距離空間の完備化
$(X,d)$ を距離空間とする。
$\exi {\rm 距離空間}(X^*,d^*) \; \exi f:X \rightarrow X^* \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & (X^*,d^*) {\rm はcomplete} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii)} & f {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ {\rm (iii)} & \overline{f(X)} \equ X^* \end{array}\right.$ が成り立つ。
- ${\rm Cauchy}(X) :\equiv \Set{ x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} }{ x {\rm はcauchy列} }$ と定義する。
$\all x, y \in {\rm Cauchy}(X) \; (d(x_n,y_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm は収束}$ が成り立つ。
- $\all m, n \in {\mathbb N} \; \left| d(x_m,y_m) - d(x_n,y_n) \right| \leq \cdots \leq d(x_m,x_n) + d(y_m,y_n)$ である。
- 従って、$(d(x_n,y_n))_{n \in {\mathbb N}}$ は、(${\mathbb R}$の)${\rm cauchy列}$である。
- ${\mathbb R}$は${\rm complete}$なので、$(d(x_n,y_n))_{n \in {\mathbb N}}$は収束する。
- $R :\equiv \Set{ (x,y) \in {\rm Cauchy}(X) \times {\rm Cauchy}(X) }{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \equ 0 }$ と置く。
- 明らかに、$R$は同値関係である。
- $X^* :\equiv {\rm Cauchy}(X) / R$ と置く。
- $q : {\rm Cauchy}(X) \rightarrow X^*$ を商写像とする。
写像$d^* : X^* \times X^* \rightarrow {\mathbb R}, (q(x), q(y)) \mapsto \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n, y_n)$ を定義することが出来る。
- $(q(x^i),q(y^i)) \in X^* \times X^* \;(i=0,1)$ とし、 $q(x^0) \equ q(x^1)$ かつ $q(y^0) \equ q(y^1)$ と仮定する。
(注意：ここでの$^0,^1$は添え字であって冪乗ではない。) - $\all n \in {\mathbb N} \; d(x_n^0,y_n^0) \leq d(x_n^0,x_n^1) + d(x_n^1,y_n^1) + d(y_n^1,y_n^0)$ である。
- 従って、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^0,y_n^0) \leq 0 + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^1,y_n^1) + 0$ である。
- 同様に、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^1,y_n^1) \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^0,y_n^0)$ である。
- よって、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^0,y_n^0) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^1,y_n^1)$ である。
- $(q(x^i),q(y^i)) \in X^* \times X^* \;(i=0,1)$ とし、 $q(x^0) \equ q(x^1)$ かつ $q(y^0) \equ q(y^1)$ と仮定する。
$d^* {\rm は} X^* {\rm の距離}$ が成り立つ。
- $q(x), q(y), q(z) \in X^*$ を任意に取る。
- (i)$d^*(q(x),q(y)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \geq 0$ である。
- (ii)$d^*(q(x),q(y)) \equ 0 \Leftrightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \equ 0 \Leftrightarrow (x,y) \in R \Leftrightarrow q(x) \equ q(y)$ である。
- (iii)$d^*(q(x),q(y)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(y_n,x_n) \equ d^*(q(y),q(x))$ である。
- (iv)$d^*(q(x),q(z)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,z_n) \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(y_n,z_n)$
$\equ d^*(q(x),q(y)) + d^*(q(y),q(z))$ である。
- $f : X \rightarrow X^*, x \mapsto q( (x)_{n \in {\mathbb N}} )$ と定義する。
- (ii)明らかに、 $\all x, y \in X \; d^*(f(x),f(y)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x,y) \equ d(x,y)$ である。
$\all x \equ (x_m)_{m \in {\mathbb N}} \in {\rm Cauchy}(X) \; \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d^*(q(x),f(x_n)) \equ 0$ が成り立つ。
- $0 \lt \varepsilon \in {\mathbb R}$ を任意に取る。
