2018-12-10

連結性について多少の命題

位相空間論

$(X, {\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。
$f : X \rightarrow Y$ を連続写像とする。

$\all A \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \Rightarrow f(A) {\rm は連結} }$ が成り立つ。

[対偶法]$f(A) {\rm は連結でない}$ と仮定する。
$\exi U_0, U_1 \in {\cal O}_Y \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} f(A) \subset U_0 \cup U_1 & {\rm かつ} & \rightarrow & A \subset f^{-1}(U_0) \cup f^{-1}(U_1) & {\rm かつ} \\ f(A) \cap U_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & A \cap f^{-1}(U_0) \cap f^{-1}(U_1) \equ \phi & {\rm かつ} \\ f(A) \cap U_0 \nequ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & A \cap f^{-1}(U_0) \nequ \phi & {\rm かつ} \\ f(A) \cap U_1 \nequ \phi & {\rm である。} & \rightarrow & A \cap f^{-1}(U_1) \nequ \phi & {\rm である。} \end{array}\right.$
$f {\rm は連続写像}$ なので $f^{-1}(U_0), f^{-1}(U_1) \in {\cal O}_X$ である。
よって、$A {\rm は連結でない}$ である。

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。

$\all A, B \subset X \;\parenth{ A {\rm は連結} \land A \subset B \subset \overline{A} \Rightarrow B {\rm は連結} }$ が成り立つ。

$U, V \in {\cal O}$ が $\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} B \subset U \cup V & {\rm かつ} \\ B \cap U \cap V \equ \phi & \\ \end{array}\right.$ を満たすと仮定する。
$A {\rm は連結}$ かつ $\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} A \subset B \subset U \cup V & {\rm かつ} \\ A \cap U \cap V \subset B \cap U \cap V \equ \phi & \\ \end{array}\right.$ なので $A \cap U \equ \phi \lor A \cap V \equ \phi$ である。
従って、$\overline{A} \cap U \equ \phi \lor \overline{A} \cap V \equ \phi$ である。
よって、$B \subset \overline{A}$より、$B \cap U \equ \phi \lor B \cap V \equ \phi$ である。

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
${\cal A} \subset \Set{ A \subset X }{ A {\rm は連結} }$ とする。

$\all A, B \in {\cal A} \; A \cap B \nequ \phi \Rightarrow \bigcup {\cal A} {\rm は連結}$ が成り立つ。

[対偶法]$\bigcup {\cal A} {\rm は連結ではない}$ と仮定する。
$\exi U_0, U_1 \in {\cal O} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} \bigcup {\cal A} \subset U_0 \cup U_1 & {\rm かつ} & \rightarrow & \all A \in {\cal A} \; A \subset U_0 \cup U_1 & {\rm かつ} \\ \bigcup {\cal A} \cap U_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & \all A \in {\cal A} \; A \cap U_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} \\ \bigcup {\cal A} \cap U_0 \nequ \phi & {\rm かつ} & \rightarrow & \exi A_0 \in {\cal A} \; A_0 \cap U_0 \nequ \phi & {\rm かつ} \\ \bigcup {\cal A} \cap U_1 \nequ \phi & {\rm である。} & \rightarrow & \exi A_1 \in {\cal A} \; A_1 \cap U_1 \nequ \phi & {\rm である。} \end{array}\right.$
従って、$A_0,A_1 {\rm は連結}$より、$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} A_0 \cap U_1 \equ \phi & {\rm かつ} \\ A_1 \cap U_0 \equ \phi & {\rm である。} \end{array}\right.$
この時、$A_0 \cap A_1 \equ \parenth{ A_0 \cap \parenth{ U_0 \cup U_1 } } \cap \parenth{ A_1 \cap \parenth{ U_0 \cup U_1 } }$
$\equ \parenth{ A_0 \cap A_1 } \cap \parenth{ U_0 \cup U_1 } \subset \parenth{ A_1 \cap U_0 } \cup \parenth{ A_0 \cap U_1 } \equ \phi$ となる。

証明終

$(X_i, {\cal O}_i)_{i \in I}$ を位相空間の族とする。
$J \subset I$とし、$(a_i)_{i \in I \backslash J} \in \prod\limits_{i \in I \backslash J} X_i$ とする。

$\Set{ x \equ (x_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i }{ \all i \in I \backslash J \; x_i \equ a_i } \approx \prod\limits_{j \in J} X_j \approx \prod\limits_{j \in J} X_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$ が成り立つ。

$X_J :\equ \prod\limits_{j \in J} X_j, A :\equiv \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$ と置く。
${\rm (i)}$$X_a :\equiv \Set{ x \equ (x_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i }{ \all i \in I \backslash J \; x_i \equ a_i }$ と置く。
$g : X_a \rightarrow X_J, x \mapsto (x_j)_{j \in J}$ と置く。
明らかに$g$は可逆写像である。
$\Set{ X_a \cap \prod\limits_{i \in I} U_i }{ \all i \in I \; U_i \in {\cal O}_i \land \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ は$X_a$の基底である。
$\Set{ \prod\limits_{j \in J} U_j }{ \all j \in J \; U_j \in {\cal O}_j \land \Set{ j \in J }{ U_j \subsetneq X_j } {\rm は有限集合} }$ は$X_J$の基底である。
これらの集合の元は$g$によって対応していることが容易に分かるので、$g$は同相写像である。
${\rm (ii)}$$f : X_J \rightarrow X_J \times A ,\; (x_j)_{j \in J} \mapsto \parenth{ (x_j)_{j \in J}, (a_i)_{i \in I \backslash J} }$ と置く。
明らかに$f$は可逆写像である。
$|A| \equ 1$なので、$A$の開集合系は$\{\phi, A\}$である。
従って、$X_J \times A$の基底は、$\Set{ U \times A^\prime }{ U \in {\cal O}_{X_J}, A^\prime \in {\cal O}_A } \equ \Set{ U \times A }{ U \in {\cal O}_{X_J} }$ である。
$({\cal O}_{X_J}, {\cal O}_A {\rm はそれぞれ} X_J,A {\rm の開集合系})$
よって、$f$は同相写像である。

$(X,{\cal O}_X), (Y, {\cal O}_Y)$ を位相空間とする。

$X, Y {\rm は連結} \Rightarrow X \times Y {\rm は連結}$ が成り立つ。

$A : X \times Y \rightarrow {\frak P}(X \times Y), (x,y) \mapsto \{x\} \times Y \cup X \times \{y\}$ と定義する。
$\all (x,y) \in X \times Y \; A(x,y) {\rm は連結}$ が成り立つ。
- $Y {\rm は連結} \land Y \approx \{x\} \times Y$ なので $\{x\} \times Y {\rm は連結}$ である。
- $X {\rm は連結} \land X \approx X \times \{y\}$ なので $X \times \{y\} {\rm は連結}$ である。
- $(x,y) \in \{x\} \times Y \cap X \times \{y\}$ なので $\{x\} \times Y \cap X \times \{y\} \nequ \phi$ である。
- 以上より、$A(x,y) \equ \{x\} \times Y \cup X \times \{y\} {\rm は連結}$である。
$y_* \in Y$ を1つとって固定する。
$\all x_0, x_1 \in X \; A(x_0,y_*) \cap A(x_1,y_*) \supset X \times \{y_*\} \nequ \phi$ である。
従って、(x,y)から作られる連結集合より、$\bigcup \Set{ A(x,y_*) }{ x \in X } {\rm は連結}$ である。
$\all (x,y) \in X \times Y \; (x,y) \in A(x,y_*)$ なので $X \times Y \equ \bigcup \Set{ A(x,y_*) }{ x \in X }$ である。
よって、$X \times Y {\rm は連結}$ である。

$(X_i, {\cal O}_i)_{i \in I}$ を位相空間の族とする。

$\all i \in I \; X_i {\rm は連結} \Rightarrow \prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ が成り立つ。

${\rm Fin}(I) :\equiv \Set{ J \subset I }{ J {\rm は有限集合} }$ と置く。
$J \in {\rm Fin}(I)$ に対して $X_J :\equiv \prod\limits_{j \in J} X_j$ と置く。
$J \in {\rm Fin}(I), a \equ (a_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ に対して $X_J(a) :\equiv X_J \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$ と置く。
$\all a \in \prod\limits_{i \in I} X_i \; \overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)} {\rm は連結}$ が成り立つ。
- 任意の$J \in {\rm Fin}(I)$に対して、$X_J {\rm は連結}$ かつ $X_J \approx X_J(a)$ なので、$X_J(a) {\rm は連結}$ である。
- また、$\all J \in {\rm Fin}(I) \; a \in X_J(a)$ である。
- 従って、$\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a) {\rm は連結}$ である。
- よって、$\overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)} {\rm は連結}$ である。
$\all a \in \prod\limits_{i \in I} X_i \; \overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)} \equ \prod\limits_{i \in I} X_i$ が成り立つ。
- $x \equ (x_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ を任意に取る。
- $\bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) }$ は、$x$の基本近傍系である。
  (ただし、${\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right)$ は $X_j$ の点 $x_j$ の近傍系であり、 $pr_j : \prod\limits_{i \in I} X_i \rightarrow X_j$ である。)
  この事実を今一度思い出しておく。
- $x \in \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j), J \in {\rm Fin}(I), \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}(x_j)$ を仮定する。
- $\parenth{ \bigcup\limits_{J^\prime \in {\rm Fin}(I)} X_{J^\prime}(a) } \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \supset X_J(a) \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j)$
  $\equ \parenth{ \prod\limits_{j \in J} X_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\} } \cap \parenth{ \prod\limits_{j \in J} V_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} X_i } \equ \prod\limits_{j \in J} V_j \times \prod\limits_{i \in I \backslash J} \{a_i\}$
  $\ni ( (x_j)_{j \in J}, (a_i)_{i \in I \backslash J} )$ つまり $\nequ \phi$ である。
- 従って、$x \in \overline{\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}(I)} X_J(a)}$ である。
よって、$\prod\limits_{i \in I} X_i \nequ \phi$ ならば $\prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ である。
$\prod\limits_{i \in I} X_i \equ \phi$ ならば当然 $\prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ である。

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
$(\{0,1\}, {\frak P}(\{0,1\}))$ を離散空間とする。

$X {\rm は連結} \Leftrightarrow \all {\rm 連続写像} f : X \rightarrow \{0,1\}, f {\rm は定値写像}$ が成り立つ。

$\Rightarrow$$f : X \rightarrow \{0,1\}$ を連続写像とする。
$f {\rm は連続写像}$ なので $f^{-1}(\{0\}), f^{-1}(\{1\}) \in {\cal O}$ である。
$X \equ f^{-1}(\{0\} \cup \{1\}) \equ f^{-1}(\{0\}) \cup f^{-1}(\{1\})$ かつ $f^{-1}(\{0\}) \cap f^{-1}(\{1\}) \equ \phi$
従って、仮定[$X {\rm は連結}$]より、$f^{-1}(\{0\}) \equ \phi \lor f^{-1}(\{1\}) \equ \phi$ である。
従って、$X \equ f^{-1}(\{1\}) \lor X \equ f^{-1}(\{0\})$ である。
よって、$f(X) \subset \{1\} \lor f(X) \subset \{0\}$ である。
$\Leftarrow$$U, V \in {\cal O}$ が $X \equ U \cup V \land U \cap V \equ \phi$ を満たすと仮定する。
$f : X \rightarrow \{0,1\}, x \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} 0 & \parenth{ x \in U } \\ 1 & \parenth{ x \in V } \end{array}\right.$ と定義出来る。
$\{ f^{-1}(\phi), f^{-1}(\{0\}), f^{-1}(\{1\}), f^{-1}(\{0,1\}) \} \equ \{ \phi, U, V, X \} \subset {\cal O}$ なので $f {\rm は連続写像}$ である。
従って、仮定により、$f {\rm は定値写像}$ である。
従って、$f(X) \equ \{0\} \lor f(X) \equ \{1\}$ である。
よって、$V \equ \phi \lor U \equ \phi$ である。

(先ほどの命題の別証明)
$(X_i, {\cal O}_i)_{i \in I}$ を位相空間の族とする。

$\all i \in I \; X_i {\rm は連結} \Rightarrow \prod\limits_{i \in I} X_i {\rm は連結}$ が成り立つ。

$X :\equiv \prod\limits_{i \in I}$ と置く。
$\{0,1\}$ を離散空間とし、$f : X \rightarrow \{0,1\} {\rm は連続写像}$ を仮定する。
$R :\equ \Set{ (x, y) \in X \times X }{ \Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } {\rm は有限集合} }$ と定義する。
$\all (x, y) \in R \; f(x) \equ f(y)$ が成り立つ。
- $n \in {\mathbb N}$ に対し $R_n :\equiv \Set{ (x, y) \in X \times X }{ {\rm Card}\Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } \leq n }$ と置く。
- $\all n \in {\mathbb N} \; \all (x, y) \in R_n \; f(x) \equ f(y)$ が成り立つ。
  - 明らかに$n \equ 0$ に対して成立する。
  - $n \in {\mathbb N}$ に対して成立を仮定する。
  - $(x,y) \in R_{n+1}$ を任意に取る。
  - $j \in \Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i }$ を1つとって固定する。
  - $f_j : X_j \rightarrow X, z_j \mapsto ( (z_j)_{j = i}, (y_i)_{j \not= i \in I} )$ と定義する。
  - $X$ の基底の元として、$\prod\limits_{i \in I} U_i$ を任意に取る。
    (ただし、$(U_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} {\cal O}_i, \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i} {\rm は有限集合}$。)
  - $j \nequ \all i \in I \; y_i \in U_i$ ならば $f_j^{-1}\parenth{ \prod\limits_{i \in I} U_i } \equ U_j \in {\cal O}_j$ であり、
    $j \nequ \exi i \in I \; y_i \not\in U_i$ ならば $f_j^{-1}\parenth{ \prod\limits_{i \in I} U_i } \equ \phi \in {\cal O}_j$ である。
  - 従って、$f_j {\rm は連続写像}$ である。
  - 従って、$(f \circ f_j) : X_j \rightarrow \{0,1\} {\rm は連続写像}$ である。
  - 従って、$X_j {\rm は連結}$より、$(f \circ f_j) {\rm は定値写像}$ である。
  - 従って、$(f \circ f_j)(x_j) \equ (f \circ f_j)(y_j) \equ f(y)$ である。
  - 一方、$x$と$f_j(x_j)$は第$j$成分が一致しているので、$(x, f_j(x_j)) \in R_n$ である。
  - 従って、帰納法の仮定より、$f(x) \equ f(f_j(x_j))$ である。
  - よって、$f(x) \equ f(y)$ である。
- 従って、$R \equ \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} R_n$ より、$\all (x,y) \in R \; f(x) \equ f(y)$ である。
$y \in X$ を任意に取る。
$S :\equiv \Set{ x \in X }{ \Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } {\rm は有限集合} }$ と置く。
$\overline{S} \equ X$ が成り立つ。
- $z \equ (z_i)_{i \in I} \in X$ を任意に取る。
- $z$の基本近傍系の元として、
  $\prod\limits_{i \in I} U_i \;\parenth{ \all i \in I \; z_i \in U_i \in {\cal O}_i \land \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ を任意に取る。
- $x \equ (x_i)_{i \in I}$ を $x_i :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} y_i & \parenth{ U_i \equ X_i } \\ z_i & \parenth{ U_i \subsetneq X_i } \end{array}\right.$ で定義する。
- 明らかに $x \in \prod\limits_{i \in I} U_i$ である。
- $\Set{ i \in I }{ x_i \nequ y_i } \subset \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合}$ つまり $x \in S$ である。
- 従って、$x \in S \cap \prod\limits_{i \in I} U_i$ つまり $S \cap \prod\limits_{i \in I} U_i \nequ \phi$ である。
- よって、$z \in \overline{S}$ である。
従って、$f(X) \equ f(\overline{S})$ $\subset$ $f {\rm は連続写像}$ $\overline{f(S)}$ $\equ$ $\{0,1\} {\rm は離散空間}$ $f(S)$ である。
$x \in X$ を任意に取る。
$\exi z \in S \; f(x) \equ f(z)$ である。
$(z,y) \in R$ と有限個の違いの下では値は一致より、$f(x) \equ f(z) \equ f(y)$ である。
よって、$\all x, y \in X \; f(x) \equ f(y)$ つまり $f {\rm は定値写像}$ である。

