( {\mathbf B} ) ) \land ( ( {\mathbf B} ) \Rightarrow ( {\mathbf A} ) )$で定義する。
    • 論理式${\mathbf s} \equ {\mathbf t}$を$\all x_{n+1} \parenth{ (x_{n+1}({\mathbf s})) \Rightarrow (x_{n+1}({\mathbf t}))}$で定義する。
      ただし、${\mathbf s,t}$は$n$階のタイプの項である。
  7. 論理式の自由変数への代入
    論理式の中の自由変数を、それと同じ階数を持つ項で置き換えれば、再び論理式が得られる。
    論理式${\mathbf A}$ と 同じ階数の変数${\mathbf x}$ならびに項${\mathbf t}$が与えられた時、${\mathbf A}$の中に自由変数として現れている全ての${\mathbf x}$を${\mathbf t}$で置き換えて得られる論理式を
    ${\rm Subst}\;{\mathbf A}{\displaystyle{{\mathbf x} \choose {\mathbf t} }}$
    と表し、${\mathbf A}$から${\rm Subst}\;{\mathbf A}{\displaystyle{{\mathbf x} \choose {\mathbf t} }}$を作ることを、${\mathbf A}$の中の${\mathbf x}$に${\mathbf t}$を代入(substitute)するという。
    論理式${\mathbf A}$から${\rm Subst}\;{\mathbf A}{\displaystyle{{\mathbf x} \choose {\mathbf t} }}$を作る場合、${\mathbf A}$に現れる自由変数${\mathbf x}$に着目するという意味で、${\mathbf A}$を${\mathbf F}({\mathbf x})$というような記法で表し、${\rm Subst}\;{\mathbf A}{\displaystyle{{\mathbf x} \choose {\mathbf t} }}$を${\mathbf F}({\mathbf t})$と略記することがある。
    ${\mathbf F}({\mathbf x})$が${\mathbf x}$を自由変数として含んでいない時は、${\mathbf F}({\mathbf t})$は${\mathbf F}({\mathbf x})$そのものである。
  8. 代入についての付帯条件
    論理式${\mathbf A}$から${\rm Subst}\;{\mathbf A}{\displaystyle{{\mathbf x} \choose {\mathbf t} }}$を作る代入においては、新たに束縛変数の個数が増加することがあってはならない
    以後、特に断らなくても、付帯条件は自動的に満たされているものとする。
  9. 公理
    1. 自然数の公理
      1. $\neg ( x_1^\prime \equ {\mathbf 0} )$
      2. $x_1^\prime \equ y_1^\prime \Rightarrow x_1 \equ y_1$
      3. $\bracket{ x_2({\mathbf 0}) \land \all x_1 \parenth{ x_2(x_1) \Rightarrow x_2(x_1^\prime) } } \Rightarrow \all x_1 \parenth{ x_2(x_1) }$
    2. 命題論理の公理
        ${\mathbf A, B, C}$は任意の論理式とする。
      1. $\parenth{ {\mathbf A} \lor {\mathbf A} } \Rightarrow {\mathbf A}$
      2. ${\mathbf A} \Rightarrow \parenth{ {\mathbf A} \lor {\mathbf B} }$
      3. $\parenth{ {\mathbf A} \lor {\mathbf B} } \Rightarrow \parenth{ {\mathbf B} \lor {\mathbf A} }$
      4. $\parenth{{\mathbf A} \Rightarrow {\mathbf B} } \Rightarrow \bracket{ \parenth{ {\mathbf C} \lor {\mathbf A} } \Rightarrow \parenth{ {\mathbf C} \lor {\mathbf B} } }$
    3. 述語論理の公理
        ${\mathbf A}, {\mathbf B}$は任意の論理式とする。
      1. $\all {\mathbf x} ( {\mathbf A} ) \Rightarrow {\rm Subst}\;{\mathbf A}{\displaystyle{{\mathbf x} \choose {\mathbf t} }}$
        ただし、項${\mathbf t}$は変数${\mathbf x}$と同じ階数を持つ任意の項で、${\rm Subst}\;{\mathbf A}{\displaystyle{{\mathbf x} \choose {\mathbf t} }}$を作る時に付帯条件は満たされているとする。
      2. $\all {\mathbf x} \parenth{ {\mathbf B} \lor {\mathbf A} } \Rightarrow \parenth{ {\mathbf B} \lor \all {\mathbf x} ( {\mathbf A} ) }$
        ただし、論理式${\mathbf B}$は変数${\mathbf x}$を自由変数として含まないものとする。
    4. 内包の公理
      • $\exi {\mathbf y} \bracket{ \all {\mathbf x} \parenth{ {\mathbf y}( {\mathbf x} ) \Leftrightarrow {\mathbf A} } }$
        ただし、変数${\mathbf x}$は$n$階のタイプの変数記号、変数${\mathbf y}$は$n+1$階のタイプの変数記号とし、論理式${\mathbf A}$は変数${\mathbf y}$を自由変数として含まないとする。
    5. 外延性の公理
      • $\all {\mathbf w} \parenth{ {\mathbf x}( {\mathbf w} ) \Leftrightarrow {\mathbf y}( {\mathbf w} ) } \Rightarrow {\mathbf x} \equ {\mathbf y}$
        ただし、変数${\mathbf w}$は$n$階のタイプの変数記号、変数${\mathbf x, y}$は$n+1$階のタイプの変数記号とする。
  10. 証明
    1. 個々の公理は全て証明出来る論理式である。
    2. ${\mathbf A}, {\mathbf A} \to {\mathbf B}$の両方が証明出来る論理式ならば、${\mathbf B}$も証明出来る論理式である。
    3. ${\mathbf A}$が証明出来る論理式ならば、任意の変数${\mathbf x}$に対して、$\all {\mathbf x} {\mathbf A}$も証明出来る論理式である。
    4. 以上によって定義されるもののみが証明出来る論理式である。
    論理式${\mathbf A}$が証明出来ることを
    $\vdash {\mathbf A}$
    と表す。
以上によって、形式的体系${\cal P}$は定められた。
形式的体系${\cal P}$を算術化する。

形式的体系${\cal P}$における形式的対象全体${\rm Obj}$は可算無限の濃度なので、各対象には自然数を対応させることが出来る。その対応$\godel{\;} : {\rm Obj} \to {\mathbb N}, x \mapsto \godel{x}$を次の条件を満たすようにして定義する。$\godel{x}$を$x$のゲーデル数という。

  1. $x \parenth{ \in {\rm Obj} }$に対し、$\godel{x} \parenth{ \in {\mathbb N} }$の値を計算する有限の手続きが、実際に定められている。
  2. 任意に$y \parenth{ \in {\mathbb N} }$をとった時、$x \parenth{ \in {\rm Obj} }$が存在して、$\godel{x} \equ y$が成り立つかどうか、成り立つならば、その$x$がどのようなものであるかを決定する有限の手続きが、実際に定められている。
  3. $\godel{\;}$は単射である。

この$\godel{\;}$により、${\cal P}$における対象$x$と$y$との関係${\mathbf R}(x, y)$は、${\mathbb N}$における自然数$\godel{x}$と$\godel{y}$との述語$R(\godel{x}, \godel{y})$と考えることが出来るので、${\cal P}$における議論と、それに対応する${\mathbb N}$での議論は等価なものと言える。

${\cal P}$における議論を${\mathbb N}$におけるある種の算術に置き換える、${\cal P}$の算術化は、次の効用を持ち、不完全性定理の証明の本質的な部分をなす。

  1. 異なったタイプの変数記号などのように、異なったレベルの概念を一様に${\mathbb N}$の中に表現できる。
  2. 様々な理論、様々な対象の多様性を自然数の中で統一して議論し、比較することができる。

  1. ${\cal P}$の記号のゲーデル数
    • $\godel{{\mathbf 0}} :\equ 1, \godel{\prime} :\equ 3, \godel{\neg} :\equ 5, \godel{\lor} :\equ 7, \godel{\all} :\equ 9, \godel{(} :\equ 11, \godel{)} :\equ 13$
    • $\godel{x_n} :\equ 17^n, \godel{y_n} :\equ 19^n, \godel{z_n} :\equ 23^n, \cdots$
  2. $e_0, e_1, \cdots, e_k$が既にゲーデル数が定義されている対象の列の時、
    $\godel{e_0 e_1 \cdots e_k} :\equ 2^{\godel{e_0}} \cdot 3^{\godel{e_1}} \cdot \cdots \cdot p_k^{\godel{e_k}}$

形式的体系${\cal P}$における概念を、直観的自然数論上の関数や述語として、定義し表現する。

$P(x_1, \cdots, x_n, y)$を述語とする。
$(\varepsilon y)_{y \lt z} P(x_1, \cdots, x_n, y) :\equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}r@{}} (\mu y)_{y \lt z} P(x_1, \cdots, x_n, y) & \parenth{ \exi y \lt z \; P(x_1, \cdots, x_n, y) {\rm の時} } \\ 0 & \parenth{ \neg \exi y \lt z \; P(x_1, \cdots, x_n, y) {\rm の時} } \end{array}\right.$
$(\varepsilon y)_{y \lt z} P(x_1, \cdots, x_n, y) {\rm は}\braces{ P }{\text -}{\rm 原始帰納的関数}$ が成り立つ。

以下の関数、述語は全て原始帰納的である。
${\rm Seq}^{n+1}(x_0, \cdots, x_n)$ $x_i$が${\cal P}$での表現$e_i \parenth{ i \equ 0, \cdots, n }$の時、
表現$e_0 \cdots e_n$を表すゲーデル数$\godel{ e_0 \cdots e_n }$を求める関数
以下、単に「表現$e_0 \cdots e_n$のゲーデル数」等と簡略して述べる。
$:\equ$ $2^{x_0} \cdot \cdots \cdot p_n^{x_n}$
${\rm Par}(x)$ 「表現$(e)$のゲーデル数」 $:\equ$ ${\rm Seq}^1(11) \ast x \ast {\rm Seq}^1(13)$
${\rm Var}(n, x)$ 「自然数$x$は$n$階のタイプの変数記号のゲーデル数である」事を意味する述語 $:\Leftrightarrow$ $\exi y_{13 \lt y \leq x} \bracket{ {\rm pr}(y) \land x \equ y^n } \land n \neq 0$
${\rm Var}(x)$ 「自然数$x$は変数記号のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi n_{n \lt x} \bracket{ {\rm Var}(n, x) }$
${\rm Neg}(x)$ 「表現$\neg (e)$のゲーデル数」 $:\equ$ ${\rm Seq}^1(5) \ast {\rm Par}(x)$
${\rm Dis}(x, y)$ 「表現$(e_1) \lor (e_2)$のゲーデル数」 $:\equ$ ${\rm Par}(x) \ast {\rm Seq}^1(7) \ast {\rm Par}(y)$
${\rm Gen}(x, y)$ 「表現$\all e_1(e_2)$のゲーデル数」 $:\equ$ ${\rm Seq}^1(9) \ast {\rm Seq}^1(x) \ast {\rm Par}(y)$
${\rm Suc}(x, n)$ 「表現$e^{\overbrace{\prime \cdots \prime}^{n}}$のゲーデル数」    
${\rm Suc}(x, 0)$ $:\equ$ $x$
${\rm Suc}(x, n+1)$ $:\equ$ ${\rm Suc}(x, n) \ast {\rm Seq}^1(3)$
${\rm Z}(n)$ 「数項${\mathbf 0}^{\overbrace{\prime \cdots \prime}^{n}}$のゲーデル数 $:\equ$ ${\rm Suc}({\rm Seq}^1(1), n)$
${\rm Ter}_1(x)$ 「$x$は1階のタイプの項のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi m_{m \lt x} \exi n_{n \lt x} \bracket{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \parenth{ m \equ 1 \lor {\rm Var}(1, m) } \\ \land & x \equ {\rm Suc}({\rm Seq}^1(m), n) \end{array}}$ $x$は、「${\mathbf 0}$か1階のタイプの変数記号に
$n$個の$\prime$を連接させた文字列」
のゲーデル数
${\rm Typ}(n, x)$ 「$x$は$n$階のタイプの項のゲーデル数」 $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \bracket{ n \equ 1 \land {\rm Ter}_1(x) } \\ \lor & 1 \lt n \land \exi y_{y \lt x} \bracket{ {\rm Var}(n, y) \land x \equ {\rm Seq}^1(y) } \end{array}\right.$
${\rm Te}(n, x)$ 「$e$に含まれる全ての変数記号のタイプを
$n$階上げて得られる表現のゲーデル数」
$:\equ$ $(\varepsilon y)\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y \lt x^\parenth{ x^n } \\ \land & \all k_{k \lt {\rm lh}(x)} \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & (x)_k \leq 13 \land (y)_k \equ (x)_k \\ \lor & \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & 13 \lt (x)_k \\ \land & (y)_k \equ (x)_k \cdot \bracket{ (\varepsilon z)_{z \lt x} \parenth{ {\rm pr}(z) \land z | (x)_k } }^n \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.$ "文字列$x$"に対して1文字づつ捜査していく。
$k$番目の文字が変数記号でない時はそのまま。
変数記号の時は冪指数$(x)_k$は$p_i^m$の形なので、
$p_i^m \cdot p_i^n \equ p_i^{m+n}$にする。
また、$(x)_k \cdot \bracket{ (\varepsilon z)_{z \lt x} \parenth{ {\rm pr}(z) \land z | (x)_k } }^n \lt (x)_k \cdot x^n$
と$x \equ {\displaystyle \prod\limits_{k \lt {\rm lh}(x)}} p_k^{(x)_k}$を合わせると
求める$y$は$y \lt x^{x^n}$を満たす。
${\rm Elf}(x)$ 「$x$は基本論理式のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi y_{y \lt x} \; \exi z_{z \lt x} \; \exi n_{n \lt x} \;\bracket{ {\rm Typ}(n, y) \land {\rm Typ}(n+1, z) \land x \equ z \ast {\rm Par}(y) }$
${\rm Op}(x, y, z)$ $e_1, e_2, e_3$が論理式である時、
「$e_1$は、$e_2$あるいは$e_2, e_3$から構成される(論理式である)」
$:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \parenth{ x \equ {\rm Neg}(y) } \\ \lor & \parenth{ x \equ {\rm Dis}(y, z) } \\ \lor & \exi w_{w \lt x} \parenth{ {\rm Var}(w) \land x \equ {\rm Gen}(w, y) } \end{array}\right.$
${\rm FR}(x)$ $e_0, \cdots, e_l$が論理式で、かつ、
$x \equ {\rm Seq}^{l+1}(\godel{e_0}, \cdots, \godel{e_l})$である時、
「$e_0, \cdots, e_l$は"論理式の構成系列"である」
$:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & 0 \lt {\rm lh}(x) \\ \land & \all i_{i \lt {\rm lh}(x)} \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Elf}( (x)_i ) \\ \lor & \exi j_{j \lt i} \exi k_{k \lt i} {\rm Op}( (x)_i, (x)_j, (x)_k ) \end{array}\right. \end{array}\right.$
${\rm Form}(x)$ 「$x$は論理式のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi n \bracket{ n \lt ( p_{{\rm lh}(x)^2}^{x \cdot {\rm lh}(x)^2} ) \land {\rm FR}(n) \land x \equ (n)_{{\rm lh}(n) \dot{-} 1 } }$ $x \equ \godel{e}, n \equ {\rm Seq}^{k+1}(\godel{e_0}, \cdots, \godel{e_k})$とする。
$e_i$は$e$の部分論理式なので$\godel{e_i} \lt \godel{e}$。
従って、$p_i^\godel{e_i} \lt p_i^\godel{e}$。
$k \lt {\rm lh}(x)^2$が示せれば$n \lt ( p_{{\rm lh}(x)^2}^{x \cdot {\rm lh}(x)^2} )$が分かるのだが…
${\rm B}(v, n, x)$ $x \equ \godel{e}, v \equ \godel{s}$の時、
「論理式$e$の$n$番目の表現は、変数記号$s$で束縛されている。」
$:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Var}(v) \land {\rm Form}(x) \\ \land & \exi a_{a \lt x} \; \exi b_{b \lt x} \; \exi c_{c \lt x} \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Form}(b) \\ \land & x \equ a \ast \parenth{ {\rm Gen}(v, b) } \ast c \\ \land & {\rm lh}(a) \lt n \leq {\rm lh}(a) + {\rm lh}({\rm Gen}(v, b)) \end{array}\right. \end{array}\right.$
${\rm Fr}(v, n, x)$ $x \equ \godel{e}, v \equ \godel{s}$の時、
「論理式$e$の$n$番目の表現は、変数記号$s$であり、自由変数である。」
$:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Var}(v) \land {\rm Form}(x) \\ \land & v \equ (x)_n \land n \lt {\rm lh}(x) \\ \land & \neg ( {\rm B}(v, n, x) ) \end{array}\right.$
${\rm Fr}(v, x)$ $x \equ \godel{e}, v \equ \godel{s}$の時、
「論理式$e$の中に、自由変数記号$s$が現れる。」
$:\Leftrightarrow$ $\exi n_{n \lt {\rm lh}(x)} ( {\rm Fr}(v, n, x) )$
${\rm Sub}\;x{\displaystyle{ n \choose y}}$ $x \equ \godel{e_0 \cdots e_m}, y \equ \godel{f}$の時、
「表現$e_0 \cdots e_m$の中の$e_n$を表現$f$で置き換えて得られる表現のゲーデル数」
$:\equ$ $(\varepsilon z) \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & z \leq p_{{\rm lh}(x)+{\rm lh}(y)}^{x+y} \\ \land & \exi u_{u \lt x} \; v_{v \lt x} \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x \equ u \ast {\rm Seq}^1( (x)_n ) \ast v \\ \land & z \equ u \ast y \ast v \\ \land & n \equ {\rm lh}(u) \end{array}\right. \end{array}\right.$ なぜ$z \leq p_{{\rm lh}(x)+{\rm lh}(y)}^{x+y}$でいいのか
分からない。
${\rm St}(k, v, x)$ $v \equ \godel{s}, x \equ \godel{e}$の時、
「変数記号$s$が論理式$e$に何回自由に現れているかを左から見ていった時、
丁度$n$文字目で第$k+1$回目の自由な現れになっている。そんな$n$」
   
${\rm St}(0, v, x)$ $:\equ$ $(\varepsilon n)_{n \lt {\rm lh}(x)} \left\{\begin{array}{@{}c@{}r@{}} & {\rm Fr}(v, n, x) \\ \land & \neg \exi p_{p \lt n} {\rm Fr}(v, p, x) \end{array}\right.$
${\rm St}(k+1, v, x)$ $:\equ$ $(\varepsilon n)_{n \lt {\rm lh}(x)} \left\{\begin{array}{@{}c@{}r@{}} & {\rm St}(k, v, x) \lt n \\ \land & {\rm Fr}(v, n, x) \\ \land & \neg \exi p_{{\rm St}(k, v, x) \lt p \lt n} {\rm Fr}(v, p, x) \end{array}\right.$
${\rm A}(v, x)$ $s$は変数記号、$e$は論理式、$v \equ \godel{s}, x \equ \godel{e}$の時、
「$e$に現れる自由変数記号$s$の個数$k$」
$:\equ$ $(\varepsilon k)_{k \lt {\rm lh}(x)} \; {\rm St}(k, v, x) \equ 0$
${\rm Sb}_k \!\left( x \; \displaystyle{v \atop y} \right)$ $e$は論理式、$s$は変数記号、$x \equ \godel{e}, v \equ \godel{s}, y \equ \godel{f}$の時、
「論理式$e$に自由に現れる左から$k$個分の変数記号$s$を
表現$f$で置き換えて得られる表現のゲーデル数」
   
${\rm Sb}_0 \!\left( x \; \displaystyle{v \atop y} \right)$ $:\equ$ $x$
${\rm Sb}_{k+1} \!\left( x \; \displaystyle{v \atop y} \right)$ $:\equ$ ${\rm Sub}\!\left[ {\rm Sb}_k \!\left( x \; \displaystyle{v \atop y} \right) \right]\!{\displaystyle{ {\rm St}(k, v, x) \choose y }}$
${\rm Sb}\!\left( x \; \displaystyle{v \atop y} \right)$ $e$は論理式、$s$は変数記号、$x \equ \godel{e}, v \equ \godel{s}, y \equ \godel{f}$の時、
「論理式$e$に自由に現れる全ての変数記号$s$を
表現$f$で置き換えて得られる表現のゲーデル数」
$:\equ$ ${\rm Sb}_{A(v, x)} \!\!\left( x \; \displaystyle{v \atop y} \right)$

${\rm Sb}\!\left( x \ \displaystyle{v \ w \atop y \ z} \right)$ $:\equ$ ${\rm Sb}\!\left[ {\rm Sb}\!\left( x \ \displaystyle{ v \atop y } \right) \! \displaystyle{ w \atop z } \right]$
${\rm Sb}\!\left( x \ \displaystyle{ u_1 \ u_2 \cdots u_n \atop y_1 \ y_2 \cdots y_n} \right)$ $:\equ$ ${\rm Sb}\!\left[ {\rm Sb}\!\left( x \ \displaystyle{ u_1 \ u_2 \cdots u_{n-1} \atop y_1 \ y_2 \cdots y_{n-1}} \right) \! \displaystyle{u_n \atop y_n} \right]$
${\rm Imp}(x, y)$ 「$(e_1) \Rightarrow (e_2)$、つまり、
$(\neg(e_1)) \lor (e_2)$のゲーデル数」
$:\equ$ ${\rm Dis}\parenth{ {\rm Neg}(x), y }$
${\rm Con}(x, y)$ 「$(e_1) \land (e_2)$、つまり、
$\neg \parenth{ (\neg(e_1)) \lor (\neg(e_2)) }$のゲーデル数」
$:\equ$ ${\rm Neg}\parenth{ {\rm Dis}\parenth{ {\rm Neg}(x), {\rm Neg}(y) } }$
${\rm Eq}(x, y)$ 「$(e_1) \Leftrightarrow (e_2)$、つまり、
$( (e_1) \Rightarrow (e_2) ) \land ( (e_2) \Rightarrow (e1) )$のゲーデル数」
$:\equ$ ${\rm Con}\parenth{ {\rm Imp}(x, y), {\rm Imp}(y, x) }$
${\rm Ex}(v, x)$ 「$\exi s(e_1)$、つまり、
$\neg \parenth{ \all s ( \neg (e_1) ) }$のゲーデル数」
$:\equ$ ${\rm Neg}\parenth{ {\rm Gen}\parenth{ v, {\rm Neg}(x) } }$
${\rm Eql}_n(x, y)$ $e_1, e_2$が$n$階のタイプの項で
$x \equ \godel{e_1}, y \equ \godel{e_2}$の時、
$n$階のタイプの項の意味で「$e_1 \equ e_2$、つまり、
$\all x_{n+1} \parenth{ x_{n+1}(e_1) \Rightarrow x_{n+1}(e_2) }$のゲーデル数」
$:\equ$ ${\rm Gen}\left[\begin{array}{@{}l@{}} 17^{n+1}, \\ {\rm Imp}\parenth{ {\rm Seq}^1(17^{n+1}) \ast {\rm Par}(x), {\rm Seq}^1(17^{n+1}) \ast {\rm Par}(y) } \end{array}\right]$ $\godel{x_{n+1}} \equ 17^{n+1}$