- $x \in {\rm Cauchy}(X)$ なので、 $\exi k \in {\mathbb N} \; k \leq \all m, n \in {\mathbb N} \; d(x_m, x_n) \lt \varepsilon$ である。
- 従って、 $k \leq \all n \in {\mathbb N} \; d^*(q(x),f(x_n)) \equ \lim\limits_{m \rightarrow \infty} d(x_m,x_n) \leq \varepsilon$ である
- これは、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d^*(q(x),f(x_n)) \equ 0$ という意味である。
- (iii)cauchy点列自体が持つ性質より、 $\all q(x) \in X^* \exi (y_n^*)_{n \in {\mathbb N}} \in (f(X))^{\mathbb N} \; q(x) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} y_n^*$ である。
- 従って、$X^* \subset \overline{f(X)}$ である。
- (i)$x^* \equ (x^*_n)_{n \in {\mathbb N}} \in (X^*)^{\mathbb N}$ を任意に取り、 $x^* {\rm はcauchy列}$ であると仮定する。
- ${\rm (iii)}$より、 $\all m \in {\mathbb N} \; x_m^* \in \overline{f(X)}$ である。
- 従って、 $\all m \in {\mathbb N} \; \Set{ a \in X }{ d^*(x_m^*, f(a)) \lt {\displaystyle \frac{1}{m+1}} } \nequ \phi$ である。
- 従って、選択公理より、$\exi x \equ (x_m)_{m \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{m \in {\mathbb N}} \Set{ a \in X }{ d^*(x_m^*, f(a)) \lt {\displaystyle \frac{1}{m+1}} }$ である。
$x \in {\rm Cauchy}(X)$ が成り立つ。
- $0 \lt \varepsilon \in {\mathbb R}$ を任意に取る。
- $\exi N_0 \in {\mathbb N} \; N_0 \leq \all m, n \in {\mathbb N} \; d^*(x_m^*,x_n^*) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}}$ である。
- $\exi N_1 \in {\mathbb N} \; {\displaystyle \frac{1}{N+1}} \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}}$ である。
- $\max\{N_0,N_1\} \leq m, n \in {\mathbb N}$ なる$m,n$を任意に取る。
- $d(x_m,x_n) \equ d^*(f(x_m),f(x_n)) \leq d^*(f(x_m),x_m^*) + d^*(x_m^*,x_n^*) + d^*(x_n^*,f(x_n))$
$\qquad \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}} \equ \varepsilon$ である。
- $\all n \in {\mathbb N} \; d^*(x_n^*,q(x)) \leq d^*(x_n^*,f(x_n)) + d^*(f(x_n),q(x))$ $\xrightarrow{n \rightarrow \infty}$ $x$の取り方と
cauchy点列自体が持つ性質より $0 + 0 \equ 0$ である。 - 従って、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d^*(x_n^*,q(x)) \equ 0$ である。
- これは、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n^* \equ q(x)$ という意味である。
$\all {\rm 距離空間}(Y_i, d_i) \; \all g_i : X \rightarrow Y_i \;(i \equ 0,1) \\ \bracket{ g_0, g_1 {\rm は(1)の(i) \sim (iii)を満たす} \Rightarrow^{AC} \exi {\rm 可逆写像}h : Y_0 \rightarrow Y_1 \; \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} h {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ g_1 \equ h \circ g_0 & \end{array}\right. }$ が成り立つ。
- $h :\equiv \Set{ (y_0, y_1) \in Y_0 \times Y_1 }{ \exi x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} \bracket{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x_n), y_i) \equ 0 \;(i \equ 0,1) } }$ と置く。
- この$h$が求めるものであることを示す。
$\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & \all y_0 \in Y_0 \exi y_1 \in Y_1 \; (y_0,y_1) \in h \\ {\rm (ii)}^{AC} & \all y_1 \in Y_1 \exi y_0 \in Y_0 \; (y_0,y_1) \in h \\ {\rm (iii)} & \all (y_0,y_1),(y_0^\prime,y_1^\prime) \in h \; d_0(y_0,y_0^\prime) \equ d_1(y_1,y_1^\prime) \\ {\rm (iv)} & \all y_0 \in Y_0 \all y_1,y_1^\prime \in Y_1 \;\parenth{ (y_0,y_1),(y_0,y_1^\prime) \in h \Rightarrow y_1 \equ y_1^\prime } \\ {\rm (v)} & \all y_0,y_0^\prime \in Y_0 \all y_1 \in Y_1 \;\parenth{ (y_0,y_1),(y_0^\prime,y_1) \in h \Rightarrow y_0 \equ y_0^\prime } \\ \end{array}$ が成り立つ。