2018-12-08

距離空間の完備化

位相空間論

$(X,d)$ を距離空間とする。

$\exi {\rm 距離空間}(X^*,d^*) \; \exi f:X \rightarrow X^* \left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & (X^*,d^*) {\rm はcomplete} & {\rm かつ} \\ {\rm (ii)} & f {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ {\rm (iii)} & \overline{f(X)} \equ X^* \end{array}\right.$ が成り立つ。
- ${\rm Cauchy}(X) :\equiv \Set{ x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} }{ x {\rm はcauchy列} }$ と定義する。
- $\all x, y \in {\rm Cauchy}(X) \; (d(x_n,y_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm は収束}$ が成り立つ。
  - $\all m, n \in {\mathbb N} \; \left| d(x_m,y_m) - d(x_n,y_n) \right| \leq \cdots \leq d(x_m,x_n) + d(y_m,y_n)$ である。
  - 従って、$(d(x_n,y_n))_{n \in {\mathbb N}}$ は、(${\mathbb R}$の)${\rm cauchy列}$である。
  - ${\mathbb R}$は${\rm complete}$なので、$(d(x_n,y_n))_{n \in {\mathbb N}}$は収束する。
- $R :\equiv \Set{ (x,y) \in {\rm Cauchy}(X) \times {\rm Cauchy}(X) }{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \equ 0 }$ と置く。
- 明らかに、$R$は同値関係である。
- $X^* :\equiv {\rm Cauchy}(X) / R$ と置く。
- $q : {\rm Cauchy}(X) \rightarrow X^*$ を商写像とする。
- 写像$d^* : X^* \times X^* \rightarrow {\mathbb R}, (q(x), q(y)) \mapsto \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n, y_n)$ を定義することが出来る。
  - $(q(x^i),q(y^i)) \in X^* \times X^* \;(i=0,1)$ とし、 $q(x^0) \equ q(x^1)$ かつ $q(y^0) \equ q(y^1)$ と仮定する。
    (注意：ここでの$^0,^1$は添え字であって冪乗ではない。)
  - $\all n \in {\mathbb N} \; d(x_n^0,y_n^0) \leq d(x_n^0,x_n^1) + d(x_n^1,y_n^1) + d(y_n^1,y_n^0)$ である。
  - 従って、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^0,y_n^0) \leq 0 + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^1,y_n^1) + 0$ である。
  - 同様に、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^1,y_n^1) \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^0,y_n^0)$ である。
  - よって、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^0,y_n^0) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n^1,y_n^1)$ である。
- $d^* {\rm は} X^* {\rm の距離}$ が成り立つ。
  - $q(x), q(y), q(z) \in X^*$ を任意に取る。
  - (i)$d^*(q(x),q(y)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \geq 0$ である。
  - (ii)$d^*(q(x),q(y)) \equ 0 \Leftrightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \equ 0 \Leftrightarrow (x,y) \in R \Leftrightarrow q(x) \equ q(y)$ である。
  - (iii)$d^*(q(x),q(y)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(y_n,x_n) \equ d^*(q(y),q(x))$ である。
  - (iv)$d^*(q(x),q(z)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,z_n) \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) + \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(y_n,z_n)$
    $\equ d^*(q(x),q(y)) + d^*(q(y),q(z))$ である。
- $f : X \rightarrow X^*, x \mapsto q( (x)_{n \in {\mathbb N}} )$ と定義する。
- (ii)明らかに、 $\all x, y \in X \; d^*(f(x),f(y)) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(x,y) \equ d(x,y)$ である。
- $\all x \equ (x_m)_{m \in {\mathbb N}} \in {\rm Cauchy}(X) \; \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d^*(q(x),f(x_n)) \equ 0$ が成り立つ。
  - $0 \lt \varepsilon \in {\mathbb R}$ を任意に取る。
  - $x \in {\rm Cauchy}(X)$ なので、 $\exi k \in {\mathbb N} \; k \leq \all m, n \in {\mathbb N} \; d(x_m, x_n) \lt \varepsilon$ である。
  - 従って、 $k \leq \all n \in {\mathbb N} \; d^*(q(x),f(x_n)) \equ \lim\limits_{m \rightarrow \infty} d(x_m,x_n) \leq \varepsilon$ である
  - これは、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d^*(q(x),f(x_n)) \equ 0$ という意味である。
- (iii)cauchy点列自体が持つ性質より、 $\all q(x) \in X^* \exi (y_n^*)_{n \in {\mathbb N}} \in (f(X))^{\mathbb N} \; q(x) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} y_n^*$ である。
- 従って、$X^* \subset \overline{f(X)}$ である。
- (i)$x^* \equ (x^*_n)_{n \in {\mathbb N}} \in (X^*)^{\mathbb N}$ を任意に取り、 $x^* {\rm はcauchy列}$ であると仮定する。
- ${\rm (iii)}$より、 $\all m \in {\mathbb N} \; x_m^* \in \overline{f(X)}$ である。
- 従って、 $\all m \in {\mathbb N} \; \Set{ a \in X }{ d^*(x_m^*, f(a)) \lt {\displaystyle \frac{1}{m+1}} } \nequ \phi$ である。
- 従って、選択公理より、$\exi x \equ (x_m)_{m \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{m \in {\mathbb N}} \Set{ a \in X }{ d^*(x_m^*, f(a)) \lt {\displaystyle \frac{1}{m+1}} }$ である。
- $x \in {\rm Cauchy}(X)$ が成り立つ。
  - $0 \lt \varepsilon \in {\mathbb R}$ を任意に取る。
  - $\exi N_0 \in {\mathbb N} \; N_0 \leq \all m, n \in {\mathbb N} \; d^*(x_m^*,x_n^*) \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}}$ である。
  - $\exi N_1 \in {\mathbb N} \; {\displaystyle \frac{1}{N+1}} \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}}$ である。
  - $\max\{N_0,N_1\} \leq m, n \in {\mathbb N}$ なる$m,n$を任意に取る。
  - $d(x_m,x_n) \equ d^*(f(x_m),f(x_n)) \leq d^*(f(x_m),x_m^*) + d^*(x_m^*,x_n^*) + d^*(x_n^*,f(x_n))$
    $\qquad \lt {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}} + {\displaystyle \frac{\varepsilon}{3}} \equ \varepsilon$ である。
- $\all n \in {\mathbb N} \; d^*(x_n^*,q(x)) \leq d^*(x_n^*,f(x_n)) + d^*(f(x_n),q(x))$ $\xrightarrow{n \rightarrow \infty}$ $x$の取り方と
  cauchy点列自体が持つ性質より $0 + 0 \equ 0$ である。
- 従って、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d^*(x_n^*,q(x)) \equ 0$ である。
- これは、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n^* \equ q(x)$ という意味である。
証明終
$\all {\rm 距離空間}(Y_i, d_i) \; \all g_i : X \rightarrow Y_i \;(i \equ 0,1) \\ \bracket{ g_0, g_1 {\rm は(1)の(i) \sim (iii)を満たす} \Rightarrow^{AC} \exi {\rm 可逆写像}h : Y_0 \rightarrow Y_1 \; \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} h {\rm はisometry} & {\rm かつ} \\ g_1 \equ h \circ g_0 & \end{array}\right. }$ が成り立つ。
- $h :\equiv \Set{ (y_0, y_1) \in Y_0 \times Y_1 }{ \exi x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} \bracket{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x_n), y_i) \equ 0 \;(i \equ 0,1) } }$ と置く。
- この$h$が求めるものであることを示す。
- $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} {\rm (i)}^{AC} & \all y_0 \in Y_0 \exi y_1 \in Y_1 \; (y_0,y_1) \in h \\ {\rm (ii)}^{AC} & \all y_1 \in Y_1 \exi y_0 \in Y_0 \; (y_0,y_1) \in h \\ {\rm (iii)} & \all (y_0,y_1),(y_0^\prime,y_1^\prime) \in h \; d_0(y_0,y_0^\prime) \equ d_1(y_1,y_1^\prime) \\ {\rm (iv)} & \all y_0 \in Y_0 \all y_1,y_1^\prime \in Y_1 \;\parenth{ (y_0,y_1),(y_0,y_1^\prime) \in h \Rightarrow y_1 \equ y_1^\prime } \\ {\rm (v)} & \all y_0,y_0^\prime \in Y_0 \all y_1 \in Y_1 \;\parenth{ (y_0,y_1),(y_0^\prime,y_1) \in h \Rightarrow y_0 \equ y_0^\prime } \\ \end{array}$ が成り立つ。
  - ${\rm (i)}$$y_0 \in Y_0 \equ \overline{g_0(X)}$ なので、 $\all n \in {\mathbb N} \; g_0(X) \cap \Set{ y \in Y_0 }{ d_0(y,y_0) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}} } \nequ \phi$ である。
  - 従って、選択公理より、$\exi x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in \prod\limits_{n \in {\mathbb N}} \Set{ a \in X }{ d_0(g_0(a),y_0) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}} }$ である。
  - $\all n \in {\mathbb N} \; d_0(g_0(x_n),y_0) \lt {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ なので、 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_0(g_0(x_n),y_0) \equ 0$ である。
  - $(g_1(x_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm は収束}$ が成り立つ。
    
    任意の$m, n \in {\mathbb N}$に対して以下である：
    $d_1(g_1(x_m),g_1(x_n)) \equ d(x_m,x_n) \equ d_0(g_0(x_m),g_0(x_n)) \leq d_0(g_0(x_m),y_0) + d_0(y_0,g_0(x_n))$
    
    従って、$\lim\limits_{m,n \rightarrow \infty} d_1(g_1(x_m),g_1(x_n)) \equ 0$ である。
    
    従って、$(g_1(x_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm はcauchy列}$ である。
    
    よって、$(g_1(x_n))_{n \in {\mathbb N}} {\rm は収束}$ する。
  - 従って、$\parenth{y_0,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} g_1(x_n)} \in h$ である。
  - ${\rm (ii)}$${\rm (i)}$と同様である。
  - ${\rm (iii)}$$\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \exi x \equ (x_n)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} \bracket{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x_n), y_i) \equ 0 \;(i \equ 0,1) } & {\rm かつ} \\ \exi x^\prime \equ (x_n^\prime)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N} \bracket{ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x_n^\prime), y_i^\prime) \equ 0 \;(i \equ 0,1) } & \end{array}\right.$ である。
  - $n \in {\mathbb N}$ を任意に取る。
  - $d_0(y_0,y_0^\prime) \leq d_0(y_0,g_0(x_n)) + \underline{d_0(g_0(x_n),g_0(x_n^\prime))} + d_0(g_0(x_n^\prime),y_0^\prime)$ である。
  - $\underline{d_0(g_0(x_n),g_0(x_n^\prime))} \equ d(x_n,x_n^\prime) \equ d_1(g_1(x_n),g_1(x_n^\prime))$
    $\leq d_1(g_1(x_n),y_1) + d_1(y_1,y_1^\prime) + d_1(y_1^\prime,g_1(x_n^\prime))$ である。
  - 従って、$d_0(y_0,y_0^\prime) \equ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_0(y_0,y_0^\prime) \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_1(y_1,y_1^\prime) \equ d_1(y_1,y_1^\prime)$ である。
  - 同様にして、$d_1(y_1,y_1^\prime) \leq d_0(y_0,y_0^\prime)$ である。
  - よって、$d_0(y_0,y_0^\prime) \equ d_1(y_1,y_1^\prime)$ である。
  - ${\rm (iv)}$${\rm (iii) }$より、 $0 \equ d_0(y_0,y_0) \equ d_1(y_1,y_1^\prime)$ である。
  - よって、$y_1 \equ y_1^\prime$ である。
  - ${\rm (v)}$${\rm (iv)}$と同様である。
- ${\rm (i)}$hの性質${\rm (i),(iv)}$より、$h$は${\rm 写像}h : Y_0 \rightarrow Y_1$ である。
- hの性質${\rm (ii)}$より$h$は全射であり、hの性質${\rm (v)}$より$h$は単射である。
- ${\rm (ii)}$hの性質${\rm (iii)}$より$h$は${\rm isometry}$である。
- ${\rm (iii)}$$x \in X$ を任意に取る。
- 当然、$(x)_{n \in {\mathbb N}} \in X^{\mathbb N}$ である。
- 明らかに、$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d_i(g_i(x),g_i(x)) \equ 0 \;(i \equ 0,1)$ である。
- 従って、$(g_0(x),g_1(x)) \in h$ つまり $h(g_0(x)) \equ g_1(x)$ である。
証明終

2018-11-24

$\text{Urysohn}$の補題と $\text{Tietze}$の拡張定理

位相空間論

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。

$X$は$T_4$ $\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \; \parenth{ A \subset U \Rightarrow \exi V \in {\cal O} \;\; A \subset V \land {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。

$X$は$T_4$
$\Leftrightarrow \all A, B \in {\cal C} \;\parenth{ A \cap B \equ \phi \Rightarrow A \subset \exi U \in {\cal O} \; B \subset \exi V \in {\cal O} \;\; U \cap V \equ \phi }$
$\Leftrightarrow \all A, B \in {\cal C} \;\parenth{ A \subset X \backslash B \Rightarrow A \subset \exi U \in {\cal O} \; \exi V \in {\cal O} \;\; U \subset X \backslash V \subset X \backslash B }$
$\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \;\parenth{ A \subset U \Rightarrow A \subset \exi V \in {\cal O} \; \exi C \in {\cal C} \;\; V \subset C \subset U }$
$\Leftrightarrow \all A \in {\cal C} \; \all U \in {\cal O} \;\parenth{ A \subset U \Rightarrow A \subset \exi V \in {\cal O} \;\; {\overline V} \subset U }$

Urysohnの補題

$(X,{\cal O})$ を$T_4$位相空間とする。
$A, B \in {\cal C}$ とし、$A \cap B \equ \phi$ を仮定する。

$\exi {\rm 連続写像} f : X \rightarrow [0,1] \;\; f(A) \subset \{0\} \land f(B) \subset \{1\}$ が成り立つ $^{AC}$ 。

$n \in {\mathbb N}$ に対し、$I_n :\equiv \Set{ {\displaystyle \frac{k}{2^n}} }{ k \in \{0, \cdots, 2^n\} }$, $I :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} I_n$ と置く。
$\exi U : I \rightarrow {\cal O} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}} A \subset U(0) \land U(1) \equ X \backslash B \\ \all r, s \in I \;\parenth{ r \lt s \Rightarrow \overline{U(r)} \subset U(s) } \end{array}\right.$ が成り立つ。
- ${\cal S} :\equiv \Set{ (P,Q) \in {\cal C} \times {\cal O} }{ P \subset Q }$ と置く。
- $(P,Q) \in {\cal S}$ に対し、${\cal U}_{(P,Q)} :\equiv \Set{ U \in {\cal O} }{ P \subset U \land \overline{U} \subset Q }$ と置く。
- $(A, X \backslash B) \in {\cal S}$ だから ${\cal S} \nequ \phi$ である。仮定[$X$は$T_4$空間]より、$\all (P,Q) \in {\cal S} \;\; {\cal U}_{(P,Q)} \nequ \phi$ である。
- 従って、選択公理より、$g \in \prod\limits_{(P,Q) \in {\cal S}} {\cal U}_{(P,Q)}$ を取れる。
- $n$についての帰納法で$U$を拡張して定義していくことにより、定義域を$I$とする写像にする。
- $I_0$ においては、$U(0) :\equiv g(A, X \backslash B)$, $U(1) :\equiv X \backslash B$ と定義する。
  (勿論、$\overline{U(0)} \subset U(1)$ である。)
- $I_n$ で $U$ が定義され、かつ、
  $\all k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\} \;\; \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{k}{2^n}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{k+1}{2^n}} \right)$ が成り立っていると仮定する。
- $(I_n)_{n \in {\mathbb N}}$は狭義単調増加な集合列なので、
  $I_{n+1} \backslash I_n$での定義を追加する事により、$U$は$I_{n+1}$で定義された事になることに注意する。
- $I_{n+1} \backslash I_n \equ \Set{ {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}} }{ k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\} }$ である事に注意する。
- $k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\}$ に対し、 $U\left( {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}} } \right) :\equiv g\left( \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{k}{2^n}} \right) }, U\left( {\displaystyle \frac{k+1}{2^n}} \right) \right)$ と定義する帰納的定義をするために必要な仮定より
  この定義が可能である。。
- $g$の定義により、$\all k \in \{0,1,\cdots,2^n-1\}$
  $\qquad \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{2k}{2^{n+1}}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}} \right)$ かつ $\overline{ U\left( {\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{2k+2}{2^{n+1}}} \right)$ である。
- これは、$\all m \in \{0,1,\cdots,2^{n+1}-1\} \;\; \overline{ U\left( {\displaystyle \frac{m}{2^{n+1}}} \right) } \subset U\left( {\displaystyle \frac{m+1}{2^{n+1}}} \right) $ ということである。
- $(I_n)_{n \in {\mathbb N}}$は(狭義)単調増加列なので、
  任意の$r \lt s$なる$r,s \in I$は$r \equ {\displaystyle \frac{k}{2^n}}$, $s \equ {\displaystyle \frac{m}{2^n}}$, $\; k \lt m \;\parenth{ k,m \in \{0,1,\cdots,2^n\} }$と表せる。
- 帰納的定義をするために必要な仮定は実際に成り立っているので、 $\overline{U(r)} \subset U(s)$ が成り立つ。
$f : X \rightarrow [0,1] ,\; x \mapsto \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} {\rm inf}\Set{ r \in I }{ x \in U(r) } & \parenth{ x \in U(1) } \\ 1 & \parenth{ x \in X \backslash U(1) \equ B } \end{array}\right.$ と定義する。
この$f$が求めるものである事を示す。
$\all r,s \in [0, 1] \;\parenth{ r \lt s \Rightarrow \exi t \in I \; r \lt t \lt s }$ ($I$の稠密性)が成り立つ。
- $\exi n \in {\mathbb N} \; {\displaystyle \frac{1}{s-r}} \lt 2^n$ である。
- $k :\equiv \max\Set{ m \in \{0, \cdots, 2^n-1\} }{ {\displaystyle \frac{m}{2^n}} \leq r }$ と置く。
- $r$ $\lt$ $k$の最大性 ${\displaystyle \frac{k+1}{2^n}} \equ {\displaystyle \frac{k}{2^n}} + {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ $\lt$ $k,n$の定義 $r+(s-r) \equ s$
定義から明らかに$f(A) \subset \{0\}$かつ$f(B) \subset \{1\}$である。
1. $\all r \in I \; f^{-1}([0,r)) \subset U(r)$ が成り立つ。
  - $x \in f^{-1}([0,r))$ つまり $f(x) \lt r$なる$x \in X$ を任意に取る。
  - ${\rm inf}$の定義より $\exi s \in I \;\; x \in U(s) \land s \lt r$ である。
  - 従って、$x \in U(s) \subset \overline{U(s)}$ $\subset$ 写像Uの存在 $U(r)$ である。
2. $\all r \in I \; f^{-1}( (r,1] ) \subset X \backslash \overline{U(r)}$ が成り立つ。
  - $x \in f^{-1}( (r,1] )$ つまり $r \lt f(x)$なる$x \in X$ を任意に取る。
  - $I$の稠密性より $\exi s \in I \;\; r \lt s \lt f(x)$ である。
  - ${\rm inf}$の定義より $x \not\in U(s)$ である。従って、$x \in X \backslash U(s)$ $\subset$ 写像Uの存在 $X \backslash \overline{U(r)}$ である。
3. $\all r \in I \; U(r) \subset f^{-1}( [0,r] )$ が成り立つ。
  - $U(r) \subset \overline{U(r)}$ $\subset$ (2)より $X \backslash f^{-1}( (r,1] ) \equ f^{-1}( [0,r] )$ である。
4. $\all r \in I \; X \backslash \overline{U(r)} \subset f^{-1}( [r,1] )$ が成り立つ。
  - $X \backslash \overline{U(r)} \subset X \backslash U(r)$ $\subset$ (1)より $X \backslash f^{-1}( [0,r) ) \equ f^{-1}( [r,1] )$ である。
$c \in X$ を任意に取る。$0 \lt \varepsilon \in {\mathbb R}$ を任意に取る。
$c \in \parenth{ f^{-1}( (f(c)-\varepsilon,f(c)+\varepsilon) \cap [0,1] ) }^\circ$ である事を示せばよい。
$f(c) \equ 0$ の時：
- $\exi s \in I \; 0 \equ f(c) \lt s \lt f(c)+\varepsilon \equ \varepsilon$ である。
- 従って、$c \in f^{-1}( [0,s) )$ $\subset$ U(r)とfの関係(1)より $U(s)$ $\subset$ U(r)とfの関係(3)より $f^{-1}( [0,s] ) \subset f^{-1}( [0,\varepsilon) )$ である。
$f(c) \equ 1$ の時：
- $\exi r \in I \; 1-\varepsilon \equ f(c)-\varepsilon \lt r \lt f(c) \equ 1$ である。
- 従って、$c \in f^{-1}( (r,1] )$ $\subset$ U(r)とfの関係(2)より $X \backslash \overline{U(r)}$ $\subset$ U(r)とfの関係(4)より $f^{-1}( [r,1] ) \subset f^{-1}( (1-\varepsilon,1] )$ である。
$f(c) \in (0,1)$ の時：
- $\exi r,s \in I \; f(c)-\varepsilon \lt r \lt f(c) \lt s \lt f(c)+\varepsilon$ である。
- 従って、$c \in f^{-1}( (r,1] ) \cap f^{-1}( [0,s) )$ $\subset$ U(r)とfの関係(1),(2)より $U(s) \backslash \overline{U(r)}$ $\subset$ U(r)とfの関係(3),(4)より
  $f^{-1}( [0,s] ) \cap f^{-1}( [r,1] ) \equ f^{-1}( [r,s] ) \subset f^{-1}( (f(c)-\varepsilon,f(c)+\varepsilon) )$ である。

証明終

$\exi {\rm 連続写像} g : X \rightarrow [a,b] \;\; g(A) \subset \{a\} \land g(B) \subset \{b\} \;(a \lt b)$ が成り立つ $^{AC}$。

$\varphi : [0,1] \rightarrow [a,b], t \mapsto a + t(b-a)$ と定義する。
$\varphi {\rm は同相写像}$ なので $\varphi \circ f : X \rightarrow [a,b] {\rm は連続写像}$ である。
$\varphi (0) \equ a, \varphi (1) \equ b$ なので、$(\varphi \circ f)(A) \subset \{a\} \land (\varphi \circ f)(B) \subset \{b\}$ である。

Tietzeの拡張定理

$(X, {\cal O})$ を $T_4$ 位相空間とする。
$A \in {\cal C}$ とし、$f : A \to [-1,1] {\rm は連続写像}$ と仮定する。

$\exi {\rm 連続写像} g : X \to [-1,1] \; \all x \in A \; g(x) \equ f(x)$ が成り立つ $^\text{AC}$ 。

