$ \newcommand{\exi}{\exists} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\equ}{\!=\!} \newcommand{\amp}{\;\&\;} $

安井邦夫、「現代論理学」、現代思想社 の分からない所メモなどなど

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このBは無論、LPの公理にAを公理シェーマとして加えた公理系(これをTとする)において証明可能である ----★

であるが、Aをどういう形で公理シェーマに加えるのかが分からない。

Aというメタ論理式記号そのものを、(A⇒B)⇒Aと同列にそのまま公理に加えるのだろうか?
だとしたら、全ての論理式が証明可能になってしまい、後段の

したがって定理3により~BはLPで証明可能となり、TではBと~Bとが証明可能となる。

とわざわざ述べる必要性が無くなって、国語的に不自然。
だから、そうでは無くもうちょっと論理式Aの中身を表出させた形で公理に加えるのだと思う。個人的に思うに、q1,...,qkをメタ論理式記号A1,...,Akに置き換えたメタ論理式Aを公理に加えるのではないだろうか?
そうすると、★と国語的に整合性がとれると思う。


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Aを論理式、tを項、xkをtにおける任意の変項とする。
もしAにおいて変項xiのどの自由な現れも限量記号∀xkないしは∃xkの作用域の内にないなら、項tはAにおいてxiに対して自由である(free for xi in A)と言われる。

これは、私は次のように理解しています:

Aを論理式、tを項、xiを変項とする。

項tはAにおいてxiに対して自由である(free for xi in A) :⇔
任意の自然数nに対して、[xiがAにおける第nの自由な現れであるならば、その第nの自由な現れである変項xiは、tにおける任意の変項xkに対して、限量記号∀xkないしは∃xkの作用域の内にない]。

つまり、こういうことだ:
論理式Aという記号列を左から右へと見ていった時、変項xiが現れることが多々あるでしょう。その各々の変項xiは論理式Aにおいて自由な現れであることもあるだろうし、束縛された現れであることもあるでしょう。しかし、その多々現れうる変項xiの内、論理式Aにおいて自由な現れである変項xiだけに、そして、そういう変項xi全てに着目しましょう。ここで今、そういう変項xiを1つ任意に選んで着目します。この変項xiが限量記号∀xkないし∃xkの作用域内になければいい。ただし、変項xkは項tにおける任意の変項ですよ。


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2)の証明がよく分からないのですが、1)を利用するようですので、私はここまでは理解出来ました:

AはS∪Γの全てのモデルの下で真である
任意の解釈Ωに対して、[ ΩがS∪Γのモデル ⇒ Ω⊨A ]
任意の解釈Ωに対して、[ ΩがSのモデルかつ任意のC∈Γに対してΩ⊨C ⇒ Ω⊨A ]
Sの任意のモデルΩに対して、[ 任意のC∈Γに対してΩ⊨C ⇒ Ω⊨A ]
Sの任意のモデルΩに対して、[ 任意のC∈Γ、Ωの任意の点列σに対してΩ,σ⊨C ⇒ Ωの任意の点列σに対してΩ,σ⊨A ]
ここからどうやって
Sの任意のモデルΩ、Ωの任意の点列σに対して、[ 任意のC∈Γに対してΩ,σ⊨C ⇒ Ω,σ⊨A ]
への同値性に議論をつなげればいいのかが分かりません