${\rm Z}{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は自然数の公理のいずれかのゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x \equ {\rm Neg}\bracket{ {\rm Eql}_1\parenth{ {\rm Seq}^2(17^1, 3), {\rm Seq}^1(1) } } \\ \lor & x \equ {\rm Imp}\left[\begin{array}{@{}l@{}} {\rm Eql}_1\parenth{ {\rm Seq}^2(17^1, 3), {\rm Seq}^2(19^1, 3) }, \\ {\rm Eql}_1\parenth{ {\rm Seq}^1(17^1), {\rm Seq}^1(19^1) } \end{array}\right] \\ \lor & x \equ {\rm Imp}\left[\begin{array}{@{}l@{}} {\rm Con}\left[\begin{array}{@{}l@{}} {\rm Seq}^4(17^2, 11, 1, 13), \\ {\rm Gen}\left[\begin{array}{@{}l@{}} 17^1, \\ {\rm Imp}\left[\begin{array}{@{}l@{}} {\rm Seq}^4(17^2, 11, 17^1, 13), \\ {\rm Seq}^5(17^2, 11, 17^1, 3, 13) \end{array}\right] \end{array}\right] \end{array}\right], \\ {\rm Gen}\left[\begin{array}{@{}l@{}} 17^1, \\ {\rm Seq}^4(17^2, 11, 17^1, 13) \end{array}\right] \end{array}\right] \end{array}\right.$
${\rm A}_1{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は命題論理の公理(1)のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi y_{y \lt x} \parenth{ {\rm Form}(y) \land x \equ {\rm Imp}\left( {\rm Dis}(y, y), y \right) }$
${\rm A}_2{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は命題論理の公理(2)のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi y_{y \lt x} \exi z_{z \lt x} \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Form}(y) \land {\rm Form}(z) \\ \land & x \equ {\rm Imp}\left( y, {\rm Dis}(y, z) \right) \end{array}\right.$
${\rm A}_3{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は命題論理の公理(3)のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi y_{y \lt x} \exi z_{z \lt x} \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Form}(y) \land {\rm Form}(z) \\ \land & x \equ {\rm Imp}\left( {\rm Dis}(y, z), {\rm Dis}(z, y) \right) \end{array}\right.$
${\rm A}_4{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は命題論理の公理(4)のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi y_{y \lt x} \exi z_{z \lt x} \exi w_{w \lt x} \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Form}(y) \land {\rm Form}(z) \land {\rm Form}(w) \\ \land & x \equ {\rm Imp}\bracket{\begin{array}{@{}l@{}} {\rm Imp}(y, z), \\ {\rm Imp}\left( {\rm Dis}(w, y), {\rm Dis}(w, z) \right) \end{array}} \end{array}\right.$
${\rm A}{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は命題論理の公理のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm A}_1{\text -}{\rm Ax}(x) \\ \lor & {\rm A}_2{\text -}{\rm Ax}(x) \\ \lor & {\rm A}_3{\text -}{\rm Ax}(x) \\ \lor & {\rm A}_4{\text -}{\rm Ax}(x) \end{array}\right.$
${\rm Q}(z, y, v)$ $t$は項、$e$は論理式、$s$は変数記号で、
$z \equ \godel{t}, y \equ \godel{e}, v \equ \godel{s}$の時、
「論理式$e$の自由変数$s$に項$t$は代入可能」
$:\Leftrightarrow$ $\neg \exi n_{n \lt {\rm lh}(y)} \exi m_{m \lt {\rm lh}(z)} \exi w_{w \lt z} \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & w \equ (z)_m \\ \land & {\rm B}(w, n, y) \land {\rm Fr}(v, n, y) \end{array}\right.$ 論理式$e$の第$n$文字目は、自由変数$s$だが、
同時に、項$t$に含まれる変数記号$s_0$でも束縛されている…
ということはない。つまり、
どの自由変数$s$に項$t$を代入しても束縛変数の個数が増えることは無い。
${\rm L}_1{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は述語論理の公理(1)のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}l@{}} \exi v_{v \lt x} \exi y_{y \lt x} \exi z_{z \lt x} \exi n_{n \lt x} \\ \quad\left[\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Var}(n, v) \land {\rm Typ}(n, z) \land {\rm Form}(y) \land {\rm Q}(z, y, v) \\ \land & x \equ {\rm Imp}\bracket{ {\rm Gen}(v, y), {\rm Sb}\!\left( y \; \displaystyle{v \atop z} \right) } \end{array}\right] \end{array}\right.$
${\rm L}_2{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は述語論理の公理(2)のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}l@{}} \exi v_{v \lt x} \exi p_{p \lt x} \exi q_{q \lt x} \\ \quad\left[\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Var}(v) \land {\rm Form}(p) \land \neg {\rm Fr}(v, p) \land {\rm Form}(q) \\ \land & x \equ {\rm Imp}\bracket{ \begin{array}{@{}l@{}} {\rm Gen}\parenth{v, {\rm Dis}(p, q)}, \\ {\rm Dis}\parenth{p, {\rm Gen}(v, q)} \end{array} } \end{array}\right] \end{array}\right.$
${\rm R}{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は内包の公理のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}l@{}} \exi u_{u \lt x} \exi v_{v \lt x} \exi y_{y \lt x} \exi n_{n \lt x} \\ \quad\left[\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Var}(n, v) \land {\rm Var}(n+1, u) \land \neg {\rm Fr}(u, y) \land {\rm Form}(y) \\ \land & x \equ {\rm Ex}\bracket{u, {\rm Gen}\bracket{v, {\rm Eq}\bracket{ \begin{array}{@{}l@{}} {\rm Seq}^1(u) \ast {\rm Par}\parenth{ {\rm Seq}^1(v) }, \\ y \end{array} } } } \end{array}\right] \end{array}\right.$
${\rm Ext}_1$ 「$n \equ 1$の時の外延性の公理のゲーデル数」 $:\Leftrightarrow$ ${\rm Imp}\bracket{\begin{array}{@{}l@{}} {\rm Gen}\bracket{ 17^1, {\rm Eq}\bracket{\begin{array}{@{}l@{}} {\rm Seq}^4(17^2, 11, 17^1, 13), \\ {\rm Seq}^4(19^2, 11, 17^1, 13) \end{array} } }, \\ {\rm Eql}_2(17^2, 19^2) \end{array}}$
${\rm E}{\text -}{\rm Ax}(x)$ 「$x$は外延性の公理のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi n_{n \lt x} \bracket{ x \equ {\rm Te}(n, {\rm Ext}_1) }$
${\rm Ax}(x)$ 「$x$はいづれかの公理のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Z}{\text -}{\rm Ax}(x) \\ \lor & {\rm A}{\text -}{\rm Ax}(x) \\ \lor & {\rm L}_1{\text -}{\rm Ax}(x) \lor {\rm L}_2{\text -}{\rm Ax}(x) \\ \lor & {\rm R}{\text -}{\rm Ax}(x) \\ \lor & {\rm E}{\text -}{\rm Ax}(x) \end{array}\right.$
${\rm Ic}(x)$ ${\mathbf A}_1, {\mathbf A}_2, {\mathbf A}_3$は論理式で
$x \equ \godel{{\mathbf A}_1}, y \equ \godel{{\mathbf A}_2}, z \equ \godel{{\mathbf A}_3}$の時、
「$x$は、${\mathbf A}_2$と${\mathbf A}_3$、あるいは、
${\mathbf A}_2$から得られる結果の論理式のゲーデル数である。」
$:\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & z \equ {\rm Imp}(y, x) \\ \lor & \exi v_{v \lt x}\bracket{ {\rm Var}(v) \land x \equ {\rm Gen}(v, y) } \end{array}\right.$
${\rm Pf}(x)$ 「$x$は証明図のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\all n_{n \lt {\rm lh}(x)} \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Ax}((x)_n) \\ \lor & \exi p_{p \lt n} \exi q_{q \lt n} \; {\rm Ic}((x)_n, (x)_p, (x)_q) \end{array}\right.$
${\rm P}(x, y)$ $e$は表現、${\mathbf A}$は論理式で
$x \equ \godel{e}, y \equ \godel{{\mathbf A}}$の時、
「$e$は${\mathbf A}$の証明図である」
$:\Leftrightarrow$ ${\rm Pf}(x) \land (x)_{{\rm lh}(x) \dot{-} 1} \equ y$

${\rm Prov}(x)$ 「$x$は証明可能な論理式のゲーデル数である」 $:\Leftrightarrow$ $\exi y \parenth{ {\rm P}(y, x) }$
${\rm Prov}(x)$は原始帰納的述語ではない。帰納的述語でさえもない。束縛変数$y$が有界でないことに注意。

帰納的関数論 2

(原始)帰納的述語
$P(x_1, \cdots, x_n)$は自然数上で定義された述語とする。
${\cal D}$は関数の有限集合とする。
$P$は${\cal D}$-帰納的述語 $:\Leftrightarrow$ $P$の表現関数$\chi_P$は${\cal D}$-帰納的関数

${\cal D} \equ \phi$の時は、$P$を帰納的述語という。


$P$は${\cal D}$-原始帰納的述語 $:\Leftrightarrow$ $P$の表現関数$\chi_P$は${\cal D}$-原始帰納的関数

${\cal D} \equ \phi$の時は、$P$を原始帰納的述語という。


$\varphi$は関数とする。
${\cal Q}$は述語の有限集合とする。
$\varphi$は${\cal Q}$-帰納的関数 $:\Leftrightarrow$ $\varphi$は$\Set{ {\rm 述語}Q{\rm の表現関数}\chi_Q }{ Q \in {\cal Q} }$-帰納的関数
$P$は${\cal Q}$-帰納的述語 $:\Leftrightarrow$ $P$の表現関数$\chi_P$は${\cal Q}$-帰納的関数

$\varphi$は${\cal Q}$-原始帰納的関数 $:\Leftrightarrow$ $\varphi$は$\Set{ {\rm 述語}Q{\rm の表現関数}\chi_Q }{ Q \in {\cal Q} }$-原始帰納的関数
$P$は${\cal Q}$-原始帰納的述語 $:\Leftrightarrow$ $P$の表現関数$\chi_P$は${\cal Q}$-原始帰納的関数

定理
$\varphi$は関数とする。$P$は述語とする。
${\cal D}$は関数の有限集合とする。
${\cal Q}$は述語の有限集合とする。
  1. $P {\rm は原始帰納的述語} \Rightarrow P {\rm は帰納的述語}$ が成り立つ。
  2. $P {\rm は}{\cal D}{\text -}{\rm 原始帰納的述語} \Rightarrow P {\rm は}{\cal D}{\text -}{\rm 帰納的述語}$ が成り立つ。
  3. $\left\{\begin{array}{} \varphi {\rm は}{\cal Q}{\text -}{\rm 帰納的関数} & {\rm かつ} \\ {\rm 任意の} Q \in {\cal Q} {\rm に対し、} Q {\rm は帰納的述語} & \end{array}\right. \Rightarrow \varphi {\rm は帰納的関数}$ が成り立つ。
  4. $\left\{\begin{array}{} \varphi {\rm は}{\cal Q}{\text -}{\rm 原始帰納的関数} & {\rm かつ} \\ {\rm 任意の} Q \in {\cal Q} {\rm に対し、} Q {\rm は原始帰納的述語} & \end{array}\right. \Rightarrow \varphi {\rm は原始帰納的関数}$ が成り立つ。

$P(y_1, \cdots, y_m)$を述語、$(\varphi_i(x_1, \cdots, x_n))_{i=1}^m$を関数の有限列とする。
$P(\varphi_1(x_1, \cdots, x_n), \cdots, \varphi_m(x_1, \cdots, x_n)) {\rm は}\braces{ \chi_P, \varphi_1, \cdots, \varphi_m }{\text -}{\rm 原始帰納的述語}$が成り立つ。
$P(x_1, \cdots, x_n), Q(x_1, \cdots, x_n)$を述語とする。
  1. $\neg P(x_1, \cdots, x_n) {\rm は}\braces{ P }{\text -}{\rm 原始帰納的述語}$ が成り立つ。
  2. $P(x_1, \cdots, x_n) \lor Q(x_1, \cdots, x_n) {\rm は}\braces{ P, Q }{\text -}{\rm 原始帰納的述語}$ が成り立つ。
  3. $P(x_1, \cdots, x_n) \land Q(x_1, \cdots, x_n) {\rm は}\braces{ P, Q }{\text -}{\rm 原始帰納的述語}$ が成り立つ。
  4. $P(x_1, \cdots, x_n) \Rightarrow Q(x_1, \cdots, x_n) {\rm は}\braces{ P, Q }{\text -}{\rm 原始帰納的述語}$ が成り立つ。
  5. $P(x_1, \cdots, x_n) \Leftrightarrow Q(x_1, \cdots, x_n) {\rm は}\braces{ P, Q }{\text -}{\rm 原始帰納的述語}$ が成り立つ。
  6. $(\exi y)_{y \lt z} P(x_1, \cdots, x_n, y) {\rm は}\braces{ P }{\text -}{\rm 原始帰納的述語}$ が成り立つ。
  7. $(\all y)_{y \lt z} P(x_1, \cdots, x_n, y) {\rm は}\braces{ P }{\text -}{\rm 原始帰納的述語}$ が成り立つ。

以下に定義される関数は、$\braces{ P }{\text -}{\rm 原始帰納的関数}$である。
  1. "$y \lt z \land P(x_1, \cdots, x_n, y)$を満たす$y$が存在する時はそのような$y$の最小値を、そのような$y$が存在しない時は$z$を値にとる"関数
    $\mu y_{y \lt z} P(x_1, \cdots, x_n, y) \equ {\displaystyle \sum\limits_{w \lt z}} ( {\displaystyle \prod\limits_{y \leq w}} \chi_P(x_1, \cdots, x_n, y) )$
  2. $\begin{array}{@{}l@{}l@{}c@{}l@{}l@{}} \mu y_{y \leq z} & P(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & \mu y_{y \lt z+1} & P(x_1, \cdots, x_n, y) \\ \mu y_{w \lt y \lt z} & P(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & \mu y_{y \lt z \dot{-} (w+1)} & P(x_1, \cdots, x_n, y+w+1) + (w+1) \\ \mu y_{w \leq y \leq z} & P(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & \mu y_{y \lt (z \dot{-} w)+1} & P(x_1, \cdots, x_n, y+w) + w \end{array}$

$(\psi_i(x_1, \cdots, x_n))_{i=1}^{m+1}$を関数の有限列とする。
$(P_i(x_1, \cdots, x_n))_{i=1}^m$を述語の有限列とし、これらのどの2つをとっても同時に成立することは無いとする。 $\varphi(x_1, \cdots, x_n) :\equiv \left\{\begin{array}{@{}@{}} \psi_1(x_1, \cdots, x_n) & (P_1(x_1, \cdots, x_n) {\rm の時}) \\ \cdots & \cdots \\ \psi_m(x_1, \cdots, x_n) & (P_m(x_1, \cdots, x_n) {\rm の時}) \\ \psi_{m+1}(x_1, \cdots, x_n) & ({\rm 上記のいづれでも無い時}) \end{array}\right.$
${\rm は}\braces{ \psi_1, \cdots, \psi_{m+1}, \chi_{P_1}, \cdots, \chi_{P_m} }{\text -}{\rm 原始帰納的関数}$ が成り立つ。

原始帰納的関数、原始帰納的述語の例を複数挙げる。
  1. $a \equ b$
    この表現関数は${\rm sg}(|a-b|)$である。
  2. $a \leq b$
    この表現関数は${\rm sg}(a \dot{-} b)$である。
  3. $a \lt b$の表現関数は$\overline{{\rm sg}}(b \dot{-} a)$である。
  4. $l(z) \equ \mu x_{x \leq z} \parenth{ \exi y_{y \leq z} ( j(x,y) \equ z ) }$
  5. $r(z) \equ \mu y_{y \leq z} \parenth{ \exi x_{x \leq z} ( j(x,y) \equ z ) }$
  6. "$a$は$b$を割り切る"という述語$a | b$
    $a | b :\Leftrightarrow \exi c_{1 \leq c \leq b} \parenth{ a \cdot c \equ b }$
  7. "$a$は素数である"という述語$pr(a)$
    ${\rm pr(a)} :\Leftrightarrow \all b_{1 \lt b \lt a} \neg \parenth{ b | a }$
  8. "$i+1$番目の素数"を与える関数
    $\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} p_0 & \equ & 2 \\ p_{i+1} & \equ & \mu x_{x \leq p_i!+1} \parenth{ p_i \lt x \land {\rm pr(x)} } \end{array}\right.$
  9. "$a$を素因数分解した時の$p_i$の冪指数"を与える関数
    $(a)_i \equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} 0 & \parenth{ a \equ 0 {\rm の時} } \\ \mu x_{x \lt a} \bracket{ p_i^x | a \land \neg \parenth{ p_i^{x+1} | a } } & \parenth{ a \neq 0 {\rm の時} } \end{array}\right.$
  10. "$a$を素因数分解した時の、$p_i$より小さい相異なる素因数の個数"を与える関数
    $\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} {\rm lh}^*(0, a) & \equ & 0 \\ {\rm lh}^*(i+1, a) & \equ & \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm lh}^*(i, a) + 1 & \parenth{ p_i | a {\rm の時} } \\ {\rm lh}^*(i, a) & \parenth{ p_i | a {\rm の時} } \end{array}\right. \end{array}\right.$
    "$a$を素因数分解した時の相異なる素因数の個数"を与える関数
    ${\rm lh}(a) \equ {\rm lh}^*(a, a)$
  11. $a * b \equ a \cdot {\displaystyle \prod\limits_{i \lt {\rm lh}(b)}} p_{{\rm lh}(a)+i}^{(b)_i}$

  1. $\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} j_1(x) & \equ & x \\ j_{n+1}(x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}) & \equ & j(x_1, j_n(x_2, \cdots, x_{n+1})) \end{array}\right.$
  2. $\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} r^*(0, x) & \equ & x \\ r^*(n+1, x) & \equ & r(r^*(n, x)) \end{array}\right.$
  3. $[a]_i \equ l(r^*(i, a))$
    $\bracket{ a \equ j_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}, 0) \Rightarrow [a]_i \equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} a_i & \parenth{ 0 \leq i \leq n-1 {\rm の時} } \\ 0 & \parenth{ n \leq i {\rm の時} } \end{array}\right. }$が成り立つ。
  4. ${\rm le}(a) \equ {\displaystyle \sum\limits_{i \lt a}} {\rm sg}([a]_i)$
    $\bracket{\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} a \equ j_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}, 0) & {\rm かつ} \\ \all i \in \braces{ 0, \cdots, n-1 } \; a_i \gt 0 & \end{array}\right. \Rightarrow {\rm le}(a) \equ n }$が成り立つ。
  5. $\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} {\rm jp}(0, a, b) & \equ & b \\ {\rm jp}(n+1, a, b) & \equ & j({\rm le}(a), {\rm jp}(n, r(a), b)) \end{array}\right.$
  6. $a \# b \equ {\rm jp}({\rm le}(a), a, b)$
    $\bracket{\begin{array}{@{}l@{}} a_0, \cdots, a_{m-1}, b_0, \cdots, b_{n-1} \gt 0 {\rm の時} \\ j_{m+1}(a_0, \cdots, a_{m-1}, 0) \# j_{n+1}(b_0, \cdots, b_{n-1}, 0) \equ j_{m+n+1}(a_0, \cdots, a_{m-1}, b_0, \cdots, b_{n-1}, 0) \end{array}}$が成り立つ。

$\varphi(y, x_1, \cdots, x_n)$を関数とする。
$\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} \tilde{\varphi}(z, x_1, \cdots, x_n) & :\equ & {\displaystyle \prod\limits_{y \lt z}} p_y^{\varphi(y, x_1, \cdots, x_n)} \\ \bar{\varphi}(z, x_1, \cdots, x_n) & :\equ & {\displaystyle \prod\limits_{y \lt z}} p_y^{\varphi(y, x_1, \cdots, x_n)+1} \end{array}\right.$
  1. $\left\{\begin{array}{@{}l@{}} \varphi {\rm は}\braces{ \tilde{\varphi} }{\text -}{\rm 原始帰納的関数} \\ \tilde{\varphi} {\rm は}\braces{ \varphi }{\text -}{\rm 原始帰納的関数} \end{array}\right.$が成り立つ。
  2. $\left\{\begin{array}{@{}l@{}} \varphi {\rm は}\braces{ \bar{\varphi} }{\text -}{\rm 原始帰納的関数} \\ \bar{\varphi} {\rm は}\braces{ \varphi }{\text -}{\rm 原始帰納的関数} \end{array}\right.$が成り立つ。

累積帰納法
$\psi(y, z, x_1, \cdots, x_n)$を関数とする。
$\varphi(y, x_1, \cdots, x_n) \equ \psi(y, \bar{\varphi}(y, x_1, \cdots, x_n), x_1, \cdots, x_n)$が成り立つように関数$\varphi$を構成できる。
$\varphi {\rm は}\braces{ \psi }{\text -}{\rm 原始帰納的関数}$が成り立つ。
帰納的定義(拡張版)
$(\psi_i(x_1, \cdots, x_n))_{i \equ 0}^n$を関数の有限列とする。$\chi(x,y_0, \cdots, y_{n+1}, x_1, \cdots, x_n)$を関数とする。
$\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} \varphi(0, x_1, \cdots, x_n) & \equ & \psi_0(x_1, \cdots, x_n) \\ \hfill \vdots \hfill & & \vdots \hfill \\ \varphi(n, x_1, \cdots, x_n) & \equ & \psi_n(x_1, \cdots, x_n) \\ \varphi(x+n+1, x_1, \cdots, x_n) & \equ & \chi(x, \varphi(x, x_1, \cdots, x_n), \cdots, \varphi(x+n, x_1, \cdots, x_n), x_1, \cdots, x_n) \end{array}\right.$
で定義される関数$\varphi$は$\braces{ \psi_0, \cdots, \psi_n, \chi }$-原始帰納的関数である。

多重帰納的関数
原始帰納的関数のクラス${\cal F}$を次で定める:
  1. $s(x) \equ x+1, l(x), r(x), 0(x) \equ 0 \quad \in {\cal F}$
  2. $\psi(x), \chi(x) \in {\cal F}$ならば、
    $\varphi(x) \equ j(\psi(x), \chi(x)), \varphi(x) \equ \psi(\chi(x)), \left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} \varphi(0) & \equ & \psi(0) \\ \varphi(x+1) & \equ & \chi(\varphi(x)) \end{array}\right.$
    で定義される$\varphi(x)$は、$\varphi(x) \in {\cal F}$
  3. $\varphi(x) \in {\cal F}$となる関数は、以上によって$\varphi(x) \in {\cal F}$となるものに限る。

2変数関数${\rm penum}(x, y)$を2重帰納法を用いて次で定める:
${\rm penum}(x, y) \equ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} s(y) & \parenth{ x \equ 7m {\rm の時} } \\ l(y) & \parenth{ x \equ 7m+1 {\rm の時} } \\ r(y) & \parenth{ x \equ 7m+2 {\rm の時} } \\ 0(y) & \parenth{ x \equ 7m+3 {\rm の時} } \\ {\rm penum}(l(m), {\rm penum}(r(m), y)) & \parenth{ x \equ 7m+4 {\rm の時} } \\ \varphi_m(y) & \parenth{ x \equ 7m+5 {\rm の時} } \\ j({\rm penum}(l(m), y), {\rm penum}(r(m), y)) & \parenth{ x \equ 7m+6 {\rm の時} } \end{array}\right.$
ただし、$\varphi_m(y)$は$\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} \varphi_m(0) & \equ & {\rm penum}(l(m), 0) \\ \varphi_m(y+1) & \equ & {\rm penum}(r(m), \varphi_m(y)) \end{array}\right.$で定義された関数である。
  1. $\bracket{ {\rm 任意の1変数原始帰納的関数}\varphi(x){\rm に対して、} \varphi(x) \in {\cal F} }$ が成り立つ。
  2. $\Set{ {\rm 変数}x{\rm の関数penum}(n, x) }{ n \in {\mathbb N} } \equ \Set{ \varphi }{ \varphi {\rm は1変数原始帰納的関数} }$ が成り立つ。
  3. ${\rm penum}(x, y) {\rm は2変数}x, y{\rm の関数として原始帰納的関数ではない}$が成り立つ。

(原始)帰納的部分関数
帰納的部分関数を定義する図式
  • 初期関数
    1. 後者関数:
      $\varphi(x) :\equ x^\prime$
    2. 定数関数:($q$は定数)
      $\varphi(x_1, \cdots, x_n) :\equ q$
    3. 射影関数:($n \equ 1$なら恒等関数)
      $\varphi(x_1, \cdots, x_n) :\equ x_i \parenth{ i \equ 1, \cdots, n }$
  • 与えられた部分関数から得られる部分関数
    1. 合成:
      $\psi$は$m$変数部分関数、$\chi_1, \cdots, \chi_m$は$n$変数部分関数とする。
      $\varphi(x_1, \cdots, x_n) :\simeq \psi(\chi_1(x_1, \cdots, x_n), \cdots, \chi_m(x_1, \cdots, x_n))$

      注意:$\psi(\chi_1(x_1, \cdots, x_n), \cdots, \chi_m(x_1, \cdots, x_n))$が定義されているとは、任意の$i \in \braces{1, \cdots, m}$に対し$\chi_i(x_1, \cdots, x_n)$が定義されていて、その値を$y_i$とすると、$\psi(y_1, \cdots, y_m)$が定義されているということである。

    2. 帰納的定義:
      $\psi$は$n$変数部分関数、$\chi$は$n+2$変数部分関数とする。
      $\left\{\begin{array}{} \varphi(0, x_1, \cdots, x_n) & :\simeq & \psi(x_1, \cdots, x_n) \\ \varphi(x^\prime, x_1, \cdots, x_n) & :\simeq & \chi(x, \varphi(x, x_1, \cdots, x_n), x_1, \cdots, x_n) \\ \end{array}\right.$

      注意:例えば、$\varphi(a, x_1, \cdots, x_n)$が定義されるとは、$b \lt a$なる全ての$b$に対して、$\varphi(b, x_1, \cdots, x_n)$が定義されていなくてはならない。$\varphi(b, x_1, \cdots, x_n)$が定義されないような$b$が存在すれば、$b \lt a$なる全ての$a$に対し、$\varphi(a, x_1, \cdots, x_n)$は定義されないのである。

    3. $\mu$-作用素の適用もしくは最小化の操作:
      $\psi$は$n+1$変数部分関数とする。
      $\varphi(x_1, \cdots, x_n) :\simeq \mu y \bracket{ \psi(x_1, \cdots, x_n, y) \equ 0 }$

      注意:$\mu y \bracket{ \psi(x_1, \cdots, x_n, y) \equ 0 }$が定義され、その値が$a$であるとは、$b \lt a$なる全ての$b$に対して、$\psi(x_1, \cdots, x_n, b)$が定義され、かつ、$\psi(x_1, \cdots, x_n, b) \neq 0$であることを意味する。


(原始)帰納的記述
$\varphi_1, \cdots, \varphi_l, \varphi$は部分関数とする。
$\varphi_1, \cdots, \varphi_l {\rm は}\varphi{\rm についての帰納的記述}$ $:\Leftrightarrow$
$\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}} \left.\begin{array}{@{}@{}} {\rm 任意の}i \equ 1, \cdots, l{\rm に対して、} \\ \quad\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} (1) & \varphi_i {\rm は初期関数} & {\rm または} \\ (2) & \left(\begin{array}{} j_1, \cdots, j_m \lt i {\rm が存在して} \\ \quad \varphi_i {\rm は部分関数} \varphi_{j_1}, \cdots, \varphi_{j_m} {\rm から得られる部分関数} \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right) & {\rm かつ} \\ \psi_l \equ \varphi & \end{array}\right.$

$\varphi_1, \cdots, \varphi_l {\rm は}\varphi{\rm についての原始帰納的記述}$ $:\Leftrightarrow$
$\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}} \left.\begin{array}{@{}@{}} {\rm 任意の}i \equ 1, \cdots, l{\rm に対して、} \\ \quad\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} (1) & \varphi_i {\rm は初期関数} & {\rm または} \\ (2) & \left(\begin{array}{} j_1, \cdots, j_m \lt i {\rm が存在して} \\ \quad \begin{array}{@{}@{}} \varphi_i {\rm は部分関数} \varphi_{j_1}, \cdots, \varphi_{j_m} {\rm から} \\ {\rm 合成、帰納的定義の操作によって得られる部分関数} \end{array} \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right) & {\rm かつ} \\ \psi_l \equ \varphi & \end{array}\right.$

$\varphi$は部分関数とする。
$\varphi$は帰納的部分関数 $:\Leftrightarrow$ $\left(\begin{array}{@{}@{}} {\rm 部分関数}\varphi_1, \cdots, \varphi_l{\rm が存在して、} \\ \quad \varphi_1, \cdots, \varphi_l {\rm は}\varphi{\rm についての帰納的記述} \end{array}\right.$
$\varphi$は原始帰納的部分関数 $:\Leftrightarrow$ $\left(\begin{array}{@{}@{}} {\rm 部分関数}\varphi_1, \cdots, \varphi_l{\rm が存在して、} \\ \quad \varphi_1, \cdots, \varphi_l {\rm は}\varphi{\rm についての原始帰納的記述} \end{array}\right.$

$P$は部分述語とする。
$P$は帰納的部分述語 $:\Leftrightarrow$ $P$の表現関数$\chi_P {\rm は帰納的部分関数}$
$P$は原始帰納的部分述語 $:\Leftrightarrow$ $P$の表現関数$\chi_P {\rm は原始帰納的部分関数}$

定理
$\varphi$は関数とする。$P$は述語とする。
$\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}r@{}c@{}l@{}r@{}} (1) & \varphi {\rm は} & {\rm 帰納的関数} & \Rightarrow & \varphi {\rm は} & {\rm 帰納的部分関数} \\ (2) & \varphi {\rm は} & {\rm 原始帰納的関数} & \Rightarrow & \varphi {\rm は} & {\rm 原始帰納的部分関数} \\ (3) & P {\rm は} & {\rm 帰納的述語} & \Rightarrow & P {\rm は} & {\rm 帰納的部分述語} \\ (4) & P {\rm は} & {\rm 原始帰納的述語} & \Rightarrow & P {\rm は} & {\rm 原始帰納的部分述語} \end{array}\right.$が成り立つ。

帰納的関数論 1

形式的体系とは、(形式主義の立場では)有限の立場とよばれる構成的な方法で証明論を形式化し、さらに証明論の対象である個々の数学的理論をも、同じように形式化したものである。従って、形式的体系における思考対象を定義する方法、論理の運用は有限の立場においてなされる。つまり、形式的体系における議論の展開は有限の立場によって行われる。