$G :\equiv \Set{ (g,a) \in {\rm Map}(A,{\mathbb R}) \times {\mathbb R}^+ }{ \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & g {\rm は連続写像} \\ \text{かつ} & \all x \in A \;|g(x)| \leq a \end{array} }$ と置く。
$(g,a) \in G$ に対し、
$H(g,a) :\equiv \Set{ h \in {\rm Map}(X,{\mathbb R}) }{ \begin{array}{@{}@{}@{}} & h {\rm は連続写像} \\ かつ & \all x \in X \;|h(x)| \leq {\displaystyle \frac{1}{3}} a \\ かつ & \all x \in A \; |g(x)-h(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a \end{array} }$ と置く。
$\all (g,a) \in G \; H(g,a) \nequ \phi$ が成り立つ $^\text{AC}$ 。
- $\left\{\begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} A_- & :\equiv & g^{-1}(\bracket{-a, -{\displaystyle \frac{1}{3}} a}), \\ A_\pm & :\equiv & g^{-1}(\bracket{-{\displaystyle \frac{1}{3}} a, {\displaystyle \frac{1}{3}} a}), \\ A_+ & :\equiv & g^{-1}(\bracket{{\displaystyle \frac{1}{3}} a, a}) \end{array}\right.$ と置く。
- $A_-,A_+$ $\in$ $g {\rm は連続写像}$ ${\cal C}_A$ 部分空間$A$の閉集合系 $\subseteq$ 仮定[$A \in {\cal C}$] ${\cal C}$ であり、明らかに $A_- \cap A_+ \equ \phi$ である。
- 従って、Urysohnの補題$^\text{AC}$より、
  $\exi \text{連続写像} h : X \to \bracket{ -{\displaystyle \frac{1}{3}} a, {\displaystyle \frac{1}{3}} a } \;\left\{\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & h(A_-) \subseteq \braces{ -{\displaystyle \frac{1}{3}} a } \\ \text{かつ} & h(A_+) \subseteq \braces{ {\displaystyle \frac{1}{3}} a } \end{array}\right.$ である。
- もちろん $h : X \to {\mathbb R} {\rm は連続写像}$ であり、 $\all x \in X \; |h(x)| \leq {\displaystyle \frac{1}{3}} a$ である。
- 以下、$H(g,a)$の第3の条件を確認する。
- $x \in A$ を任意に取る。
- $A$ $\equ$ $g$ の定義 $g^{-1}(\bracket{-a,a}) \equ A_- \cup A_\pm \cup A_+$ である。
- $x \in A_-$ の場合：
  - $-a \leq g(x) \leq -{\displaystyle \frac{1}{3}} a$ かつ $h(x)$ $\equ$ A_-,A_+が満たす条件 $-{\displaystyle \frac{1}{3}} a$ なので $|g(x)-h(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a$ である。
- $x \in A_\pm$ の場合：
  - $g(x),h(x) \in \bracket{ -{\displaystyle \frac{1}{3}} a, {\displaystyle \frac{1}{3}} a }$ なので $|g(x)-h(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a$ である。
- $x \in A_+$ の場合：
  - ${\displaystyle \frac{1}{3}} a \leq g(x) \leq a$ かつ $h(x)$ $\equ$ A_-,A_+が満たす条件 ${\displaystyle \frac{1}{3}} a$ なので $|g(x)-h(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a$ である。
- よって、$h \in H(g,a)$ である。
従って、選択公理により $\exi F \in \prod\limits_{(g,a) \in G} H(g,a)$ である。
$\all (g, a) \in \text{Map}(A, \mathbb{R}) \times \mathbb{R}^+ \bracket{ \parenth{g, a} \in G \Rightarrow \parenth{g - F(g, a), {\displaystyle \frac{2}{3}}a} \in G }$が成り立つ。
- 明らかに$g - F(g, a) \text{は連続写像}$である。
- $F(g, a) \in H(g, a)$なので、$\all x \in A \;\; |g(x)-F(g, a)(x)| \leq {\displaystyle \frac{2}{3}} a$である。
$g_0 :\equiv f$ と置く$\;( (g_0,1)$ $\in$ 定理の仮定 $G)$。
$n \in {\mathbb N}$ に対し、$\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n} \in G$ が定まった時、 $g_{n+1} :\equiv g_n - F\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n}$ と置く。
$\parenth{g_{n+1}, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^{n+1}} \in G$ である。
$\sum\limits_{n=0}^\infty F\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n}$ が求めるものであることを示す。
$n \in {\mathbb N}$ に対し、$h_n :\equiv F\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n} \in H\parenth{g_n, \parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n}$ と置く。
${\rm (i)}$
$\sum\limits_{n=0}^\infty h_n {\rm は一様に絶対収束する}$ が成り立つ。
- $H$ の定義より、$\all n \in {\mathbb N} \; \all x \in X \; |h_n(x)| \leq {\displaystyle \frac{1}{3} \parenth{\frac{2}{3}}^n}$ である。
- $\sum\limits_{n=0}^\infty {\displaystyle \frac{1}{3} \parenth{\frac{2}{3}}^n} \equ \cdots \equ 1$ である。
- 従って解析学における級数に関する定理より、$\sum\limits_{n=0}^\infty h_n {\rm は一様に絶対収束する}$ である。
従って、$\sum\limits_{n=0}^\infty h_n {\rm は一様に収束する}$ である。
一方、$H$ の定義より、$\all n \in {\mathbb N} \; h_n {\rm は連続写像}$ である。
従って、これらより、$\sum\limits_{n=0}^\infty h_n {\rm は連続写像}$ である。
${\rm (ii)}$$x \in A$ を任意に取る。
$\all n \in {\mathbb N} \; f(x) - \sum\limits_{k=0}^n h_k(x)$ $\equ$ $(g_n)_{n \in {\mathbb N}},(h_n)_{n \in {\mathbb N}}$ の定義と
帰納法 $g_{n+1}(x)$ である。
$\all n \in {\mathbb N} \; |g_{n+1}(x)|$ $\leq$ (g_{n+1},(2/3)^{n+1})∈G $\parenth{{\displaystyle \frac{2}{3}}}^n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ つまり $\lim\limits_{n \to \infty} g_{n+1}(x) \equ 0$ である。
以上より、$\sum\limits_{n=0}^\infty h_n(x) \equ \lim\limits_{n \to \infty} \parenth{ f(x) - g_{n+1}(x) } \equ f(x)$ である。

証明終

$(X, {\cal O})$ を $T_4$ 位相空間とする。
$A \in {\cal C}$ とし、$f : A \rightarrow [a,b] \;{\rm は連続写像}$ と仮定する$(a \lt b)$。

$\exi {\rm 連続写像} g : X \rightarrow [a,b] \; \all x \in A \; g(x) \equ f(x)$ が成り立つ$^{AC}$。

$\varphi : [-1,1] \rightarrow [a,b], t \mapsto {\displaystyle \frac{a+b}{2}} - {\displaystyle \frac{a-b}{2}}t$ と定義する。
$\varphi {\rm は同相写像}$ なので $\varphi^{-1} \circ f : A \rightarrow [-1,1] \;{\rm は連続写像}$ である。
従って、上記定理$^{AC}$ より $\exi {\rm 連続写像} g : X \rightarrow [-1,1] \; \all x \in A \; g(x) \equ (\varphi^{-1} \circ f)(x)$ である。
従って、$\all x \in A \; (\varphi \circ g)(x) \equ f(x)$ である。
$\varphi {\rm は同相写像}$ なので $\varphi \circ g : X \rightarrow [a,b] \;{\rm は連続写像}$ である。

2018-11-22

$T_3$空間かつ第2可算ならば$T_4$空間

位相空間論

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。

$X$は$T_3$空間 $\Leftrightarrow$ $\all x \in X \all U \in {\cal O} \;\parenth{ x \in U \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$ が成り立つ。

$X$は$T_3$空間
$\Leftrightarrow \all x \in X \all A \in {\cal C} \;\parenth{ x \not\in A \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; A \subset \exi U \in {\cal O} \; V \cap U \equ \phi }$
$\Leftrightarrow \all x \in X \all A \in {\cal C} \;\parenth{ x \in X \backslash A \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; \exi U \in {\cal O} \; V \subset X \backslash U \subset X \backslash A }$
$\Leftrightarrow$ $\all x \in X \all U \in {\cal O} \;\parenth{ x \in U \Rightarrow x \in \exi V \in {\cal O} \; {\overline V} \subset U }$

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。

$X$は$T_3$空間かつ第2可算 $\Rightarrow$ $X$は$T_4$空間である。

$A, B \in {\cal C}$ を任意に取り、$A \cap B \equ \phi$ を仮定する(${\cal C}$は$(X,{\cal O})$の閉集合系である)。
${\cal W} \subset {\cal O}$ を仮定[$X$は第2可算]により存在する可算な基底とする。
$\left.\begin{array}{@{}r@{}} {\cal U} :\equiv \Set{ U \in {\cal W} }{ A \cap U \nequ \phi \land B \cap {\overline U} \equ \phi } \\ {\cal V} :\equiv \Set{ V \in {\cal W} }{ A \cap {\overline V} \equ \phi \land B \cap V \nequ \phi } \end{array}\right\}$ と置く。
$A \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} }$ かつ $B \subset \parenth{ \bigcup {\cal V} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
- $A \subset \bigcup {\cal U}$ かつ $B \subset X \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ が成り立つ。
  - (i)$a \in A$ を任意に取る。
  - $a \in A \subset X \backslash B \in {\cal O}$ なので、仮定[$X$は$T_3$空間]より、$a \in \exi W \in {\cal O} \; {\overline W} \subset X \backslash B$ である。
  - ${\cal W}$は基底なので、$a \in \exi U \in {\cal W} \; U \subset W$ である。
  - 従って、$U \in {\cal U}$ であり、よって、$a \in U \subset \bigcup {\cal U}$ である。
  - (ii)${\cal U}$の定義から$\phi \equ \bigcup \Set{ B \cap {\overline U} }{ U \in {\cal U} } \equ B \cap \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
  - 従って、$B \subset X \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
- 同様に$A \subset X \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} }$ かつ $B \subset \bigcup {\cal V}$ が成り立つ。
- 以上より、$A \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} }$ かつ $B \subset \parenth{ \bigcup {\cal V} } \backslash \bigcup \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} }$ である。
仮定[$X$は第2可算]より、${\cal U} \equ \Set{ U_n }{ n \in {\mathbb N} }, {\cal V} \equ \Set{ V_n }{ n \in {\mathbb N} }$ と表せる。
$S_0 :\equiv U_0$, $T_n :\equiv V_n \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline S_k}$, $S_{n+1} :\equiv U_{n+1} \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T_k} \;\parenth{ n \in {\mathbb N} }$ と定義する。
$\xymatrix@C=5pt@R=10pt{ S_0 :\equiv U_0 \ar[d] & \cdots & \cdots & S_n \ar[d] & S_{n+1} :\equiv U_{n+1} \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T_k} \ar[d] & \cdots \\ T_0 \ar[ur] & \cdots & \cdots \ar[ur] & T_n :\equiv V_n \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline S_k} \ar[ur] & T_{n+1} \ar[ur] & \cdots }$
$U :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} S_n$, $V :\equiv \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} T_n$ と定義する。
$U,V$が求めるものである事を示す。
定義により、明らかに$U \in {\cal O}$ かつ $V \in {\cal O}$ である。
$A \subset U$ かつ $B \subset V$ である。
- (i)任意の自然数$n$に対して、$\bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T}_k \subset \bigcup\limits_{k=0}^n V_n \subset \bigcup \Set{ {\overline{V^\prime}} }{ V^\prime \in {\cal V} }$ なので、
  $U_{n+1} \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \subset U_{n+1} \backslash \bigcup\limits_{k=0}^n {\overline T}_k \equ S_{n+1}$ である。
- 勿論、$U_0 \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \subset U_0 \equ S_0$ である。
- 従って、$A$ $\subset$ A,Bを含む部分集合 $\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ U_n \backslash \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } } \subset \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} S_n \equ U$ である。
- (ii)全く同様にして、$B \subset$ $\bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} \parenth{ V_n \backslash \Set{ {\overline U} }{ U \in {\cal U} } } \subset \bigcup\limits_{n \in {\mathbb N}} T_n \equ V$ である。
$U \cap V \equ \phi$ である。
- $\all n, m \in {\mathbb N} \; S_n \cap T_m \equ \phi$ を示せばよい。
- $n \leq m$ の時：
  - $T_m \equ V_m \backslash \bigcup\limits_{k=0}^m {\overline S}_k \subset V_m \backslash {\overline S}_n \subset V_m \backslash S_n$ なので $S_n \cap T_m \equ \phi$ である。
- $n \gt m$ の時：
  - $S_n \equ U_n \backslash \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} {\overline T}_k \subset U_n \backslash {\overline T}_m \subset U_n \backslash T_m$ なので $S_n \cap T_m \equ \phi$ である。

証明終

2018-11-20

位相空間の一点コンパクト化

位相空間論

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$\all A \subset X \; (X \backslash A)^\circ \equ X \backslash {\overline A}$ である。

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。

$\all A, B \subset X \; \parenth{ A {\rm は閉集合かつ} B {\rm はCompact} \Rightarrow A \cap B {\rm はCompact} }$ である。

${\cal U} \subset {\cal O}$ を任意に取り、$A \cap B \subset \bigcup {\cal U}$ を仮定する。
$B \equ B \cap \parenth{ A \cup X\backslash A } \equ \parenth{ A \cap B } \cup \parenth{ B \backslash A } \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \cup \parenth{ X \backslash A }$ である。
従って、$\exi {\rm 有限部分集合} {\cal V} \subset {\cal U} \; B \subset \parenth{ \bigcup {\cal V} } \cup \parenth{ X\backslash A }$ が成り立つ仮定[$B$はCompact]と$X \backslash A \in {\cal O}$ 。
よって、$A \cap B \subset \bigcup {\cal V}$ である。

従って、$B \equ X$として、
$X {\rm はCompact} \Rightarrow \all A \subset X \parenth{ A {\rm は閉集合} \Rightarrow A {\rm はCompact} }$ でもある。

$X {\rm はHausdorff} \Rightarrow \all A \subset X \; \parenth{ A {\rm は閉集合} \Leftarrow A {\rm はCompact} }$ である。

$A$ を $X$ のCompact部分集合とする。
$X \backslash A \in {\cal O}$ を示す。
$x \in X \backslash A$ を任意に取る。
${\cal U} :\equiv \Set{ U \in {\cal O} }{ x \in (X \backslash U)^\circ }$ と置く。
$A \subset \bigcup {\cal U}$ が成り立つ。
- $a \in A$ を任意に取る。
- 仮定[$X$はHausdorrf]より、$a \in \exi U \in {\cal O} \; x \in \exi V \in {\cal O} \;\; U \cap V \equ \phi$ である。
- 従って、$x \in V \subset X \backslash U$ つまり、$x \in (X \backslash U)^\circ$ である。
- 従って、$U \in {\cal U}$ である。
- よって、$a \in U \subset \bigcup {\cal U}$ である。
Compact部分集合Aより、$\exi {\rm 有限部分集合} {\cal V} \subset {\cal U} \; A \subset \bigcup {\cal V}$ が成り立つ。
$U :\equiv \bigcap \Set{ (X \backslash V)^\circ }{ V \in {\cal V} }$ と置く。
${\cal U}$ の定義より$x \in U$ であり、${\cal V}$ は有限集合だから$U \in {\cal O}$ である。
一方、$U$ $\equ$ 上記の命題 $\bigcap \Set{ X \backslash {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \equ X \backslash \bigcup \Set{ {\overline V} }{ V \in {\cal V} } \subset X \backslash \bigcup {\cal V}$ $\subset$ AはVで被覆される $X \backslash A$ である。
従って、$x \in (X \backslash A)^\circ$ である。
よって、$X \backslash A \equ (X \backslash A)^\circ$ である。

$(X,{\cal O})$ を位相空間とする。
$X^* :\equiv X \coprod \{ c \}$ と置く(つまり、$c \not\in X$)。
${\cal U}_* :\equiv \Set{ U \in {\cal O} }{ X \backslash U {\rm は (} X {\rm の)Compact集合} }$ と置く。
${\cal O}_{X^*} :\equiv {\cal O} \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_*}$ と置く。

$(X^*, {\cal O}_{X^*})$ はCompactな位相空間である。
- まずは、${\cal O}_{X^*}$ は開集合系である事を示す。
- (i) ${\cal U} \equ {\cal U}_0 \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_1 } \subset {\cal O} \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \equ {\cal O}_{X^*}$ を任意に取る。
- ${\cal U}_1 \equ \phi$ の時：
  - $\bigcup {\cal U} \equ \bigcup {\cal U}_0 \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
- ${\cal U}_1 \neq \phi$ の時：
  - この時、$U \in {\cal U}_1$ が取れる。
  - $\bigcup {\cal U} \equ \parenth{ \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } } \coprod \{c\}$ であり、 $\bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } \in {\cal O}$ である。
  - $X \backslash \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } \equ$ $X \backslash \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup \parenth{ {\cal U}_1 \backslash \{U\} } }$ 閉集合 $\;\cap\;$ $X \backslash U$ Compact はCompact である上記の命題。
  - 従って、$\bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 } \in {\cal U}_*$ である。
  - よって、$\bigcup {\cal U} \in \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
- (ii)$V_0,V_1 \in {\cal O}_{X^*}$ を任意に取る。
- $V_0,V_1 \in {\cal O}$ の時：
  - 明らかに、$V_0 \cap V_1 \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
- $V_0 \in {\cal O}$ かつ $V_1 \equ U \coprod \{c\} \in \Set{ U^\prime \coprod \{c\} }{ U^\prime \in {\cal U}_* }$ の時：
  - $V_0 \cap V_1 \equ V_0 \cap U \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
- $V_i \equ U_i \coprod \{c\} \in \Set{ U^\prime \coprod \{c\} }{ U^\prime \in {\cal U}_* } (i \equ 0,1)$ の時：
  - $V_0 \cap V_1 \equ \parenth{ U_0 \cap U_1 } \coprod \{c\}$ である。
  - $U_0 \cap U_1 \in {\cal O}$ かつ、$X \backslash \parenth{ U_0 \cap U_1 } \equ \parenth{ X \backslash U_0 } \cup \parenth{ X \backslash U_1 }$ はCompact である Compact集合の有限和は
    またCompact集合である。。
  - よって、$V_0 \cap V_1 \in \Set{ U^\prime \coprod \{c\} }{ U^\prime \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
- (iii)$X^* \equ X \coprod \{c\} \in \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
- (iv)次にCompactである事を示す。
- ${\cal U} \subset {\cal O}_{X^*}$ を任意に取り、$X^* \subset \bigcup {\cal U}$ を仮定する。
  ${\cal U} \equ {\cal U}_0 \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_1 }$ と表しておく。
- $c \in X^* \subset \bigcup {\cal U}$ なので、$U \in {\cal U}_1$ が取れる。
- $X \backslash U \subset X \subset \parenth{ \bigcup {\cal U} } \backslash \{c\} \equ \bigcup \parenth{ {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 }$ である。
- 従って、$\exi {\rm 有限部分集合} {\cal V} \subset {\cal U}_0 \cup {\cal U}_1 \; X \backslash U \subset \bigcup {\cal V}$ である。
- ${\cal V} \equ {\cal V}_0 \cup {\cal V}_1 \; \parenth{ {\cal V}_i \subset {\cal U}_i \; (i \equ 0,1) }$ と表しておく。
- よって、$X^* \subset \bigcup \parenth{ {\cal V}_0 \cup {\cal V}_1 \cup \{U\} } \coprod \{c\} \equ \bigcup \parenth{ {\cal V}_0 \coprod \Set{ V \coprod \{c\} }{ V \in {\cal V}_1 \cup \{U\} } }$ である。
$\Set{ U \cap X }{ U \in {\cal O}_{X^*} } \equ {\cal O}$ である。
- ${\cal U}_*, {\cal O}_{X^*}$ の定義により明らか。
$(X,{\cal O}) {\rm はlocally\;Compact かつ Hausdorff } \Leftrightarrow (X^*, {\cal O}_{X^*}) {\rm はHausdorff}$ である。
- ($\Rightarrow$)$x,y \in X^*$ を任意に取り、$x \neq y$ を仮定する。
- $x,y \in X$ の時：
  - 仮定[$X$はHausdorff]により、$x \in \exi U \in {\cal O} \; y \in \exi V \in {\cal O} \; U \cap V \equ \phi$ である。
  - $U,V \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
- $x \in X$ かつ $y \equ c$ の時：
  - 仮定[$X$はlocally Compact]より、$\exi {\rm Compactな} A \subset X \; A {\rm は(} X {\rm における)} x {\rm の近傍}$ である。
  - 従って、仮定[$X$はHausdorff],上記の命題より、$A$は($X$の)閉集合である。
  - 従って、$X \backslash A \in {\cal U}_*$ である。
  - 一方、xの近傍Aより、$x \in \exi U \in {\cal O} \; U \subset A$ である。
  - 以上より、$x \in U \in {\cal O}_{X^*}$ かつ $c \in X \backslash A \coprod \{c\} \in {\cal O}_{X^*}$ かつ $U \cap \parenth{ X \backslash A \coprod \{c\} } \equ \phi$ である。
- ($\Leftarrow$)$X^*$がHausdorffならば、その部分空間$X$は明らかにHausdorffである。
- $X$がlocally Compactである事を示す。
- $x \in X$ を任意に取る。
- $x \neq c$なので、仮定[$X^*$はHausdorff]と${\cal O}_{X^*}$の定義より、$x \in \exi U \in {\cal O} \; \exi V \in {\cal U}_* \; U \cap V \equ \phi$ である。
- 従って、$x \in U \subset X \backslash V$ かつ $X \backslash V$ は($X$の)Compact集合である。
- よって、$X \backslash V$ は $x$ の($X$の)Compactな($X$の)近傍である。
${\cal O}_*$ を $X^*$ の任意の開集合系とする時、
$\left.\begin{array}{@{}l@{}} (X^*, {\cal O}_*) {\rm はCompact かつ Hausdorff} \\ \Set{ U \cap X }{ U \in {\cal O}_* } \equ {\cal O} \end{array}\right\} \Rightarrow {\cal O}_* \equ {\cal O}_{X^*}$ である。
- 仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はHausdorff]より、$\{c\}$ は $(X^*,{\cal O}_*)$ の閉集合である。
- 従って、$X \equ X^* \backslash \{c\} \in {\cal O}_*$ である。
- ($\supset$)仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]とXはX^*の開集合より、 ${\cal O} \subset {\cal O}_*$ である。
- $\Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_*$ である。
  - $U \in {\cal U}_*$ を任意に取る。
  - $X \backslash U$ は($X$の)Compact集合であるので、$X \backslash U$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ のCompact集合である仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]
    より。
  - 従って、仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はHausdorff]と上記の命題より、$X \backslash U$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ の閉集合である。
  - よって、$U \coprod \{c\} \equ X^* \backslash \parenth{ X \backslash U } \in {\cal O}_*$ である。
- 以上より、${\cal O}_{X^*} \equ {\cal O} \coprod \Set{ U \coprod \{c\} }{ U \in {\cal U}_* } \subset {\cal O}_*$ である。
- ($\subset$)$V \in {\cal O}_*$ を任意に取る。
- $c \not\in V$ の時：
  - $V \subset X$ であり、仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$の$X$への制限が${\cal O}$]より、$V \in {\cal O} \subset {\cal O}_{X^*}$ である。
- $c \in V$ の時：
  - $X^* \backslash V \subset X$ である。
  - $X^* \backslash V$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ の閉集合なので、$X^* \backslash V$ は $(X^*, {\cal O}_*)$ のCompact集合である仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はCompact]
    と上記命題より。
  - 従って、$X^* \backslash V$ は $(X,{\cal O})$ のCompact集合である仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]
    より。
  - 仮定[$(X^*,{\cal O}_*)$はHausdorff]より、その部分空間$(X,{\cal O})$ ここでも
    仮定[${\cal O}_*$の$X$への制限が${\cal O}$]
    を使っている。はHausdorrfである。
  - 従って、上記命題より、$X^* \backslash V$ は $(X,{\cal O})$ の閉集合である。
  - 従って、Compact集合X^*-Vも合わせて、 $V \backslash \{c\} \equ X \backslash \parenth{ X^* \backslash V } \in {\cal U}_*$ である。
  - よって、$V \equ V \backslash \{c\} \coprod \{c\} \in {\cal O}_{X^*}$ である。