- ${\rm (i)}$$y_0 \in Y_0 \equ \overline{g_0(X)}$ なので、 $\all n \in {\mathbb N} \; g_0(X) \cap \Set{ y \in Y_0 }{ d_0(y,y_0) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}} } \nequ \phi$ である。
- 従って、選択公理より、$\exi x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} \Set{ a \in X }{ d_0(g_0(a),y_0) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}} }$ である。
- $\all n \in {\mathbb N} \; d_0(g_0(x_n),y_0) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ なので、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_0(g_0(x_n),y_0) \equ 0$ である。
$(g_1(x_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm は収束}$ が成り立つ。
- 任意の$m, n \in {\mathbb N}$に対して以下である：
$d_1(g_1(x_m),g_1(x_n)) \equ d(x_m,x_n) \equ d_0(g_0(x_m),g_0(x_n)) \leq d_0(g_0(x_m),y_0) + d_0(y_0,g_0(x_n))$ - 従って、$\lim\limits_{m,n \rightarrow \infty} d_1(g_1(x_m),g_1(x_n)) \equ 0$ である。
- 従って、$(g_1(x_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm はcauchy列}$ である。
- よって、$(g_1(x_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm は収束}$ する。
- 任意の$m, n \in {\mathbb N}$に対して以下である：
- 従って、$\parenth{y_0,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} g_1(x_n)} \in h$ である。
- ${\rm (ii)}$${\rm (i)}$と同様である。
- ${\rm (iii)}$$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} \bracket{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x_n), y_i) \equ 0 \;(i \equ 0,1) } & {\rm かつ} \\ \exi x^\prime \equ (x_n^\prime)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} \bracket{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x_n^\prime), y_i^\prime) \equ 0 \;(i \equ 0,1) } & \end{array}\right.$ である。
- $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
- $d_0(y_0,y_0^\prime) \leq d_0(y_0,g_0(x_n)) + \underline{d_0(g_0(x_n),g_0(x_n^\prime))} + d_0(g_0(x_n^\prime),y_0^\prime)$ である。
- $\underline{d_0(g_0(x_n),g_0(x_n^\prime))} \equ d(x_n,x_n^\prime) \equ d_1(g_1(x_n),g_1(x_n^\prime))$
$\leq d_1(g_1(x_n),y_1) + d_1(y_1,y_1^\prime) + d_1(y_1^\prime,g_1(x_n^\prime))$ である。 - 従って、$d_0(y_0,y_0^\prime) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_0(y_0,y_0^\prime) \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_1(y_1,y_1^\prime) \equ d_1(y_1,y_1^\prime)$ である。
- 同様にして、$d_1(y_1,y_1^\prime) \leq d_0(y_0,y_0^\prime)$ である。
- よって、$d_0(y_0,y_0^\prime) \equ d_1(y_1,y_1^\prime)$ である。
- ${\rm (iv)}$${\rm (iii) }$より、 $0 \equ d_0(y_0,y_0) \equ d_1(y_1,y_1^\prime)$ である。
- よって、$y_1 \equ y_1^\prime$ である。
- ${\rm (v)}$${\rm (iv)}$と同様である。
- ${\rm (i)}$hの性質${\rm (i),(iv)}$より、$h$は${\rm 写像}h : Y_0 \rightarrow Y_1$ である。
- hの性質${\rm (ii)}$より$h$は全射であり、hの性質${\rm (v)}$より$h$は単射である。
- ${\rm (ii)}$hの性質${\rm (iii)}$より$h$は${\rm isometry}$である。
- ${\rm (iii)}$$x \in X$ を任意に取る。
- 当然、$(x)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N}$ である。
- 明らかに、$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x),g_i(x)) \equ 0 \;(i \equ 0,1)$ である。
- 従って、$(g_0(x),g_1(x)) \in h$ つまり $h(g_0(x)) \equ g_1(x)$ である。