原始帰納的という概念こそが、形式的体系での有限の立場の自然数論における像であり、その概念自身、有限の立場によるものなのである。


有限の立場とは、大雑把に言えば、有限回の操作によって実行可能な事柄のみを、そのよりどころとする立場である。すなわち、構成の概念がその中心である。


有限の立場での議論の対象は、目前にある有限個の記号、およびその有限個の組合せである。これをいま、図形と呼ぼう。

次のような無限の図形を定義する方法を、帰納的定義と呼ぶ:

  1. 具体的な記号を定める。これは1つの図形である。
  2. 具体的な図形がいくつか与えられた時、これから具体的な(新しい)図形を作り出す手段を定める。
  3. 以上によって定められる物のみが図形である。それ以外は(現在定義しようとしている)図形では無い。

次のようにして、有限の立場における自然数が定義される:

  1. $0$は自然数である。
  2. $n$が自然数ならば、$n^\prime$は自然数である。
  3. 以上によって定められる物のみが自然数である。

このように定義すれば、自然数とは、$0, 0^\prime, 0^{\prime \prime}, 0^{\prime \prime \prime}, \cdots$のような図形を意味するわけである(もちろん、$0^\prime$を$1$と書き、$0^{\prime\prime}$を$2$と書き、…と約束して、以下そのように書いてもよい。しかし、構成された図形としての自然数はあくまで、$0, 0^\prime, 0^{\prime\prime}, \cdots$の形をしている)。


一般に、$\varphi_i(a_1, \cdots, a_m) (i \equ 1, 2, \cdots, k)$ を $a_1, \cdots, a_m$ から、何らかの定まった操作で得られる物として、次のようなAの帰納的定義を考える:

  1. $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ は $A$ である。
  2. $a_1, \cdots, a_m$ が $A$ である時、$\varphi_1(a_1, \cdots, a_m), \cdots, \varphi_k(a_1, \cdots, a_m)$ は $A$ である。
  3. 以上によるもののみが $A$ である。

この時、任意の $A$ であるような $x$ について、ある性質 $P(x)$ を証明したいとしよう。このためには、$A$ の帰納的定義に従って、次のような帰納法を用いればよい:

  1. $P(\alpha_1), \cdots, P(\alpha_n)$ が成り立つことを示す。
  2. $A$であるような任意の$a_1, \cdots, a_m$ について、$P(a_1), \cdots, P(a_m)$であることを仮定して、$P(\varphi_1(a_1, \cdots, a_m)), \cdots, P(\varphi_k(a_1, \cdots, a_m))$ が成り立つことを示す。

記号と規約
$X \subseteq {\mathbb N}^n$とする。

関数$\varphi : X \rightarrow {\mathbb N}$を${\mathbb N}^n$上の部分関数とも言う。

$P$は$X$上で定義されている述語とする。
$\chi_P : X \rightarrow {\mathbb N}, (x_1, \cdots, x_n) \mapsto \left\{\begin{array}{@{}@{}@{}} 0 & ( P(x_1, \cdots, x_n) ) \\ 1 & ( \neg P(x_1, \cdots, x_n) ) \end{array}\right.$
で定義される関数を$P$の表現関数(representing function)という。
述語$P$は$\mathbb{N}^n$上の部分述語である。 $:\Leftrightarrow$ 述語$P$の表現関数$\chi_P$は$\mathbb{N}^n$上の部分関数である。

$\varphi, \psi$を$\mathbb{N}^n$上の部分関数とする。
部分述語$\varphi \equ \psi$を以下で定義する:
$\varphi(x_1, \cdots, x_n)$ $\psi(x_1, \cdots, x_n)$ $\varphi(x_1, \cdots, x_n) \equ \psi(x_1, \cdots, x_n)$の真理値
定義されている 定義されている 関数値$\varphi(x_1, \cdots, x_n)$と$\psi(x_1, \cdots, x_n)$の値が等しければ真
関数値$\varphi(x_1, \cdots, x_n)$と$\psi(x_1, \cdots, x_n)$の値が等しくなければ偽
それ以外 定義されていない
$\mathbb{N}^n$上全域で定義された述語$\varphi \simeq \psi$を以下で定義する:
$\varphi(x_1, \cdots, x_n)$ $\psi(x_1, \cdots, x_n)$ $\varphi(x_1, \cdots, x_n) \simeq \psi(x_1, \cdots, x_n)$の真理値
定義されている 定義されている 関数値$\varphi(x_1, \cdots, x_n)$と$\psi(x_1, \cdots, x_n)$の値が等しければ真
関数値$\varphi(x_1, \cdots, x_n)$と$\psi(x_1, \cdots, x_n)$の値が等しくなければ偽
定義されている 定義されていない
定義されていない 定義されている
定義されていない 定義されていない

以下では、特に部分関数、部分述語と断らない限り、全域で定義されているとする。


原始帰納的関数と帰納的関数

原始帰納的関数(述語)は、形式的体系における有限の立場での手続き、ないしは、この立場で定義された論理式の自然数論における解釈としての表現をその起源とする。

帰納的関数(述語)は、アルゴリズムを持つ関数(述語)の数学的定義として適当と考えられる概念である。

以下で取り扱われる関数は、自然数上で定義され、自然数値をとる数論的関数であり、述語もまた自然数上で定義されるもののみを考える。

帰納的関数を定義する図式(schema)
  • 初期関数(initial function)
    1. 後者関数(successor function):
      $\varphi(x) \equ x^\prime$
    2. 定数関数:($q$は定数)
      $\varphi(x_1, \cdots, x_n) \equ q$
    3. 射影関数:($n \equ 1$なら恒等関数)
      $\varphi(x_1, \cdots, x_n) \equ x_i \parenth{ i \equ 1, \cdots, n }$
  • 与えられた関数から得られる関数(immediate consequence)
    1. 合成:
      $\psi$は$m$変数関数、$\chi_1, \cdots, \chi_m$は$n$変数関数とする。
      $\varphi(x_1, \cdots, x_n) \equ \psi(\chi_1(x_1, \cdots, x_n), \cdots, \chi_m(x_1, \cdots, x_n))$
    2. 帰納的定義:
      $\psi$は$n$変数関数、$\chi$は$n+2$変数関数とする。
      $\left\{\begin{array}{} \varphi(0, x_1, \cdots, x_n) & \equ & \psi(x_1, \cdots, x_n) \\ \varphi(x^\prime, x_1, \cdots, x_n) & \equ & \chi(x, \varphi(x, x_1, \cdots, x_n), x_1, \cdots, x_n) \\ \end{array}\right.$
    3. $\mu$-作用素の適用もしくは最小化の操作:
      $\psi$は$n+1$変数関数とする。
      $\all x_1 \cdots \all x_n \exi y \; \parenth{ \psi(x_1, \cdots, x_n, y) \equ 0 }$が成立していると仮定する。
      $\varphi(x_1, \cdots, x_n) \equ \mu y \parenth{ \psi(x_1, \cdots, x_n, y) \equ 0 }$
      ただし、$\mu y \parenth{ \psi(x_1, \cdots, x_n, y) \equ 0 }$は、$x_1, \cdots, x_n$に対し、$\psi(x_1, \cdots, x_n, y) \equ 0$を満たす最小の$y$を表す。仮定により、このような値が存在する。

(${\cal D}$-)(原始)帰納的記述
$\varphi_1, \cdots, \varphi_l, \varphi$は関数とする。${\cal D}$は関数の有限集合とする。
$\varphi_1, \cdots, \varphi_l$は$\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}} \varphi{\rm についての}{\cal D}{\rm -帰納的記述} {\rm 、あるいは、} \\ {\cal D}{\rm からの帰納的記述} \end{array}\right.$ $:\Leftrightarrow$
$\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}} \left.\begin{array}{@{}@{}} {\rm 任意の}i \equ 1, \cdots, l{\rm について、} \\ \quad\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} (1) & \varphi_i {\rm は初期関数} & {\rm または} \\ (2) & \varphi_i {\rm は}{\cal D}{\rm の要素} & {\rm または} \\ (3) & \begin{array}{} j_1, \cdots, j_m \lt i {\rm が存在して} \\ \quad \varphi_i {\rm は関数} \varphi_{j_1}, \cdots, \varphi_{j_m} {\rm から得られる関数} \end{array} \end{array}\right. \end{array}\right) & {\rm かつ} \\ \psi_l \equ \varphi & \end{array}\right.$

${\cal D} \equ \phi$の時は、$\varphi_1, \cdots, \varphi_l$を帰納的記述という。


$\varphi_1, \cdots, \varphi_l$は$\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}} \varphi{\rm についての}{\cal D}{\rm -原始帰納的記述} {\rm 、あるいは、} \\ {\cal D}{\rm からの原始帰納的記述} \end{array}\right.$ $:\Leftrightarrow$
$\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}} \left.\begin{array}{@{}@{}} {\rm 任意の}i \equ 1, \cdots, l{\rm について、} \\ \quad\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} (1) & \varphi_i {\rm は初期関数} & {\rm または} \\ (2) & \varphi_i {\rm は}{\cal D}{\rm の要素} & {\rm または} \\ (3) & \begin{array}{} j_1, \cdots, j_m \lt i {\rm が存在して} \\ \quad \begin{array}{@{}@{}} \varphi_i {\rm は関数} \varphi_{j_1}, \cdots, \varphi_{j_m} {\rm から} \\ {\rm 合成、帰納的定義の操作によって得られる関数} \end{array} \end{array} \end{array}\right. \end{array}\right) & {\rm かつ} \\ \psi_l \equ \varphi & \end{array}\right.$

${\cal D} \equ \phi$の時は、$\varphi_1, \cdots, \varphi_l$を原始帰納的記述という。


(${\cal D}$-)(原始)帰納的関数
$\varphi$は関数とする。${\cal D}$は関数の有限集合とする。
$\varphi$は${\cal D}$-帰納的関数 $:\Leftrightarrow$ $\begin{array}{@{}@{}} {\rm 関数}\varphi_1, \cdots, \varphi_l{\rm が存在して、} \\ \quad \varphi_1, \cdots, \varphi_l {\rm は}\varphi{\rm についての}{\cal D}-{\rm 帰納的記述} \end{array}$

${\cal D} \equ \phi$の時は、$\varphi$を帰納的関数という。


$\varphi$は${\cal D}$-原始帰納的関数 $:\Leftrightarrow$ $\begin{array}{@{}@{}} {\rm 関数}\varphi_1, \cdots, \varphi_l{\rm が存在して、} \\ \quad \varphi_1, \cdots, \varphi_l {\rm は}\varphi{\rm についての}{\cal D}-{\rm 原始帰納的記述} \end{array}$

${\cal D} \equ \phi$の時は、$\varphi$を原始帰納的関数という。


定理
$\varphi$は関数とする。${\cal D}$は関数の有限集合とする。
  1. $\varphi$は${\cal D}$-原始帰納的関数 $\Rightarrow$ $\varphi$は${\cal D}$-帰納的関数 が成り立つ。
  2. $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}} \varphi {\rm は}{\cal D}-原始帰納的関数 & {\rm かつ} \\ {\rm 任意の}\varphi_0 \in {\cal D}に対し、\varphi_0 {\rm は原始帰納的関数} & \end{array}\right. \Rightarrow \varphi {\rm は原始帰納的関数}$ が成り立つ。
  3. $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}} \varphi {\rm は}{\cal D}-帰納的関数 & {\rm かつ} \\ {\rm 任意の}\varphi_0 \in {\cal D}に対し、\varphi_0 {\rm は帰納的関数} & \end{array}\right. \Rightarrow \varphi {\rm は帰納的関数}$ が成り立つ。

原始帰納的関数の例を複数挙げる。
  1. $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} 0 + b & \equ & b, \\ a^\prime + b & \equ & ( a + b )^\prime \end{array}\right.$で定義された和$a+b$は原始帰納的関数である。
    • $\varphi_1(x) \equ x^\prime, \varphi_2(b) \equ b, \varphi_3(a, x, b) \equ x, \varphi_4(a, x, b) \equ \varphi_1(\varphi_3(a, x, b)), $
      $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} \varphi_5(0, b) & \equ & \varphi_2(b), \\ \varphi_5(a^\prime, b) & \equ & \varphi_4(a, \varphi_5(a, b), b) \end{array}\right.$と置く。
    • $\varphi_1, \cdots, \varphi_5 {\rm は}a+b{\rm についての原始帰納的記述}$である。

    一般に、関数$f$が原始帰納的関数であることを示す時、原始帰納的記述を作るのは煩雑である。

    上のように定義式を書いただけでも、その原始帰納的記述をうかがい知ることは十分出来るから、以後は殆ど上のように簡略化する。

  2. $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} 0 \cdot b & \equ & 0, \\ a^\prime \cdot b & \equ & a \cdot b + b \end{array}\right.$
  3. $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} a^0 & \equ & 1, \\ a^{b^\prime} & \equ & a^b \cdot a \end{array}\right.$
  4. $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} 0! & \equ & 1, \\ a^\prime! & \equ & a! \cdot a^\prime \end{array}\right.$
  5. "$a$の前者(predecessor)をとる"関数
    $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} pd(0) & \equ & 0, \\ pd(a^\prime) & \equ & a \end{array}\right.$
  6. $a \dot{-} b \equ \left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} a - b & \parenth{ a \geq b {\rm の時} } \\ 0 & \parenth{ a \lt b {\rm の時} } \end{array}\right.$なる関数
    $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} a \dot{-} 0 & \equ & a, \\ a \dot{-} b^\prime & \equ & pd(a \dot{-} b) \end{array}\right.$
  7. "$a, b$の小さい方をとる"関数
    $\min(a, b) \equ b \dot{-} ( b \dot{-} a )$
  8. "$a_1, a_2, \cdots, a_n$のうち、一番小さいものをとる"関数
    $\min(a_1, a_2, \cdots, a_n) \equ \min( \cdots \min(\min(a_1, a_2), a_3), \cdots, a_n)$
  9. "$a, b$の大きい方をとる"関数
    $\max(a, b) \equ (a+b) \dot{-} \min(a, b)$
  10. "$a_1, a_2, \cdots, a_n$のうち、一番大きいものをとる"関数
    $\max(a_1, a_2, \cdots, a_n) \equ \max( \cdots \max(\max(a_1, a_2), a_3), \cdots, a_n)$
  11. $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} {\rm sg}(0) & \equ & 0, \\ {\rm sg}(a^\prime) & \equ & 1 \end{array}\right.$
  12. $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} \overline{\rm sg}(0) & \equ & 1, \\ \overline{\rm sg}(a^\prime) & \equ & 0 \end{array}\right.$
  13. $|a - b| \equ (a \dot{-} b) + (b \dot{-} a)$
  14. "$a$を$b$で割った剰余をとる"関数、つまり、
    ${\rm rem}(a, b) \equ \left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} a & & (b \equ 0 {\rm の時}) \\ (a \equ b \cdot q + r, 0 \leq r \lt b {\rm であるような}r) & & (b \neq 0 {\rm の時}) \end{array}\right.$なる関数。 $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} {\rm rem}(0, b) & \equ & 0 \\ {\rm rem}(a^\prime, b) & \equ & ({\rm rem}(a, b) + 1) \cdot {\rm sg}(|b - ({\rm rem}(a, b) + 1)|) \end{array}\right.$
  15. $\bracket{ \dfrac{a}{b} } \equ \left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} 0 & (b \equ 0 {\rm の時}) \\ (a {\rm を}b{\rm で割った商の整数部分}) & (b \neq 0 {\rm の時}) \end{array}\right.$なる関数。
    $\left\{\begin{array}{@{}@{}@{}@{}} \bracket{ \dfrac{0}{b} } & \equ & b \\ \bracket{ \dfrac{a^\prime}{b} } & \equ & \bracket{ \dfrac{a}{b} } + \overline{\rm sg}(|b - ({\rm rem}(a, b) + 1)|) \end{array}\right.$
  16. 対関数(pairing function)と呼ばれる可逆写像:${\mathbb N} \times {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$
    $j(a, b) \equ \bracket{ \dfrac{ (a+b)(a+b+1) }{ 2 } } + a$

$\psi$を関数とする。$\psi$-原始帰納的関数を定義する。
  1. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} {\displaystyle \sum\limits_{y \lt 0}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & 0, \\ {\displaystyle \sum\limits_{y \lt z+1}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & \psi(x_1, \cdots, x_n, z) + {\displaystyle \sum\limits_{y \lt z}} \psi(x_1, \cdots, x_n, y) \end{array}\right.$
  2. $\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}c@{}l@{}} {\displaystyle \sum\limits_{y \leq z}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & {\displaystyle \sum\limits_{y \lt z+1}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) \\ {\displaystyle \sum\limits_{w \lt y \lt z}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & {\displaystyle \sum\limits_{y \lt z \dot{-} (w+1)}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y+w+1) \\ {\displaystyle \sum\limits_{w \leq y \leq z}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & {\displaystyle \sum\limits_{y \lt (z \dot{-} w)+1}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y+w) \end{array}$
  3. $\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} {\displaystyle\prod\limits_{y \lt 0}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & 1, \\ {\displaystyle\prod\limits_{y \lt z+1}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & \psi(x_1, \cdots, x_n, z) \cdot {\displaystyle\prod\limits_{y \lt z}} \psi(x_1, \cdots, x_n, y) \end{array}\right.$
  4. $\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}c@{}l@{}} {\displaystyle \prod\limits_{y \leq z}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & {\displaystyle \prod\limits_{y \lt z+1}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) \\ {\displaystyle \prod\limits_{w \lt y \lt z}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & {\displaystyle \prod\limits_{y \lt z \dot{-} (w+1)}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y+w+1) \\ {\displaystyle \prod\limits_{w \leq y \leq z}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y) & \equ & {\displaystyle \prod\limits_{y \lt (z \dot{-} w)+1}} & \psi(x_1, \cdots, x_n, y+w) \end{array}$

$\text{Zermelo}$の整列定理と整列集合、そして、$\text{Zorn}$の補題。

Zermeloの整列定理
$X$を集合とする。
$\exi \leq \; \subseteq X \times X \; (X, \leq) {\rm は整列集合}$ が成り立つ$^{AC}$。
  • $\exi {\rm 整列集合} Y \; \exi {\rm 全単射} f : Y \rightarrow X$ を証明すれば良い。それをもって $X$ を整列集合と出来る。
  • 選択公理$^{AC}$により、$\exi f : {\frak P}(X) \backslash \{ \phi \} \rightarrow X \;\; \all R \in {\frak P}(X) \backslash \{ \phi \} \; f(R) \in R$ である。
  • ${\frak X} :\equiv \Set{ {\cal R} \subseteq {\frak P}(X) }{ \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} ({\rm i}) & X \in {\cal R} & {\rm かつ} \\ ({\rm ii}) & \all {\cal S} \subseteq {\cal R} \; \bigcap {\cal S} \in {\cal R} & {\rm かつ} \\ ({\rm iii}) & \phi \nequ \all R \in {\cal R} \; R \backslash \{ f(R) \} \in {\cal R} & \end{array}\right. }$ と置く。
  • 明らかに ${\frak P}(X) \in {\frak X}$ なので、${\frak X} \nequ \phi$ である。
  • ${\cal R}_0 :\equiv \bigcap {\frak X}$ と置く。
  • ${\cal R}_0 \in {\frak X}$ が成り立つ。
    • ${\rm (i)}$$\all {\cal R} \in {\frak X} \; X \in {\cal R}$ なので $X \in \bigcap\limits_{ {\cal R} \in {\frak X} } {\cal R} \equ {\cal R}_0$ である。
    • ${\rm (ii)}$${\cal S} \subseteq {\cal R}_0$ を任意に取る。
    • 任意の ${\cal R} \in {\frak X}$ に対して、${\cal S} \subseteq {\cal R}_0 \subseteq {\cal R}$ なので、$\bigcap {\cal S} \in {\cal R}$ である。
    • よって、$\bigcap {\cal S} \in \bigcap\limits_{ {\cal R} \in {\frak X} } {\cal R} \equ {\cal R}_0$ である。
    • ${\rm (iii)}$$\phi \nequ R \in {\cal R}_0$ を任意に取る。
    • 任意の ${\cal R} \in {\frak X}$ に対して、$R \in {\cal R}_0 \subseteq {\cal R}$ なので、$R \backslash \{ f(R) \} \in {\cal R}$ である。
    • よって、$R \backslash \{ f(R) \} \in \bigcap\limits_{ {\cal R} \in {\frak X} } {\cal R} \equ {\cal R}_0$ である。
  • ${\cal R}_1 :\equiv \Set{ S \in {\cal R}_0 }{ \all R \in {\cal R}_0 \;\bracket{ R \subseteq S \lor S \subseteq R } }$ と置く。
  • ${\cal R}_2 :\equiv \Set{ R \in {\cal R}_0 }{ \phi \nequ \all S \in {\cal R}_1 \;\bracket{ R \subseteq S \backslash \{ f(S) \} \lor S \subseteq R } }$ と置く。
  • ${\cal R}_0 \equ {\cal R}_2$ が成り立つ。
    • $\supseteq$${\cal R}_2$ の定義から明らか。
    • $\subseteq$${\cal R}_0$ の定義を考えれば、${\cal R}_2 \in {\frak X}$ を示せばよい。
    • ${\rm (i)}$$\phi \nequ \all S \in {\cal R}_1 \; S \subseteq X$ $\in$ R_0はfrak_Xに属すより。 ${\cal R}_0$ なので $X \in {\cal R}_2$ である。
    • ${\rm (ii)}$${\cal S} \subseteq {\cal R}_2$ を任意に取る。
    • R_0はfrak_Xに属すより $\bigcap {\cal S} \in {\cal R}_0$ である。
    • $\phi \nequ S \in {\cal R}_1$ を任意に取る。
    • $\exi R \in {\cal S} \; R \subseteq S \backslash \{ f(S) \}$ の場合:
      • $\bigcap {\cal S} \subseteq R \subseteq S \backslash \{ f(S) \}$ である。
    • $\all R \in {\cal S} \; R \not\subseteq S \backslash \{ f(S) \}$ の場合:
      • この場合は、${\cal S} \subseteq {\cal R}_2$ と $\phi \nequ S \in {\cal R}_1$ より、$\all R \in {\cal S} \; S \subseteq R$ である。
      • 従って、$S \subseteq \bigcap {\cal S}$ である。
    • $\phi \nequ S \in {\cal R}_1$ は任意なので、いずれにしても $\bigcap {\cal S} \in {\cal R}_2$ である。
    • ${\rm (iii)}$$\phi \nequ R \in {\cal R}_2$ を任意に取る。
    • $R \in {\cal R}_2 \subseteq {\cal R}_0$ とR_0はfrak_Xに属すより $R \backslash \{ f(R) \} \in {\cal R}_0$ である。
    • $\phi \nequ S \in {\cal R}_1$ を任意に取る。
    • $R \in {\cal R}_2$ と $S \in {\cal R}_1$ より $R \subseteq S \backslash \{ f(S) \} \lor S \subseteq R$ である。
    • $R \subseteq S \backslash \{ f(S) \}$ または $S \equ R$ の場合:
      • $R \backslash \{ f(R) \} \subseteq S \backslash \{ f(S) \}$ である。
    • $S \subsetneq R$ の場合:
      • $S \in {\cal R}_1$ と R\{f(R)}∈R_0より $R \backslash \{ f(R) \} \subseteq S \lor S \subseteq R \backslash \{ f(R) \}$ である。
      • $R \backslash \{ f(R) \} \subseteq S$ ならば、$S \subsetneq R$ を合わせて $S \equ R \backslash \{ f(R) \}$ なので、
        結局、$S \subseteq R \backslash \{ f(R) \}$ である。
    • $\phi \nequ S \in {\cal R}_1$ は任意なので、いずれにしても $R \backslash \{ f(R) \} \in {\cal R}_2$ である。
  • ${\cal R}_0 \equ {\cal R}_1$ が成り立つ。
    • $\supseteq$${\cal R}_1$ の定義から明らか。
    • $\subseteq$${\cal R}_0$ の定義を考えれば、${\cal R}_1 \in {\frak X}$ を示せばよい。
    • ${\rm (i)}$$\all R \in {\cal R}_0 \; R \subseteq X$ なので $X \in {\cal R}_1$ である。
    • ${\rm (ii)}$${\cal S} \subseteq {\cal R}_1$ を任意に取る。
    • ${\cal S} \subseteq {\cal R}_1 \subseteq {\cal R}_0$ とR_0はfrak_Xに属すより $\bigcap {\cal S} \in {\cal R}_0$ である。
    • $R \in {\cal R}_0$ を任意に取る。
    • $\all S \in {\cal S} \; R \subseteq S$ の場合:
      • $R \subseteq \bigcap {\cal S}$ である。
    • $\exi S \in {\cal S} \; R \not\subseteq S$ の場合:
      • ${\cal S}$ と $R$ の取り方より、$\all S \in {\cal S} \;\bracket{ R \subseteq S \lor S \subseteq R }$ である。
      • 従って、場合分けの仮定も合わせて、$\exi S \in {\cal S} \; S \subseteq R$ である。
      • 従って、$\bigcap {\cal S} \subseteq S \subseteq R$ である。
    • $R \in {\cal R}_0$ は任意なので、いずれにしても $\bigcap {\cal S} \in {\cal R}_1$ である。
    • ${\rm (iii)}$$\phi \nequ S \in {\cal R}_1$ を任意に取る。
    • $\phi \nequ S \in {\cal R}_1 \subseteq {\cal R}_0$ とR_0はfrak_Xに属すより、$S \backslash \{ f(S) \} \in {\cal R}_0$ である。
    • $R \in {\cal R}_0$ を任意に取る。
    • $R \in {\cal R}_0$ $\equ$ R_0=R_2 ${\cal R}_2$ と $\phi \nequ S \in {\cal R}_1$ より、$R \subseteq S \backslash \{ f(S) \} \lor S \subseteq R$ である。
    • 従って、$R \subseteq S \backslash \{ f(S) \} \lor S \backslash \{ f(S) \} \subsetneq S \subseteq R$ である。
    • よって、$S \backslash \{ f(S) \} \in {\cal R}_1$ である。
  • $\leq :\equiv \Set{ (R_0,R_1) \in {\cal R}_0 \times {\cal R}_0 }{ R_0 \supseteq R_1 }$ と置く。
  • $({\cal R}_0, \leq) \;{\rm は整列集合}$ が成り立つ。
    • R_0=R_1の $\subseteq$ より、$({\cal R}_0, \leq) \;{\rm は全順序集合}$ である。
    • $\phi \nequ {\cal S} \subseteq {\cal R}_0$ を任意に取る。
    • 以下、$\leq$ に関する${\cal S}$の最小元、つまり、$\subseteq$ に関する${\cal S}$の最大元を構成すればよい。
    • ${\cal R} :\equiv \Set{ R \in {\cal R}_0 }{ \all S \in {\cal S} \; S \subsetneq R } (\subseteq {\cal R}_0)$ と置く。
    • $R_0 :\equiv \bigcap {\cal R} \;($ $\in$ R_0はfrak_Xに属すの ${\rm (ii)}$ ${\cal R}_0 )$ と置く。
    • この定義より明らかに、$\all S \in {\cal S} \; S \subseteq R_0$ である。
    • $\exi S \in {\cal S} \; R_0 \subseteq S$ の場合:
      • calSの上界R_0より、$R_0 \equ S \in {\cal S}$ である。
      • よって、$R_0 {\rm は}\subseteq{\rm に関する}{\cal S}{\rm の最大元}$ である。
    • $\all S \in {\cal S} \; R_0 \not\subseteq S$ の場合:
      • R_0=R_1の $\subseteq$ より、$\all S \in {\cal S} \; S \subsetneq R_0$ である。
      • $\phi \neq {\cal S}$ より $\exi S^\prime \in {\cal S}$ であるので、$S^\prime$ $\subsetneq$ R_0はどのSよりも真に大きい $R_0$ より、$R_0 \neq \phi$ である。
      • $R_0 \backslash \{ f(R_0) \} \;{\rm は}\subseteq{\rm に関する}{\cal S}{\rm の最大元}$ が成り立つ。
        • (i)まず、R_0はfrak_Xに属すの ${\rm (iii)}$ より、 $R_0 \backslash \{ f(R_0) \} \in {\cal R}_0$ である。
        • $R_0 \backslash \{ f(R_0) \} \subsetneq R_0$ なので、$R_0$ の定義より、$R_0 \backslash \{ f(R_0) \} \not\in {\cal R}$ である。
        • 従って、$\exi S_0 \in {\cal S} \; S_0 \not\subsetneq R_0 \backslash \{ f(R_0) \}$ つまり、 $R_0 \backslash \{ f(R_0) \} \subseteq S_0$ である。
        • 従って、$R_0 \backslash \{ f(R_0) \} \subseteq S_0$ $\subsetneq$ R_0はどのSよりも真に大きい $R_0$ である。
        • 従って、$R_0 \backslash \{ f(R_0) \} \equ S_0 \in {\cal S}$ である。
        • (ii)$S \in {\cal S}$ を任意に取る。
        • R_0=R_1の $\subseteq$ より、$S \subseteq S_0 \lor S_0 \subseteq S$ であるが、
          $S_0 \subseteq S$ であったとしても、$S_0 \subseteq S$ $\subsetneq$ R_0はどのSよりも真に大きい $R_0$ より、結局、$S_0 \equ S$ である。
  • $g : X \rightarrow {\frak P}(X) \backslash \{ \phi \}, x \mapsto \bigcap \Set{ R \in {\cal R}_0 }{ x \in R }$ と定義する。
  • $\all x \in X \; f(g(x)) \equ x$ が成り立つ。
    • $x \in X$ を任意に取る。
    • $x \in g(x)$ $\in$ R_0はfrak_Xに属すの${\rm (ii)}$ ${\cal R}_0$ なので、R_0はfrak_Xに属すの${\rm (iii)}$ より $g(x) \backslash \{ f(g(x)) \} \in {\cal R}_0$ である。
    • また、$g(x)$ の定義より、$\all R \in {\cal R}_0 \;\parenth{ x \in R \Rightarrow g(x) \subseteq R }$ である。
    • 更に、$g(x) \backslash \{ f(g(x)) \} \subsetneq g(x)$ である。
    • これら3つより、$x \not\in g(x) \backslash \{ f(g(x)) \}$ である。
    • 従って、$x \in g(x) \backslash \parenth{ g(x) \backslash \{ f(g(x)) \} } \equ \{ f(g(x)) \}$ つまり、 $x \equ f(g(x))$ である。
  • 従って、$g$の制限写像$g : X \rightarrow g(X) \;{\rm は全単射}$ である。
  • R_0は整列集合より、部分順序集合 $(g(X),\leq)$ も整列集合である。
  • $\leq_X :\equiv \Set{ (x,y) \in X \times X }{ g(x) \leq g(y) }$ と置く。
  • 以上より、$(X, \leq_X) {\rm は整列集合}$ である。
証明終