2018-11-16

Zornの補題と同値な命題(集合論編)

集合論

Zornの補題と同値な命題の中でも、特にZornの補題と形が似ているものの同値性を証明する。

$X$を集合とする。
$C$を$X$の部分集合に関する性質とする。

$C$は有限的な性質	$:\Leftrightarrow$
$\all Y \subset X \left[\; Y \rm{は性質} C \rm{を持つ} \;\Leftrightarrow\; \all Z \subset Y \parenth{ Z \rm{は有限集合} \Rightarrow Z \rm{は性質} C \rm{を持つ} } \;\right]$

以下の命題は同値である。

Zornの補題
$(X,\leq)$ を順序集合とする。
$\phi \neq \all S \subset X \; \parenth{ S {\rm は帰納的} \Rightarrow \all p \in S \; p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元} }$ が成り立つ。
(Tukey)
$X$を集合とする。$C$を$X$の部分集合に関する有限的な性質とする。
${\frak X} :\equiv \Set{ Y \subset X }{ Y {\rm は性質} C {\rm を持つ} }$ と置く。
$\all Y \in {\frak X} \;\; Y \subset \exi Z \in {\frak X} \; Z {\rm は} ( {\frak X}, \subset ) {\rm の極大元}$ である。
(Kuratowski)
$(X,\leq)$を順序集合とする。
$\all Y \in {\rm TotOrd}(X) \;\; Y \subset \exi Z \in {\rm TotOrd}(X) \; Z {\rm は} ( {\rm TotOrd}(X), \subset ) {\rm の極大元}$ である。

[証明]

${\vcenter{\def\labelstyle{\textstyle} \begin{xy}\xymatrix@C=30pt@R=15pt{ (1) \ar@2{->}[r]^-{[1]} & (2) \ar@2{->}[r]^-{[2]} & (3) \ar@2{->} `d/0pt[d] `/0pt[dll]_-{[3]} [ll] \\ & & }\end{xy}}}$ の順で証明する。
[1] ${\frak X} \neq \phi$ として、${\frak X}$ が帰納的である事を証明すればよい。
${\cal Y} \; \parenth{ \subset {\frak X} }$ を ${\frak X}$ の全順序部分集合とする。
$\bigcup {\cal Y} \in {\frak X}$ が成り立つ。
- $Z \; \parenth{ \subset \bigcup {\cal Y} }$ を任意の有限集合とする( $Z$ が性質$C$を持つ事を示せばよい $C$は有限的な性質 )。
- $Z$ は有限集合なので、有限部分集合${\cal Y}_0 \subset {\cal Y}$ が存在して、 $Z \subset \bigcup {\cal Y}_0$ が成り立つ。
- ${\cal Y}_0$ は有限集合なので、全順序部分集合Yより、$\exi Y \in {\cal Y}_0 \; Y {\rm は} {\cal Y}_0 {\rm の最大元}$ である。
  従って、 $\bigcup {\cal Y}_0 \equ Y$ である。
- $Z$ は有限集合であり、かつ、$\parenth{ Z \subset }\; Y$ は性質$C$を持つので、$Z$ は性質$C$を持つ。
従って、明らかに $\bigcup {\cal Y}$ が ${\cal Y}$ の上界である事も合わせて、 ${\frak X}$ が帰納的である事が示された。
[2]｢全順序部分集合である｣が有限的な性質であることを証明すればよい。
$\Rightarrow$$Y \; \parenth{ \subset X }$ が全順序ならば、明らかに、$\all Z \subset Y \; Z {\rm は全順序}$ である。
$\Leftarrow$$Y \subset X$ とし、 $\all Z \subset Y \; \parenth{ Z {\rm は有限集合} \Rightarrow Y {\rm は全順序} }$ であると仮定する。
任意の$x,y \in Y$に対して、仮定より$\{x,y\}$は全順序だから、$x \leq y \lor x \geq y$ である。
従って、$Y$は全順序である。
[3]$S \; \parenth{ \subset X }$ を帰納的と仮定し、$p \in S$ とする。
仮定(3)により、$\{ p \} \subset \exi Z \in {\rm TotOrd}(X) \; Z {\rm は} ({\rm TotOrd}(X), \subset) {\rm の極大元}$ である。
$S$の仮定により、$\exi c \in S \; c {\rm は} Z {\rm の上界}$ である。
Zの上界cより、$p \leq c$ である。
$c {\rm は} S {\rm の極大元}$ である。
- $c \leq d \in $ なる $d$ を任意に取る。
- $Z \subset Z \cup \{ d \}$ $\in$ Zの上界cより。 ${\rm TotOrd}(X)$ なので、極大元Zより、$Z \equ Z \cup \{ d \}$ である。
- 従って、$d \in Z$だが、Zの上界cより、$d \leq c$である。よって、$c \equ d$である。
以上より、Zornの補題が成立する。

証明終

2018-10-16

胎児が障害を持っていると分かったのに産む理由が分からない

エッセイ

思った事を書くだけ

出産前に何らかの検査を受ける事で事前に子どもが障害児かどうかが分かるらしい。
それを事実と仮定した上で、昔から何度も思い続けてきてる事なんだが、なんで自分の子どもが障害児なのにわざわざ産もうと思ったのかが、…そういう親が居るのかが…理解できない。

そのまま産んだとしても、生まれた障害児が人生の過程において健常者よりも余分に苦しむ事は明白である。
そのまま産んだとしても、親にとってもその障害児の面倒を見るのにかかる労力が健常者の場合よりも甚大なのは明白である。

それに、一度産んでしまったら｢やっぱりこんな障害児は自分には育てられない｣と育児放棄は出来ないのだから(赤ちゃんポストみたいな例外はあるかも知れないが)、判断は速いほうがいいと思う。

胎児の段階で障害者と分かったとしても、その胎児の命は存在が始まってからごく数週間～数十週間に過ぎない訳だから、当然命の価値も軽く判断できるし、何よりも仮に堕胎等をしたとしても両親の心理的負担は格段に小さい事は明白である。
これは簡単な思考実験で分かる。5歳6歳の子供を死なせた時の悲しさ･心理的ショックと母胎の健康上の問題等で胎児が死産となった時の悲しさ･心理的ショックを比べた場合どちらがより大きいかと言えば、前者である事は明白である。

だから、自分の子供が障害を持っていると分かったら、勿論障害の程度による事は言うまでも無いが、堕ろしてしまう方が、後々のリスク･不幸を比べた場合に、より合理的であるとしか私には思えない。
たとえ障害を持っているとは言え堕ろしてしまったら悲しいだろうし、母胎への肉体的な意味での負担も当然ある。何よりも｢俺は堕ろす(=殺す)事を選んでしまった｣という十字架を背負う事が心理的負担にはなるだろう。

でも、そういうのは一時の負の感情にしかすぎず、10年も経てば｢そんなことあったなぁ｣程度になる事はほぼ間違いない。
それなら、さっさと堕ろして次の健常な胎児を作る事に専念した方がよっぽどマシだと思う。

それでも産むという選択をした親は、そういう負担よりも｢殺したくない｣という感情論を優先させたか、もしくは、誰でも想像がつくような後々の負担さえも思わないぐらいの、一種の”変わった”心理状態だったのだろう。
考えられるのは、

｢何があっても堕ろさず育てる!｣という、宗教的バックグラウンドがありそうな、固い決意･信念
高齢出産、母胎が弱ってる等の理由で今回産む期を逃すともう自分の子供が得られない

ぐらいか？
1に関しては率直に｢頭がおかしい｣としか思えない。
2に関しては当人の感情としては分からないでもないが、｢お前の『子供欲しい!』欲求で産まされた障害児はたまったもんじゃねぇよ｣っていう批判が出来てしまう。もはや(養子を取るなどの選択を取らず)ここまで親のエゴを突き通して障害児を産むなら、育てられなくなったら親に刑事罰があっていいと思う。

…と、まぁ考えを書いてみたが、現実では中絶は沢山あった：平成25年度衛生行政報告例の概況
のpage -9-を見ると、平成25年度の中絶件数の総数が、186,253件とある。
こう言う数字を見ると、結局は人は｢障害児なんて自分の子供には要らない｣って判断してる現実的な"リアルな"感じが伝わってくる。

結局、メディアを通して聞こえてくる｢命を大切に｣みたいなセリフは美辞麗句に過ぎず、私の率直な考えが現実を多少は捉えていると確認できただけだ。

一応、前もって弁明しておくと、
人々は｢自分の子供に障害児なんて要らない｣と思ってる事を論証するには、(自分の子供が障害児だと分かったから堕ろした件数) ÷ (自分の子供が障害児だと分かった件数) の値を得ないといけないんですがね。

2018-10-15

${\rm S}_n^m$-定理を自分なりに纏める。

数理論理学帰納的関数

$\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$ $S_n^m$-定理を自分なりに纏める。

$\lambda y_1 \cdots y_m x_1 \cdots x_n \; f(y_1,\cdots,y_m,x_1,\cdots,x_n)$を$(m+n)$-変数の帰納的な部分関数とする。
この関数$f$のゲーデル数を$e$とする。

この時、原始帰納的関数$\lambda z y_1 \cdots y_m \; S_n^m(z,y_1,\cdots,y_m)$が存在して、任意の$y_1,\cdots,y_m$に対し、

$\lambda x_1 \cdots x_n \left[ \{e\}(y_1,\cdots,y_m,x_1,\cdots,y_n) \simeq \{ S_n^m(e,y_1,\cdots,y_m) \}(x_1,\cdots,x_n) \right]$

が成り立つ。

証明

$m \equ 0$の場合は、${\rm S}_n^0(z) \equ z$ とすればよい。$m \geq 1$とする。
表記を簡単にするために、$x_1,\cdots,x_n$ を ${\boldsymbol x}$ で表す。
自然数の列$x_1,\cdots,x_n$にそれぞれ対応する数項の列${\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n$ を ${\overline {\boldsymbol x}}$ で表す。
$y_1,\cdots,y_m$についても同様である。
$\varphi(z,{\boldsymbol y},{\boldsymbol x}) :\equiv {\rm U}(\mu w {\rm T}_{m+n}(z,{\boldsymbol y},{\boldsymbol x},w))$ と置く。
$\varphi$は帰納的部分関数、従って、形式的に計算可能なので、方程式系$D$が存在して、任意の$z,{\boldsymbol y},{\boldsymbol x}, v$ に対して、
$D \vdash g({\overline z},{\overline {\boldsymbol y}}, {\overline {\boldsymbol x}}) \equ {\overline v} \Leftrightarrow \varphi(z, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \equ v$
が成り立つ。ただし、$g$は$D$の主関数記号である。
$h$を$D$に含まれない関数記号とする。
$z,{\boldsymbol y}$ に対し、方程式系$E_{z, {\boldsymbol y}}$ を $D, h(a_1,\cdots,a_n) \equ g({\overline z}, {\overline {\boldsymbol y}}, a_1,\cdots,a_n)$ とし、
$S_n^m(z, {\boldsymbol y}) :\equiv \godel{ E_{z, {\boldsymbol y}} }$ と定義する。
$S_n^m(z, {\boldsymbol y}) \equ \godel{D} * 2^{\godel{h(a_1,\cdots,a_n) \equ g({\overline z}, {\overline {\boldsymbol y}}, a_1,\cdots,a_n)}} \equ$

${\LARGE \godel{D} * 2^{ 2^{\godel{\equ}} \cdot 3^{\godel{h(a_1,\cdots,a_n)}} \cdot 5^{\godel{g({\overline z}, {\overline {\boldsymbol y}}, a_1,\cdots,a_n)}} }}$
なので、原始帰納的関数である事が分かる(自然数$k$に対して$\godel{{\overline k}}$を求める関数は原始帰納的である)。
${\boldsymbol y}$ を任意にとって固定しておく。
φが形式的に計算可能より、任意の${\boldsymbol x}, v$に対して、

$E_{e, {\boldsymbol y}} \vdash h({\overline {\boldsymbol x}}) \equ {\overline v} \Leftrightarrow \varphi(e, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \equ v$
が成り立つ。
従って、定義により、$\lambda {\boldsymbol x} \left[ \; {\rm U}(\mu w {\rm T}_n ( S_n^m(e, {\boldsymbol y}), {\boldsymbol x}, w ) ) \simeq \varphi(e, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \; \right]$ が成り立つ(${\boldsymbol y}$に応じて存在する方程式系が変わるので、$\lambda {\boldsymbol x}$となるのだ)。
また、帰納的部分関数$\lambda {\boldsymbol x} {\rm U}(\mu w {\rm T}_n ( S_n^m(e, {\boldsymbol y}), {\boldsymbol x}, w ) )$ のゲーデル数は明らかに ${\rm S}_n^m(e, {\boldsymbol y})$ なので、

$\lambda {\boldsymbol x} \left[ \; \{ {\rm S}_n^m (e, {\boldsymbol y}) \}({\boldsymbol x}) \simeq {\rm U}(\mu w {\rm T}_n ( S_n^m(e, {\boldsymbol y}), {\boldsymbol x}, w ) ) \; \right]$
である。
そして、$\varphi(z, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x})$ と $e$ の定義より、

$\lambda \left[ \; \varphi(e, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol x} ) \simeq \{e\}({\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \; \right]$
である。
以上より、$\lambda {\boldsymbol x} \left[ \; \{ {\rm S}_n^m (e, {\boldsymbol y}) \}({\boldsymbol x}) \simeq \{e\}({\boldsymbol y}, {\boldsymbol x}) \; \right]$ である。

証明終

2018-10-13

形式的体系${\cal R}$を算術化する。

数理論理学帰納的関数

形式的体系${\cal R}$を算術化する。 $\newcommand{\godel}[1]{\left\ulcorner#1\right\urcorner}$

${\cal R}$の基本記号のゲーデル数
- 定記号のゲーデル数：
  $\godel{{\mathbf 0}} \equ 3、\godel{^\prime} \equ 5、\godel{\equ} \equ 7$
- 変数および関数記号のゲーデル数：
  $\godel{a_n} \equ 2^9 \cdot 3^n \quad \left( n \equ 0,1,2,\cdots \right)$
  $\godel{f_n} \equ 2^{11} \cdot 3^n \quad \left( n \equ 0,1,2,\cdots \right)$
補助記号は構成の順序を示すための記号であるが、以下のゲーデル数の対応のさせ方では、補助記号のゲーデル数を定義する必要は無い。項や方程式、その他に対応させるゲーデル数は、その構成の順序が分かるように定義されるからである。
項のゲーデル数
- $t$が(既にゲーデル数が定義されている)項のとき、
  $\godel{(t)^\prime} \equ 2^5 \cdot 3^{\godel{t}}$
- $t_1,\cdots,t_n$が(既にゲーデル数が定義されている)項で、$f$が関数記号であるとき、
  $\godel{f(t_1,\cdots,t_n)} \equ 2^{\godel{f}} \cdot 3^{\godel{t_1}} \cdot 5^{\godel{t_2}} \cdot \cdots \cdot p_n^{\godel{t_n}}$
方程式のゲーデル数
$t_1,t_2$が(既にゲーデル数の定義されている)項のとき、
$\godel{t_1 \equ t_2} \equ 2^7 \cdot 3^{\godel{t_1}} \cdot 5^{\godel{t_2}}$
方程式系のゲーデル数
$e_1,\cdots,e_l$が(既にゲーデル数の定義されている)方程式であるとき、
$\godel{(e_1,\cdots,e_l)} \equ 2^{13} \cdot 3^{\godel{e_1}} \cdot \cdots \cdot p_l^{\godel{e_l}}$
(方程式系$E$からの)演繹のゲーデル数
- $e$を$E$に含まれる方程式とするとき、演繹$D$が$e$自身ならば、
  $\godel{D} \equ 2^{\godel{e}}$
- $D_1$を$E$からの演繹とし、$D_1$の最下式を$e_1$とするとき、
  演繹$D$が$e_1$から"代入"の推論規則によって$e_2$を得る$\genfrac{}{}{1pt}{0}{D_1}{e_2}$とすれば、
  $\godel{\genfrac{}{}{1pt}{0}{D_1}{e_2}} \equ 2^{\godel{e_2}} \cdot 3^{\godel{D_1}}$
- $D_1,D_2$を$E$からの演繹、$e_1$を$D_1$の最下式、$e_2$を$D_2$の最下式とするとき、
  演繹$D$が$e_1$と$e_2$から"置換"の推論規則によって$e_3$を得る$\genfrac{}{}{1pt}{0}{D_1 \quad D_2}{e_3}$とすれば、
  $\godel{\genfrac{}{}{1pt}{0}{D_1 \quad D_2}{e_3}} \equ 2^{\godel{e_3}} \cdot 3^{\godel{D_1}} \cdot 5^{\godel{D_2}}$

以上の算術化によって、${\cal R}$を自然数論の中に埋め込んだとき、${\cal R}$における様々な概念および${\cal R}$で展開される議論を、自然数上の関数、述語として定義し、自然数論の中で展開してみよう。

${\rm N}(x)$ $e$を${\cal R}$における表現とし、$\godel{e} \equ x$とするとき、 "$e$は数項である"ことを自然数論の中で表す述語｢$\godel{e}$は数項のゲーデル数である｣を意味する。以下では、上のような場合、単に、"$e$は数項である"と｢$\cdots$ゲーデル数である｣の部分は省略した形で述べる	$\equiv$	$x \equ 3 \lor \left( x \equ 2^5 \cdot 3^{(x)_1} \land {\rm N}((x)_1) \right)$
${\rm V}(x)$ ｢$x$は変数記号である｣	$\equiv$	$x \equ 2^9 \cdot 3^{(x)_1}$
${\rm FL}(x)$ ｢$x$は関数記号である｣	$\equiv$	$x \equ 2^{11} \cdot 3^{(x)_1}$
${\rm Tm}(x)$ ｢$x$は項である｣	$\equiv$	$\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & x \equ 3 \\ \lor & {\rm V}(x) \\ \lor & \left( {\rm lh}(x) \equ 2 \land (x)_0 \equ 5 \land {\rm Tm}((x)_1) \right) \\ \lor & \left( {\rm lh}(x) \gt 1 \land {\rm FL}((x)_0) \land (\all i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(x)} {\rm Tm}((x)_i) \right) \end{array}$
${\rm Eq}(x)$ ｢$x$は方程式である｣	$\equiv$	$\left( x \equ 2^7 \cdot 3^{(x)_1} \cdot 5^{(x)_2} \right) \land {\rm Tm}((x)_1) \land {\rm Tm}((x)_2)$
${\rm SE}(x)$ ｢$x$は方程式系である｣	$\equiv$	${\rm lh}(x) \gt 1 \land (x)_0 \equ 13 \land (\all i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(x)} {\rm Eq}((x)_i)$
${\rm Sb}(d, e, t, x)$ ｢変数記号$x$に項$t$を代入すると、項あるいは方程式である$e$が$d$になる｣	$\equiv$	${\rm V}(x) \land {\rm Tm}(t) \land$ $\left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \left( e \equ x \land d \equ t \right) \\ \lor & \left( \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & e \equ 3 \\ \lor & \left( {\rm V}(e) \land e \neq x \right) \end{array}\right) \land d \equ e \right) \\ \lor & \left(\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & \left( {\rm Tm}(e) \lor {\rm Eq}(e) \right) \\ \land & {\rm lh}(e) \gt 1 \\ \land & {\rm lh}(e) \equ {\rm lh}(d) \\ \land & (d)_0 \equ (e)_0 \\ \land & (\all i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(e)} {\rm Sb}\left((d)_i, (e)_i, t, x\right) \end{array}\right) \end{array}\right)$
${\rm Ct}(e,x)$ ｢項あるいは方程式である$e$が、変数記号$x$を含む｣	$\equiv$	$\left( {\rm Tm}(e) \lor {\rm Eq}(e) \right) \land {\rm V}(x) \land \neg {\rm Sb}(e,e,3,x)$
${\rm SC}_n(e,d)$ ｢方程式$e$は、方程式$d$から"代入"の推論規則によって得られる｣	$\equiv$	${\rm Eq}(d) \land (\exi x)_{x \lt d} (\exi n)_{n \lt e} \; \left( {\rm N}(n) \land {\rm Ct}(d,x) \land {\rm Sb}(e,d,n,x) \right)$
${\rm RC}_n (e,d,c)$ ｢方程式$e$は、方程式$d$と$c$から"置換"の推論規則によって得られる｣	$\equiv$	$\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Eq}(c) \land {\rm FL}((c)_{1,0}) \land (\all i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}((c)_1)} {\rm N}((c)_{1,i}) \land {\rm N}((c)_2) \\ \land & {\rm Eq}(d) \land (\all x)_{x \lt d} \neg {\rm Ct}(d,x) \land {\rm Eq}(e) \\ \land & (\exi u)_{u \lt d} \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Tm}(u) \land {\rm Ct}(u, 2^9 \cdot 3) \\ \land & {\rm Sb}((d)_2, u, (c)_1, 2^9 \cdot 3) \\ \land & {\rm Sb}((e)_2, u, (c)_2, 2^9 \cdot 3) \end{array}\right) \end{array}$ ※変数記号$a_1$のゲーデル数$\godel{a_1} \equ 2^9 \cdot 3$は、いかなる関数記号$f_n$のゲーデル数$\godel{f_n} \equ 2^{11} \cdot 3^n$より小さく、従って、$u \lt d$であるような$u$が取れる事に注意。
${\rm Nu}(z,n)$ ｢$z$は自然数$n$に対応する数項である｣	$\equiv$	$\left( z \equ 3 \land n \equ 0 \right) \lor \left( z \equ 2^5 \cdot 3^{(z)_1} \land n \neq 0 \land {\rm Nu}((z)_1, n \dot{-} 1) \right)$
${\rm D}(z,y)$ ｢$y$は方程式系$z$からの演繹である｣	$\equiv$	${\rm SE}(z) \land \\ \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & (\exi i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(z)} \left( y \equ 2^{(z)_i} \right) \\ \lor & \left( y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \land {\rm SC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}) \land {\rm D}(z, (y)_1) \right) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}l@{}} y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \cdot 5^{(y)_2} \land {\rm RC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}, (y)_{2,0}) \\ \land {\rm D}(z, (y)_1) \land {\rm D}(z, (y)_2) \end{array} \right) \end{array} \right)$
${\rm S}_n (z,x_1,\cdots,x_n,y)$ ｢$z$を方程式系、その主関数記号を$f$とする。 $\overline{x}_1,\cdots,\overline{x}_n$をそれぞれ自然数$x_1,\cdots,x_n$に対応する数項、$\overline{x}$も数項とする。また、$y$は方程式系$z$からの演繹で、$y$の最下式は、$f({\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n) \equ {\overline x} $の形をしている｣	$\equiv$	$\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm D}(z,y) \land {\rm lh}((y)_{0,1}) \equ n+1 \\ \land & {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \land (y)_{0,1,0} \equ (z)_{{\rm lh}(z) \dot{-} 1, 1, 0} \\ \land & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, x_1) \\ \land & \vdots \\ \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,n}, x_n) \\ \land & {\rm N}((y)_{0,2}) \end{array} \right) \end{array}$

$Z$を方程式系としたとき、${\rm S}_n (\godel{Z},x_1,\cdots,x_n,y)$は、

$Z \vdash f(\overline{x}_1,\cdots,\overline{x}_n) \equ \overline{x}$

つまり、$f({\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n) \equ {\overline x}$が$Z$から演繹可能である事を表している。

$\psi_i$は$m_i$変数の関数$(i \equ 1,\cdots,l)$とする。

${\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,y)$ ｢$y$は方程式系$z$と$\psi_1,\cdots,\psi_l$に対する関数表からの演繹である｣	$\equiv$	${\rm SE}(z) \land \\ \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & (\exi i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(z)} \; ( y \equ 2^{(z)_i} ) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y \equ 2^{(y)_0} \land {\rm Eq}((y)_0) \land {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \\ \land & \bigvee\limits_{i=1}^l \left( \begin{array}{@{}l@{}} (\exi w_{i,1})_{w_{i,1} \lt y} \; \cdots (\exi w_{i,m_i})_{w_{i,m_i} \lt y} ( \\ \begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} & & (y)_{0,1} \equ 2^{(y)_{0,1,0}} \cdot 3^{(y)_{0,1,1}} \cdot \cdots \cdot p_{m_i}^{(y)_{0,1,m_i}} \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, w_{i,1}) \\ & \land & \vdots \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,m_i}, w_{i,m_i}) \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,2}, \psi_i (w_{i,1},w_{i,2},\cdots,w_{i,m_i}) ) \\ \end{array} \\ ) \end{array} \right) \end{array} \right) \\ \lor & \left( y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \land {\rm SC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}) \land {\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z, (y)_1) \right) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}l@{}} y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \cdot 5^{(y)_2} \land {\rm RC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}, (y)_{2,0}) \\ \land {\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z, (y)_1) \land {\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z, (y)_2) \end{array} \right) \end{array} \right)$
$S_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$ ｢$y$は方程式系$z$と$\psi_1,\cdots,\psi_l$に対する関数表からの演繹で、 $y$の最下式は$f({\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n) \equ {\overline x}$の形をしている。ただし、$f$は$z$の主関数記号、 ${\overline x}_1,\cdots,{\overline x}_n$は、それぞれ自然数$x_1,\cdots,x_n$に対応する数項、${\overline x}$も数項である｣	$\equiv$	$\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm D}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,y) \land {\rm lh}((y)_{0,1}) \equ n+1 \\ \land & {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \land (y)_{0,1,0} \equ (z)_{{\rm lh}(z) \dot{-}1,1,0} \\ \land & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, x_1) \\ \land & \vdots \\ \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,n}, x_n) \\ \land & {\rm N}((y)_{0,2}) \end{array} \right) \end{array}$
${\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,y)$	$\equiv$	${\rm SE}(z) \land \\ \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & (\exi i)_{0 \lt i \lt {\rm lh}(z)} \; ( y \equ 2^{(z)_i} ) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & y \equ 2^{(y)_0} \land {\rm Eq}((y)_0) \land {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \\ \land & \bigvee\limits_{i=1}^l \left( \begin{array}{@{}l@{}} (\exi w_{i,1})_{w_{i,1} \lt y} \; \cdots (\exi w_{i,m_i})_{w_{i,m_i} \lt y} ( \\ \begin{array}{@{}c@{}c@{}l@{}} & & (y)_{0,1} \equ 2^{(y)_{0,1,0}} \cdot 3^{(y)_{0,1,1}} \cdot \cdots \cdot p_{m_i}^{(y)_{0,1,m_i}} \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, w_{i,1}) \\ & \land & \vdots \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,m_i}, w_{i,m_i}) \\ & \land & {\rm Nu}((y)_{0,2}, \textcolor{red}{(v_i)_{w_{i,1},w_{i,2},\cdots,w_{i,m_i}}} ) \\ \end{array} \\ ) \end{array} \right) \end{array} \right) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}l@{}} y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \land {\rm SC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}) \\ \land \; \textcolor{red}{{\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,(y)_1)} \end{array} \right) \\ \lor & \left( \begin{array}{@{}l@{}} y \equ 2^{(y)_0} \cdot 3^{(y)_1} \cdot 5^{(y)_2} \land {\rm RC}_n ((y)_0, (y)_{1,0}, (y)_{2,0}) \\ \land \; \textcolor{red}{{\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,(y)_1)} \\ \land \; \textcolor{red}{{\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,(y)_2)} \end{array} \right) \end{array} \right)$
${\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,x_1,\cdots,x_n,y)$	$\equiv$	$\begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm D}^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,y) \land {\rm lh}((y)_{0,1}) \equ n+1 \\ \land & {\rm FL}((y)_{0,1,0}) \land (y)_{0,1,0} \equ (z)_{{\rm lh}(z) \dot{-}1,1,0} \\ \land & \left( \begin{array}{@{}c@{}l@{}} & {\rm Nu}((y)_{0,1,1}, x_1) \\ \land & \vdots \\ \land & {\rm Nu}((y)_{0,1,n}, x_n) \\ \land & {\rm N}((y)_{0,2}) \end{array} \right) \end{array}$

表記の都合上

$\prod\limits_{i \lt n} p_i \; {\rm exp} \; a_i :\equiv \prod\limits_{i \lt n} p_i^{a_i}$

と置く。

原始帰納的関数$\varphi(x_1,\cdots,x_n)$に対して、原始帰納的関数${\tilde \varphi}(x_1,\cdots,x_n)$を

${\tilde \varphi}(x_1,\cdots,x_n) \equ \prod\limits_{i_1 \lt x_1} p_{i_1} {\rm exp}( \cdots ( \prod\limits_{i_n \lt x_n} p_{i_n} {\rm exp} \; \varphi(i_1,\cdots,i_n) ) \cdots )$

で定義する。この定義から明らかに、$a_i \lt x_i \; (i \equ 1,\cdots,n)$ に対して、

$\varphi(a_1,\cdots,a_n) \equ ( {\tilde \varphi}(x_1,\cdots,x_n) )_{a_1,\cdots,a_n}$

が成り立つ。

${\rm S}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$は、$(n+2)$変数の述語であり、$\psi_1,\cdots,\psi_l$で原始帰納的であるのに対し、
${\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}(v_1,\cdots,v_l,z,x_1,\cdots,x_n,y)$は、$(l+n+2)$変数の原始帰納的述語である。

${\rm S}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$は、無限集合である関数表$E_{g_1,\cdots,g_l}^{\psi_1,\cdots,\psi_l}$によって定められているのに対し、
${\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}({\tilde \psi}_1(v,\cdots,v),\cdots,{\tilde \psi}_l(v,\cdots,v),z,x_1,\cdots,x_n,y)$は、有限の表${\tilde \psi}_1(v,\cdots,v),\cdots,{\tilde \psi}_l(v,\cdots,v)$で定義されている事に注意。

関数$\psi_i$は$m_i$変数の関数$(i \equ 1,\cdots,l)$とする。

${\rm T}_n(z,x_1,\cdots,x_n,y)$	$:\equiv$
${\rm S}_n(z,x_1,\cdots,x_n,y)$ $\land \all t \lt y \; \neg {\rm S}_n(z,x_1,\cdots,x_n,t)$
${\rm T}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$	$:\equiv$
${\rm S}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,y)$ $\land \all t \lt y \; \neg {\rm S}_n^{\psi_1,\cdots,\psi_l}(z,x_1,\cdots,x_n,t)$
${\rm T}_n^{m_1,\cdots,m_l}({\tilde \psi}_1(y,\cdots,y),\cdots,{\tilde \psi}_l(y,\cdots,y),z,x_1,\cdots,x_n,y)$	$:\equiv$
${\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}({\tilde \psi}_1(y,\cdots,y),\cdots,{\tilde \psi}_l(y,\cdots,y),z,x_1,\cdots,x_n,y)$ $\land \all t \lt y \; \neg {\rm S}_n^{m_1,\cdots,m_l}({\tilde \psi}_1(t,\cdots,t),\cdots,{\tilde \psi}_l(t,\cdots,t),z,x_1,\cdots,x_n,t)$

2018-10-10

形式的体系${\cal R}$を定義する

数理論理学帰納的関数

今週のお題「最近おいしかったもの」}

形式的体系${\cal R}$を定義する。 (参考文献：廣瀬健、｢帰納的関数｣、75ページ～81ページ)

${\cal R}$の基本記号
- 定記号：
  - 対象記号として、${\mathbf 0}$
  - (特定の)関数記号として、$^\prime$
  - 述語記号として、$\equ$
  - 補助記号として、$($、$)$、$,$
- 変数および関数記号：
  - 変数を表す記号として、$a,a_|,a_{||},a_{|||},a_{||||},\cdots$
  - 関数を表す記号として、$f,f_|,f_{||},f_{|||},f_{||||},\cdots$
  - 以後、
    $a,a_|,a_{||},a_{|||},a_{||||},\cdots$をそれぞれ
    $a,a_1,a_{2},a_{3},a_{4},\cdots$と書き、
    $f,f_|,f_{||},f_{|||},f_{||||},\cdots$をそれぞれ
    $f,f_1,f_{2},f_{3},f_{4},\cdots$と書く事にする。
  - $^\prime$も関数記号なのであるが、これは、予め定められた特殊な関数記号であるから、単に関数記号という場合は、このリストの内の1つを指すものとする。
  - 以後、見やすくするために、変数記号として、$x,y,z,\cdots$、関数記号として、$g,h,\cdots$等の文字を用いる事がある。
${\cal R}$における項(term)
1. 対象記号${\mathbf 0}$は項である。
2. 変数記号$a_i$は項である$\left(i \equ 0, 1, 2, \cdots\right)$。
3. $t$が項であるとき、$(t)^\prime$は項である。
4. $f$が関数記号で、$t_1,t_2,\cdots,t_n$がいづれも項のとき、$f(t_1,t_2,\cdots,t_2)$は項である。
5. 以上によって定義されるもののみが項である。
6. 補助記号$(,)$を用いなくても項の構成の順序が明瞭な場合には適当に省略する。
7. ${\mathbf 0}, {\mathbf 0}^\prime, {\mathbf 0}^{\prime\prime}, {\mathbf 0}^{\prime\prime\prime}, \cdots$ を数項(numeral)と呼ぶ。以後、これをそれぞれ、
  $0,1,2,3,\cdots$、あるいは、$\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\cdots$と書く事にする。
方程式(equation)
$t_1,t_2$が項の時、
$t_1 \equ t_2$
を方程式という。$t_1$をこの方程式の左辺、$t_2$をこの方程式の右辺という。
方程式系(system of equations)
方程式$e_0,e_1,\cdots,e_l$による有限列$(e_0,e_1,\cdots,e_l)$を方程式系という。
以後、記述を簡単にするため、方程式系$(e_0,e_1,\cdots,e_l)$とは、$e_l$の左辺の一番左が必ず関数記号であるものと約束する。
推論規則(rules of inference)
$e$を方程式、$a$を変数、$n$を数項とする。
$e$の中に変数$a$が現れていれば、その全ての$a$を$n$で置き換えて得られる方程式を、
${\rm Sub}(e; a, n)$
と書き表す。
$t$を項、$f$を関数記号とし、$n_1,n_2,\cdots,n_r, n$を数項とする。
$t$の中に$f(n_1,n_2,\cdots,n_r)$が含まれていれば、その全てを$n$で置き換えて得られる項を、
${\rm Rep}(t; f(n_1,n_2,\cdots,n_r),n)$
と書き表す。
- $e$を方程式、$a$を$e$に含まれる変数、$n$を数項とする。
  
  $e$
  
  ${\rm Sub}(e; a, n)$
  
  は推論規則である。このとき、｢$e$から推論規則によって${\rm Sub}(e; a, n)$が得られる｣という。
  以下、この推論規則を"代入(substitution)"と呼ぶ。
- $n_1,n_2,\cdots,n_r,n$を数項、$f$を関数記号とし、 $s \equ t$は変数を含まない方程式で、右辺$t$が$f(n_1,n_2,\cdots,n_r)$を含むものとする。
  
  $s \equ t$ $f(n_1,n_2,\cdots,n_r) \equ n$
  
  $s \equ {\rm Rep}(t; f(n_1,n_2,\cdots,n_r),n)$
  
  は推論規則である。このとき、｢$s \equ t$と$f(n_1,n_2,\cdots,n_r) \equ n$から、推論規則によって$s \equ {\rm Rep}(t; f(n_1,n_2,\cdots,n_r),n)$が得られる｣という。
  以下、この推論規則を"置換(replacement)"と呼ぶ。
演繹(deduction)
方程式のある集合を$E$とする(有限とは限らない)。ここで定義されるものは、正確には、｢$E$からの演繹(deduction from $E$)｣である。
1. $e$を$E$に含まれる方程式とするとき、
  $e$
  は、$E$からの演繹である。この時、$e$はこの演繹の最下式であるという。
2. $D$を$E$からの演繹とし、$D$の最下式を$e_1$とするとき、$e_1$から"代入"の推論規則によって$e_2$が得られるならば、
  
  $D$
  
  $e_2$
  
  は、$E$からの演繹である。このとき、$e_2$はこの演繹の最下式であるという。
3. $D_1,D_2$を$E$からの演繹とし、$D_1$の最下式を$e_1$、$D_2$の最下式を$e_2$とする。 $e_1$と$e_2$から、"置換"の推論規則によって、$e_3$が得られるならば、
  
  $D_1$ $D_2$
  
  $e_3$
  
  は、$E$からの演繹である。このとき、$e_3$はこの演繹の最下式であるという。
4. 以上によって定められるもののみが、$E$からの演繹である。
関数表(given functions)
変数を含まない方程式の集合を、関数表という。
自然数上で定義された関数$\psi_1,\cdots,\psi_m$が与えられているものとする。
$g_1,\cdots,g_m$を$\psi_1,\cdots,\psi_m$に対応する${\cal R}$での関数記号として用いるものとする。
$E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m} :\equiv \bigcup\limits_{i \equ 1}^m \Set{ g_i({\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_{l_i}) \equ {\overline n} } { \psi_i(n_1,\cdots,n_{l_i}) \equ n \; ( n_1,\cdots,n_{l_i}, n は自然数 ) }$
を$\psi_1,\cdots,\psi_m$に対する関数表と呼ぶ。
ただし、${\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_{l_i}, {\overline n}$は、それぞれ自然数$n_1,\cdots,n_{l_i}, n$に対応する数項である。
主関数記号(principal function letter)
$E$を方程式系$(e_0,e_1,\cdots,e_l)$とする。
$e_l$の左辺の一番左の記号(約束によって、関数記号)を、主関数記号という。
$E$の中で、方程式の右辺には現れるが左辺に現れない関数記号を、(関数表で)与えられた関数記号(given function letter)と呼ぶ。
$E$の中で、方程式の右辺にも左辺にも現れる、主関数記号以外の関数記号を、補助関数記号(auxiliary function letter)と呼ぶ。
演繹可能な方程式
$E$を方程式系、$E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$を関数表とする。
$E \cup E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$からの演繹の最下式となるような方程式$f({\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_r) \equ {\overline n}$を、 $E$と$E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$から演繹可能(deducible from $E, E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$)な方程式と呼び、
$E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}, E \vdash f({\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_r) \equ {\overline n}$
と書く。
$E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}$が空のときは、もちろん、単に
$E \vdash f({\overline n}_1,\cdots,{\overline n}_r) \equ {\overline n}$
と書くわけである。

以上によって、形式的体系${\cal R}$は定められた。

部分関数$\varphi(z_1,\cdots,z_n)$が形式的に計算可能(formally calculable)であるとは、
$\varphi$に対して、ある方程式系$E$が存在して、任意の自然数$z_1,\cdots,z_n,z$と、それに対応する数項${\overline z}_1,\cdots,{\overline z}_n,{\overline z}$について、

$E \vdash f({\overline z}_1,\cdots,{\overline z}_n) \equ {\overline z} \Leftrightarrow \varphi(z_1,\cdots,z_n) \equ z$
が成り立つときをいう。ただし、$f$は$E$の主関数記号とする。
部分関数$\varphi(z_1,\cdots,z_n)$が関数$\varphi_1,\cdots,\varphi_m$から形式的に計算可能(formally calculable from $\varphi_1,\cdots,\varphi_m$)であるとは、
$\varphi$に対して、ある方程式系$E$が存在して、任意の自然数$z_1,\cdots,z_n,z$と、それに対応する数項${\overline z}_1,\cdots,{\overline z}_n,{\overline z}$について、

$E_{g_1,\cdots,g_m}^{\psi_1,\cdots,\psi_m}, E \vdash f({\overline z}_1,\cdots,{\overline z}_n) \equ {\overline z} \Leftrightarrow \varphi(z_1,\cdots,z_n) \equ z$
が成り立つときをいう。ただし、$f$は$E$の主関数記号とする。

この定義における方程式系$E$を、｢関数$\varphi$を形式的に定義する方程式系｣と呼ぶ。
また、$E$が満たす条件の内、$\Rightarrow$が成り立つ事を、$E$の無矛盾性と呼び、$\Leftarrow$が成り立つ事を、$E$の完全性という。

2018-10-06

$\text{Zorn}$の補題

集合論

Zornの補題を証明する。
まずは用語の定義から。

$\left( X, \leq \right)$ を順序集合とする。
$c \in X, T \subset X$ とする。

$c$ は、$T \text{のupper bound(上界)}$	$:\Leftrightarrow$	$\all a \in T \; a \leq c$
$T$ は、$\text{totally ordered(全順序)}$	$:\Leftrightarrow$	$\all a, b \in T \; a \leq b \lor a \geq b$