$\newcommand{\Seg}[2]{#1\mathord{}\left\lt#2\right\gt}$
$(X, \leq)$ を順序集合とする。
$a \in X$ とする。
$\Seg{X}{a} :\equiv \Set{ x \in X }{ x \lt a }$
$(X, \leq)$ を整列集合とする。
$A \subset X$ とする。
  1. $\all x \in X \;\parenth{ \all y \in X \;\parenth{ y \lt x \Rightarrow y \in A } \Rightarrow x \in A } \Rightarrow A \equ X$ が成り立つ。
    • [背理法]$A \subsetneq X$ を仮定する。
    • $a :\equiv \min X \backslash A$ と置く。
    • $a$ の最小性と $X {\rm は全順序}$ より、$\all y \in X \;\parenth{ y \lt a \Rightarrow y \in A }$ である。
    • 従って、仮定より、$a \in A$ となり、これは $a$ の定義に反する。
  2. $A \subsetneq X \land \all a \in A \; \Seg{X}{a} \subset A \Rightarrow A \equ \Seg{X}{\min X \backslash A}$ が成り立つ。
    • $c :\equiv \min X \backslash A$ と置く。
    • $c \not\in A$ なので、仮定より、$\all a \in A \; c \not\in \Seg{X}{a}$ である。
    • 従って、$X {\rm は全順序}$ より、$\all a \in A \; a$ $\lt$ $c \not\in A$ なので $a \nequ c$ $c$ である。
    • よって、$A \subset \Seg{X}{c}$ である。
    • 一方、$c$ の最小性と $X {\rm は全順序}$ より、$\all x \in X \;\parenth{ x \lt c \Rightarrow x \in A }$ つまり、$\Seg{X}{c} \subset A$ である。
    • 以上より、$A \equ \Seg{X}{c}$ である。
$(X,\leq)$ を整列集合とする。
  1. $\all f : X \rightarrow X \;\parenth{ f {\rm は順序写像かつ単射} \Rightarrow \all x \in X \; x \leq f(x) }$ が成り立つ。
    • $A :\equiv \Set{ x \in X }{ f(x) \lt x }$ と置く。
    • $X {\rm は全順序}$ なので、$A \equ \phi$ であることを示せば良い。
    • [背理法]$A \nequ \phi$ として、$a :\equiv \min A$ と置く。
    • $a \in A$ なので、$f(a) \lt a$ である。
    • 仮定より、$f(f(a)) \lt f(a)$ である。
    • 一方、$a$ の最小性から $f(a) \not\in A$ なので、$X {\rm は全順序}$より、$f(f(a)) \geq f(a)$ である。
    • これらは矛盾している。
  2. $\all x \in X \; \Seg{X}{x} \not\simeq X$ が成り立つ。
    • [背理法]$\exi x \in X \; \Seg{X}{x} \simeq X$ を仮定する。
    • $f : X \rightarrow \Seg{X}{x} \; {\rm は順序同型写像}$ とする。
    • $f : X \rightarrow X$ を考えると、(1)より、$x \leq f(x)$ である。
    • しかし、$f(x) \in \Seg{X}{x}$ つまり $f(x) \lt x$ なので、矛盾である。
  3. $\all x, y \in X \;\parenth{ \Seg{X}{x} \simeq \Seg{X}{y} \Rightarrow x \equ y }$ が成り立つ。
    • [対偶法]$X {\rm は全順序}$ なので $x \lt y$ と仮定する。
    • $\Seg{X}{y} {\rm は整列集合}$ なので $\Seg{X}{x} \equ \Seg{(\Seg{X}{y})}{x} \not\simeq \Seg{X}{y}$ である。
$(X, \leq_X),(Y, \leq_Y)$ を整列集合とする。
  1. $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (i)} & \all f : X \rightarrow Y \;\parenth{ f {\rm は順序同型写像} \Rightarrow \all x \in X \; \Seg{X}{x} \simeq \Seg{Y}{f(x)} } \\ {\rm (ii)} & \all f,g : X \rightarrow Y \;\parenth{ f, g {\rm は順序同型写像} \Rightarrow f \equ g } \end{array}$ が成り立つ。
    • ${\rm (i)}$$f(\Seg{X}{x}) \equ \Seg{Y}{f(x)}$ を示せば良い。
    • $\all y \in X \;\parenth{ y \lt x \Rightarrow f(y) \lt f(x) }$ なので、$f(\Seg{X}{x}) \subset \Seg{Y}{f(x)}$ である。
    • $\all y \in Y \;\parenth{ y \lt f(x) \Rightarrow f^{-1}(y) \lt f^{-1}(f(x)) \equ x }$ なので、$\Seg{Y}{f(x)} \subset f(\Seg{X}{x})$ である。
    • ${\rm (ii)}$$x, y \in X$ を任意に取る。
    • $\Seg{Y}{f(x)} \simeq \Seg{X}{x} \simeq \Seg{Y}{g(x)}$ である。
    • 従って、$f(x) \equ g(x)$ である。
  2. 以下のどれか1つだけが成り立つ:
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (i)} & X \simeq Y \\ {\rm (ii)} & \exi x \in X \; \Seg{X}{x} \simeq Y \\ {\rm (iii)} & \exi y \in Y \; X \simeq \Seg{Y}{y} \end{array}$
    • (ア)まずどの2つも両立しないことを示す。
    • 上記命題の(2)より、$\neg({\rm (i)} \land {\rm (ii)}) {\rm かつ} \neg({\rm (i)} \land {\rm (iii)})$ である。
    • [背理法]${\rm (ii)} \land {\rm (iii)}$ を仮定する。
    • $f : X \rightarrow \Seg{Y}{y} \;{\rm を順序同型写像}$ とする。
    • (1)より、$\Seg{X}{x} \simeq \Seg{(\Seg{Y}{y})}{f(x)} \equ \Seg{Y}{f(x)}$ である。
    • 従って、$Y \simeq \Seg{X}{x} \simeq \Seg{Y}{f(x)}$ となるが、これは上記の命題に矛盾している。
    • (イ)次に、いづれか成立することを示す。
    • $f :\equiv \Set{ (x,y) \in X \times Y }{ \Seg{X}{x} \simeq \Seg{Y}{y} }$ と置く。
    • これが求める順序同型写像であることを示す。
    • $\left\{\begin{array}{@{}l@{}c@{}l@{}} A & :\equiv & \Set{ x \in X }{ \exi y \in Y \; (x,y) \in f } \\ B & :\equiv & \Set{ y \in Y }{ \exi x \in X \; (x,y) \in f } \end{array}\right.$ と置く。
    • 上記命題(3)より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \all x \in X \; \all y_0, y_1 \in Y \;\parenth{ (x,y_0), (x,y_1) \in f \Rightarrow y_0 \equ y_1 } & {\rm かつ} \\ \all x_0, x_1 \in X \; \all y \in Y \;\parenth{ (x_0,y), (x_1,y) \in f \Rightarrow x_0 \equ x_1 } & \end{array}\right.$ なので、
      $f : A \rightarrow B \; {\rm は全単射}$ である。
    • $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (i)} & \all x_0, x_1 \in X \;\parenth{ x_0 \lt x_1 \in A \Rightarrow x_0 \in A \land f(x_0) \lt f(x_1) } \\ {\rm (ii)} & \all y_0, y_1 \in Y \;\parenth{ y_0 \lt y_1 \in B \Rightarrow y_0 \in B \land f^{-1}(y_0) \lt f^{-1}(y_1) } \end{array}$ が成り立つ。
      • ${\rm (i)}$$f_{x_1} : \Seg{X}{x_1} \rightarrow \Seg{Y}{f(x_1)} \;{\rm を順序同型写像}$ とする。
      • $f_{x_1}(x_0) \lt f(x_1)$ である。
      • $\Seg{X}{x_0} \equ \Seg{\Seg{X}{x_1}}{x_0}$ $\simeq$ (1)より $\Seg{\Seg{Y}{f(x_1)}}{f_{x_1}(x_0)} \equ \Seg{Y}{f_{x_1}(x_0)}$ である。
      • 従って、$(x_0,f_{x_1}(x_0)) \in f$ つまり、$x_0 \in A \land f(x_0) \equ f_{x_1}(x_0) \lt f(x_1)$ である。
      • ${\rm (ii)}$${\rm (i)}$ と同様である。
    • 従って、$f : A \rightarrow B \;{\rm は順序同型写像}$ つまり $A \simeq B$ である。
    • $A \equ X \land B \equ Y$ の時:
      • $X \equ A \simeq B \equ Y$ である。
    • $A \subsetneq X \land B \equ Y$ の時:
      • fが下から上に向かって伸びている様子${\rm (i)}$と最初の命題の(2)より、$\exi x \in X \; A \equ \Seg{X}{x}$ である。
      • よって、$\Seg{X}{x} \equ A \simeq B$ である。
    • $A \equ X \land B \subsetneq Y$ の時:
      • fが下から上に向かって伸びている様子${\rm (ii)}$と最初の命題の(2)より、$\exi y \in Y \; B \equ \Seg{Y}{y}$ である。
      • よって、$X \equ A \simeq B \equ \Seg{Y}{y}$ である。
    • $A \subsetneq X \land B \subsetneq Y$ の時:
      • fが下から上に向かって伸びている様子と最初の命題の(2)より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi x \in X \; A \equ \Seg{X}{x} & {\rm かつ} \\ \exi y \in Y \; B \equ \Seg{Y}{y} & \end{array}\right.$ である。
      • 従って、$\Seg{X}{x} \equ A \simeq B \equ \Seg{Y}{y}$ つまり $(x,y) \in f$である。
      • よって、$x \in A \equ \Seg{X}{x}$ となって矛盾する。

$\text{Zorn}$の補題
$(X,\leq) \text{は順序集合}$とする。
$\phi \neq X \text{は帰納的} \Rightarrow \exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ が成り立つ。
  • 選択公理$^\text{AC}$より、$\exi f : \text{Pow}(X) \backslash \{ \phi \} \rightarrow X \;\; \all A \in \text{Pow}(X) \backslash \{ \phi \} \; f(A) \in A$ である。
  • $\text{WelOrd}(X) :\equiv \Set{ A \subseteq X }{ A \text{は整列集合} }$ と置く。
  • $A \in \text{WelOrd}(X)$ に対し、$\text{UpBnd}(A) :\equiv \Set{ x \in X }{ x \not\in A \land x \text{は} A \text{の上界} }$ と置く。
  • $a \in A \in \text{WelOrd}(X)$ に対し、$\Seg{A}{a} \in \text{WelOrd}(X)$ かつ $\text{UpBnd}(\Seg{A}{a})$ $\neq$ $a \in \text{UpBnd}(\Seg{A}{a})$ である。 $\phi$ である。
  • $\text{Seq}_f :\equiv \Set{ A \in \text{WelOrd}(X) }{ \all a \in A \; a \equ f(\text{UpBnd}(\Seg{A}{a})) }$ と置く。
  • $A_\infty :\equiv \bigcup \text{Seq}_f$ と置く。
  • $A_\infty \in \text{Seq}_f$ が成り立つ。
    • $\all A, B \in \text{Seq}_f \;\left\{\begin{array}{} & A \equ B \\ \lor & \exi a \in A \; \Seg{A}{a} \equ B \\ \lor & \exi b \in B \; A \equ \Seg{B}{b} \\ \end{array}\right.$ が成り立つ。
      • 整列集合の比較可能性(2)より、$\left\{\begin{array}{} & A \simeq B \\ \lor & \exi a \in A \; \Seg{A}{a} \simeq B \\ \lor & \exi b \in B \; A \simeq \Seg{B}{b} \\ \end{array}\right.$ である。
      • いずれの場合も同様なので、$\exi b \in B \; A \simeq \Seg{B}{b}$ とする。
        (以下の議論で$b$が関与することは無い。)
      • $\varphi : A \rightarrow \Seg{B}{b} \;\text{は順序同型写像}$ とする。
      • $\all a \in A \; \varphi(a) \equ a$ が成り立つ。
        • $C :\equiv \Set{ x \in A }{ \varphi(x) \equ x }$ と置く。
        • $a \in A$ を任意に取る。
        • $\all x \in A \;\parenth{ x \lt a \Rightarrow x \in C }$ と仮定する。
        • $\Seg{A}{a} \equ \Seg{B}{\varphi(a)}$ が成り立つ。
          • $\subseteq$$\all x \in \Seg{A}{a} \; x$ $\equ$ 仮定より、$x \in C$ $\varphi(x)$ $\lt$ $\varphi \text{は順序写像}$ $\varphi(a) \;\parenth{ \lt b }$ である。
          • $\supseteq$$y \in \Seg{B}{\varphi(a)}$ を任意に取る。
          • $\varphi^{-1}(y)$ $\lt$ $\varphi \text{は順序同型写像}$ $\varphi^{-1}(\varphi(a)) \equ a$ なので、仮定より、$\varphi^{-1}(y) \in C$ である。
          • 従って、$\varphi^{-1}(y) \equ \varphi(\varphi^{-1}(y)) \equ y$ である。
          • 従って、$y \equ \varphi^{-1}(y) \in A$ である。
        • $a$ $\equ$ $A \in \text{Seq}_f$ である。 $f(\text{UpBnd}(\Seg{A}{a}))$ $\equ$ 切片が一致 $f(\text{UpBnd}(\Seg{B}{\varphi(a)}))$ $\equ$ $B \in \text{Seq}_f$ である。 $\varphi(a)$ である。
        • 従って、$a \in C$ である。
        • よって、$A \text{は整列集合}$ と整列集合の帰納法(1)より、$C \equ A$ である。
      • よって、$A \equ \varphi(A)$ $\equ$ $\varphi \text{は全射}$ である。 $\Seg{B}{b}$ である。
    • $A_\infty \text{は整列集合}$ が成り立つ。
      • $\phi \nequ C \subseteq A_\infty$ を任意に取る。
      • $\phi \nequ C \equ C \cap A_\infty \equ \bigcup\limits_{A \in \text{Seq}_f} \parenth{ C \cap A }$ である。
      • 従って、$\exi A \in \text{Seq}_f \; C \cap A \nequ \phi$ である。
      • $c :\equiv \min \parenth{ C \cap A }$ と置く($c \equ \min C$を示す)。
      • $x \in C$ を任意に取る。
      • $x \in C \subseteq A_\infty$ なので、$\exi B \in \text{Seq}_f \; x \in B$ である。
      • $A \equ B \lor \exi a \in A \; \Seg{A}{a} \equ B$ の場合($\because$整列集合の比較可能性の具体形):
        • $x \in C \cap B \subseteq C \cap A$ なので、$c \equ \min \parenth{ C \cap A } \leq x$ である。
      • $\exi b \in B \; A \equ \Seg{B}{b}$ の場合($\because$整列集合の比較可能性の具体形):
        • $x, b \in B$ なので $x \lt b \lor b \leq x$ である。
        • $x \lt b$ ならば、$x \in C \cap \Seg{B}{b} \equ C \cap A$ となって、$c \leq x$ である。
        • $b \leq x$ ならば、$c \in C \cap A \subseteq A \equ \Seg{B}{b}$ と併せて、$c \lt b \leq x$ である。
      • いずれにしても、$c \leq x$ である。
    • $x \in A_\infty$ を任意に取る。
    • $\exi A \in \text{Seq}_f \; x \in A$ である。
    • $\Seg{A_\infty}{x} \equ \Seg{A}{x}$ が成り立つ。
      • $\subseteq$$A_\infty$ の定義より、$\all B \in \text{Seq}_f \; \Seg{B}{x} \subseteq \Seg{A}{x}$ を示せばよい。
      • $B \in \text{Seq}_f$ を任意に取る。
      • $A \equ B$ の場合($\because$整列集合の比較可能性の具体形):
        • 明らかに、$\Seg{B}{x} \subseteq \Seg{A}{x}$ である。
      • $\exi a \in A \; \Seg{A}{a} \equ B$ の場合($\because$整列集合の比較可能性の具体形):
        • $\Seg{B}{x} \equ \Seg{(\Seg{A}{a})}{x} \subseteq \Seg{A}{x}$ である。
      • $\exi b \in B \; A \equ \Seg{B}{b}$ の場合($\because$整列集合の比較可能性の具体形):
        • $x \in A \equ \Seg{B}{b}$ なので、$x \lt b$ である。
        • 従って、$\Seg{B}{x} \subseteq \Seg{B}{b} \equ A$ であり、$\Seg{B}{x} \subseteq \Seg{A}{x}$ である。
      • $\supseteq$明らかに、$\Seg{A_\infty}{x} \supseteq \Seg{A}{x}$ である。
    • 従って、$f(\text{UpBnd}(\Seg{A_\infty}{x})) \equ f(\text{UpBnd}(\Seg{A}{x}))$ $\equ$ $A \in \text{Seq}_f$ である。 $x$ である。
    • よって、$A_\infty \in \text{Seq}_f$ である。
  • $\text{UpBnd}(A_\infty) \equ \phi$ が成り立つ。
    • [背理法]$\text{UpBnd}(A_\infty) \nequ \phi$ と仮定する。
    • $a_0 :\equiv f(\text{UpBnd}(A_\infty))$ と置き、
      $A_0 :\equiv A_\infty \coprod \{ a_0 \}$ と置く。
    • $A_\infty \in \text{WelOrd}(X) \land a_0 \text{は} A_\infty \text{の上界}$ なので、$A_0 \in \text{WelOrd}(X)$ である。
    • $a_0 \equ f(\text{UpBnd}(A_\infty))$ $\equ$ $a_0$ の定義。 $f(\text{UpBnd}(\Seg{A_0}{a_0})$ である。
    • 従って、A_∞もまたf-列も併せて、$A_0 \in \text{Seq}_f$ である。
    • よって、$A_\infty \subsetneq A_0 \subseteq \bigcup\limits_{A \in \text{Seq}_f} A \equ A_\infty$ となって矛盾する。
  • 従って、$\all x \in X \;\parenth{ x \text{は} A_\infty \text{の上界} \Rightarrow x \in A_\infty }$ である。
  • $A_\infty \text{は整列集合}$ と仮定[$X \text{は帰納的}$]より、$\exi c \in X \; c \text{は} A_\infty \text{の上界}$ である。
  • $c \leq d \in X$ を任意に取る。
  • $c \text{は} A_\infty \text{の上界} \land c \leq d$ なので、$d \text{は} A_\infty \text{の上界}$ である。
  • 従って、A_∞以降はもう真の上界を採れないも併せて、$d \in A_\infty$ である。
  • 従って、$d \leq c$ であり、よって、$c \equ d$ である。

コメント
  • この証明は、内田伏一著「集合と位相 増補新装版」(裳華房)のp43,定理10.1(ツォルンの補題)の証明に基づいています。

復習:可算について

$X$ を集合とする。
$X {\rm は有限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $\exi n \in {\mathbb N} \; \exi {\rm 可逆写像} f : n \rightarrow X$
$X {\rm は無限集合}$ $:\Leftrightarrow$ $X {\rm は有限集合ではない}$

  1. $\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi {\rm 可逆写像} f : m \rightarrow n \Rightarrow m \equ n }$ が成り立つ。
    • $m$ についての帰納法で証明する。
    • $m \equ 0$ ならば、$\all n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi {\rm 可逆写像} f : 0 \rightarrow n \Rightarrow 0 \equ n }$ は明らかである。
    • [帰納法]$\all n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi {\rm 可逆写像} h : m \rightarrow n \Rightarrow m \equ n }$ を仮定する。
    • $n \in {\mathbb N}$ とし、$\exi {\rm 可逆写像} f : m+1 \rightarrow n$ を仮定する。
    • $g : n \rightarrow n, k \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} k & \parenth{ k \in n \backslash \{ n-1, f(m) \} } \\ f(m) & \parenth{ k \equ n-1 } \\ n-1 & \parenth{ k \equ f(m) } \end{array}\right.$ と置く。
    • $g \circ g \equ id_n$ なので $g {\rm は可逆写像}$ であり、従って、$(g \circ f) : m+1 \rightarrow n {\rm は可逆写像}$ である。
    • 従って、$(g \circ f)(m) \equ n-1$ に注意すると、制限写像 $(g \circ f)|_m : m \rightarrow n-1 {\rm は可逆写像}$ である。
    • 従って、仮定[帰納法]より、$m \equ n-1$ である。
    • よって、$m+1 \equ m \cup \{m\} \equ n-1 \cup \{n-1\} \equ n$ である。
    • よって、$\all n \in {\mathbb N} \;\parenth{ \exi {\rm 可逆写像} f : m+1 \rightarrow n \Rightarrow m+1 \equ n }$ である。
    証明終
  2. ${\mathbb N} {\rm は無限集合}$ が成り立つ。
    • $m \in {\mathbb N}$ に対し、$g_m : {\mathbb N} \backslash \{m\} \rightarrow {\mathbb N}, k \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} k & \parenth{ k \lt m } \\ k-1 & \parenth{ m \lt k } \end{array}\right.$ と置く。
      これは明らかに可逆写像である。
    • $n$ についての帰納法で証明する。
    • $n \equ 0$ ならば、$\all f : 0 \rightarrow {\mathbb N} \; f {\rm は可逆写像ではない}$ である。
    • [帰納法]$n \in {\mathbb N}$ とし、$\all f : n \rightarrow {\mathbb N} \; f {\rm は可逆写像ではない}$ を仮定する。
    • $f : n+1 \rightarrow {\mathbb N}$ を任意に取る。
    • $f$ の制限を $f|_n : n \rightarrow {\mathbb N} \backslash \{ f(n) \}$ で表す。
    • 仮定[帰納法]より、$g_{f(n)} \circ f|_n : n \rightarrow {\mathbb N} {\rm は可逆写像ではない}$ である。
    • 従って、$g_{f(n)} {\rm は可逆写像}$ より、$f|_n \equ g_{f(n)}^{-1} \circ ( g_{f(n)} \circ f|_n ) : n \rightarrow {\mathbb N} \backslash \{ f(n) \} {\rm は可逆写像ではない}$ である。
    • よって、$f : n+1 \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像ではない}$ である。
    • よって、$\all f : n+1 \rightarrow {\mathbb N} \; f {\rm は可逆写像ではない}$ である。
$X$ を集合とする。
${\mathbb N} \ni n {\rm は}X{\rm の濃度}$
$\parenth{ {\rm Card}\;X \equ n }$
$:\Leftrightarrow$ $\exi {\rm 可逆写像} f : n \rightarrow X$
$X {\rm は可算無限集合}$
$\parenth{ {\rm Card}\;X \equ \aleph_0 }$
$:\Leftrightarrow$ $\exi {\rm 可逆写像} f : {\mathbb N} \rightarrow X$
$X {\rm は可算集合}$ $:\Leftrightarrow$ $X {\rm は有限集合または可算無限集合}$