${\rm TotOrd}\left( X \right) :\equiv \Set{ T \subset X }{ T {\rm は全順序} }$

$c \in S \subset X$ とする。

$c$ は、$S \text{のmaximal element(極大元)} :\Leftrightarrow \all a \in S \; \parenth{ c \leq a \Rightarrow c \equ a }$

$\phi \neq S \subset X$ とする。

$S$ は、$\text{inductive(帰納的)} :\Leftrightarrow \all T \in {\rm TotOrd}\left( S \right) \exi c \in S \; c {\rm は} T {\rm の上界}$

Zornの補題

$\left( X, \leq \right)$ は順序集合とする。
$\phi \neq \all S \subset X \; \parenth{ S{\rm は帰納的} \Rightarrow \all p \in S \; p \!\leq\! \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元} }$ が成り立つ。

[証明1]

$p \in S$ を任意に取る。
${\frak X} :\equiv \Set{ T \in {\rm TotOrd}\left( S \right) }{ p \in T }$ ( $\neq$ 明らかに、$\left\{ p \right\} \in {\frak X}$ である。 $\phi$)と置く。
$F : {\frak X} \rightarrow {\frak P}\left( S \right), T \mapsto \Set{ c \in S \backslash T }{ c {\rm は} T {\rm の上界} }$ と置く。
$\phi \in F\left( {\frak X} \right) \Rightarrow p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$
- 仮定 $\phi \in F\left( {\frak X} \right)$ により、$\exi T \in {\frak X} \; F(T) \equ \phi$ が成り立つ。
- $S$は帰納的であり、かつ、$T \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$なので、$\exi c \in S \; c {\rm は} T {\rm の上界}$。
- $p \in T$なので、$p \leq c$である。
- $c$は$S$の極大元である。
  - $c \leq a \in S$ なる $a$を任意に取る。
  - 上界cと $c \leq a$ により、 $a {\rm は} T {\rm の上界}$。
  - $a \not\in \phi$ $\equ$ F(T)=φより。 $F\left( T \right)$ もあわせることにより、$a \not\in S \backslash T$ つまり、$a \in T$。
  - 上界cより、$a \leq c$ である。よって、$c \equ a$ となる。
- よって、空集合を含むならば定理成立が成り立つ。
$\phi \in F\left( {\frak X} \right)$
- [背理法] $\phi \not\in F\left( {\frak X} \right)$ つまり、 $\all T \in {\frak X} \; F\left( T \right) \neq \phi$ を仮定する。
- [背理法]の仮定と選択公理により、$\exi \left( c_T \right)_{T \in {\frak X}} \in \prod\limits_{T \in {\frak X}} \; F\left( T \right)$ が成り立つ。
- $G:{\frak X} \rightarrow {\frak X}, T \mapsto T$ $\coprod$ $c_T \not\in T$なので$\cup$ではなく$\coprod$を使える。 $\left\{ c_T \right\}$ が定義できる。
  - $T \in {\frak X}$ を任意に取る。
  - $p \in T \subset T \coprod \left\{ c_T \right\} \subset S$ である。
  - $T \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$ かつ $c_T {\rm は} T {\rm の上界}$ なので、 $T \coprod \left\{ c_T \right\} \in {\rm TotOrd\left( S \right)}$ である。
- ${\mathbb X} :\equiv \Set{ {\cal S} \subset {\frak X} }{ \begin{array}{@{}c@{}l@{}} ({\rm i})& \left\{ p \right\} \in {\cal S} \\ ({\rm ii})& \all T \in {\cal S} \; G\left( T \right) \in {\cal S} \\ ({\rm iii})& \phi \neq \all {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal S} \right) \; \bigcup {\cal T} \in {\cal S} \end{array} }$ と置く。
  ($\left( {\frak X}, \subset \right)$ を順序集合として考えている。)
- ${\frak X} \in {\mathbb X}$ である(つまり、${\mathbb X} \neq \phi$ である)。
  - ${\rm (i)}$$\left\{ p \right\} \in {\frak X}$ である事は、${\frak X}$ の定義から明らか。
  - ${\rm (ii)}$$\all T \in {\frak X} \; G\left( T \right) \in {\frak X}$ の成立は既に示した。
  - ${\rm (iii)}$$\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\frak X} \right)$ を任意に取る($\bigcup {\cal T} \in {\frak X}$ を示す)。
  - ${\cal T} \subset {\frak X}$ と ${\frak X}$ の定義より、$\all T \in {\cal T} \; p \in T \subset S$ である。
  - 従って、${\cal T} \neq \phi$ より、$p \in \bigcup {\cal T} \subset S$ である。
  - $\bigcup {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$ が成り立つ。
    
    $a_1, a_2 \in \bigcup {\cal T}$ を任意に取る。
    $a_i \in T_i \in {\cal T} \; \left( i \in \{1, 2\} \right)$ とする。
    
    $T_1, T_2 \in {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\frak X} \right)$ なので、 $T_1 \subset T_2 \lor T_1 \supset T_2$ である。
    
    どちらでも同様なので、$T_1 \subset T_2$ とする。
    
    $a_1, a_2 \in T_2 \in {\cal T} \subset$ ${\frak X} \subset {\rm TotOrd}\left( S \right)$ なので、 $a_1 \leq a_2 \lor a_1 \geq a_2$ が成り立つ。
  - よって、$\bigcup {\cal T} \in {\frak X}$ である。
- ${\cal R} :\equiv \bigcap {\mathbb X} \; \left( \subset {\frak X} \right)$ と置く。
- ${\cal R} \in {\mathbb X}$ である。
  - ${\rm (i)}$ $\all {\cal S} \in {\mathbb X} \; \{p\} \in {\cal S}$ なので、 $\{p\} \in \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
  - ${\rm (ii)}$ $T \in {\cal R}$ を任意に取る。
  - 任意の ${\cal S} \in {\mathbb X}$ に対して、$T \in {\cal R} \equ \bigcap {\mathbb X} \subset {\cal S}$ により $G(T)$ $\in$ ${\cal S}$に対して
    ${\rm (ii)}$を適用 ${\cal S}$ となる。
  - よって、$G(T) \in \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
  - ${\rm (iii)}$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ を任意に取る。
  - 任意の ${\cal S} \in {\mathbb X}$ に対して、 $\phi \neq {\cal T} \subset {\cal R} \equ \bigcap {\mathbb X} \subset {\cal S}$ により $\bigcup {\cal T}$ $\in$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}({\cal S})$と
    ${\cal S}$に対して${\rm (iii)}$を適用 ${\cal S}$ となる。
  - よって、$\bigcup {\cal T} \in \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ となる。
- ${\cal R} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ (つまり、${\cal R}$は全順序)である。
  - ここの証明が、本証明で一番長いです。
  - $H : {\cal R} \rightarrow {\frak P}\left( {\cal R} \right), T \mapsto \Set{ U \in {\cal R} }{ T \subset U \lor T \supset U }$ と置く。
  - ${\cal R}^\prime :\equiv \Set{ T \in {\cal R} }{ H(T) \equ {\cal R} }$ と置く。
  - ${\cal R}^\prime \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ が成り立つ。
    
    $T_1, T_2 \in {\cal R}^\prime$ を任意に取る。
    
    $T_1 \in {\cal R}^\prime \subset {\cal R}$ $\equ$ $T_2 \in {\cal R}^\prime$ $H(T_2)$ である。よって $H$の定義、 $T_1 \subset T_2 \lor T_1 \supset T_2$ である。
  - ${\cal R}^\prime \equ {\cal R}$ が成り立つ。
    
    $\subset$ は明らか。
    
    $\supset$
    
    ${\cal R}^\prime \in {\mathbb X}$ が成り立つ。
    
    ${\rm (i)}$ $\{p\} \in {\cal R}$ である事は既に知っている。つまり、$\{p\}$は$H$の定義域に属する。
    
    $H\left(\left\{ p \right\}\right) \equ {\cal R}$ が成り立つ。
    
    $\subset$ $H\left(\left\{ p \right\}\right) \subset {\cal R}$ は$H$の定義から明らか。
    
    $\supset$ $U \in {\cal R}$ を任意に取る。
    
    $U \in {\cal R} \subset {\frak X}$ $\rightarrow$ ${\frak X}$の定義 $p \in U \rightarrow \{p\} \subset U \rightarrow U \in H\left(\left\{ p \right\}\right)$ となる。
    
    よって、$\{p\} \in {\cal R}^\prime$ である。
    
    ${\rm (iii)}$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R}^\prime \right)$ を任意に取る。
    
    まず、$\phi \neq {\cal T} \subset {\cal R}^\prime \subset {\cal R}$ なので、 RはXの要素${\rm (iii)}$より、$\bigcup {\cal T} \in {\cal R}$ である。
    
    $H\left(\bigcup {\cal T} \right) \equ {\cal R}$ が成り立つ。
    
    $\subset$ $H\left( \bigcup {\cal T} \right) \subset {\cal R}$ は$H$の定義から明らか。
    
    $\supset$ $U \in {\cal R}$ を任意に取る。
    
    $\begin{array}{@{}l@{}r@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} (一)& \exi T \in {\cal T} \; U \subset T & \Rightarrow & U \subset & \bigcup {\cal T} & \\ (二)& \all T \in {\cal T} \; U \not\subset T & \Rightarrow & & \bigcup {\cal T} & \subset U \end{array}$ が成り立つ。
    
    (一)$U \subset T \subset \bigcup {\cal T}$ である。
    
    (二)$T \in {\cal T}$ を任意に取る。
    
    $U \in {\cal R}$ $\equ$ $T \in {\cal T} \subset {\cal R}^\prime$ $H\left( T \right)$ なので、 $T \subset U \lor T \supset U$ である。
    
    従って、(二)の仮定により、$T \subset U$ である。
    
    よって、$\bigcup {\cal T} \subset U$ である。
    
    従って、排中律 $\exi T \in {\cal T} \; U \subset T$ または
    $\all T \in {\cal T} \; U \not\subset T$ である。により、 $U \subset \bigcup {\cal T} \lor U \supset \bigcup {\cal T}$ である。
    
    よって、$U \in H\left( \bigcup {\cal T} \right)$ である。
    
    よって、$\bigcup {\cal T} \in {\cal R}^\prime$ である。
    
    ${\rm (ii)}$$T \in {\cal R}^\prime$ を任意に取る。
    
    まず、$T \in {\cal R}^\prime \subset {\cal R}$ なので、 RはXの要素${\rm (ii)}$より、$G\left( T \right) \in {\cal R}$ である。
    
    $H\left( G\left( T \right) \right) \equ {\cal R}$ が成り立つ。
    
    $\subset$ $H\left( G\left( T \right) \right) \subset {\cal R}$ は$H$の定義から明らか。
    
    $\supset$
    
    $H\left( G\left( T \right) \right) \in {\mathbb X}$ が成り立つ。
    
    ${\rm (i)}$ まず、RはXの要素より、$\{p\} \in {\cal R}$ である。
    
    $T \in {\cal R}^\prime \subset {\cal R} \subset {\frak X}$ なので、${\frak X}$ の定義より、$p \in T$ である。
    
    従って、$\{p\} \subset T \subset T \coprod \{ c_T \} \equ G\left(T\right)$ である。
    
    よって、$\{p\} \in H\left(G\left(T\right)\right)$ である。
    
    ${\rm (iii)}$ $\phi \neq {\cal T} \in {\rm TotOrd}\left( H\left( G\left( T \right) \right) \right)$ を任意に取る。
    
    まず、$\phi \neq {\cal T} \subset H\left( G\left( T \right) \right) \subset {\cal R}$ なので、 RはXの要素より、$\bigcup {\cal T} \in {\cal R}$ である。
    
    $\begin{array}{@{}l@{}r@{}l@{}l@{}l@{}l@{}} (一)& \exi T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \subset T^\prime & \Rightarrow & G\left(T\right) \subset & \bigcup {\cal T} & \\ (二)& \all T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \not\subset T^\prime & \Rightarrow & & \bigcup {\cal T} & \subset G\left(T\right) \end{array}$ が成り立つ。
    
    (一) $G\left(T\right) \subset T^\prime \subset \bigcup {\cal T}$ である。
    
    (二) $T^\prime \in {\cal T}$ を任意に取る。
    
    $T^\prime \in {\cal T} \subset H\left( G\left( T \right) \right)$ だから、 $T^\prime \subset G\left(T\right) \lor T^\prime \supset G\left(T\right)$ である。
    
    従って、(二)の仮定により、$T^\prime \subset G\left(T\right)$ である。
    
    よって、$\bigcup {\cal T} \subset G\left(T\right)$ である。
    
    従って、排中律 $\exi T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \subset T^\prime$ または、
    $\all T^\prime \in {\cal T} \; G\left(T\right) \not\subset T^\prime$ である。により、$G(T) \subset \bigcup {\cal T} \lor G(T) \supset \bigcup {\cal T}$ である。
    
    よって、$\bigcup {\cal T} \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
    
    ${\rm (ii)}$ $U \in H\left( G\left( T \right) \right)$ を任意に取る($G\left(U\right) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ を示す)。
    
    $U \in H\left( G\left( T \right) \right) \subset {\cal R}$ だから、 RはXの要素より、$G\left(U\right) \in {\cal R}$ である。
    
    $G(U) \subset T \lor G(T) \subset U$ の場合：
    
    どちらでも同様なので、$G(U) \subset T$ とする。
    
    $G(U) \subset T \subset T \coprod \{c_T\} \equ G(T)$ だから、 $G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ となる。
    
    $G(U) \not\subset T \land G(T) \not\subset U$ の場合：
    
    $U \in H\left( G\left( T \right) \right)$ だから、 $U \subset G(T) \lor U \supset G(T)$ である。
    
    場合分けの仮定$G(T) \not\subset U$ より、$U \subset G(T)$ である。
    
    $G(U) \in {\cal R}$ $\equ$ 仮定$T \in {\cal R}^\prime$ $H(T)$ だから、 $G(U) \subset T \lor G(U) \supset T$ となる。
    
    場合分けの仮定$G(U) \not\subset T$ より、$G(U) \supset T$ である。
    
    $T \subset U$ の場合：
    
    $T \subset U$ $\subset$ U⊆G(T) $G(T) \equ T \coprod \{ c_T \}$ だから、 $T \equ U \lor U \equ G(T)$ である。
    
    $T \equ U$ の場合：
    
    $G(U) \equ G(T)$ $\in$ $H$の定義から自明に成立。 $H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
    
    $U \equ G(T)$ の場合：
    
    $G(T) \equ U \subset G(U)$ だから、 $G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
    
    $T \not\subset U$ の場合：
    
    $U \subset T \cup U$ $\subset$ G(U)⊇T $G(U) \cup U \equ G(U)$ だから、 $U \equ T \cup U \lor T \cup U \equ G(U)$ である。
    
    従って、$G(U)$ $\equ$ 場合分けの仮定 $T \not\subset U$ $T \cup U$ $\subset$ U⊆G(T) $T \cup G(T) \equ G(T)$ である。
    
    よって、$G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
    
    よって、いづれにしても、$G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
    
    よって、いづれにしても、$G(U) \in H\left( G\left( T \right) \right)$ である。
    
    よって、$H\left( G\left( T \right) \right) \supset \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
    
    よって、$G(T) \in {\cal R}^\prime$ である。
    
    よって、${\cal R}^\prime \supset \bigcap {\mathbb X} \equ {\cal R}$ である。
  - よって、${\cal R} \equ {\cal R}^\prime \in {\rm TotOrd}\left( {\cal R} \right)$ である。
- $R :\equiv \bigcup {\cal R} \; \left( \subset S \right)$ と置く。
- $R \equ \bigcup {\cal R}$ $\in$ RはXの要素,Rは全順序,${\mathbb X}$の条件${\rm (iii)}$ ${\cal R}$ だから、RはXの要素,${\mathbb X}$の条件${\rm (ii)}$より、$G(R) \in {\cal R}$ である。
- 従って、$G(R) \subset \bigcup {\cal R} \equ R$ である。
- しかし、$R \subsetneq R \coprod \{ c_R \}$ $\equ$ $G$の定義 $G(R)$ であるので、これらは矛盾している。
- よって、背理法により、$\phi \in F\left( {\frak X} \right)$ である。
よって、空集合を含むならば定理成立,空集合を含むより、 $p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$ である。

証明終

[証明2]

$p \in S$ を任意に取る。
${\frak X} :\equiv \Set{ T \in {\rm TotOrd}\left( S \right) }{ p \in T }$ ( $\neq$ 明らかに、$\left\{ p \right\} \in {\frak X}$ である。 $\phi$)と置く。
$F : {\rm TotOrd}(S) \rightarrow {\frak P}\left( S \right), T \mapsto \Set{ c \in S \backslash T }{ c {\rm は} T {\rm の上界} }$ と置く。
$\phi \in F\left( {\frak X} \right) \Rightarrow p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$
- 仮定 $\phi \in F\left( {\frak X} \right)$ により、$\exi T \in {\frak X} \; F(T) \equ \phi$ が成り立つ。
- $S$は帰納的であり、かつ、$T \in {\rm TotOrd}\left( S \right)$なので、$\exi c \in S \; c {\rm は} T {\rm の上界}$。
- $p \in T$なので、$p \leq c$である。
- $c$は$S$の極大元である。
  - $c \leq a \in S$ なる $a$を任意に取る。
  - 上界cと $c \leq a$ により、 $a {\rm は} T {\rm の上界}$。
  - $a \not\in \phi$ $\equ$ F(T)=φより。 $F\left( T \right)$ もあわせることにより、$a \not\in S \backslash T$ つまり、$a \in T$。
  - 上界cより、$a \leq c$ である。よって、$c \equ a$ となる。
- よって、空集合を含むならば定理成立が成り立つ。
$\phi \in F\left( {\frak X} \right)$
- 選択公理により、$\exi {\rm 写像} f : {\frak P}(X) \backslash \{\phi\} \rightarrow X \;\; \phi \nequ \all T \subset X \; f(T) \in T$ である。
- $F(\phi) \equ S \nequ \phi$ であるが、 $f(F(\phi)) :\equiv p$ と置き直す。
- ${\cal T} :\equiv \Set{ T \in {\rm TotOrd}(S) }{ \all R \subset T \; \bracket{ F(R) \cap T \nequ \phi \Rightarrow f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T{\rm の最小元} } }$ と置く。
- $\all T \in {\cal T} \;\bracket{ F(T) \nequ \phi \Rightarrow T \coprod \{f(F(T))\} \in {\cal T} }$ が成り立つ。
  - $s :\equ f(F(T)) \in F(T)$ と置く。
  - $T$ $\coprod$ $s \in F(T) \subset S \backslash T$ $\{s\}$ $\in$ $s {\rm は}T{\rm の上界}$ ${\rm TotOrd}(S)$ である。
  - $R \subset T \cup \{s\}$ を任意に取り、 $F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } \nequ \phi$ を仮定する。
  - $s \not\in R$ が成り立つ。
    
    [背理法]$s \in R$ を仮定する。
    
    すると、$s \not\in F(R)$ となるので、Rに対する仮定より $\exi t \in F(R) \cap T$ である。
    
    $s \in R$ と $t \in F(R)$ より、 $s \lt t$ である。
    
    $t \in T$ と $s \in F(T)$ より、 $t \lt s$ である。
    
    これらは矛盾している。
  - 従って、 $R \subset T$ である。
  - $R \subset T$ と $s \in F(T)$ より、 $s \in F(R)$ つまり $F(R) \cap \{s\} \equ \{s\}$ である。
  - $F(R) \cap T \nequ \phi$ の時：
    
    $f(F(R)) \equ {\rm min}\parenth{ F(R) \cap T }$ である。
    
    $f(F(R)) \in T$ と $s \in F(T)$ より、 $f(F(R)) \lt s$ である。
    
    よって、 F(R)∩{s}={s}に注意して、 $f(F(R)) \equ {\rm min}\parenth{ F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } }$ である。
  - $F(R) \cap T \equ \phi$ の時：
    
    $F(R) \equ F(T)$ が成り立つ。
    
    $\supset$$\supset$ は$F$の定義から自明である。
    
    $\subset$$q \in F(R)$ を任意に取る。$t \in T$ を任意に取る。
    
    $t$ $\not\in$ 場合分けの仮定 $F(R)$ より、$t \in R \lor \neg \all r \in R \; r \leq t$ である。
    
    $R \subset T {\rm は全順序}$ に注意すると、 $\exi r \in R \; r \geq t$ である。
    
    従って、 $t \leq r \lt q$ である。よって、 $q \in F(T)$ である。
    
    一方、$F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } \equ \parenth{ F(R) \cap T } \cup \parenth{ F(R) \cap \{s\} }$ $\equ$ 場合分けの仮定
    とF(R)∩{s}={s}より $\phi \cup \{s\}$ である。
    