$A \subset {\mathbb N}$ に対して、${\rm Cnt}_A : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ を、$\left\{\begin{array}{@{}r@{}c@{}l@{}} {\rm Cnt}_A(0) & :\equiv & 0 \\ {\rm Cnt}_A(n+1) & :\equiv & \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm Cnt}_A(n)+1 & \parenth{ n \in A } \\ {\rm Cnt}_A(n) & \parenth{ n \not\in A } \end{array}\right. \end{array}\right.$
によって定義する。
  1. $\all A \subset {\mathbb N} \; \all n \in {\mathbb N} \; \all k \leq n \; {\rm Cnt}_A(k) \equ {\rm Cnt}_{A \cap n}(k)$ が成り立つ。
    • $k$ に関する帰納法によって示す。
    • $k \equ 0$ の時は明らかである。
    • $k$ の時の成立を仮定し、$k+1 \leq n$ を仮定する。
    • $k \not\in A$ の時:
      • ${\rm Cnt}_A(k+1)$ $\equ$ ${\rm Cnt}_A$ の定義
        と$k \not\in A$
        ${\rm Cnt}_A(k)$ $\equ$ 帰納法の仮定
        と$k \leq n$
        ${\rm Cnt}_{A \cap n}(k)$ $\equ$ ${\rm Cnt}_{A \cap n}$ の定義
        と$k \not\in A \cap n$
        ${\rm Cnt}_{A \cap n}(k+1)$ である。
    • $k \in A$ の時:
      • ${\rm Cnt}_A(k+1)$ $\equ$ ${\rm Cnt}_A$ の定義
        と$k \in A$
        ${\rm Cnt}_A(k)+1$ $\equ$ 帰納法の仮定
        と$k \leq n$
        ${\rm Cnt}_{A \cap n}(k)+1$ $\equ$ ${\rm Cnt}_{A \cap n}$ の定義
        と$k \in A \cap n$
        ${\rm Cnt}_{A \cap n}(k+1)$ である。
    • よって、${\rm Cnt}_A(k+1) \equ {\rm Cnt}_{A \cap n}(k+1)$ である。
  2. $\all n \in {\mathbb N} \; \all A \subset n \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (1)} & {\rm 制限写像} {\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\rm Cnt}_A(A) \;{\rm は可逆写像} \\ {\rm (2)} & {\rm Card}(A) \equ {\rm Cnt}_A(A) \equ {\rm Cnt}_A(n) \leq n \\ {\rm (3)} & {\rm Cnt}_A(n) \equ n \Rightarrow A \equ n \end{array}\right.$ が成り立つ。
    • $n$ に関する帰納法によって証明する。
    • $n \equ 0$ の時は、$A \equ \phi$ なので、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}} {\rm Cnt}_\phi|_\phi : \phi \rightarrow \phi \;{\rm は可逆写像} \\ {\rm Card}\;\phi \equ {\rm Cnt}_\phi(0) \equ 0 \\ A \equ \phi \equ 0 \end{array}\right.$ である。
    • $n$ の時の成立を仮定し、$A \subset n+1$ とする。
    • $A_n :\equiv A \cap n \subset n$ と置く。
    • $A_n$ に対して帰納法の仮定より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm Cnt}_{A_n}|_{A_n} : A_n \rightarrow {\rm Cnt}_{A_n}(A_n) \;{\rm は可逆写像} & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(A_n) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(A_n) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(n) \leq n & {\rm かつ} \\ {\rm Cnt}_{A_n}(n) \equ n \Rightarrow A_n \equ n & \end{array}\right.$ である。
    • まず、${\rm (1),(2)}$ を示す。
    • $n \not\in A$ の時:
      • $A \subset n$ つまり $A \equ A \cap n \equ A_n$ なので、帰納法の仮定から ${\rm (1),(2)}$ がそのまま成り立つ。
    • $n \in A$ の時:
      • ${\rm Cnt}_A(A) \equ {\rm Cnt}_A(n+1)$ が成り立つ。
        • $A \subset n+1$ なので $\subset$ は明らかである。
        • ${\rm Cnt}_A(k) \in {\rm Cnt}_A(n+1), k \in n+1$ とする。
        • $k \in n$ の時:
          • ${\rm Cnt}_A(k)$ $\equ$ (1) ${\rm Cnt}_{A_n}(k)$ $\in$ $k \in n$ ${\rm Cnt}_{A_n}(n)$ $\equ$ 帰納法の仮定 ${\rm Cnt}_{A_n}(A_n)$
          • 従って、$\exi l \in A_n \; {\rm Cnt}_A(k) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(l)$ である。
          • また、${\rm Cnt}_{A_n}(l)$ $\equ$ (1) ${\rm Cnt}_A(l) \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
          • 以上より、${\rm Cnt}_A(k) \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
        • $k \equ n$ の時:
          • $k \equ n \in A$ なので、 ${\rm Cnt}_A(k) \equ {\rm Cnt}_A(n) \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
      • ${\rm Cnt}_A(n+1)$ $\equ$ ${\rm Cnt}$ の定義 ${\rm Cnt}_A(n) + 1$ $\equ$ (1) ${\rm Cnt}_{A_n}(n) + 1$ $\leq$ 帰納法の仮定 $n+1$ である。
      • $x, y \in A, {\rm Cnt}_A(x) \equ {\rm Cnt}_A(y)$ とする。
      • $x, y \in A_n$ の時:
        • ${\rm Cnt}_{A_n}(x) \equ {\rm Cnt}_A(x) \equ {\rm Cnt}_A(y) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(y)$ である。
        • 従って、帰納法の仮定より、$x \equ y$ である。
      • $x \equ n \lor y \equ n$ の時:
        • どちらでも同じなので、$x \equ n$ とする。
        • $\all k \in A_n \; {\rm Cnt}_A(k) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(k) \in {\rm Cnt}_{A_n}(A_n)$ $\equ$ 帰納法の仮定 ${\rm Cnt}_{A_n}(n) \equ {\rm Cnt}_A(n) \equ {\rm Cnt}_A(y)$ である。
        • よって、$y \not\in A_n$ つまり $y \equ n$ である。
      • よって、${\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\rm Cnt}_A(A) \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • よって、${\rm Card}(A) \equ {\rm Cnt}_A(A) \equ {\rm Cnt}_A(n+1)$ である。
    • ${\rm (3)}$${\rm Cnt}_A(n+1) \equ n+1$ と仮定する。
    • ${\rm Cnt}_A(n) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(n)$ $\leq$ 帰納法の仮定 $n \lt n+1 \equ {\rm Cnt}_A(n+1)$ なので、${\rm Cnt}_A$ の定義より、$n \in A$
      つまり、$n+1 \equ {\rm Cnt}_A(n+1) \equ {\rm Cnt}_A(n)+1$ である。
    • 従って、$n \equ {\rm Cnt}_A(n) \equ {\rm Cnt}_{A_n}(n)$ である。
    • よって、帰納法の仮定より、$A_n \equ n$ である。
    • よって、$A \equ A_n \coprod \{n\} \equ n \coprod \{n\} \equ n+1$ である。
  3. $\all A \subset {\mathbb N} \;\parenth{ \all n \in {\mathbb N} \; A \not\subset n \Rightarrow {\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\mathbb N} \;{\rm は可逆写像} }$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ に対して、$A_n :\equiv A \cap n$ と置く。
    • ${\rm (i)}$$x, y \in A \; {\rm Cnt}_A(x) \equ {\rm Cnt}_A(y)$ とする。
    • $n :\equiv \max\{x,y\} + 1 \in {\mathbb N}$ と置く。
    • $x, y \lt n$ なので $x, y \in A_n$ である。
    • ${\rm Cnt}_{A_n}(x)$ $\equ$ (1)と$x \lt n$ ${\rm Cnt}_A(x) \equ {\rm Cnt}_A(y)$ $\equ$ (1)と$y \lt n$ ${\rm Cnt}_{A_n}(y)$ である。
    • 従って、(2)より ${\rm Cnt}_{A_n}|_{A_n} : A_n \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は単射}$ なので、$x \equ y$ である。
    • ${\rm (ii)}$全射であることを示すためには、 $\all n \in {\mathbb N} \; n \in {\rm Cnt}_A(A)$ を示せばよい。
    • $n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法によって示す。
    • (ア)$\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ A \cap n } \equ A \cap \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} n \equ A \cap {\mathbb N} \equ A$ $\nequ$ 仮定[$\all n \in {\mathbb N} \; A \not\subset n$] $\phi$ である。
    • 従って、$\exi l \in {\mathbb N} \; A_l \nequ \phi$ である。
    • $a :\equiv \min A_l$ と置く。
    • $\all k \lt a \; k \not\in A_l$ なので、${\rm Cnt}_{A_l}(a) \equ 0$ である。
    • 従って、$0 \equ {\rm Cnt}_{A_l}(a) \equ {\rm Cnt}_A(a) \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
    • (イ)[帰納法]$n \in {\mathbb N}, n \in {\rm Cnt}_A(A)$ を仮定する。
    • $\exi k \in A \; n \equ {\rm Cnt}_A(k)$ である。
    • 従って、定義により ${\rm Cnt}_A(k+1) \equ {\rm Cnt}_A(k) + 1 \equ n + 1$ である。
    • また、仮定より $A \not\subset k+1$ なので、$A_{k+1} \subset k+1$ より、$A_{k+1} \nequ A$ つまり $A \backslash A_{k+1} \nequ \phi$ である。
    • $m :\equiv \min\parenth{ A \backslash A_{k+1} }$ と置く。
    • $m$ の最小性から $k+1 \leq \all m^\prime \lt m \;\; m^\prime \not\in A$ なので、${\rm Cnt}_A(m) \equ {\rm Cnt}_A(k+1)$ である。
    • よって、$n+1$ $\equ$ cnt(k+1)=n+1 ${\rm Cnt}_A(k+1) \equ {\rm Cnt}_A(m)$ $\in$ $m \in A$ ${\rm Cnt}_A(A)$ である。
    • よって、$\all n \in {\mathbb N} \; n \in {\rm Cnt}_A(A)$ である。
  4. 以下では、$A \subset {\mathbb N}$ とする。
  5. $\parenth{ \exi n \in {\mathbb N} \; A \subset n \Leftrightarrow A {\rm は有限集合} }$ が成り立つ。
    • $\Rightarrow$(2)より、${\rm 制限写像} {\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\rm Cnt}_A(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • 従って、定義により $A {\rm は有限集合}$ である。
    • $\Leftarrow$[対偶法]$\all n \in {\mathbb N} \; A \not\subset n$ と仮定する。
    • (3)より、${\rm 制限写像} {\rm Cnt}_A|_A : A \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • $n \in {\mathbb N}, f : n \rightarrow A$ を任意に取る。
    • 上の命題の(2)より、$({\rm Cnt}_A|_A \circ f) : n \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像でない}$ である。
    • 従って、$f {\rm は可逆写像でない}$ である。
    • よって、$A {\rm は有限集合でない}$ である。
  6. $A {\rm は可算集合}$ が成り立つ。
    • $\exi n \in {\mathbb N} \; A \subset n$ の時:
      • (4)より $A {\rm は有限集合}$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; A \not\subset n$ の時:
      • (3)より $A {\rm は可算無限集合}$ である。
  7. $X$ を集合とする。
    以下は同値である:
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (i)} & X {\rm は可算集合} \\ {\rm (ii)} & \exi f : X \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は単射} \\ {\rm (iii)} & X \equ \phi \lor \exi g : {\mathbb N} \rightarrow X \; {\rm は全射} \end{array}$
    • ${\vcenter{ \begin{xy}*[F**:black][white]\xymatrix@C=20pt@R=15pt{ {\rm (i)} \ar@<1ex>[r]^-{(ア)} & {\rm (ii)} \ar@<1ex>[l]^-{(イ)} \ar@<1ex>[r]^-{(ウ)} & {\rm (iii)} \ar@<1ex>[l]^-{(エ)} }\end{xy}}}$の順に示す。
    • (ア)$X {\rm は有限集合}$ の時:
      • $n \in {\mathbb N}, f : X \rightarrow n \;{\rm は可逆写像}$ とする。
      • $n \subset {\mathbb N}$ なので $f$ の終集合を拡張した写像 $f : X \rightarrow {\mathbb N} \;{\rm は単射}$ である。
    • $X {\rm は可算無限集合}$ の時:
      • $\exi {\rm 可逆写像} f : X \rightarrow {\mathbb N}$ なので $f {\rm は単射}$ である。
    • (イ)仮定より、$f : X \rightarrow f(X) \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • $\exi n \in {\mathbb N} \; f(X) \subset n$ の時:
      • (2)より、${\rm 制限写像} {\rm Cnt}_{f(X)}|_{f(X)} : f(X) \rightarrow {\rm Cnt}_{f(X)}(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • 従って、${\rm Cnt}_{f(X)} \circ f : X \rightarrow {\rm Cnt}_{f(X)}(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • よって、$X {\rm は有限集合}$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; f(X) \not\subset n$ の時:
      • (3)より、${\rm 制限写像} {\rm Cnt}_{f(X)}|_{f(X)} : f(X) \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • 従って、${\rm Cnt}_{f(X)} \circ f : X \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は可逆写像}$ である。
      • よって、$X {\rm は可算無限集合}$ である。
    • (ウ)$X \nequ \phi$ として $a \in X$ を取って固定する。
    • $g : {\mathbb N} \rightarrow X, n \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} x & \parenth{ n \equ f(x) \in f(X) {\rm の時} } \\ a & \parenth{ n \not\in f(X) {\rm の時} } \end{array}\right. \; {\rm は全射}$ である。
    • (エ)$X \equ \phi$ の時は明らかなので、 $\exi g : {\mathbb N} \rightarrow X \; {\rm は全射}$ とする。
    • $f : X \rightarrow {\mathbb N}, x \mapsto \min g^{-1}(\{x\}) \; {\rm は単射}$ である。
$X, Y$ を集合とし、$f : X \rightarrow Y$ を写像とする。
  1. $f {\rm は単射}$ とする。
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (1) & Y {\rm は可算集合} & \Rightarrow & X {\rm は可算集合} \\ (2) & Y {\rm は有限集合} & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X {\rm は有限集合} & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(X) \leq {\rm Card}(Y) & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(X) \equ {\rm Card}(Y) & \Rightarrow f {\rm は全単射} \end{array}\right. \end{array}$ が成り立つ。
    • $(1)$仮定より、$\exi g : Y \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は単射}$ である。
    • よって、$(g \circ f) : X \rightarrow {\mathbb N} \; {\rm は単射}$ である。
    • $(2)$$\exi n \in {\mathbb N} \; \exi {\rm 可逆写像} g : Y \rightarrow n$ である。
    • $g(f(X)) \subset n$ なので、${\rm Cnt}_{g(f(X))}|_{g(f(X))} : g(f(X)) \rightarrow {\rm Cnt}_{g(f(X))}(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • 従って、$({\rm Cnt}_{g(f(X))} \circ g \circ f) : X \rightarrow f(X) \rightarrow g(f(X)) \rightarrow {\rm Cnt}_{g(f(X))}(n) \; {\rm は可逆写像}$ である。
    • よって、$X {\rm は有限集合}$ であり、${\rm Card}(X) \equ {\rm Cnt}_{g(f(X))}(n) \leq n \equ {\rm Card}(Y)$ である。
    • ${\rm Card}(X) \equ {\rm Card}(Y)$ と仮定する。
    • ${\rm Cnt}_{g(f(X))}(n) \equ {\rm Card}(X) \equ {\rm Card}(Y) \equ n$ なので $g(f(X)) \equ n \; \parenth{ \equ g(Y) }$ である。
    • よって、$f(X) \equ Y$ つまり $f {\rm は全射}$ である。
  2. $f {\rm は全射}$ とする。
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}c@{}l@{}} (1) & X {\rm は可算集合} & \Rightarrow & Y {\rm は可算集合} \\ (2) & X {\rm は有限集合} & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} Y {\rm は有限集合} & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(X) \geq {\rm Card}(Y) & {\rm かつ} \\ {\rm Card}(X) \equ {\rm Card}(Y) & \Rightarrow f {\rm は全単射} \end{array}\right. \end{array}$ が成り立つ。
    • $(1)$$X \equ \phi$ ならば $Y \equ \phi$ なので、$g : {\mathbb N} \rightarrow X \; {\rm は全射}$ とする。
    • $(f \circ g) : {\mathbb N} \rightarrow Y \; {\rm は全射}$ である。
    • $(2)$仮定[$X {\rm は有限集合}$]より、$\exi n \in {\mathbb N} \; \exi {\rm 可逆写像} g : n \rightarrow X$ である。
    • 従って、$(f \circ g) : n \rightarrow Y \; {\rm は全射}$ である。
    • $h : Y \rightarrow n, y \mapsto \min (f \circ g)^{-1}(\{y\})$ と定義する。
      ${\vcenter{ \begin{xy}*[F**:black][white]\xymatrix@C=20pt@R=15pt{ n \ar@<0.5ex>[r]^-{g} & X \ar@<0.5ex>[r]^-{f} & Y \ar@<0.5ex>@/^/[ll]^-{h} }\end{xy}}}$
    • 定義より $(f \circ g) \circ h \equ {\rm id}_Y$ なので、$h {\rm は単射}$ である。
    • 従って、$(g \circ h) : Y \rightarrow X \; {\rm は単射}$ である。
    • よって、(1)より、$Y {\rm は有限集合}$ かつ ${\rm Card}(Y) \leq {\rm Card}(X)$ である。
    • ${\rm Card}(Y) \equ {\rm Card}(X)$ を仮定する。
    • (1)より $(g \circ h) {\rm は全単射}$ である。
    • ${\rm id}_Y \equ (f \circ g) \circ h \equ f \circ (g \circ h)$ なので、$f \equ (g \circ h)^{-1} \;{\rm は全単射}$ である。
$1 \leq \all n \in {\mathbb N} \; {\mathbb N}^n {\rm は可算無限集合}$ が成り立つ。
  • $g : {\mathbb N} \times {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}^+, (m, n) \mapsto 2^m (2n+1)$ と置く。
  • $g {\rm は可逆写像}$ が成り立つ。
    • ${\rm (1)}$$(m_i, n_i) \in {\mathbb N} \times {\mathbb N} \;\parenth{ i \equ 0, 1 }$ とし、 $g(m_0, n_0) \equ g(m_1, n_1)$ を仮定する。
    • 素因数分解の一意性定理より、$m_0 \equ m_1$ である。
    • 従って、$2n_0 + 1 \equ 2n_1 + 1$ つまり $n_0 \equ n_1$ である。
    • ${\rm (2)}$$k \in {\mathbb N}^+$ を任意に取る。
    • $k$の素因数分解を考え、偶数の部分と奇数の部分を分けて考えれば、
      $\exi (m, n) \in {\mathbb N} \times {\mathbb N} \; g(m,n) \equ k$ である。
  • 以下、$n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法によって証明する。
  • $n \equ 1$ の時は明らかである。
  • $1 \leq n \in {\mathbb N}, {\rm 可逆写像}f : {\mathbb N}^n \rightarrow {\mathbb N}$ とする。
  • 可逆写像gと帰納法の仮定より、 $(g \circ (f, {\rm id}_{\mathbb N})) : {\mathbb N}^{n+1} \equ {\mathbb N}^n \times {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N} \times {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}^+ \;{\rm は可逆写像}$ である。
  • 明らかに、$h : {\mathbb N}^+ \rightarrow {\mathbb N}, k \mapsto k-1 \; {\rm は可逆写像}$ である。
$X, Y$ を集合とする。
$X, Y {\rm は可算集合} \Rightarrow X \times Y {\rm は可算集合}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi {\rm 単射} f : X \rightarrow {\mathbb N} & {\rm かつ} \\ \exi {\rm 単射} g : Y \rightarrow {\mathbb N} & \end{array}\right.$ である。
  • 従って、$(f, g) : X \times Y \rightarrow {\mathbb N} \times {\mathbb N} \; {\rm は単射}$ である。
  • また、${\mathbb N} \times {\mathbb N} {\rm は可算集合}$ である。
  • 以上より、$X \times Y {\rm は可算集合}$ である。
${\frak X}$ を集合とする。
${\frak X} {\rm は可算集合} {\rm かつ} \all X \in {\frak X} \; X {\rm は可算集合} \Rightarrow^{AC} \bigcup {\frak X} {\rm は可算集合}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\phi \nequ \all X \in {\frak X} \; \exi {\rm 全射} f_X : {\mathbb N} \rightarrow X$ である。
  • 従って、選択公理より、そのような全射の列$(f_X)_{\phi \nequ X \in {\frak X}}$ が存在する。
  • $f : {\frak X} \backslash \{\phi\} \times {\mathbb N} \rightarrow \bigcup \parenth{ {\frak X} \backslash \{\phi\} }, (X, n) \mapsto f_X(n)$ と定義する。
  • 仮定[${\frak X} {\rm は可算集合}$]より、$\parenth{ {\frak X} \backslash \{\phi\} } \times {\mathbb N} {\rm は可算集合}$ である。
  • 従って、$f {\rm は全射}$ より、$\bigcup {\frak X} \equ \bigcup \parenth{ {\frak X} \backslash \{\phi\} } {\rm は可算集合}$ である。