    よって、 $f(F(R)) \equ f(F(T)) \equ s \equ {\rm min}\{s\} \equ {\rm min} \parenth{ F(R) \cap \parenth{ T \cup \{s\} } }$ である。
  - 以上より、 $T \cup \{s\} \in {\cal T}$ である。
- $\all T_1, T_2 \in {\cal T} \; T_2 \backslash T_1 \subset F(T_1)$ が成り立つ。
  - $t \in T_2 \backslash T_1$ を任意に取る。
  - $R :\equiv \Set{ r \in T_1 \cap T_2 }{ r \lt t }$ と置く。
  - $R \subset T_2$ かつ $t \in F(R) \cap T_2$ なので $f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T_2{\rm の最小元}$ である。
  - $f(F(R)) \not\in T_1$ が成り立つ。
    
    [背理法]$f(F(R)) \in T_1$ を仮定する。
    
    [背理法]の仮定と$t \not\in T_1$より、$f(F(R)) \nequ t$である。
    
    最小元f(F(R))より、$f(F(R)) \leq t$ である。従って、$f(F(R)) \lt t$ である。
    
    従って、$f(F(R))$ $\in$ [背理法]の仮定と
    最小元f(F(R))より $T_1 \cap T_2$ も併せて、$f(F(R)) \in R$ である。
    
    しかし一方、$f(F(R)) \in F(R) \subset S \backslash R$ なので、 $f(F(R)) \not\in R$ である。
    
    これらは矛盾している。
  - 従って、$f(F(R)) {\rm は} F(R) \cap T_1 {\rm の最小｢元｣}$ とはなり得ない。
  - 従って、$T_1 \in {\cal T}$ を併せて、$F(R) \cap T_1 \equ \phi$ である。
  - 従って、$\all s \in T_1 \; s \not\in F(R)$ つまり、 $\all s \in T_1 \; \parenth{ s \not\in S \backslash R \lor \neg \all r \in R \; r \leq s}$ である。
  - 従って、$R \subset T_1 {\rm は全順序}$に注意して、$\all s \in T_1 \; \parenth{ s \in R \lor \exi r \in R \; s \lt r }$ である。
  - よって、 $\all s \in T_1 \; s \lt t$、つまり、$t \in F(T_1)$ である。
- $T_0 :\equiv \bigcup {\cal T}$ と置く。
- 以下、$F(T_0) \equ \phi$ である事を示す。
- $T_0 \in {\frak X}$ が成り立つ。
  - (i)${\cal T}$の定義より明らかに $\phi \in {\cal T}$ なので、鎖をどんどん一直線に伸ばしていけるより、 $\{p\} \equ \phi \cup \{p\} \in {\cal T}$ である。
  - ${\rm (ii)}$ $s,t \in T_0$ を任意に取る。$s \in T_1 \in {\cal T}$, $t \in T_2 \in {\cal T}$ とする。
  - $t \in T_1$ の時：
    
    $T_1 {\rm は全順序}$ なので、 $s \leq t \lor s \geq t$ である。
  - $t \not\in T_1$ の時：
    
    $t \in T_2 \backslash T_1$ $\subset$ Tの元は線のように並んでいる $F(T_1)$ なので、 $s \lt t$ である。
  - 従って、 $T_0 {\rm は全順序}$ である。
- $T_0 \in {\cal T}$ が成り立つ。
  - $R \subset T_0$ なる$R$を任意に取り、$F(R) \cap T_0 \nequ \phi$ を仮定する。
  - $\phi \nequ F(R) \cap T_0 \equ \bigcup\limits_{T \in {\cal T}} \parenth{ F(R) \cap T }$ なので、 $\exi T_1 \in {\cal T} \; F(R) \cap T_1 \nequ \phi$ である。
  - $R \subset T_1$ が成り立つ。
    
    $r \in R$ を任意に取る。
    
    F(R)∩Tは非空より、$\exi t \in F(R) \cap T_1$ である。
    
    $r \in R$ と $t \in F(R)$ より、$r \lt t \in T_1$ である。
    
    従って、$r \not\in F(T_1)$ である。
    
    一方、$r \in R \subset T_0$ より、$\exi T_2 \in {\cal T} \; r \in T_2$ である。
    
    従って、Tの元は線のように並んでいるより、$r \in T_1$ である。
  - 従って、$f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T_1{\rm の最小元}$ である。
  - $f(F(R)) {\rm は}F(R) \cap T_0{\rm の最小元}$ が成り立つ。
    
    $t \in F(R) \cap T_0$ を任意に取る。
    
    $\exi T_2 \in {\cal T} \; t \in F(R) \cap T_2$ である。
    
    $t \in T_1$ の時：
    
    $t \in F(R) \cap T_1$ だから、T_1においての最小元より、$f(F(R)) \leq t$ である。
    
    $t \not\in T_1$ の時：
    
    Tの元は線のように並んでいるより、$t \in F(T_1)$ つまり $f(F(R)) \lt t$ である。
  - よって、定義により、$T_0 \in {\cal T}$ である。
- $T_0$の定義と鎖をどんどん一直線に伸ばしていけるとT_0の性質より、 $F(T_0) \equ \phi$ とならざるを得ない。
- よって、$\phi \equ F(T_0) \in F({\frak X})$ である。
よって、空集合を含むならば定理成立,空集合を含むより、 $p \leq \exi c \in S \; c {\rm は} S {\rm の極大元}$ である。

証明終

コメント：
こちらの証明は、全順序集合の集合を証明の軸に使っています。

[証明1]は斎藤毅著｢集合と位相｣のZornの補題(186ページ)に基づいています。
[証明2]はA short proof of Zorn's Lemmaに基づいています。

$\newcommand{\Seg}[2]{#1\mathord{}\left\lt#2\right\gt}$ $(X, \leq) \text{は順序集合}$ とする。
$\phi \nequ X \text{は帰納的} \Rightarrow \exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ が成り立つ。

[証明3]

$\text{WelOrd}(X) :\equiv \Set{ A \subseteq X }{ A \text{は整列集合} }$ と置き、
$F : \text{WelOrd}(X) \rightarrow \text{Pow}(X), A \mapsto \Set{ y \in X }{ \all x \in A \; x \lt y }$ と置く。
$\exi A \in \text{WelOrd}(X) \; F(A) \equ \phi \Rightarrow \exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ が成り立つ。
- 仮定[$X \text{は帰納的}$]より、$\exi c \in X \; c \text{は} A \text{の上界}$ である。
- $c \leq d \in X$ を任意に取る。
- 仮定[$F(A) \equ \phi$]より、$d \not\in F(A)$ つまり、$\exi x \in A \; x \geq d$ である。
- 従って、$d \leq x \leq c$ となって、$c \equ d$ である。
$\exi A \in \text{WelOrd}(X) \; F(A) \equ \phi$ が成り立つ。
- [背理法]$\all A \in \text{WelOrd}(X) \; F(A) \nequ \phi$ と仮定する。
- 仮定[背理法]と選択公理$^{AC}$より、$\exi f : \text{WelOrd}(X) \rightarrow X, \; \all A \in \text{WelOrd}(X) \; f(A) \in F(A)$ である。
- $\mathcal{W} :\equiv \Set{ A \in \text{WelOrd}(X) }{ \all x \in A \; f(\Seg{A}{x}) \equ x }$ と置く。
- $\all A \in \mathcal{W} \; A \coprod \{ f(A) \} \in \mathcal{W}$ が成り立つ。
  - $f(A) \in F(A)$ なので、$f(A) \not\in A$ である。
  - $\left\{\begin{array}{} & A \in \text{WelOrd}(X) \\ \text{かつ} & f(A) \in F(A) \end{array}\right.$ なので、$A \coprod \{ f(A) \} \in \text{WelOrd}(X)$ である。
  - $\left\{\begin{array}{} & \all x \in A \; f(\Seg{A}{x}) \equ x \\ \text{かつ} & f(\Seg{A}{f(A)}) \equ f(A) \end{array}\right.$ である。
- $A_\infty :\equiv \bigcup \mathcal{W}$ と置く。
- $A_\infty \in \mathcal{W}$ が成り立つ。
  - $A, B \subseteq X$ に対し、$A \leq B :\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{} & A \subseteq B \\ \text{かつ} & \all y \in B \parenth{ \exi x \in A \; y \lt x \Rightarrow y \in A } \end{array}\right.$ と定義する。
  - $\all A, B \in \mathcal{W} \parenth{ A \leq B \lor A \geq B}$ が成り立つ。
    
    $A, B \in \mathcal{W}$ を任意に取る。
    
    $C :\equiv \bigcup \Set{ S \subseteq X }{ S \leq A \land S \leq B }$ と置く。
    
    $C \leq A \land C \leq B$ が成り立つ。
    
    $C$ の定義より、明らかに $C \subseteq A$ である。
    
    $a \in A$ を任意に取り、$\exi c \in C \; a \lt c$ を仮定する。
    
    $C$ の定義より、$c \in \exi S \subseteq X \; S \leq A \land S \leq B$ である。
    
    $a \lt c \in S \leq A$ なので、$a \in S$ である。
    
    よって、$S \subseteq C$ を併せて、$a \in C$ である。
    
    $C \leq B$ についても同様である。
    
    $C_+ :\equiv C \coprod$ $\{ f(C) \}$ $C \subseteq A, B \in \text{WelOrd}(X)$ である。 ( $\in$ $f(C) \in F(C)$ である。 $\text{WelOrd}(X)$)と置く。
    
    $\begin{array}{@{}c@{}l@{}} (1) & C \nequ A \Rightarrow C_+ \leq A \\ (2) & C \nequ B \Rightarrow C_+ \leq B \\ (3) & C \equ A \lor C \equ B \end{array}$ が成り立つ。
    
    (1)$a \in A$ を任意に取り、$\exi c \in C_+ \; a \lt c$ を仮定する。
    $c \equ f(C)$ と仮定してよい。
    
    $a_- :\equ \min A \backslash C$ と置く($\because C \subsetneq A$)。
    
    $C \equ \Seg{A}{a_-}$ が成り立つ。
    
    $\subseteq$CはA,Bの上限より、$\all y \in A \parenth{ y \not\in C \Rightarrow \all x \in C \; x \leq y }$ である。
    
    従って、$a_- \in A \backslash C$ を併せて、$\all x \in C \; a_- \gt x$ である。
    
    $\supseteq$$a_-$の最小性より、$\all x \in A \parenth{ x \lt a_- \Rightarrow x \in C }$ である。
    
    従って、$c \equ f(C) \equ f(\Seg{A}{a_-})$ $\equ$ $a_- \in A \in \mathcal{W}$ である。 $a_-$ である。
    
    更に、$a \in \Seg{A}{c} \equ \Seg{A}{a_-} \equ C$ である。
    
    (2)(1)と全く同様である。
    
    (3)[背理法]$C \nequ A \land C \nequ B$ を仮定する。
    
    $C \subsetneq C_+$ $\subseteq$ (1),(2)と仮定[背理法]
    と$C$の定義より。 $C$ となって矛盾する。
    
    従って、CはA,Bの上限を併せて、$A \leq B \lor B \leq A$ である。
  - $\all A \in \mathcal{W} \; A \leq A_\infty$ が成り立つ。
    
    $x \in A_\infty$ を任意に取り、$\exi a \in A \; x \lt a$ を仮定する。
    
    $x \in A_\infty$ より、$\exi B \in \mathcal{W} \; x \in B$ である。
    
    $A \leq B$ の場合：
    
    $x \in B \land x \lt a \in A$ なので、$x \in A$ である。
    
    $B \leq A$ の場合：
    
    $x \in B \subseteq A$ である。
  - (1)$A_\infty$ の整列性を示す。
  - $\phi \nequ C \subseteq A_\infty$ を任意に取る。
  - $\phi \nequ C \equ C \cap A_\infty \equ \bigcup\limits_{A \in \mathcal{W} } \parenth{ C \cap A }$ なので、$\exi A \in \mathcal {W} \; C \cap A \nequ \phi$ である。
  - $a_C :\equiv \min ( C \cap A )$ と置く。
  - [背理法]$\exi x \in C \; \neg( a_C \leq x )$ を仮定する。
  - $x \in C \subseteq A_\infty$ なので、$\exi B \in \mathcal{W} \; x \in B$ である。
  - Wは全順序集合より、$a_C, x \in A \lor a_C, x \in B$ である。
    いづれにしても、$A, B \text{は全順序集合}$ を併せて、$a_C \leq x \lor a_C \geq x$ である。
  - 従って、仮定[背理法]を併せて、$x \lt a_C$ である。
  - 一方、$A$ $\leq$ A_∞はWの上界より。 $A_\infty$ と $x \in A_\infty$ より、$\bracket{ \exi z \in A \; x \lt z \Rightarrow x \in A }$ である。
  - これらより、$a_C \in A$ を併せて、$x \in A$ である。
  - よって、$x \lt a_C \land x \in C \cap A$ となって $a_C$ の最小性に反する。
  - (2)$x \in A_\infty$ を任意に取る。
  - $x \in A_\infty$ なので、$\exi A \in \mathcal{W} \; x \in A$ である。
  - $\Seg{A}{x} \equ \Seg{A_\infty}{x}$ が成り立つ。
    
    $\subseteq$明らかである。
    
    $\supseteq$$y \in \Seg{A_\infty}{x}$ を任意に取る。
    
    $y \lt x \in A$ とA_∞はWの上界より、$y \in A$ である。
    
    よって、$y \in \Seg{A}{x}$ である。
  - よって、$f(\Seg{A_\infty}{x}) \equ f(\Seg{A}{x})$ $\equ$ $A \in \mathcal{W}$ である。 $x$ である。
- これらより、$A_\infty \subsetneq A_\infty \coprod \{ f(A_\infty) \} \subseteq \bigcup \mathcal{W} \equ A_\infty$ となって矛盾する。
以上より、$\exi c \in X \; c \text{は} X \text{の極大元}$ である。

証明終

コメント：
こちらの証明は、整列集合の集合を証明の軸に使っています。

[証明3]はPierre-Yves Gaillard著[Selected Texts]のp6の｢3 Zorn's Lemma｣に基づいています。

2018-09-29

復習：開集合系の基底、直積位相、基本近傍系

位相空間論集合論

開集合系の基底について復習する。

$(X, {\cal O}_X)$ を位相空間とする。
${\cal U} \subset {\cal O}_X$ とする。

${\cal U}$は${\cal O}_X$の基底である	$:\Leftrightarrow$	${\cal O}_X \equ \Set{ \bigcup {\cal V} }{ {\cal V} \subset {\cal U} }$
	$\Leftrightarrow$	$\all U \in {\cal O}_X \exi {\cal V} \subset {\cal U} \; U \equ \bigcup {\cal V}$
	$\Leftrightarrow$	$\all x \in X \, x \in \all U \in {\cal O}_X \, x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset U$

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。

$\all {\cal U} \subset {\cal O} \;\parenth{ {\cal U} {\rm は}{\cal O}{\rm の基底} \Rightarrow \all x \in X \; \Set{ U \in {\cal U} }{ x \in U } {\rm は}x{\rm の基本近傍系} }$ が成り立つ。
- ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \Set{ V \in {\cal U} }{ x \in V }$ と置く。
- $x \in U \in {\cal O}$ を任意に取る。
- 仮定により、$x \in \exi V \in {\cal U} \; V \subset U$ である。
- よって、$V \in {\mathbb V}^*(x) {\rm かつ} V \subset U$ である。
${\cal U}_0, {\cal U}_1 \subset {\frak P}(X)$ とする。
${\cal U}_0 {\rm は}{\cal O}{\rm の基底}$ とする。
$\all V \in {\cal U}_0 \; \exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; V \equ \bigcup {\cal V} \Rightarrow {\cal U}_1 {\rm は}{\cal O}{\rm の基底}$ が成り立つ。
- $U \in {\cal O}$ を任意に取る。
- 仮定[${\cal U}_0 {\rm は}{\cal O}{\rm の基底}$]より、$\exi {\cal V}_0 \subset {\cal U}_0 \; U \equ \bigcup {\cal V}_0$ である。
- ${\cal V}_1 :\equiv \Set{ V \in {\cal U}_1 }{ V \in \exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; \bigcup {\cal V} \in {\cal V}_0 }$ と置く。
- 以下、$U \equ \bigcup {\cal V}_1$ を示す。
- $\subset$$V \in {\cal V}_0$ を任意に取る。
- 仮定より、$\exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; V \equ \bigcup {\cal V}$ である。
- 定義により、$\all V^\prime \in {\cal V} \; V^\prime \in {\cal V}_1$ なので、$\bigcup {\cal V} \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
- 従って、$V \equ \bigcup {\cal V} \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
- 従って、$V \in {\cal V}_0$ は任意なので、$\bigcup {\cal V}_0 \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
- よって、$U \subset \bigcup {\cal V}_1$ である。
- $\supset$$V \in {\cal V}_1$ を任意に取る。
- $V \in \exi {\cal V} \subset {\cal U}_1 \; \bigcup {\cal V} \in {\cal V}_0$ である。
- 従って、$V \subset \bigcup {\cal V} \subset \bigcup {\cal V}_0 \equ U$ である。
- よって、$V \in {\cal V}_1$ は任意なので、$\bigcup {\cal V}_1 \subset U$ である。

生成される位相について復習する。

$X$を集合とする。

${\rm Fin}(X) :\equiv \Set{ F \in {\frak P}\left(X\right) }{ F {\rm は有限集合である。} }$

と定義する。
${\cal U} \subset {\frak P}\left( X \right) とする。$
${\cal U}$ によって生成される $X$ の位相を

${\cal O} \left({\cal U} \right) :\equiv \bigcap \Set{ {\cal O} \subset {\frak P}(X) }{ {\cal U} \subset {\cal O} {\rm は}X{\rm の位相}}$

によって定義する。
明らかに、以下の2命題が成り立つ：

${\cal U} \subset {\cal O}({\cal U})$ かつ ${\cal O}({\cal U}) {\rm は}X{\rm の位相}$ である。
$\all {\cal O} \subset {\frak P}(X) \;\parenth{ {\cal U} \subset {\cal O} {\rm は}X{\rm の位相} \Rightarrow {\cal O}({\cal U}) \subset {\cal O} }$ が成り立つ。

$(X, {\cal O})$ を位相空間とする。
${\cal U} \subset {\cal O}$ とする。

${\cal U} {\rm は}{\cal O}{\rm の準基底} :\Leftrightarrow {\cal O} \equ {\cal O}({\cal U})$

${\cal U} {\rm は}{\cal O}{\rm の基底} \Rightarrow {\cal O} \equ {\cal O}({\cal U})$ が成り立つ。

明らかに、${\cal O}({\cal U}) \subset {\cal O}$ である。
$V \in {\cal O}$ を任意に取る。
仮定より、$\exi {\cal V} \subset {\cal U} \; V \equ \bigcup {\cal V}$ である。
従って、$V \equ \bigcup {\cal V} \in {\cal O}({\cal U})$ である。
よって、${\cal O} \subset {\cal O}({\cal U})$ である。