$X$ を集合とする。
${\rm Fin}(X) \quad:\equiv\quad \Set{ A \subset X }{ A {\rm は有限集合} }$
${\rm bin} : {\rm Fin}({\mathbb N}) \rightarrow {\mathbb N}, A \mapsto \sum\limits_{m \in A} 2^m$ と定義する。
  1. ${\rm bin} {\rm は可逆写像}$ が成り立つ。
    • ${\rm (1)}$ $n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法により、$\all n \in {\mathbb N} \; \all A \subset n \; {\rm bin}(A) \lt 2^n$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; \all A, B \subset n \;\parenth{ {\rm bin}(A) \equ {\rm bin}(B) \Rightarrow A \equ B}$ が成り立つ。
      • $n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法で証明する。
      • $n \equ 0$ ならば $A \equ B \equ \phi$ である。
      • $n \in {\mathbb N}$ の時の成立を仮定し、$A, B \subset n+1 {\rm かつ} {\rm bin}(A) \equ {\rm bin}(B)$ とする。
      • $n \in A \Leftrightarrow n \in B$ が成り立つ。
        • $\Rightarrow$$2^n \equ {\rm bin}(\{n\}) \leq {\rm bin}(A) \equ {\rm bin}(B)$ である。
        • 従って、A⊆n⇒bin(A)<2^nより、$B \not\subset n$ である。
        • よって、$B \subset n+1$ を合わせて、$n \in B$ である。
        • $\Leftarrow$同様である。
      • 従って、${\rm bin}$ の定義と${\rm bin}(A) \equ {\rm bin}(B)$より、${\rm bin}(A \backslash \{n\}) \equ {\rm bin}(B \backslash \{n\})$ である。
      • 従って、帰納法の仮定より、$A \backslash \{n\} \equ B \backslash \{n\}$ である。
      • よって、再度n∈A⇔n∈Bより、$A \equ B$ である。
    • $\all A, B \in {\rm Fin}({\mathbb N}) \; \exi n \in {\mathbb N} \; A, B \subset n$ である。
    • 以上より、${\rm bin} {\rm は単射}$ である。
    • ${\rm (2)}$
      $\all n \in {\mathbb N} \; \all k \in 2^n \; \exi A \in {\rm Fin}({\mathbb N}) \; {\rm bin}(A) \equ k$ が成り立つ。
      • $n \in {\mathbb N}$ に関する帰納法で証明する。
      • $n \equ 0$ ならば、$2^0 \equ 1 \equ \{0\}$ なので、$A \equ \phi$ として ${\rm bin}(\phi) \equ 0$ である。
      • $n \in {\mathbb N}$ の時の成立を仮定し、$k \in 2^{n+1}$ とする。
      • $k \lt 2^n$ ならば帰納法の仮定から成立は明らかなので、$2^n \leq k \lt 2^{n+1}$ とする。
      • $0 \leq k - 2^n \lt 2^n$ なので、帰納法の仮定より、$\exi A \in {\rm Fin}({\mathbb N}) \; {\rm bin}(A) \equ k - 2^n$ である。
      • ${\rm bin}(A) \equ k - 2^n \lt 2^n \equ {\rm bin}(\{n\})$ なので $n \not\in A$ である。
      • また、$A \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ なので、明らかに$A \coprod \{n\} \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ である。
      • 以上より、${\rm bin}(A \coprod \{n\}) \equ {\rm bin}(A) + {\rm bin}(\{n\}) \equ k$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; n \lt 2^n$ なので ${\mathbb N} \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} 2^n$ である。
    • 以上より、${\rm bin} {\rm は全射}$ である。
    従って、${\rm Fin}({\mathbb N}) {\rm は可算無限集合}$ である。
  2. ${\mathbb N}^{({\mathbb N})} :\equiv \Set{ a \in {\mathbb N}^{\mathbb N} }{ \Set{ n \in {\mathbb N} }{ a(n) \nequ 0 } {\rm は有限集合} }$ と置く。
    ${\mathbb N}^{({\mathbb N})} {\rm は可算無限集合}$ が成り立つ。
    • $m : {\mathbb N}^{({\mathbb N})} \backslash \{ \boldsymbol{0} \} \rightarrow {\mathbb N}, a \mapsto \max\Set{ n \in {\mathbb N} }{ a(n) \nequ 0 }$ と置く。
    • $f : {\mathbb N}^{({\mathbb N})} \rightarrow {\rm Fin}({\mathbb N})$ を
      $a \mapsto \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} \phi & \parenth{ \all n \in {\mathbb N} \; a(n) \equ 0 } \\ \{ a(0) - 1 \} & \parenth{ m(a) \equ 0 } \\ \Set{ \sum\limits_{l=0}^k a(l) + k }{ k \lt m(a) } \cup \left\{ \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + (m(a)-1) \right\} & \parenth{ m(a) \geq 1 } \end{array}\right.$
      で定義する。
    • 前命題を考えれば、$f {\rm は可逆写像}$ であることを証明すれば良いので、逆写像を定義する。
    • $\phi \nequ A \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ に対し、$a_A$ を
      ${\rm Card}_A \equ 1$ の時:
      • $k \in {\mathbb N}, a_A(k) :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm Cnt}_A^{-1}(0) + 1 & \parenth{ k \equ 0 } \\ 0 & \parenth{ {\rm Card}(A) \leq k } \end{array}\right.$
      ${\rm Card}_A \geq 2$ の時:
      • $k \in {\mathbb N}, a_A(k) :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm Cnt}_A^{-1}(0) & \parenth{ k \equ 0 } \\ {\rm Cnt}_A^{-1}(k) - {\rm Cnt}_A^{-1}(k-1) - 1 & \parenth{ 1 \leq k \lt {\rm Card}(A) - 1 } \\ {\rm Cnt}_A^{-1}(k) - {\rm Cnt}_A^{-1}(k-1) & \parenth{ k \equ {\rm Card}(A) - 1 } \\ 0 & \parenth{ {\rm Card}(A) \leq k } \end{array}\right.$
      で定義する。
      ($制限写像 {\rm Cnt}_A : A \rightarrow {\rm Card}(A) \; {\rm は可逆写像}$ であることに注意。)
      $g : {\rm Fin}({\mathbb N}) \rightarrow {\mathbb N}^{({\mathbb N})}, A \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm ゼロ列}\boldsymbol{0} & \parenth{ A \equ \phi } \\ a_A & \parenth{ A \nequ \phi } \end{array}\right.$ と置く。
    • $f,g$ で $\boldsymbol{0}$ と $\phi$ が対応しているので、これ以外の対応について考える。
    • ${\rm (1)}$$(g \circ f) \equ {\rm id}_{{\mathbb N}^{({\mathbb N})}}$ を示す。
    • $\boldsymbol{0} \nequ a \in {\mathbb N}^{({\mathbb N})}$ を任意に取る。$a_{f(a)} \equ a$ を示せば良い。
    • ${\rm (i)}$$m(a) \equ 0$ の時について。
    • この時は、$a(0) \nequ 0 {\rm かつ} 1 \leq \all k \in {\mathbb N} \; a(k) \equ 0$ である。
    • $a_{f(a)}(0) \equ {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(0) + 1 \equ (a(0) - 1) + 1 \equ a(0)$ である。
    • $1 \leq \all k \in {\mathbb N} \; a_{f(a)}(k)$ $\equ$ ${\rm Card}(f(a)) \equ 1$ $0 \equ a(k)$ である。
    • よって、$a_{f(a)} \equ a$ である。
    • ${\rm (ii)}$$m(a) \geq 1$ の時について。
    • $\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \all k \lt m(a) \; {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^k a(l) + k \right) \equ k & {\rm かつ} \\ {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 \right) \equ m(a) & \end{array}$ が成り立つ。
      • $\all A \subset {\mathbb N} \; \all p \in {\mathbb N} \; \all q \lt p \; \parenth{ q \leq \all k \lt p \; k \not\in A \Rightarrow {\rm Cnt}_A(p) \equ {\rm Cnt}_A(q) }$ である。
      • ${\rm (ア)}$ $\all p \lt a(0) \; p \not\in f(a)$ なので、${\rm Cnt}_{f(a)}(a(0)) \equ {\rm Cnt}_{f(a)}(0) \equ 0$ である。
      • ${\rm (イ)}$[帰納法]$k \lt m(a)$ に対して成り立つことを仮定し、 $k + 1 \lt m(a)$ とする。
      • $\sum\limits_{l=0}^{k} a(l) + k + 1 \leq \all p \lt \sum\limits_{l=0}^{k+1} a(l) + (k+1) \;\; p \not\in f(a)$ なので、
        Cntが一定の値を取る条件より ${\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{k+1} a(l) + (k+1) \right) \equ {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{k} a(l) + k + 1 \right)$ である。
      • よって、${\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{k+1} a(l) + (k+1) \right)$ $\equ$ $\sum\limits_{l=0}^{k} a(l) + k \in f(a)$ ${\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{k} a(l) + k \right) + 1$ $\equ$ 帰納法の仮定 $k + 1$ である。
      • ${\rm (ウ)}$ $\sum\limits_{l=0}^{m(a)-1} a(l) + m(a) \leq \all p \lt \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 \;\; p \not\in f(a)$ である。
      • よって、$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 \right) & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a)-1} a(l) + m(a) \right) \\ & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a) - 1} a(l) + m(a) - 1 \right) + 1 \\ & \equ & ( m(a) - 1 ) + 1 \\ & \equ & m(a) \end{array}$ である。
    • 従って、$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} {\rm Card}(f(a)) & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}(f(a)) \\ & \equ & \begin{array}{@{}l@{}l@{}} & \Set{ {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^k a(l) + k \right) }{ k \lt m(a) } \\ \cup & \left\{ {\rm Cnt}_{f(a)}\left( \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 \right) \right\} \end{array} \\ & \equ & \Set{ k }{ k \leq m(a) } \\ & \equ & m(a)+1 \end{array}$ である。
    • $k \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
    • $k \equ 0$ の時:
      • $a_{f(a)}(0) \equ {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(0) \equ a(0)$ である。
    • $1 \leq k \lt {\rm Card}(f(a)) - 1 \equ m(a)$ の時:
      • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} a_{f(a)}(k) & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(k) - {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(k-1) - 1 \\ & \equ & \parenth{ \sum\limits_{l=0}^k a(l) + k } - \parenth{ \sum\limits_{l=0}^{k-1} a(l) + (k-1) } - 1\\ & \equ & a(k) \end{array}$ である。
    • $k \equ {\rm Card}(f(a)) - 1 \equ m(a)$ の時:
      • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} a_{f(a)}(m(a)) & \equ & {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(m(a)) - {\rm Cnt}_{f(a)}^{-1}(m(a)-1) \\ & \equ & \parenth{ \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a(l) + m(a) - 1 } - \parenth{ \sum\limits_{l=0}^{m(a)-1} a(l) + m(a) - 1 } \\ & \equ & a(m(a)) \end{array}$ である。
    • ${\rm Card}(f(a)) \leq k$ の時:
      • $a_{f(a)}(k) \equ 0$ $\equ$ $m(a)+1 \equ {\rm Card}(f(a)) \leq k$ $a(k)$ である。
    • 以上より、$g(f(a)) \equ a_{f(a)} \equ a$ である。
    • ${\rm (2)}$$\phi \nequ A \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ を任意に取る。$f(a_A) \equ A$ を示せば良い。
    • ${\rm Card}(A) \equ 1$ の時:
      • $a_A$ の定義より、$m(a_A) \equ 0$ である。
      • $f(a_A) \equ \{ a_A(0) - 1 \} \equ \{ {\rm Cnt}_A^{-1}(0) \} \equ A$ である。
    • ${\rm Card}(A) \geq 2$ の時:
      • $p :\equiv {\rm Card}(A) - 1$ と置く。
      • $\all a, b \in A \;\parenth{ a \lt b \Leftrightarrow {\rm Cnt}_A(a) \lt {\rm Cnt}_A(b) }$ なので、${\rm Cnt}_A^{-1}(p-1) \lt {\rm Cnt}_A^{-1}(p)$ である。
      • 従って、$a_A(p) \equ {\rm Cnt}_A^{-1}(p) - {\rm Cnt}_A^{-1}(p-1) \gt 0$ であり、ゆえに、$m(a_A) \equ p$ である。
      • 定義より、$\all k \lt {\rm Card}(A) - 1 \;\parenth{ \equ m(a_A) } \; \sum\limits_{l=0}^k a_A(l) + k \equ {\rm Cnt}_A^{-1}(k)$ である。
      • ${\rm Cnt}_A^{-1}(m(a_A)) \equ {\rm Cnt}_A^{-1}(m(a_A)-1) + a_A(m(a_A)) \equ \sum\limits_{l=0}^{m(a_A)} a_A(l) + (m(a_A)-1)$ である。
      • 従って、$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} f(g(A)) \equ f(a_A) & \equ & \begin{array}[t]{@{}c@{}l@{}} & \Set{ \sum\limits_{l=0}^k a_A(l) + k }{ k \lt m(a_A) } \\ \cup & \left\{ \sum\limits_{l=0}^{m(a)} a_A(l) + m(a_A) - 1 \right\} \end{array} \\ & \equ & \Set{ {\rm Cnt}_A^{-1}(k) }{ k \leq m(a_A) } \\ & \equ & \Set{ {\rm Cnt}_A^{-1}(k) }{ k \lt {\rm Card}(A) } \\ & \equ & A \end{array}$ である。
$X$ を集合とする。
$X {\rm は可算集合} \Rightarrow {\rm Fin}(X) {\rm は可算集合}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\exi {\rm 単射} f : X \rightarrow {\mathbb N}$ である。
  • $\all A \in {\rm Fin}(X) \; f(A) \in {\rm Fin}({\mathbb N})$ である。
  • $f_* : {\rm Fin}(X) \rightarrow {\rm Fin}({\mathbb N}), A \mapsto f(A)$ と置く。
  • ${\rm Fin}({\mathbb N}) {\rm は可算集合} {\rm かつ} f_* {\rm は単射}$ なので ${\rm Fin}(X) {\rm は可算集合}$ である。

那須川天心vsフロイド・メイウェザーのスペシャルエキシビジョンマッチについての感想

2018年12月31日、那須川天心 vs フロイド・メイウェザーのスペシャルエキシビジョンマッチ(3分3ラウンドのボクシングルール)が行われたのを見た。

取りあえずメディアに出ていた情報で気になったモノを纏めるとこんな感じだ:
  • 試合は、ボクシングルールのスペシャルエキシビション(3分3ラウンド)。
  • メイウェザーが1ラウンド2分19秒でTKO勝ち。
  • 契約体重は147ポンド(約66.7㎏)。(那須川は普段は60㎏以下で戦っている)
  • レフェリーはメイウェザー陣営がアメリカから連れてきた。
  • 関係者によると、那須川が蹴った場合、キック一発につき違約金500万$(約5億5000万円)。
  • メイウェザーは来日前に、完売していたリングサイドのチケット100席を要求し、来日直前に都内の高級ホテルを指定した。
  • 試合前、メイウェザーがインスタグラムの画像にファイトマネーが「9分で900万$(約9億9000万円)」であることをほのめかすような文章を添えた。

参考:

メディアでこのマッチングが表明されてからこの試合だけは気になっていた。 この試合を見るためにRizinの、余興みたいなどうでもいい無名選手の試合を数試合(2時間ほど)見せられて、いよいよ次こそ那須川vsメイウェザーの試合となっても、VTRだの登場シーンだの国歌斉唱だのでPM11時20分ぐらいまで待たされた。

当日の他のマッチメイキングは、那須川vsメイウェザー以外は全く誰か分からないし興味も無い選手ばかりで、学生スポーツレベルの女子選手の試合も複数組まれてた。 こう言う所から、「あぁ~メイウェザーのギャラが高騰しすぎて他の有名選手を呼べなくなったんだな」とは感じさせられた。私以外にも、このメインマッチのためにどうでもいいクソみたいな他の試合を見せられてると感じてた人は多いんじゃないんですかね。Rizinの興業の問題か。

とにかくそれで、いざ那須川vsメイウェザーの両選手が入場しての第一印象が、「メイウェザー、腹の脂肪を全然落としてないじゃないかよ。この試合を舐めてんじゃねぇのかよ!」ってものだった。 明らかにメイウェザーが腹・胴回りを絞ってないのが目に見えて分かる物だったのと、それに対して那須川の体が一回りぐらい小さいのが見て取れた。 それと、メイウェザーの顔が真剣な表情じゃなく、かなりリラックスした表情に見て取れた。対する那須川の表情は緊張に満ちていた感じだった。 もうこの時点で私の中では、「那須川、メイウェザーを倒して波乱を起こしてくれ」となった。

だが実際試合が始まると、そうはならなかった。試合開始直後からメイウェザーは余裕の、挑発じみた顔。対する那須川はちょんちょんとパンチを当てていく感じだった。那須川が左ストレートをメイウェザーの顔面にかすめた直後辺りから、メイウェザーがキレた感じで攻勢に出て、いきなりダウンを取る。那須川の第1ダウン目は、視聴者には「え?どこにパンチ当たったの?」ってなぐらいにダウンする理由が分からなかったし、スリップだと思ったけど、レフェリーはダウンを取る。直後に再度メイウェザーがダウンを取る。この時は那須川のおでこ辺りにもろにパンチが当たってた。この辺りで那須川の表情が「もぅ勝てねぇ」のように見えた。更に、メイウェザーが攻勢を掛けて那須川のガード越しにフックを当てて、那須川が押し飛ばされるようになって千鳥足になって転んだが、レフェリーはこれをダウンと見た。見た感じダウンじゃなかったのにこれをダウンと取られて「レフェリーに不利な裁定されたな」と私は思ったね。後々、このレフェリーがメイウェザーサイドが呼んだ奴だって知って合点がいった。

結局、映像としては階級差がありすぎてメイウェザーの余裕勝ち、ボロ勝ちで、金銭面ではRizinの金が殆どメイウェザーに取られて、他のマッチングがゴミみたいになっただけの失敗興業だった。 アリvs猪木の世紀の戦いでもルール設定などで大もめになったことは有名で、有名外国人選手相手ならリング外でも好き勝手やられるのは分かることなのに、今回のRizinは那須川vsメイウェザーありきでやったから(?)完全にメイウェザーサイドに好き勝手やられただけだった。

Bernsteinの定理

$X,Y,I$ を集合とする。
$i \in I$ に対し、$X_i \subset X, Y_i \subset Y, {\rm 全単射}f_i : X_i \rightarrow Y_i$ とする。
$X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i {\rm かつ} Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i \Rightarrow \coprod\limits_{i \in I} f_i : X \rightarrow Y {\rm は全単射}$ が成り立つ。
  • 仮定[$X \equ \coprod\limits_{i \in I} X_i$]より、$\all x \in X \; \exi! i \in I \; x \in X_i$ である。
  • 従って、$j :\equ \Set{ (x,i) \in X \times I }{ x \in X_i } {\rm は写像}$ である。
  • ${\rm 写像} f :\equiv \coprod\limits_{i \in I} f_i : X \rightarrow Y, x \mapsto f_{j(x)}(x)$ が定義できる。
  • ${\rm (1)}$$x_0, x_1 \in X, f(x_0) \equ f(x_1)$ を仮定する。
  • $Y_{j(x_0)} \ni f_{j(x_0)}(x_0) \equ f(x_0) \equ f(x_1) \equ f_{j(x_1)}(x_1) \in Y_{j(x_1)}$ である。
  • 従って、仮定[$Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i$]より、$j(x_0) \equ j(x_1)$ である。
  • 従って、$f_{j(x_0)}(x_0) \equ f_{j(x_0)}(x_1)$ である。
  • よって、仮定[$f_{j(x_0)} {\rm は全単射}$]より、$x_0 \equ x_1$ である。
  • ${\rm (2)}$$y \in Y$ を任意に取る。
  • 仮定[$Y \equ \coprod\limits_{i \in I} Y_i$]より、$\exi i \in I \; y \in Y_i$ である。
  • 仮定[$f_i {\rm は全単射}$]より、$\exi x_i \in X_i \; y \equ f_i(x_i)$ である。
  • $x_i \in X_i$ なので $j(x_i) \equ i$ である。
  • よって、$f(x_i) \equ f_{j(x_i)}(x_i) \equ f_i(x_i) \equ y$ である。
$X,Y$ を集合とする。
$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi {\rm 単射} f : X \rightarrow Y & {\rm かつ} \\ \exi {\rm 単射} g : Y \rightarrow X \end{array}\right. \Rightarrow \exi {\rm 全単射} h : X \rightarrow Y$ が成り立つ。
  • $X_0 :\equiv X, Y_0 :\equiv Y$ と置き、
    $n \in {\mathbb N}$ に対し $X_n, Y_n$ が定まった時、$X_{n+1} :\equiv g(Y_n), Y_{n+1} :\equiv f(X_n)$ と置く。
    ${\vcenter{ \begin{xy}*[F**:black][white]\xymatrix@C=20pt@R=15pt{ **[l] X_0 :\equiv X \ar[dr]_>(0.8){f} & **[r] \cdots & \cdots & **[l] X_n \ar[dr]_>(0.8){f} & **[r] X_{n+1} :\equiv g(Y_n) \ar[dr]_>(0.9){f} & **[r] \cdots \\ **[l] Y_0 :\equiv Y \ar[ur]^>(0.8){g}|!{[u];[r]}\hole & **[r] \cdots & \cdots & **[l] Y_n \ar[ur]^>(0.8){g}|!{[u];[r]}\hole & **[r] Y_{n+1} :\equiv f(X_n) \ar[ur]^>(0.9){g}|!{[u];[r]}\hole & **[r] \cdots }\end{xy}}}$
  • 次のように定義する:
    $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}c@{}r@{}c@{}l@{}} X_e & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ X_{2n} \backslash X_{2n+1} } &,& Y_e & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ Y_{2n} \backslash Y_{2n+1} } \\ X_o & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } &,& Y_o & :\equiv & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ Y_{2n+1} \backslash Y_{2n+2} } \\ X_\infty & :\equiv & \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} X_n &,& Y_\infty & :\equiv & \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} Y_n \end{array}$
    1. $\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ m \leq n \Rightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X_m \supset X_n & {\rm かつ} \\ Y_m \supset Y_n & \end{array}\right. }$ が成り立つ。
      • 明らかに、$X_0 \supset X_1 {\rm かつ} Y_0 \supset Y_1$ である。
      • 任意に $n \in {\mathbb N}$ を取り、$X_n \supset X_{n+1} {\rm かつ} Y_n \supset Y_{n+1}$ を仮定する。
      • $X_{n+1} \equ g(Y_n) \supset g(Y_{n+1}) \equ X_{n+2}$ である。
      • $Y_{n+1} \equ f(X_n) \supset f(X_{n+1}) \equ Y_{n+2}$ である。
      • 従って、$\all n \in {\mathbb N} \; X_n \supset X_{n+1} {\rm かつ} Y_n \supset Y_{n+1}$ である。
      • よって、主張が成り立つ。
    2. $X \equ X_e \coprod X_o \coprod X_\infty$ が成り立つ。
      • ${\rm (i)}$
        $\all m, n \in {\mathbb N} \;\parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \equ \phi$ が成り立つ。
        • $m \leq n$ の時:
          $\parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ \underline{X_{2n+1}} \backslash X_{2n+2} }$ $\subset$ ${\rm (1)}$ と
          $2n+1 \geq 2m+1$
          $\parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ \underline{X_{2m+1}} \backslash X_{2n+2} } \equ \phi$ である。
        • $m \gt n$ の時:
          $\parenth{ \underline{X_{2m}} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} }$ $\subset$ ${\rm (1)}$ と
          $2m \geq 2n+2$
          $\parenth{ \underline{X_{2n+2}} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \equ \phi$ である。
      • 従って、$X_e \cap X_o \equ \bigcup\limits_{m,n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2m} \backslash X_{2m+1} } \cap \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } } \equ \phi$ である。
      • ${\rm (ii)}$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} X_e \cap X_\infty & \equ & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n} \backslash X_{2n+1} } \cap \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} X_m } \\ & \subset & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n} \backslash X_{2n+1} } \cap X_{2n+1} } \equ \phi \end{array}$ である。
      • ${\rm (iii)}$$\begin{array}[t]{@{}l@{}c@{}l@{}} X_o \cap X_\infty & \equ & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \cap \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} X_m } \\ & \subset & \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ \parenth{ X_{2n+1} \backslash X_{2n+2} } \cap X_{2n+2} } \equ \phi \end{array}$ である。
      • ${\rm (iv)}$$x \in X \backslash X_\infty$ を任意に取る。
      • $2n+k :\equ \min\Set{ m \in {\mathbb N} }{ x \not\in X_m }, n \in {\mathbb N}, k \in \{0,1\}$ と置く。
      • $k \equ 1$ の時:
        • $x \in X_{2n} \backslash X_{2n+1} \subset X_e$ である。
      • $k \equ 0$ の時:
        • $x \in X \equ X_0$ なので $n \nequ 0$ である。
        • $x \in X_{2n-1} \backslash X_{2n} \equ X_{2(n-1)+1} \backslash X_{2(n-1)+2} \subset X_o$ である。
      • よって、$X \backslash X_\infty \subset X_e \cup X_o$ である。
    3. 同様に、$Y \equ Y_e \coprod Y_o \coprod Y_\infty$ である。
    4. $f(X_e) \equ Y_o$ が成り立つ。
      • $f(X_e) \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} f(X_{2n} \backslash X_{2n+1})$ $\equ$ $f {\rm は単射}$ $\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} f(X_{2n}) \backslash f(X_{2n+1}) \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} Y_{2n+1} \backslash Y_{2n+2} \equ Y_o$ である。
    5. 同様に、$X_o \equ g(Y_e)$ である。
    6. $f(X_\infty) \equ Y_\infty$ が成り立つ。
      • $f(X_\infty) \equ f\parenth{ \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} X_m }$ $\equ$ $f {\rm は単射かつ} {\mathbb N} \nequ \phi$ $\bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} f(X_m) \equ \bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} Y_{m+1}$ $\equ$ $Y_0 \equ Y$ $\bigcap\limits_{m \in {\mathbb N}} Y_m \equ Y$ である。
    従って、${\vcenter{ \begin{xy}*[F**:black][white]\xymatrix@C=30pt@R=10pt{ X_e \ar[dr]^>(0.3){f} & Y_e \ar[ld]_>(0.3){g}|!{[l];[d]}\hole \\ X_o & Y_o \\ X_\infty \ar@/^/[r]^-{f} & Y_\infty \ar@/^/[l]^-{g} }\end{xy}}}$という関係になる。
  • 従って、$\begin{array}{@{}r@{}c@{}l@{}} f{\rm の制限}f_e &:& X_e \rightarrow Y_o \\ g{\rm の制限}g_e &:& Y_e \rightarrow X_o \\ f{\rm の制限}f_\infty &:& X_\infty \rightarrow Y_\infty \end{array}$ は全て全単射である。
  • 以上より、上記命題を用いて、$f_e \coprod g_e^{-1} \coprod f_\infty : X \rightarrow Y {\rm は全単射}$ である。
証明終

${\rm Compact}$について多少の命題

$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。
$X {\rm はcompact}$ と仮定する。
$\all f : X \rightarrow Y \;\parenth{ f {\rm は連続} \Rightarrow f {\rm は一様連続} }$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • ${\cal S} :\equiv \Set{ (\delta,x) \in {\mathbb R}^+ \times X }{ f(B_{X,2\delta}(x)) \subset B_{Y,\frac{\varepsilon}{2}}(f(x)) }$ と置く。
  • 仮定[$f {\rm は連続}$]より、$X \subset \bigcup\limits_{(\delta,x) \in {\cal S}} B_{X,\delta}(x)$ である。
  • 従って、仮定[$X {\rm はcompact}$]より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; X \equ \bigcup\limits_{(\delta,x) \in {\cal T}} B_{X,\delta}(x)$ である。
  • $\delta_0 :\equiv \min\Set{ \delta \in {\mathbb R}^+ }{ \exi x \in X \; (\delta,x) \in {\cal T} }$ と置く。
  • $a,b \in X, d_X(a,b) \lt \delta_0$ を仮定する。
  • $a \in X \equ \bigcup\limits_{(\delta,x) \in {\cal T}} B_{X,\delta}(x)$ なので $\exi (\delta,x) \in {\cal T} \; a \in B_{X,\delta}(x)$ である。
  • 従って、$d_X(a,x) \lt \delta$ である。
  • 従って、$d_X(b,x) \leq d_X(b,a) + d_X(a,x) \lt \delta_0 + \delta \leq 2\delta$ である。
  • 従って、$f(a),f(b) \in f(B_{X,2\delta}(x))$ $\subset$ $(\delta,x) \in {\cal T} \subset {\cal S}$ $B_{Y,\frac{\varepsilon}{2}}(f(x))$ である。
  • よって、$d_Y(f(a),f(b)) \leq d_Y(f(a),f(x)) + d_Y(f(x),f(b)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon$ である。
  • 証明終
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
${\rm 連続写像} f : X \rightarrow {\mathbb R}$ とする。
$\phi \nequ \all {\rm compact} A \subset X \; \min f(A), \max f(A) {\rm は存在する}$ が成り立つ。
  • どちらも同様の証明なので、$\exi \max f(A)$ の証明だけを行う。
  • $f(A) {\rm は上に有界}$ が成り立つ。
    • $A \subset X \equ f^{-1}({\mathbb R}) \equ f^{-1}(\bigcup\limits_{r \in {\mathbb R}} (-\infty,r)) \equ \bigcup\limits_{r \in {\mathbb R}} f^{-1}( (-\infty,r) )$ ${\rm は開被覆}$ $f {\rm は連続写像}$ である。
    • 従って、$\exi {\rm 有限集合}R \subset {\mathbb R} \; A \subset \bigcup\limits_{r \in R} f^{-1}( (-\infty,r) )$ である。
    • $s :\equiv \max R$ と置く。
    • $A \subset \bigcup\limits_{r \in R} f^{-1}( (-\infty,r) ) \equ f^{-1}( (-\infty,s) )$ つまり $f(A) \subset (-\infty,s)$ である。
  • $s :\equiv {\rm sup}f(A)$ と置く($A \nequ \phi$ なので $f(A) \nequ \phi$)。
  • $s \in f(A)$ を示せばよい。
  • $A \cap \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} f^{-1}([r,s]) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • ${\rm compact}$の定義の閉集合による言い換えを使って示す。
    • 仮定[$f {\rm は連続写像}$]より、$\all r \in (-\infty,s) \; f^{-1}([r,s]) \in {\cal C}$ である。
    • $r \in (-\infty,s)$ を任意に取る。
    • ${\rm sup}$の性質より、$\exi a \in A \; r \lt f(a) \leq s$ である。
    • 従って、$A \cap f^{-1}([r,s]) \nequ \phi$ である。
    • 従って、$\all {\rm 有限集合}R \subset (-\infty,s) \; A \cap \bigcap\limits_{r \in R} f^{-1}([r,s]) \equ A \cap f^{-1}([\max R,s]) \nequ \phi$ である。
    • よって、$A {\rm はcompact}$より、$A \cap \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} f^{-1}([r,s]) \nequ \phi$ である。
  • $\all t \in {\mathbb R} \;\parenth{ \all r \lt s \; r \lt t \Rightarrow s \leq t }$ なので、 $\bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} [r,s] \equ \{s\}$ である。
  • 以上より、$\phi \nequ A \cap \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} f^{-1}([r,s]) \equ A \cap f^{-1}\parenth{ \bigcap\limits_{r \in (-\infty,s)} [r,s] } \equ A \cap f^{-1}(\{s\})$ である。
  • よって、$\exi a \in A \; f(a) \equ s$ である。

$(X, d) {\rm は距離空間}$ とする。
${\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d, \varepsilon \in {\mathbb R}^+$ とする。
$\varepsilon {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数} \quad:\Leftrightarrow\quad \phi \nequ \all A \subset X \;\parenth{ {\rm diam}(A) \lt \varepsilon \Rightarrow \exi U \in {\cal U} \; A \subset U }$
$(X,d)$ を距離空間とする。
$X {\rm はcompact} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X {\rm は全有界} & {\rm かつ} \\ \all {\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \varepsilon {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数} & \end{array}\right.$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$${\rm (i)}$ $\; \varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • $X \equ \bigcup\limits_{x \in X} B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ なので、仮定より、 $\exi {\rm 有限集合}A \subset X \; X \equ \bigcup\limits_{a \in A} B_{\frac{\varepsilon}{2}}(a)$ である。
  • $\all a \in A \; {\rm diam}(B_{\frac{\varepsilon}{2}}(a)) \leq \varepsilon$ である。
  • よって、$X {\rm は全有界}$ である。
  • ${\rm (ii)}$${\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d$ を任意に取る。
  • ${\cal S} :\equiv \Set{ (\varepsilon,x) \in {\mathbb R}^+ \times X }{ \exi U \in {\cal U} \; B_{2\varepsilon}(x) \subset U }$ と置く。
  • $X \subset \bigcup\limits_{(\varepsilon,x) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(x)$ が成り立つ。
    • $x \in X$ を任意に取る。
    • ${\cal U} {\rm は被覆}$ なので $\exi U \in {\cal U} \; x \in U$ である。
    • $\Set{ B_\varepsilon(x) }{ (\varepsilon,x) \in {\mathbb R}^+ \times X } {\rm は}{\cal O}_d{\rm の基底}$ なので $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{\varepsilon}(x) \subset U$ である。
    • 従って、$\parenth{ {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}, x } \in {\cal S}$ かつ $x \in B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ である。
  • 従って、仮定[$X {\rm はcompact}$]より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; X \subset \bigcup\limits_{(\varepsilon,x) \in {\cal T}} B_{\varepsilon}(x)$ である。
  • $\varepsilon_0 :\equiv \min\Set{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ }{ \exi x \in X \; (\varepsilon,x) \in {\cal T} }$ と置く。
  • $A \subset X ,\; {\rm diam}(A) \lt \varepsilon_0$ を仮定する。
  • $a_0 \in A$ を1つ選んで固定する。
  • $a_0 \in X \subset \bigcup\limits_{(\varepsilon,x) \in {\cal T}} B_{\varepsilon}(x)$ なので $\exi (\varepsilon,x) \in {\cal T} \; a_0 \in B_{\varepsilon}(x)$ である。
  • 従って、$\all a \in A \; d(a,x) \leq d(a,a_0) + d(a_0,x) \lt \varepsilon_0 + \varepsilon \leq 2\varepsilon$ である。
  • 従って、$A \subset B_{2\varepsilon}(x)$ である。
  • 一方、$(\varepsilon,x) \in {\cal T} \subset {\cal S}$ より、$\exi U \in {\cal U} \; B_{2\varepsilon}(x) \subset U$ である。
  • よって、$A \subset U$ である。
  • よって、$\varepsilon_0 {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数}$ である。
  • $\Leftarrow$${\rm 被覆}{\cal U} \subset {\cal O}_d$ を任意に取る。
  • 仮定より、$\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \varepsilon {\rm は}{\cal U}{\rm のLebesgue数}$ である。
  • 仮定[$X {\rm は全有界}$]より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
  • $S \in {\cal S}$ に対し、${\cal U}_S :\equiv \Set{ U \in {\cal U} }{ S \subset U }$ と置く。
  • εはUのLebesgue数と$\all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon$ より、$\all S \in {\cal S} \; {\cal U}_S \nequ \phi$ である。
  • 従って、$\exi (U_S)_{S \in {\cal S}} \in \prod\limits_{S \in {\cal S}} {\cal U}_S$ である。
  • よって、$X \equ \bigcup\limits_{S \in {\cal S}} S \subset \bigcup\limits_{S \in {\cal S}} U_S$ である。
  • 証明終
$(X,d)$ を${\rm compact}$な距離空間とする。
${\rm 有限集合}{\cal A} \subset {\cal C}_d \;\parenth{ \leftarrow {\rm 閉集合系} }$ とする。
$\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \all {\cal A}^\prime \subset {\cal A} \;\parenth{ \exi S \subset X \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & {\rm かつ} \\ \all A \in {\cal A}^\prime \; A \cap S \nequ \phi & \end{array}\right. \Rightarrow \bigcap {\cal A}^\prime \nequ \phi }$ が成り立つ。
  • ${\frak X} :\equiv \Set{ {\cal A}^\prime \subset {\cal A} }{ \bigcap {\cal A}^\prime \equ \phi }$ と置く。
  • ${\frak X} \equ \phi$ の時は主張の成立は明らかなので、${\frak X} \nequ \phi$ と仮定する。
  • $\all {\cal A}^\prime \in {\frak X} \; \bigcup\limits_{A \in {\cal A}^\prime} X \backslash A \equ X \backslash \bigcap\limits_{A \in {\cal A}^\prime} A \equ X \backslash \bigcap {\cal A}^\prime \equ X$ なので、
    $\all {\cal A}^\prime \in {\frak X} \; \Set{ X \backslash A }{ A \in {\cal A}^\prime }{\rm は開被覆}$ である。
  • ${\cal A}^\prime \in {\frak X}$ に対して、$F({\cal A}^\prime) :\equiv \Set{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ }{ \varepsilon {\rm は開被覆}\Set{ X \backslash A }{ A \in {\cal A}^\prime }{\rm のLebesgue数} }$ と置く。
  • 仮定[$X {\rm はcompact}$]と上記命題より、$\all {\cal A}^\prime \in {\frak X} \; F({\cal A}^\prime) \nequ \phi$ である。
  • 従って、$\exi \parenth{ \varepsilon({\cal A}^\prime) }_{{\cal A}^\prime \in {\frak X}}$ $\in$ ${\cal A}{\rm は有限集合}$なので
    ${\frak X}{\rm は有限集合}$
    $\prod\limits_{{\cal A}^\prime \in {\frak X}} F({\cal A}^\prime)$ である。
  • $\varepsilon_0 :\equiv \min\Set{ \varepsilon({\cal A}^\prime) }{ {\cal A}^\prime \in {\frak X} }$ と置く。
  • ${\cal A}^\prime \subset {\cal A}$ を任意に取る。
  • [対偶法]$\bigcap {\cal A}^\prime \equ \phi$ とし、$S \subset X$ を任意に取り ${\rm diam}(S) \lt \varepsilon_0$ を仮定する。
  • ${\cal A}^\prime \in {\frak X}$ かつ ${\rm diam}(S) \lt \varepsilon_0 \leq \varepsilon({\cal A}^\prime)$ である。
  • よって、$\exi A \in {\cal A}^\prime \; S \subset X \backslash A$ である。
  • 証明終

$a, b \in {\mathbb R}$ を $a \leq b$ とする。
$[a, b] {\rm はCompact}$ が成り立つ。
  • $X {\rm の被覆} {\cal U} \subseteq {\cal O}_{\mathbb R}$ を任意に取る。
  • $A :\equiv \Set{ c \in [a, b] }{ \exi {\rm 有限集合} {\cal V} \subseteq {\cal U} \; [a, c] \subseteq \bigcup {\cal V} }$ と置く。
  • 明らかに、$A$ $\neq$ $a \in A$ $\phi$ かつ $\all c \in A \; c \leq b$ である。
  • $s :\equiv \sup A$ と置く。
  • $\exi \delta \in {\mathbb R}^+ \; [a, s+\delta] \cap [a, b] \subseteq A$ が成り立つ。
    • $s \in [a, b] \subseteq \bigcup {\cal U}$ なので、$\exi V \in {\cal U} \; s \in V$ である。
    • $V \in {\cal U} \subseteq {\cal O}_{\mathbb R}$ なので、$\exi \delta \in {\mathbb R}^+ \; [s-\delta, s+\delta] \subseteq V$ である。
    • $\sup$ の性質から、$\exi t \in A \; s-\delta \lt t$ である。
    • $t \in A$ より、$\exi {\rm 有限集合}{\cal V}_0 \subseteq {\cal U} \; [a, t] \subseteq \bigcup {\cal V}_0$ である。
    • $[a, s+\delta]$ $\equ$ $s-\delta \lt t \leq s \lt s+\delta$ $[a, t] \cup [s-\delta, s+\delta] \subseteq \bigcup {\cal V}_0 \cup V$ である。
    • 従って、$\all x \in [a, s+\delta] \cap [a, b] \; [a, x] \subseteq [a, s+\delta] \subseteq \bigcup {\cal V}_0 \cup V$
      つまり、$[a, s+\delta] \cap [a, b] \subseteq A$ である。
  • $s \equ b$ が成り立つ。
    • $s \leq b$ は明らか。
    • $\varepsilon \in (0, \delta)$ を任意に取る。
    • $s+\varepsilon \in [a, s+\delta]$ である。$\sup$ の性質から $s+\varepsilon \not\in A$ である。
    • 従って、supとAの関係より、$s+\varepsilon \not\in [a, b]$ つまり、$b \lt s+\varepsilon$ である。
    • よって、$b \leq s$ である。
  • また、supとAの関係より、$s \in [a, s+\delta] \cap [a, b] \subseteq A$ なので、$s \in A$ である。
  • 以上より、$b \in A$ 従って、$\exi{\rm 有限集合}{\cal V} \subseteq {\cal U} \; [a, b] \subseteq \bigcup {\cal V}$ である。
証明終

距離付け可能定理について

$(X,d)$ を距離空間とする。
$\all U \in {\cal O}_d \; \all x \in U \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \;\parenth{ x \in } B_{\varepsilon}(x) \subset U$ が成り立つ。
  • $x \in U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。
  • $\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\mathbb R}^+ \times X \; x \in \bigcap\limits_{(\varepsilon,y) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(y) \subset U$ である。
  • $\delta :\equiv \min\Set{ \varepsilon - d(x,y) }{ (\varepsilon,y) \in {\cal S} } \;\parenth{ \gt 0 }$ と置く。
  • $z \in B_{\delta}(x)$ を任意に取る。
  • $\all (\varepsilon,y) \in {\cal S} \; d(z,y) \leq d(z,x)+d(x,y) \lt \delta + d(x,y) \leq \varepsilon$ なので、 $z \in \bigcap\limits_{(\varepsilon,z) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(y)$ である。
  • よって、$x \in B_{\delta}(x) \subset \bigcap\limits_{(\varepsilon,z) \in {\cal S}} B_{\varepsilon}(y) \subset U$ である。
証明終
従って、
$\all x \in X \; \Set{ B_{\varepsilon}(x) }{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ } {\rm は}x{\rm の基本近傍系}$ であるし、
$\Set{ B_{\varepsilon}(x) }{ (\varepsilon,x) \in {\mathbb R}^+ \times X } {\rm は}{\cal O}_d{\rm の基底}$ である。
$(X,d)$ を距離空間とする。
$d_0 : X \times X \rightarrow {\mathbb R}, (x,y) \mapsto {\displaystyle \frac{ d(x,y) }{ 1+d(x,y) }}$ と定義する。
  1. $\all x, y \in X \; d_0(x,y) \equ 1 - {\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+d(x,y) }} \lt 1$ である。
  2. $d_0 {\rm は距離関数}$ が成り立つ。
    • 明らかに、$\all x, y \in X \; 0 \leq d_0(x,y) \equ d_0(y,x) {\rm かつ} d_0(x,y) \equ 0 \Leftrightarrow x \equ y$ である。
    • $0 \leq \all a, b, c \in {\mathbb R} \;\parenth{ c \leq a + b \Rightarrow {\displaystyle \frac{ c }{ 1+c }} \leq {\displaystyle \frac{ a }{ 1+a }} + {\displaystyle \frac{ b }{ 1+b }} }$ が成り立つ。
      • $0 \leq c \leq a + b$ なので ${\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+c }} \geq {\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+a+b }}$ である。
      • ${\displaystyle \frac{ c }{ 1+c }} \equ 1 - {\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+c }}$ $\leq$ 1/(1+c)≧1/(1+a+b) $1 - {\displaystyle \frac{ 1 }{ 1+a+b }} \equ {\displaystyle \frac{ a+b }{ 1+a+b }}$
        $\qquad \equ {\displaystyle \frac{ a }{ 1+a+b }} + {\displaystyle \frac{ b }{ 1+a+b }}$ $\leq$ $0 \leq a, b$ ${\displaystyle \frac{ a }{ 1+a }} + {\displaystyle \frac{ b }{ 1+b }}$ である。
    • 従って、任意の$x, y, z \in X$に対して、$a :\equiv d(x,y), b :\equiv d(y,z), c :\equiv d(x,z)$ と置くことにより、
      $d_0$ は三角不等式を満たす。
  3. $id_X : (X, d) \rightarrow (X, d_0) {\rm は一様同相写像}$ が成り立つ。特に、${\cal O}_d \equ {\cal O}_{d_0}$ である。
    • $\all \varepsilon \in (0,1) \all x, y \in X \;\parenth{ d(x,y) \lt {\displaystyle \frac{ \varepsilon }{ 1-\varepsilon }} \Rightarrow d_0(x,y) \lt \varepsilon }$ である。
    • $\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \all x, y \in X \;\parenth{ d_0(x,y) \lt {\displaystyle \frac{ \varepsilon }{ 1+\varepsilon }} \Rightarrow d(x,y) \lt \varepsilon }$ である。
$(X, {\cal O}_i)$ を位相空間とする$\parenth{ i \equ 0, 1 }$。
$x \in X$に対し、${\mathbb V}_i^*(x)$ を$(X, {\cal O}_i)$における$x$の基本近傍系とする$\parenth{ i \equ 0, 1 }$。
${\cal O}_0 \subset {\cal O}_1 \Leftrightarrow \all x \in X \; \all V_0 \in {\mathbb V}_0^*(x) \; \exi V_1 \in {\mathbb V}_1^*(x) \; V_1 \subset V_0$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$$x \in X, V_0 \in {\mathbb V}_0(x)$ を任意に取る。
  • $V_0 \in {\mathbb V}_0^*(x)$ なので、${\mathbb V}_0^*(x)$についての仮定より、$\exi U_0 \in {\cal O}_0 \; x \in U_0 \subset V_0$ である。
  • $x \in U_0 \in {\cal O}_0 \subset {\cal O}_1$ なので、${\mathbb V}_1^*(x)$についての仮定より、$\exi V_1 \in {\mathbb V}_1^*(x) \; V_1 \subset U_0$ である。
  • よって、$V_1 \subset U_0 \subset V_0$ である。
  • $\Leftarrow$$U \in {\cal O}_0$ を任意に取る。
  • $x \in U$ を任意に取る。
  • ${\mathbb V}_0^*(x)$ についての仮定より、$\exi V_0 \in {\mathbb V}_0^*(x) \; V_0 \subset U$ である。
  • 仮定より、$\exi V_1 \in {\mathbb V}_1^*(x) \; V_1 \subset V_0$ である。
  • ${\mathbb V}_1^*(x)$ についての仮定より、$\exi U_1 \in {\cal O}_1 \; x \in U_1 \subset V_1$ である。
  • 従って、$x \in U_1 \subset V_1 \subset V_0 \subset U$ である。
  • よって、$U \in {\cal O}_1$ である。

$(X, O)$ を位相空間とする。
$X {\rm は距離付け可能} :\Leftrightarrow \exi {\rm 距離関数} d : X \times X \rightarrow {\mathbb R} \; {\cal O}_d \equ {\cal O}$
$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。
$X {\rm は距離付け可能} \land X \simeq Y \Rightarrow Y {\rm は距離付け可能}$ が成り立つ。
  • ${\rm 距離関数} d_X : X \times X \rightarrow {\mathbb R}, {\cal O}_X \equ {\cal O}_{d_X}$ と
    ${\rm 同相写像} f : X \rightarrow Y$ を仮定する。
  • $d_Y : Y \times Y \rightarrow {\mathbb R}, (y_0,y_1) \mapsto d_X(f^{-1}(y_0),f^{-1}(y_1))$ と定義する。
  • この$d_Y$が求めるものであることを示す。
  • 明らかに $d_Y {\rm は距離関数}$ である。
  • ${\cal V} :\equiv \Set{ B_{Y,\varepsilon}(y) }{ (\varepsilon,y) \in {\mathbb R}^+ \times Y } \;\parenth{ \subset {\cal O}_{d_Y} }$ と置く。
  • ${\cal V} \subset {\cal O}_Y$ が成り立つ。
    • $(\varepsilon,y) \in {\mathbb R}^+ \times Y$ を任意に取る。
    • $B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y)) \in {\cal O}_{d_X} \equ {\cal O}_X$ なので $f(B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y))) \in {\cal O}_Y$ である。
    • 一方、$B_{Y,\varepsilon}(y)$ $\equ$ $f {\rm は可逆写像}$ $f(B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y)))$ である。
    • よって、$B_{Y,\varepsilon}(y) \in {\cal O}_Y$ である。
  • $\all V \in {\cal O}_Y \; \all y \in V \; \exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{Y,\varepsilon}(y) \subset V$ が成り立つ。
    • $y \in V \in {\cal O}_Y$ を任意に取る。
    • $f^{-1}(y) \in f^{-1}(V) \in {\cal O}_X \equ {\cal O}_{d_X}$ なので $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; f^{-1}(y) \in B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y)) \subset f^{-1}(V)$ である。
    • 従って、$B_{Y,\varepsilon}(y) \equ f(B_{X,\varepsilon}(f^{-1}(y))) \subset f(f^{-1}(V)) \equ V$ である。
  • 従って、${\cal V} {\rm は}{\cal O}_Y{\rm の基底}$ である。従って、${\cal O}_Y \equ {\cal O}({\cal V})$ である。
  • よって、${\cal O}_Y \equ {\cal O}({\cal V}) \equ {\cal O}_{d_Y}$ である。
$(X, d)$ を距離空間とする。
$\all A \subset X \; {\cal O}_A \equ {\cal O}_{d|_A}$ である。
  • 明らかに、$d|_A {\rm は距離関数}$ である。
  • ${\cal U}_A :\equiv \Set{ B_{A,\varepsilon}(a) }{ (\varepsilon,a) \in {\mathbb R}^+ \times A }$ と置く。
  • $\all (\varepsilon,a) \in {\mathbb R}^+ \times A \; B_{A,\varepsilon}(a) \equ A \cap B_{X,\varepsilon}(a) \in {\cal O}_A$ なので、 ${\cal U}_A \subset {\cal O}_A$ である。
  • $a \in A \cap U \in {\cal O}_A, \; U \in {\cal O}_d$ を任意に取る。
  • $U \in {\cal O}_d$ なので $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{X,\varepsilon}(a) \subset U$ である。
  • 従って、$a \in B_{A,\varepsilon}(a) \equ A \cap B_{X,\varepsilon}(a) \subset A \cap U$ である。
  • 従って、${\cal U}_A {\rm は}{\cal O}_A{\rm の基底}$ である。
  • よって、${\cal O}_A \equ {\cal O}({\cal U}_A) \equ {\cal O}_{d|_A}$ である。
従って、位相空間が距離付け可能ならば、その任意の部分空間は距離付け可能である。

$\parenth{ (X_n, d_n) }_{n \in {\mathbb N}}$ を距離空間の列とする。
$\prod\limits_{n \in {\mathbb N}} X_n {\rm は距離付け可能}$ が成り立つ。
  • 上記命題より、$\all n \in {\mathbb N} \; \all x_n, y_n \in X_n \; d_n(x_n,y_n) \lt 1$ としてよい。
  • $X :\equiv \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} X_n$ と置く。この直積位相空間の開集合系を ${\cal O}_X$ で表す。
  • $d : X \times X \rightarrow {\mathbb R}, (x,y) \mapsto \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) \;\parenth{ \leq \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} \equ 2 }$ と定義する。
  • この$d$が求めるものであることを示す。
  • $d {\rm は距離関数}$ が成り立つ。
    • $x, y, z \in X$ を任意に取る。
    • 明らかに、$0 \leq d(x,y) \equ d(y,x)$ である。
    • $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n)$ は$0$以上の項の級数なので、$d(x,y) \equ 0 \Leftrightarrow x \equ y$ である。
    • 任意の$m \in {\mathbb N}$に対して、
      $\begin{array}{@{}r@{}c@{}l@{}} \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, z_n) & \leq & \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) + \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(y_n, z_n) \\ & \leq & \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(y_n, z_n) \end{array}$ なので、
      $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, z_n) \leq \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n, y_n) + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(y_n, z_n)$ である。
  • ${\cal O}_d \equ {\cal O}_X$ が成り立つ。
    • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+, n \in {\mathbb N}$ に対し、
      $B_{d, \varepsilon} : X \rightarrow {\cal O}_d, x \mapsto \Set{ y \in X }{ d(x,y) \lt \varepsilon }$ と定義し、
      $B_{n, \varepsilon} : X_n \rightarrow {\cal O}_{d_n}, x_n \mapsto \Set{ y_n \in X_n }{ d_n(x_n,y_n) \lt \varepsilon }$ と定義する。
    • $x \in X$ に対し、
      ${\mathbb V}_d^*(x) :\equiv \Set{ B_{d, \varepsilon}(x) }{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ }$ と定義し、
      ${\mathbb V}_X^*(x) :\equiv \Set{ \prod\limits_{n \in {\mathbb N} \backslash M} X_n \times \prod\limits_{n \in M} B_{n, \varepsilon}(x_n) }{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ {\rm かつ} {\mathbb N} \supset M {\rm は有限集合} }$ と定義する。
    • $\all x \in X \; {\mathbb V}_d^*(x) {\rm は}(X, {\cal O}_d){\rm における}x{\rm の基本近傍系}$ である。
      $\all x \in X \; {\mathbb V}_X^*(x) {\rm は}(X, {\cal O}_X){\rm における}x{\rm の基本近傍系}$ である。
    • $\all x \in X \; \all V_d \in {\mathbb V}_d^*(x) \; \exi V_X \in {\mathbb V}_X^*(x) \; V_X \subset V_d$ が成り立つ。
      • $V_d \equ B_{d,\varepsilon}(x) \in {\mathbb V}_d^*(x)$ を任意に取る。
      • $\exi m \in {\mathbb N} \; 2 {\displaystyle \frac{1}{2^{m+1}}} \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
      • $y \in \prod\limits_{n = m+1}^{\infty} X_n \times \prod\limits_{n = 0}^m B_{n,\frac{\varepsilon}{4}}(x_n)$ を任意に取る。
      • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} d(x,y) & \equ & \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n,y_n) + \sum\limits_{n = m+1}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n,y_n) \\ & \lt & \sum\limits_{n = 0}^{m} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} \cdot {\displaystyle \frac{\varepsilon}{4}} + \sum\limits_{n = m+1}^{\infty} {\displaystyle \frac{1}{2^n}} \cdot 1 \\ & \equ & {\displaystyle \frac{\varepsilon}{4}} \cdot 2 \parenth{ 1 - {\displaystyle \frac{1}{2^{m+1}}} } + 2 {\displaystyle \frac{1}{2^{m+1}}} \\ & \lt & {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon \end{array}$ である。
      • よって、$\prod\limits_{n = m+1}^{\infty} X_n \times \prod\limits_{n = 0}^m B_{n,\frac{\varepsilon}{2}}(x_n) \subset B_{d,\varepsilon}(x)$ である。
    • $\all x \in X \; \all V_X \in {\mathbb V}_X^*(x) \; \exi V_d \in {\mathbb V}_d^*(x) \; V_d \subset V_X$ が成り立つ。
      • $V_X \equ \prod\limits_{n \in {\mathbb N} \backslash M} X_n \times \prod\limits_{n \in M} B_{n,\varepsilon}(x_n) \in {\mathbb V}_X^*(x) \;\parenth{ \varepsilon \in {\mathbb R}^+ {\rm かつ} {\mathbb N} \supset M {\rm は有限集合} }$ を任意に取る。
      • $\delta :\equiv \min\Set{ {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2^n}} }{ n \in M }$ と置く。
      • $y \in B_{d,\delta}(x)$ を任意に取る。
      • 任意の$n \in M$に対し、${\displaystyle \frac{1}{2^n}} d_n(x_n,y_n) \leq d(x,y) \lt \delta \leq {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2^n}}$ なので、
        $d_n(x_n,y_n) \lt \varepsilon$ つまり $y_n \in B_{n,\varepsilon}(x_n)$ である。
      • よって、$B_{d,\delta}(x) \subset \prod\limits_{n \in {\mathbb N} \backslash M} X_n \times \prod\limits_{n \in M} B_{n,\varepsilon}(x_n) \equ V_X$ である。
    • 以上より、${\cal O}_d \equ {\cal O}_X$ である。
  • 証明終
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$X {\rm はregularかつ第2可算} \Rightarrow^{AC} X {\rm は距離付け可能}$ が成り立つ。
  • 仮定[$X {\rm は第2可算}$]より、$\exi {\rm 可算}{\cal U} \subset {\cal O} \; {\cal U} {\rm は基底}$ である。
  • ${\cal W} :\equiv \Set{ (U,V) \in {\cal U} \times {\cal U} }{ \overline{U} \subset V }$ と定義する。
  • ${\cal U} \times {\cal U} {\rm は可算}$ なので ${\cal W} {\rm は可算}$ である。
  • ${\cal W} \equ \Set{ (U_n,V_n) }{ n \in {\mathbb N} }$ と表す。
  • $n \in {\mathbb N}$ に対し $F_n :\equiv \Set{ {\rm 連続写像} f : X \rightarrow [0,1] }{ \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} f(\overline{U_n}) \subset \{0\} & {\rm かつ} \\ f(X \backslash V_n) \subset \{1\} \end{array}\right. }$ と定義する。
  • 仮定と$T_3 {\rm 空間かつ第2可算ならば}T_4{\rm 空間}$より、$X {\rm は}T_4{\rm 空間}$ である。
  • 従って、Urysohnの補題$^{AC}$より、 $\all n \in {\mathbb N} \; F_n \nequ \phi$ である。
  • 従って、選択公理より、$\exi (f_n)_{n \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} F_n$ である。
  • $f : X \rightarrow [0,1]^{\mathbb N}, x \mapsto (f_n(x))_{n \in {\mathbb N}}$ と定義する。
  • $f : X \rightarrow f(X) {\rm は同相写像}$ が成り立つ。
    • ${\rm (i)}$$\all n \in {\mathbb N} \; f_n {\rm は連続写像}$ なので $f : X \rightarrow [0,1]^{\mathbb N} {\rm は連続写像}$ である。
    • 従って、$f : X \rightarrow f(X) {\rm は連続写像}$ である。
    • ${\rm (ii)}$
      $f {\rm は単射}$ が成り立つ。
      • $x, y \in X, x \nequ y$ を仮定する。
      • 仮定[$X {\rm はregular}$]より、$X {\rm はhausdorff}$ である。
      • 従って、${\cal U} {\rm は基底}$ より、 $x \in \exi V \in {\cal U} \; y \in \exi V^\prime \in {\cal U} \; V \cap V^\prime \equ \phi$ である。
      • 従って、仮定[$X {\rm は}T_3$]と${\cal U} {\rm は基底}$より、$x \in \exi U \in {\cal U} \; \overline{U} \subset V$ である。
      • $(U,V) \in {\cal W}$ なので $\exi m \in {\mathbb N} \; (U,V) \equ (U_m,V_m)$ である。
      • $f_m(x) \in f_m(\overline{U_m}) \subset \{0\}$ なので $f_m(x) \equ 0$ である。
      • $f_m(y) \in f_m(V^\prime) \subset f_m(X \backslash V_m) \subset \{1\}$ なので $f_m(y) \equ 1$ である。
      • 従って、$f_m(x) \nequ f_m(y)$ である。
      • よって、$f(x) \equ (f_n(x))_{n \in {\mathbb N}} \nequ (f_n(y))_{n \in {\mathbb N}} \equ f(y)$ である。
    • ${\rm (iii)}$
      $\all W \in {\cal O} \; f(W) \in {\cal O}_{f(X)}$ が成り立つ。
      • 閉包の記号は$[0,1]$における閉包として使う。
      • $f(W) \subset f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) }$ が成り立つ。
        • $x \in W$ を任意に取る。
        • ${\cal U} {\rm は基底}$ なので $x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset W$ である。
        • 仮定[$X {\rm は}T_3$]と${\cal U} {\rm は基底}$ より、$x \in \exi U \in {\cal U} \; \overline{ U } \subset V$ である。
        • $(U,V) \in {\cal W}$ なので $\exi m \in {\mathbb N} \; (U,V) \equ (U_m,V_m)$ である。
        • $\overline{ f_m(X \backslash W) } \subset \overline{ f_m(X \backslash V_m) } \subset \overline{ \{1\} } \equ \{1\}$ である。
        • $f_m(x) \in f_m(\overline{ U_m }) \subset \{0\}$ なので $f_m(x) \equ 0$ である。
        • 従って、$f_m(x) \not\in \overline{ f_m(X \backslash W) }$ である。
        • 従って、$f(x) \equ (f_n(x))_{n \in {\mathbb N}} \not\in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} \overline{ f_n(X \backslash W) }$ である。
        • 一方、$f(X \backslash W) \subset \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} f_n(X \backslash W)$ なので、
          $\overline{ f(X \backslash W) } \subset \overline{ \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} f_n(X \backslash W) }$ $\equ$ 復習:開集合系の基底、直積位相、基本近傍系
          の直積空間における閉包の分配$^{AC}$
          $\prod\limits_{n \in {\mathbb N}} \overline{ f_n(X \backslash W) }$ である。
        • 以上より、$f(x) \not\in \overline{ f(X \backslash W) }$ である。
        • よって、$f(x) \in f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) }$ である。
      • 一方、$f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) } \subset f(X) \backslash f(X \backslash W)$ $\equ$ ${\rm (ii)}$より $f( X \backslash ( X \backslash W ) ) \equ f(W)$ である。
      • よって、$f(W) \equ f(X) \backslash \overline{ f(X \backslash W) } \in {\cal O}_{f(X)}$ である。
    • 以上より、$f : X \rightarrow f(X) {\rm は同相写像}$ である。
  • 上記命題より $[0,1]^{\mathbb N} {\rm は距離付け可能}$ なので、その部分空間$f(X) {\rm は距離付け可能}$ である。
  • 以上より、$X {\rm は距離付け可能}$ である。
  • 証明終

Compact、点列Compact、完備かつ全有界の同値性

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ} :\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O} \; \parenth{ {\cal U} {\rm は被覆} \Rightarrow \exi {\rm 可算} {\cal V} \subset {\cal U} \; {\cal V} {\rm は被覆} }$

$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は可分} \Rightarrow X {\rm は第2可算}$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ に対し $B_{\varepsilon} : X \rightarrow {\cal O}_d, x \mapsto \Set{ y \in X }{ d(y,x) \lt \varepsilon }$ と定義する。
  • 仮定より、$\exi {\rm 可算} A \subset X \; \overline{A} \equ X$ である。
  • ${\cal U} :\equiv \Set{ B_r(a) }{ (r,a) \in {\mathbb Q}^+ \times A } \;\parenth{ \subset {\cal O}_d }$ と置く。
  • ${\cal U}$ が求めるものであることを示す。
  • ${\mathbb Q}^+, A {\rm は可算}$ なので ${\mathbb Q}^+ \times A {\rm は可算}$ である。従って、${\cal U} {\rm は可算}$ である。
  • $x \in X, \varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • $x \in X \equ \overline{A}$ なので $\exi a \in A \cap B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ である。
  • $\exi r \in {\mathbb Q}^+ \; d(a,x) \lt r \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  • 従って、$x \in B_r(a) \in {\cal U}$ である。
  • また、$\all y \in X \;\parenth{ d(y,a) \lt r \Rightarrow d(y,x) \leq d(y,a) + d(a,x) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon }$ なので、
    $B_r(a) \subset B_{\varepsilon}(x)$ である。
  • よって、${\cal U} {\rm は可算かつ基底}$ である。
$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$X {\rm は第2可算} \Rightarrow^{AC} X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\exi {\rm 可算}{\cal W} \subset {\cal O} \; {\cal W} {\rm は基底}$ である。
  • ${\cal U} \subset {\cal O}$ を任意に取り、${\cal U} {\rm は被覆}$ を仮定する。
  • $F : {\cal W} \rightarrow {\frak P}({\cal U}), W \mapsto \Set{ U \in {\cal U} }{ W \subset U }$ と定義する。
    ${\cal W}^\prime :\equiv \Set{ W \in {\cal W} }{ F(W) \nequ \phi }$ と定義する。
  • 選択公理より、$\exi f \in \prod\limits_{W \in {\cal W}^\prime} F(W)$ である。
  • ${\cal V} :\equiv \Set{ f(W) }{ W \in {\cal W}^\prime } \;\parenth{ \subset {\cal U} }$ と置く。
  • ${\rm (i)}$${\cal W} {\rm は可算}$ なので ${\cal W}^\prime \;\parenth{ \subset {\cal W} } {\rm は可算}$ である。
  • 従って、$全射:{\cal W}^\prime \rightarrow {\cal V}, W \mapsto f(W)$ より、${\cal V} {\rm は可算}$ である。
  • ${\rm (ii)}$$x \in X$ を任意に取る。
  • $x \in \exi U \in {\cal U}$ である。従って、$x \in \exi W \in {\cal W} \; W \subset U$ である。
  • 従って、$U \in F(W)$ である。従って、$W \in {\cal W}^\prime$ である。従って、$W \subset f(W)$ である。
  • 従って、$x \in W \subset f(W) \subset \bigcup {\cal V}$ である。
  • よって、${\cal V} {\rm は被覆}$ である。
証明終


$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は点列compact} :\Leftrightarrow \all x \in X^{\mathbb N} \; \exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$

$(X, d)$ を距離空間とする。
$a \in X$ とする。
$\all x \in X^{\mathbb N} \;\bracket{ \parenth{ x {\rm はcauchy列} \land \exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は}a{\rm に収束} } \Rightarrow x {\rm は}a{\rm に収束} }$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • 仮定[$x {\rm はcauchy列}$]より、$\exi N_0 \in {\mathbb N} \; N_0 \leq \all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \; d(x(n_0),x(n_1)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  • 仮定[$(x \circ m) {\rm は}a{\rm に収束}$]より、$\exi N_1 \in {\mathbb N} \; N_1 \leq \all n \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n), a ) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  • $\max\{N_0,N_1\} \leq n \in {\mathbb N}$ を仮定する。
  • $m {\rm は狭義単調増加}$ なので $N_0 \leq n \leq m(n)$ である。
  • $d(x(n),a) \leq d( x(n),(x \circ m)(n) ) + d( (x \circ m)(n),a ) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \equ \varepsilon$ である。
証明終
$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は点列compact} \Leftrightarrow^{AC} X {\rm は有限集合} \lor \all {\rm 無限集合} A \subset X \; \exi x \in X \; x \in \overline{ A \backslash \{x\} }$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ に対し $B_{\varepsilon} : X \rightarrow {\cal O}_d, a \mapsto \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon }$ と置く。
  • $\Rightarrow$$X {\rm は有限集合ではない}$ と仮定し、${\rm 無限集合} A \subset X$ を任意に取る。
  • $\aleph_0 \leq |A|$ と選択公理より、$\exi x \in A^{\mathbb N} \; x {\rm は単射}$ である。
  • 仮定[$X {\rm は点列compact}$]より、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$ である。
  • $a :\equiv \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (x \circ m)(n) \;( \in X )$ と置く。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • $\exi N \in {\mathbb N} \; N \leq \all n \in {\mathbb N} \; (x \circ m)(n) \in B_{\varepsilon}(a)$ である。
  • 従って、$\phi$ $\nequ$ $x, m {\rm 従って}$
    $(x \circ m) {\rm は単射}$
    $\{ (x \circ m)(N), (x \circ m)(N+1) \} \backslash \{x\} \subset B_{\varepsilon}(a) \cap \parenth{ A \backslash \{a\} }$ である。
  • よって、$a \in \overline{A \backslash \{a\}}$ である。
  • $\Leftarrow$$x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
  • $x({\mathbb N}) {\rm は有限集合}$ の場合:
    • この場合、$\exi k \in {\mathbb N} \; \Set{ n \in {\mathbb N} }{ x(n) \equ x(k) } {\rm は無限集合}$ である。
    • $n \in {\mathbb N}$ に対して $m(n) :\equiv \min \Set{ n^\prime \in {\mathbb N} }{ x(n^\prime) \equ x(k) } \backslash \{m(0), \cdots, m(n-1)\}$ と定義する。
    • 定義より、$m {\rm は狭義単調増加}$ かつ $\all n \in {\mathbb N} \; (x \circ m)(n) \equ x(k)$ である。
  • $x({\mathbb N}) {\rm は無限集合}$ の場合:
    • この場合、$X {\rm は有限集合ではない}$ なので仮定より、$\exi a \in X \; a \in \overline{x({\mathbb N}) \backslash \{a\}}$ である。
    • 従って、$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; B_{\epsilon}(a) \cap \parenth{ x({\mathbb N}) \backslash \{a\} } \nequ \phi$ である。
    • 従って、$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \Set{ k \in {\mathbb N} }{ 0 \lt d(x(k),a) \lt \varepsilon } \nequ \phi$ である。
    • $f : {\mathbb R}^+ \rightarrow {\mathbb N}, \varepsilon \mapsto \min\Set{ k \in {\mathbb N} }{ 0 \lt d(x(k),a) \lt \varepsilon }$ と定義する。
    • $m(0) :\equ f(1)$ と定義する。
      $n \in {\mathbb N}$ に対し $m(n)$ が定義され、$0 \lt d(x(m(n)),a)$ を満たす時、
      $m(n+1) :\equiv f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n),a)}{2}} }$ と定義すると、
      $0 \lt d(x(m(n+1)),a)$ なので矛盾無く帰納的に数列$m$を定義出来る。
    • $m {\rm は狭義単調増加}$ が成り立つ。
      • $f$の定義より、$\all \varepsilon_0, \varepsilon_1 \in {\mathbb R}^+ \parenth{ \varepsilon_0 \lt \varepsilon_1 \Rightarrow f(\varepsilon_1) \leq f(\varepsilon_0) }$ である。
      • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
      • ${\displaystyle \frac{d(x(m(n)),a)}{2}} \lt d(x(m(n)),a)$ $\lt$ $m(n) \equ f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n-1),a)}{2}} }$より ${\displaystyle \frac{d(x(m(n-1)),a)}{2}}$ である。
        ただし、$n \equ 0$ の場合は、${\displaystyle \frac{d(x(m(-1)),a)}{2}} \equ 1$ と見なす。
      • 従って、$m(n) \equ f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n-1)),a)}{2}} } \leq f\parenth{ {\displaystyle \frac{d(x(m(n)),a)}{2}} } \equ m(n+1)$ である。
      • 一方、$d(x(m(n+1)),a) \lt {\displaystyle \frac{d(x(m(n)),a)}{2}}$ なので、$m(n) \nequ m(n+1)$ である。
      • よって、$m(n) \lt m(n+1)$ である。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n), a ) \lt {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ なので、$(x \circ m) {\rm は}a{\rm に収束}$ である。
証明終
$(X, d)$ を距離空間とする。
以下は同値である:
  1. $X {\rm はcompact}$ である。
  2. $X {\rm は点列compact}$ である。
  3. $X {\rm は完備かつ全有界}$ である。
[証明]
  • ${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ (1) \ar@2{->}[r]^-{[1]} & (2) \ar@2{->}[r]^-{[2]^{AC}} & (3) \ar@2{->} `d/0pt[d] `/0pt[dll]_-{[3]^{AC}} [ll] \\ & & }\end{xy}}}$ の順で証明する。
  • $[1]$上記命題の$\Leftarrow$によって示す。
  • ${\rm 無限集合} A \subset X$ を任意に取る。
  • $\all {\rm 有限集合} Y \subset X \; \bigcap\limits_{y \in Y} A \backslash \{y\} \equ A \backslash \bigcup\limits_{y \in Y} \{y\} \equ A \backslash Y$ $\nequ$ $A {\rm は無限集合}$ より $\phi$ である。
  • 従って、仮定[$A {\rm はcompact}$]より、$\bigcap\limits_{y \in X} \overline{ A \backslash \{y\} } \nequ \phi$ である。
  • 従って、$\exi x \in \bigcap\limits_{y \in X} \overline{ A \backslash \{y\} }$ である。 従って、$\all y \in X \; x \in \overline{ A \backslash \{y\} }$ である。
  • よって、$x \in \overline{ A \backslash \{x\} }$ である。
  • $[2]$${\rm (i)}$ $\;{\rm cauchy列} x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
  • 仮定[$X {\rm は点列compact}$]より、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$ である。
  • 従って、上記命題$^{AC}$ より、$x {\rm は収束}$ である。
  • よって、$X {\rm は完備}$ である。
  • ${\rm (ii)}$$x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
  • 仮定[$X {\rm は点列compact}$]より、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm は収束}$ である。
  • 従って、$(x \circ m) {\rm はcauchy列}$ である。
  • よって、全有界について多少の命題$^{AC}$より、$X {\rm は全有界}$ である。
  • $[3]$
    $X {\rm は点列compact}$ が成り立つ。
    • $x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
    • 仮定[$X {\rm は全有界}$]と全有界について多少の命題$^{AC}$より、
      $\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (x \circ m) {\rm はcauchy列}$ である。
    • 従って、仮定[$X {\rm は完備}$]より、$(x \circ m) {\rm は収束}$ である。
  • 仮定[$X {\rm は全有界}$]と全有界について多少の命題$^{AC}$より、$X {\rm は可分}$ である。
    従って、$X {\rm は第2可算}$ であり、従って、$X {\rm はLindel\ddot{o}fの性質を持つ}$ である。
  • 従って、可算被覆について証明を完了すればよい。
  • $\parenth{ {\cal O}_d \supset } {\cal U} {\rm は可算かつ被覆}$ であると仮定する。
    ${\cal U} \equ \Set{ U_n }{ n \in {\mathbb N} }$ と表しておく。
  • $\exi n \in {\mathbb N} \; X \equ \bigcup\limits_{k = 0}^n U_n$ が成り立つ。
    • [背理法]$\all n \in {\mathbb N} \; \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k \subsetneq X$ と仮定する。
    • $n \in {\mathbb N}$ に対し $A_n :\equiv X \backslash \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k$ と置く。
    • $\all n \in {\mathbb N} \; A_n \nequ \phi$ なので $\exi (a_n)_{n \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n$ である。
    • Xは点列compactより、$\exi {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (a \circ m) {\rm は収束}$ である。
    • $a :\equiv \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (a \circ m)(n) \;\parenth{ \in X }$ と置く。
    • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
    • $(A_k)_{k \in {\mathbb N}} {\rm は単調減少列}$ なので $n \leq \all k \in {\mathbb N} \; (a \circ m)(k) \in A_{m(k)}$ $\subset$ $k \leq m(k)$ $A_k \subset A_n$ である。
    • 従って、$\varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; A_n \cap \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon } \nequ \phi$ である。
    • 従って、$a \in \overline{ A_n } \equ A_n$ である。
    • 従って、$a \in \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n \equ \bigcap\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ X \backslash \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k } \equ X \backslash \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \bigcup\limits_{k = 0}^n U_k \equ X \backslash \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} U_n \equ \phi$ である。
    • よって、矛盾が導かれた。
  • よって、$X {\rm はcompact}$ である。
証明終

全有界について多少の命題

$(X, d)$ を距離空間とする。
${\rm diam} {\rm \ or \ } {\rm diam}_X : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow [0,\infty], S \mapsto {\rm sup}\Set{ d(x,y) }{ x,y \in S }$
$X {\rm はtotally \ bounded(全有界)}$ $:\Leftrightarrow$  
$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon \end{array}\right.$

$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。
$f : X \rightarrow Y$ を一様連続かつ全射とする。
$X {\rm は全有界} \Rightarrow Y {\rm は全有界}$ が成り立つ。
  • $\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • 仮定[$f {\rm は一様連続}$]より、$\exi \delta \in {\mathbb R}^+ \; \all x_0,x_1 \in X \;\parenth{ d_X(x_0,x_1) \lt \delta \Rightarrow d_Y(f(x_0),f(x_1)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} }$ である。
  • 仮定[$X {\rm は全有界}$]より、$\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}_X(S) \lt \delta \end{array}\right.$ である。
  • $\Set{ f(S) }{ S \in {\cal S} }$ が求めるものであることを示す。
  • $\Set{ f(S) }{ S \in {\cal S} } {\rm は有限集合}$ である。
  • $Y$ $\equ$ 仮定[$f {\rm は全射}$]より $f(X) \equ f(\bigcup {\cal S}) \equ \bigcup \Set{ f(S) }{ S \in {\cal S} }$ である。
  • $S \in {\cal S}$ を任意に取る。
  • $\all x_0, x_1 \in S \; d_X(x_0, x_1) \leq {\rm diam}_X(S) \lt \delta$ である。
  • 従って、fの一様連続性より、$\all x_0, x_1 \in S \; d_Y(f(x_0), f(x_1)) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}$ である。
  • よって、${\rm diam}_Y(S) \leq {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} \lt \varepsilon$ である。
証明終
$(X, d)$ を距離空間とする。
$X {\rm は全有界} \Leftrightarrow \all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x,A) \lt \varepsilon$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$仮定[$X {\rm は全有界}$]より、 $\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
  • $(a_S)_{S \in {\cal S}} \in \prod\limits_{S \in {\cal S}} S$ を1つ取り、$A :\equiv \Set{ a_S }{ S \in {\cal S} }$ と置く。
  • 任意の$x \in X$に対して、$S \in {\cal S}$が存在して、$x, a_S \in S$なので、
    $d(x, A) \leq d(x, a_S) \leq {\rm diam}(S) \lt \varepsilon$ である。
  • $\Leftarrow$$\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • $\varepsilon_0 \in \parenth{ 0, {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}}}$ を1つ取って固定する。
  • 仮定より、$\exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x,A) \lt \varepsilon_0$ が成り立つ。
  • $B : X \rightarrow {\cal O}_d, a \mapsto \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon_0 }$ と置く。
  • $B(A) (\subset {\cal O})$ が求めるものであることを示す。
  • $\all a \in A \; {\rm diam}(B(a)) \leq 2\varepsilon_0 \lt \varepsilon$ である。
  • $x \in X$ を任意に取る。
  • $A {\rm は有限集合}$ なので $\exi a \in A \; d(x, a) \equ d(x, A) \lt \varepsilon_0$ である。
  • 従って、$x \in B(a) \subset \bigcup B(A)$ である。
$X {\rm は全有界} \Rightarrow^{AC} X {\rm は可分}$ が成り立つ。
  • 仮定より、$\all \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \; \exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x,A) \lt \varepsilon$ である。
  • 従って、選択公理より、$\exi (A_n)_{n \in {\mathbb N}} \in {\frak P}(X)^{\mathbb N} \; \all n \in {\mathbb N} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} A_n {\rm は有限集合} & {\rm かつ} \\ \all x \in X \; d(x, A_n) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}} & \end{array}\right.$ である。
  • $A :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} A_n$ と置く。
  • $\all n \in {\mathbb N} \; |A_n| \lt \aleph_0$ なので $|A| \leq |{\mathbb N}| \cdot \aleph_0 \equ \aleph_0$ つまり $A {\rm は可算}$ である。
  • $x \in X$ を任意に取る。
  • $\all n \in {\mathbb N} \; d(x,A) \leq d(x,A_n) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ である。
  • 従って、$d(x,A) \equ 0$ である。よって、$x \in \overline{A}$ である。
$X {\rm は全有界} \ ^{AC}\Leftrightarrow^{AC} \all x \in X^{\mathbb N} \; \exi {狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; x \circ m {\rm はcauchy列}$ が成り立つ。
  • $\Rightarrow$$(x, \varepsilon) \in X^{\mathbb N} \times {\mathbb R}^+$ に対し、
    $M(x, \varepsilon) :\equiv \Set{ m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} }{\;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} m {\rm は狭義単調増加} & {\rm かつ} \\ \all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n_0), (x \circ m)(n_1) ) \lt \varepsilon & \end{array}\right.}$ と置く。
  • $\all (x, \varepsilon) \in X^{\mathbb N} \times {\mathbb R}^+ \; M(x, \varepsilon) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • 仮定[$X {\rm は全有界}$]より、$\exi {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \equ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
    • $S \in {\cal S}$ に対し $N_S :\equiv \Set{ n \in {\mathbb N} }{ x_n \in S }$ と置く。
    • $X \equ \bigcup {\cal S}$ より ${\mathbb N} \equ \bigcup\limits_{S \in {\cal S}} N_S$ である。
    • 従って、${\cal S} {\rm は有限集合}$ より、$\exi S \in {\cal S} \; |N_S| \equ \aleph_0$ である。
    • $m(n) :\equiv \min N_S \backslash \Set{ m(k) }{ k \lt n } \;\parenth{ n \in {\mathbb N} }$ と定義する。
    • $m {\rm は狭義単調増加}$ である。
    • $\all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \; d( (x \circ m)(n_0),(x \circ m)(n_1) ) \leq {\rm diam}(S) \lt \varepsilon$ である。
    • よって、$m \in M(x, \varepsilon)$ である。
  • 従って、選択公理より、$f \in \prod\limits_{(x, \varepsilon) \in X^{\mathbb N} \times {\mathbb R}^+} M(x, \varepsilon)$ を取れる。
  • $x \in X^{\mathbb N}$ を任意に取る。
  • $m_0 :\equiv id_{\mathbb N} : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ と置く。
  • $k \in {\mathbb N}$ に対し、$m_0, \cdots, m_k$ が定義された時、
    $m_{k+1} :\equiv f\parenth{ (x \circ m_0 \circ \cdots \circ m_k), {\displaystyle \frac{1}{k+1}} }$ と定義する。
  • $m : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}, n \mapsto (m_0 \circ \cdots \circ m_n)(n)$ と定義する。
  • この$m$が求めるものであることを示す。
  • $m {\rm は狭義単調増加}$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
    • $m_{n+1} {\rm は狭義単調増加}$ なので $n \lt n+1 \leq m_{n+1}(n+1)$ である。
    • 狭義単調増加な写像の合成はまた狭義単調増加なので、$m_0 \circ \cdots \circ m_n {\rm は狭義単調増加}$ である。
    • これらより、$m(n) \equ (m_0 \circ \cdots \circ m_n)(n) \lt (m_0 \circ \cdots \circ m_n)(m_{n+1}(n+1))$
      $\equ (m_0 \circ \cdots \circ m_n \circ m_{n+1})(n+1) \equ m(n+1)$ である。
  • $x \circ m {\rm はcauchy列}$ が成り立つ。
    • $n \in {\mathbb N}$ を任意に取り、$n_0, n_1 \in {\mathbb N}$ を任意に取り、$n+2 \leq n_0, n_1$ を仮定する。
    • $N_0 :\equiv (m_{n+2} \circ \cdots \circ m_{n_0})(n_0),N_1 :\equiv (m_{n+2} \circ \cdots \circ m_{n_1})(n_1) \in {\mathbb N}$ と置く。
    • $d( (x \circ m)(n_0), (x \circ m)(n_1) ) \equ$
      $d( (x \circ m_0 \cdots \circ m_n \circ m_{n+1})(N_0), (x \circ m_0 \cdots \circ m_n \circ m_{n+1})(N_1) ) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ である。
    • よって、$\lim\limits_{n_0, n_1 \rightarrow \infty} d( (x \circ m)(n_0), (x \circ m)(n_1) ) \equ 0$ である。
  • $\Leftarrow$[対偶法]$X {\rm は全有界でない}$ と仮定する。
  • $\exi \varepsilon \in {\mathbb R}^+ \all {\rm 有限集合} {\cal S} \subset {\frak P}(X) \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} X \nequ \bigcup {\cal S} & {\rm かつ} \\ \neg \all S \in {\cal S} \; {\rm diam}(S) \lt \varepsilon & \end{array}\right.$ である。
  • $\varepsilon_0 \in \parenth{ 0, {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}} }$ を1つ取って固定する。
  • ${\rm Fin}(X) :\equiv \Set{ A \subset X }{ A {\rm は有限集合} }$,
    $B : X \rightarrow {\cal O}_d, a \mapsto \Set{ x \in X }{ d(x,a) \lt \varepsilon_0 }$ と置く。
  • $\all A \in {\rm Fin}(X) \; X \backslash \bigcup B(A) \nequ \phi$ が成り立つ。
    • $\all a \in A \; {\rm diam}(B(a)) \leq 2 \varepsilon_0 \lt \varepsilon$ である。
    • 従って、eの下ではe-被覆を取り得ないより、$X \nequ \bigcup B(A)$ である。
  • 従って、選択公理より、$\exi f \in \prod\limits_{A \in {\rm Fin}(X)} X \backslash \bigcup B(A)$ である。
  • $a(0) \in X$ を1つ取って固定し、$n \in {\mathbb N}$ に対して $a(0), \cdots, a(n)$ が定まった時、
    $a(n+1) :\equiv f(\{a(0), \cdots, a(n)\})$ と定義する。
  • $\all n_0, n_1 \in {\mathbb N} \;\parenth{ n_0 \nequ n_1 \Rightarrow d(a(n_0), a(n_1)) \geq \varepsilon_0 }$ が成り立つ。
    • $n_0 \gt n_1$ と仮定してよい。
    • $a(n_0) \equ f(\{a(0), \cdots, a(n_0-1)\}) \in X \backslash \bigcup B(\{a(0), \cdots, a(n_0-1)\}) \subset X \backslash B(a(n_1))$ である。
    • 従って、$d(a(n_0), a(n_1)) \geq \varepsilon_0$ である。
  • 従って、$\all {\rm 狭義単調増加} m \in {\mathbb N}^{\mathbb N} \; (a \circ m) {\rm はcauchy列ではない}$ である。
証明終
$(X, d_X), (Y, d_Y)$ を距離空間とする。
$X \nequ \phi, Y \nequ \phi$ とする。
$X, Y {\rm は全有界} \Leftrightarrow X \times Y {\rm は全有界}$ である。
  • $\Rightarrow$$\varepsilon \in {\mathbb R}^+$ を任意に取る。
  • 仮定より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi {\rm 有限集合} A \subset X \; \all x \in X \; d(x, A) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{\sqrt 2}} & {\rm かつ} \\ \exi {\rm 有限集合} B \subset Y \; \all y \in Y \; d(y, B) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{\sqrt 2}} & \end{array}\right.$ である。
  • $A \times B \;( \subset X \times Y ) {\rm は有限集合}$ である。
  • $(x,y) \in X \times Y$ を任意に取る。
  • $A, B {\rm は有限集合}$ なので、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi a \in A \; d(x,a) \equ d(x,A) & {\rm かつ} \\ \exi b \in B \; d(y,b) \equ d(y,B) \end{array}\right.$ である。
  • $\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} d_{X \times Y}( (x,y), A \times B ) & \leq & d_{X \times Y}( (x,y), (a,b) ) \\ & \equ & \sqrt{ d_X(x,a)^2 + d_Y(y,b)^2 } \\ & \equ & \sqrt{ d_X(x,A)^2 + d_Y(y,Y)^2 } \\ & \lt & \sqrt{ {\displaystyle \frac{\varepsilon^2}{2}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon^2}{2}} } \equ \varepsilon \end{array}$ である。
  • $\Leftarrow$$X$について全有界を示せば、$Y$については同様である。
  • $pr_1 : X \times Y \rightarrow X$ を第1射影とする。
  • $pr_1$は明らかに全射である($X,Y \nequ \phi$なる仮定はここで使う)。
  • 任意の $(x_0,y_0),(x_1,y_1) \in X \times Y$ に対して、
    $d_X(pr_1(x_0,y_0),pr_1(x_1,y_1)) \equ d_X(x_0,x_1) \leq d_{X \times Y}( (x_0,y_0), (x_1,y_1) )$ である。
  • 従って、$pr_1$は一様連続である。