$X$ を集合とする。
${\cal U} \subset {\frak P}(X)$ とする。

${\cal O} \left( {\cal U} \right) \equ \Set{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} }{ {\frak F} \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$ が成り立つ。
- ${\cal O} :\equiv \Set{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} }{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ と置く。
- $\subset$
  ${\cal O} {\rm は}X{\rm の位相}$ が成り立つ。
  - ${\frak F} \equ \{ \phi \}$ とすることにより、 $X \equ \bigcap \phi \in {\cal O}$ である。
  - $\left( {\frak F}_i \subset {\rm Fin}({\cal U}) \right)_{i \in I}$ とする。 ($\phi \in {\cal O}$ の確認は $I \equ \phi$ の場合として含まれている。)
  - $\bigcup\limits_{i \in I} \parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_i } \bigcap V } \equ$ $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in \bigcup_{i \in I} {\frak F}_i } \bigcap {\cal V}$ $\in$ $\bigcup\limits_{i \in I} {\frak F}_i \subset {\rm Fin}({\cal U})$ である。 ${\cal O}$ である。
  - $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_i } \bigcap {\cal V} \in {\cal O} \left( i \equ 1,2 \right)$ を任意に取る。
  - $\parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_1 } \bigcap {\cal V} } \cap \parenth{ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_2 } \bigcap {\cal V} } \equ$ $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F}_1 \biguplus {\frak F}_2} \bigcap {\cal V}$ $\in$ ${\frak F}_1 \biguplus {\frak F}_2 \subset {\rm Fin}\left( {\cal U} \right)$ ${\cal O}$
    ただし、ここでは、集合$X_1,X_2$に対して、
    $X_1 \biguplus X_2 :\equiv \Set{ a \cup b }{ a \in X_1 {\rm かつ} b \in X_2 }$ と定義している。
  - よって、${\cal O}$は$X$の位相である。
- また、$U \in {\cal U}$に対して、$U \equ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in \{ \{ U \} \} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}$ なので、 ${\cal U} \subset {\cal O}$ である。
- よって、${\cal O}( {\cal U}) \subset {\cal O}$ を得る。
- $\supset$ 逆に、$\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O} \;\parenth{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ を任意に取る。
- 任意の${\cal V} \in {\frak F}$に対して、${\cal V} \subset {\cal U} \subset {\cal O}({\cal U}) {\rm かつ } {\cal V} {\rm は有限集合}$ なので、 $\bigcap {\cal V} \in {\cal O}({\cal U})$ である。
- 従って、$\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}\left( {\cal U} \right)$ である。
- よって、${\cal O} \subset {\cal O}\left( {\cal U} \right)$ 。
${\cal O}({\cal U}) \equ \Set{ U \subset X }{ \all x \in U \; \exi {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) \; x \in \bigcap {\cal V} \subset U }$ が成り立つ。
- $\subset$$x \in U \equ \bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \;\parenth{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ を仮定する。
- $\exi {\cal V} \in {\frak F} \;\parenth{ \subset {\rm Fin}({\cal U}) } \; x \in \bigcap {\cal V}$ である。
- $\supset$$\all x \in U \; \exi {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) \; x \in \bigcap {\cal V} \subset U$ を仮定する。
- ${\frak F} :\equiv \Set{ {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) }{ \bigcap {\cal V} \subset U }$ と置く。
- ${\frak F}$の定義より、$\bigcup\limits_{{\cal V} \in {\frak F}} \bigcap {\cal V} \subset U$ である。
- 仮定より、$\all x \in U \; x \in \bigcup\limits_{{\cal V} \in {\frak F}} \bigcap {\cal V}$ である。
$\Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\rm Fin}({\cal U}) } {\rm は} {\cal O}({\cal U}) {\rm の基底}$ が成り立つ。
- $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \in {\cal O}( {\cal U} ) \;\parenth{ {\frak F} \subset {\rm Fin}({\cal U}) }$ を任意に取る。
- $\Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\frak F} } \subset \Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\rm Fin}\left( {\cal U} \right) }$ かつ
  $\bigcup\limits_{ {\cal V} \in {\frak F} } \bigcap {\cal V} \equ \bigcup \Set{ \bigcap {\cal V} }{ {\cal V} \in {\frak F} }$ である。

直積空間について復習する。

$\parenth{ \left( X_i, {\cal O}_{X_i} \right) }_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$j \in I$ に対し、 $pr_j : \prod\limits_{i \in I} X_i \rightarrow X_j$ を第$j$射影とする。
$X :\equiv \prod\limits_{i \in I} X_i$ の位相を、

${\cal O}_X :\equiv {\cal O}\left( \bigcup\limits_{i \in I} \Set{ pr_i^{-1}\left( U \right) }{ U \in {\cal O}_{X_i} } \right)$

によって定義する。

$\bigcup\limits_{J \in {\rm Fin}\left( I \right)} \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( U_j \right) } { \all j \in J \; U_j \in {\cal O}_{X_j} } {\rm は}{\cal O}_X{\rm の基底}$である。
- $\bigcup\limits_{i \in I} \Set{ pr_i^{-1}\left( U \right) }{ U \in {\cal O}_{X_i} }$ から有限個の元を選び、それらの共通部分を取る際に、
  ある$i$に対して、$U,V \in {\cal O}_{X_i}$と取っている可能性があるが、その時は
  $pr_i^{-1}\left(U\right) \cap pr_i^{-1}\left(V\right) \equ pr_i^{-1}\left( U \cap V \right)$ かつ $U \cap V \in {\cal O}_{X_i}$ なので、
  ${\cal O}_{X_i}$から取るのは高々1個と考えて良い。
この集合を書き換えることにより、
$\Set{ \prod\limits_{ i \in I } U_i }{ \all i \in I \; U_i \in {\cal O}_{X_i} {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ U_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} } {\rm は}{\cal O}_X{\rm の基底}$である。

$x \equ \left( x_i \right)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ とする。
$i \in I$ に対し、${\mathbb V}_{X_i}(x_i)$ を $X_i$ における点 $x_i$ の近傍系とする。

$\bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) } {\rm は}x{\rm の基本近傍系}$ である。
- ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}\left( I \right) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1} \left( V_j \right) } { \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) }$ と置く。
- ${\rm (i)}$$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \;\parenth{ J \in {\rm Fin}(I) {\rm かつ} \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_j(x_j) }$ を任意に取る。
- $\all j \in J \; \exi U_j \in {\cal O}_{X_j} \; x_j \in U_j \subset V_j$ である。
- $x \in \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(U_j) \subset \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j)$ である。
- 勿論、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(U_j) \in {\cal O}_X$ である。
- よって、${\mathbb V}^*(x)$の元は$x$を内点に持つ。つまり、${\mathbb V}^*(x) \subset {\mathbb V}_X(x)$ である。
- ${\rm (ii)}$$x \in U \in {\cal O}_X$ を任意に取る。
- 上記${\rm (1)}$より、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(U_j) \subset U \;\parenth{ J \in {\rm Fin}(I) {\rm かつ} \all j \in J \; x_j \in U_j \in {\cal O}_{X_j} }$ と出来る。
- $\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( U_j \right) \in {\mathbb V}^*(x)$ である。
- よって、$\all U \in {\mathbb V}_X(x) \; \exi V \in {\mathbb V}^*(x) \; V \subset U$ である。
この集合を書き換えることにより、
$\Set{ \prod\limits_{ i \in I } V_i }{ \all i \in I \; V_i \in {\mathbb V}_{X_i}(x_i) {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ V_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} } {\rm は}x{\rm の基本近傍系}$ である。

$\parenth{ \left( X_i, {\cal O}_{X_i} \right) }_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。
$i \in I$に対し$A_i \subset X_i$ と仮定する。

$\overline{ \prod\limits_{i \in I} A_i } \equ \prod\limits_{i \in I} \overline{ A_i }$ が成り立つ[AC]。

$x \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ とし、
${\mathbb V}^*(x) :\equiv \Set{ \prod\limits_{ i \in I } V_i }{ \all i \in I \; V_i \in {\mathbb V}_{X_i}(x_i) {\rm かつ} \Set{ i \in I }{ V_i \subsetneq X_i } {\rm は有限集合} }$ と置く。
$\begin{array}[t]{@{}r@{}c@{}l@{}} x \in \overline{ \prod\limits_{i \in I} A_i } & \Leftrightarrow & \all V \in {\mathbb V}^*(x) \; \prod\limits_{i \in I} A_i \cap V \nequ \phi \\ & \Leftrightarrow & \all j \in I \; \all V_j \in {\mathbb V}_{X_j}(x_j) \; \prod\limits_{i \in I} A_i \cap \parenth{ \prod\limits_{j \not= i \in I} X_i \times V_j } \nequ \phi \\ & \ ^{AC} \Leftrightarrow & \all j \in I \; \all V_j \in {\mathbb V}_{X_j}(x_j) \; A_j \cap V_j \nequ \phi \\ & \Leftrightarrow & \all j \in I \; x_j \in \overline{ A_j } \\ & \Leftrightarrow & x \in \prod\limits_{i \in I} \overline{ A_i } \end{array}$ である。

2018-09-26

${\rm Tychonoff}$の定理

位相空間論集合論

まず、本定理の証明に必要な命題を述べておく。

$\left( X, {\cal O}_X \right)$ を位相空間とする。
$x \in X$ とする。
${\mathbb V}(x)$ を $x$ の近傍系とする。
${\mathbb V}^*(x)$ を $x$ の基本近傍系とする。
$\all A \subset X \;\parenth{ x \in \overline{A} \Leftrightarrow \all V \in {\mathbb V}(x) \; A \cap V \nequ \phi }$ が成り立つ。
$\all A \subset X \;\parenth{ x \in \overline{A} \Leftrightarrow \all V \in {\mathbb V}^*(x) \; A \cap V \nequ \phi }$ が成り立つ。

$X$ を集合とする。
${\frak X} :\equiv \Set{ {\cal A} \subset {\frak P}(X) }{ {\cal A} {\rm は有限交叉性を持つ} }$ と置く。

$\all {\cal A} \in {\frak X} \; \exi {\cal B} \in {\frak X} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \all {\rm 有限部分集合} {\cal B}^\prime \subset {\cal B} \;\; \bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B} & {\rm かつ} \\ \phi \nequ \all A \subset X \;\bracket{ \parenth{ \all B \in {\cal B} \;\; A \cap B \nequ \phi } \Rightarrow A \in {\cal B} } & \end{array}\right.$ が成り立つ[$AC$]。

｢有限交叉性を持つ｣は有限的性質なので、Zornの補題と同値な命題(集合論編)$^{AC}$により、
${\cal A} \subset \exi {\cal B} \in {\frak X} \; {\cal B} {\rm は}({\frak X}, \subset){\rm の極大元}$ が成り立つ。
${\rm (1)}$${\rm 有限部分集合}{\cal B}^\prime \subset {\cal B}$ を任意に取る。
${\cal B}$ が有限交叉性を持つので、${\cal B}^\prime$ の取り方から、当然 ${\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\}$ も有限交叉性を持つ。
従って、${\cal B} \subset {\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\} \in {\frak X}$ であるが、${\cal B}$ は ${\frak X}$ の極大元だから、${\cal B} \equ {\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\}$ がである。
よって、$\bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B} \cup \left\{ \bigcap {\cal B}^\prime \right\} \equ {\cal B}$ である。
${\rm (2)}$$\phi \nequ A \subset X$ を任意に取り、$\all B \in {\cal B} \; A \cap B \nequ \phi$ を仮定する。
${\rm (1)}$ と同様の議論なので、 ${\cal B} \cup \left\{ A \right\}$ が有限交叉性を持つことを示せば良い。
${\rm 有限部分集合} {\cal B}^\prime \subset {\cal B}$ を任意に取る。
${\rm (1)}$ より $\bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B}$ なので、$A \cap \parenth{ \bigcap {\cal B}^\prime } \nequ \phi$ である。
よって、${\cal B} \cup \left\{ A \right\}$ は有限交叉性を持つ。

${\rm Tychonoff}$の定理

$\left( \left(X_i, {\cal O}_{X_i}\right) \right)_{i \in I}$ を、$I$を添え字集合とする位相空間の列とする。

$\all i \in I \;\; X_i \hbox{がCompact} \Rightarrow^{AC} \prod\limits_{i \in I} X_i \hbox{はCompact}$ が成り立つ。

有限交叉性に関する議論によって証明する。
${\frak X} :\equiv \Set{ {\scr A} \subset {\frak P}\left( \prod\limits_{i \in I} X_i \right) }{ \scr{A} \hbox{は有限交叉性を持つ} }$ と置く。
CompactかつHausdorffならば正規のCompactの同値命題より、$\all {\scr A} \in {\frak X} \;\; \bigcap\limits_{A \in {\scr A}} \overline{A} \nequ \phi$ を示せば良い。
$\scr{A} \in \frak{X}$ を任意に取る。
上記命題より、${\cal A} \subset \exi {\cal B} \in {\frak X} \;\left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} \all {\rm 有限部分集合} {\cal B}^\prime \subset {\cal B} \;\; \bigcap {\cal B}^\prime \in {\cal B} & {\rm かつ} \\ \phi \nequ \all A \subset X \;\bracket{ \parenth{ \all B \in {\cal B} \;\; A \cap B \nequ \phi } \Rightarrow A \in {\cal B} } & \end{array}\right.$ である。
$i \in I$ に対し、 $pr_i : \prod\limits_{j \in I} X_j \rightarrow X_i$ を第$i$射影とする。
$\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \nequ \phi$ が成り立つ。
- $i \in I$ を任意に取る。
- ${\cal B}$ が有限交叉性を持つので、 $\Set{pr_i\left(A\right)}{A \in {\cal B}} \left( \subset {\frak P}\left( X_i \right) \right)$ は有限交叉性を持つ。
- 従って、 $X_i$ がCompactである仮定により、 $\bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \nequ \phi$ が成り立つ。
- よって、選択公理により、 $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \nequ \phi$ が成り立つ。
$\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A}$ が成り立つ。
- $x \equ \left( x_i \right)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} \left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right)$ を任意に取る。
  $A \in {\cal B}$ を任意に取る。
- $x \in \overline{A}$ を示すために、下準備した同値命題を用いる。
- ${\mathbb V}^*(x) :\equiv \bigcup\limits_{ J \in {\rm Fin}(I) } \Set{ \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) }{ \all j \in J \; V_j \in {\mathbb V}_{X_j}\left( x_j \right) } \;\parenth{ {\rm これは}x{\rm の基本近傍系} }$ と置く。
  (ただし、${\mathbb V}_{X_i}(x_i)$ を $X_i$ における点 $x_i$ の近傍系とする。)
- $\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \in {\mathbb V}^*(x)$ を任意に取る。
- $\all j \in J \;\; pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\cal B}$ が成り立つ。
  - $j \in J$ を任意に取る。
  - $B \in {\cal B}$ を任意に取る。
  - $x_j \in \bigcap\limits_{A^\prime \in {\cal B}} \overline{pr_j\left(A^\prime\right)} \subset \overline{pr_j\left(B\right)}$ なので、 $pr_j\left(B\right) \cap V_j \nequ \phi$ が成り立つ。
  - 従って、 $\phi \nequ B \cap pr_j^{-1}(V_j)$ つまり $pr_j^{-1}(V_j) \cap B \nequ \phi$ である。
  - $B \in {\cal B}$ は任意なので、有限交叉性を持つ極大元より、$pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\cal B}$ である。
- 従って、$J {\rm は有限集合}$と有限交叉性を持つ極大元より、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right) \in {\cal B}$ である。
- 従って、 $\left\{ A, \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j) \right\} \subset {\cal B}$ であるが、
  ${\cal B}$ は有限交叉性を持つから、 $A \cap \bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}\left( V_j \right) \nequ \phi$ である。
- よって、$\bigcap\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(V_j)$ は ${\mathbb V}^*(x)$ の任意の元なので、$x \in \overline{A}$ である。
- よって、$A$ は ${\cal B}$ の任意の元なので、$x \in \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A}$ である。
- よって、 $x$ は任意の元なので、$\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i(A)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A}$ である。
よって、 $\phi \nequ$ $\prod\limits_{i \in I}\left( \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{pr_i\left(A\right)} \right) \subset \bigcap\limits_{A \in {\cal B}} \overline{A} \subset \bigcap\limits_{A \in {\scr A}} \overline{A}$ が成り立ち、定理の成立が証明された。

証明終

${\rm Tychonoffの定理が成立} \Rightarrow {\rm 選択公理が成立}$ が成り立つ。

集合列 $(X_i)_{i \in I}$ に対して、$\all i \in I \; X_i \nequ \phi$ を仮定する。
$i \in I$ に対して、$\infty_i \not\in X_i$ なる $\infty_i$ を用意し、
$X_i^* :\equiv X_i \coprod \{\infty_i\}, {\cal O}_i :\equiv \{ \phi, \{\infty_i\}, X_i^* \}$ と置き、位相空間$(X_i^*,{\cal O}_i)$ を考える。
$\all i \in I \; X_i^* {\rm はcompact}$ なので、仮定より、$\prod\limits_{i \in I} X_i^* {\rm はcompact}$ である。
$i \in I$ に対して、$pr_i : \prod\limits_{j \in I} X_j^* \rightarrow X_i^*$ を第$i$射影とする。
$\prod\limits_{i \in I} X_i^* \equ \prod\limits_{i \in I} X_i \cup \bigcup\limits_{i \in I} pr_i^{-1}(\{\infty_i\})$ が成り立つ。
- $x^* \equ (x_i^*)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I} X_i^*$ を任意に取る。
- $\all i \in I \; x_i^* \nequ \infty_i \Leftrightarrow \all i \in I \; x_i^* \in X_i \Leftrightarrow x^* \in \prod\limits_{i \in I} X_i$ である。
- $\exi i \in I \; x_i^* \equ \infty_i \Leftrightarrow \exi i \in I \; pr_i(x^*) \equ \infty_i \Leftrightarrow x^* \in \bigcup\limits_{i \in I} pr_i^{-1}(\{\infty_i\})$ である。
[背理法]$\prod\limits_{i \in I} X_i \equ \phi$ と仮定する。
背理法の仮定とcompactな直積空間と直積空間の分解より、 $\exi {\rm 有限集合} J \subset I \; \prod\limits_{i \in I} X_i^* \equ \bigcup\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(\{\infty_j\})$ である。
$J {\rm は有限集合}$ なので、選択公理を使わずして、$\exi (x_j)_{j \in J} \in \prod\limits_{j \in J} X_j$ である。
$i \in I$ に対して、$x_i^* :\equiv \left\{\begin{array}{@{}l@{}l@{}} x_i & i \in J {\rm の時} \\ \infty_i & i \in I \backslash J {\rm の時} \end{array}\right.$ と定義し、$x^* :\equiv (x_i^*)_{i \in I}$ と置く。
明らかに、$x^* \in \prod\limits_{i \in I} X_i^*$ である。
$\all j \in J \; x_j^* \equ x_j \nequ \infty_j$ なので、$\all j \in J \; x^* \not\in pr_j^{-1}(\{\infty_j\})$
つまり $x^* \not\in \bigcup\limits_{j \in J} pr_j^{-1}(\{\infty_j\}) \equ \prod\limits_{i \in I} X_i^*$ である。
よって、これらは矛盾している。

2018-09-23

${\rm Compact}$かつ${\rm Hausdorff}$ならば${\rm 正規}$

位相空間論集合論

位相空間$\left( X,{\cal O}_X \right)$に対し、

${\cal C}_X :\equiv \Set{ A \subset X }{ X \backslash A \in {\cal O}_X }$

と置く。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。
$A \subset X$ とする。以下は同値である：

$A$はCompact
$\all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ A \cap \bigcap {\cal D} \equ \phi \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \equ \phi }$
$\all {\cal S} \subset {\frak P}(X) \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; A \cap \bigcap {\cal T} \nequ \phi \Rightarrow A \cap \bigcap \Set{ {\overline S} }{ S \in {\cal S} } \nequ \phi }$

[証明]

$A$はCompact
$\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O}_X \parenth{ A \subset \bigcup {\cal U} \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal V} \subset {\cal U} \; A \subset \bigcup {\cal V} }$
$\Leftrightarrow \all {\cal U} \subset {\cal O}_X \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal V} \subset {\cal U} \; A \cap \parenth{ X \backslash \bigcup {\cal V} } \nequ \phi \Rightarrow A \cap \parenth{ X \backslash \bigcup {\cal U} } \nequ \phi }$
$\Leftrightarrow \all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ \all {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \nequ \phi \Rightarrow A \cap \bigcap {\cal D} \nequ \phi }$
$\Leftrightarrow \all {\cal D} \subset {\cal C}_X \parenth{ A \cap \bigcap {\cal D} \equ \phi \Rightarrow \exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D} \; A \cap \bigcap {\cal E} \equ \phi }$
(3)$\Rightarrow$閉集合での有限交叉性の場合は自明なので、閉集合での有限交叉性の場合$\Rightarrow$(3) を示す。
${\cal S} \subset {\frak P}(X)$ とし、$\all {\rm 有限部分集合}{\cal T} \subset {\cal S} \; A \cap \bigcap {\cal T} \nequ \phi$ を仮定する。
$\all {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal S} \; \phi \neq A \cap \bigcap {\cal E} \subset A \cap \bigcap \Set{ {\overline E} }{ E \in {\cal E} }$ なので、
閉集合での有限交叉性の場合より、$A \cap \bigcap \Set{ {\overline S} }{ S \in {\cal S} } \nequ \phi$ である。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。

$X$はHausdorff $\Leftrightarrow \all x \in X \; \bigcap \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ } \equ \{x\}$ が成り立つ。

$X$はHausdorff
$\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \nequ y \Rightarrow x \in \exi U \in {\cal O}_X \; y \in \exi V \in {\cal O}_X \; U \cap V \equ \phi \;\right]$
$\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \nequ y \Rightarrow x \in \exi U \in {\cal O}_X \; y \in ( X \backslash U )^\circ \equ X \backslash {\overline U} \;\right]$
$\Leftrightarrow \all x, y \in X \;\left[\; x \in \all U \in {\cal O}_X \; y \in {\overline U} \Rightarrow x \equ y \;\right]$
$\Leftrightarrow \all x \in X \; \bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \equ \{x\}$
$\all x \in X \; \bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \equ \bigcap \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ }$ が成り立つ。
- $\subset$$A \in {\cal C}_X, x \in A^\circ$なる任意の$A$に対して、 $\bigcap \Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \subset {\overline{(A^\circ)}} \subset {\overline A} \equ A$ である。
- $\supset$ $\Set{ {\overline U} }{ x \in U \in {\cal O}_X } \subset \Set{ A \in {\cal C}_X }{ x \in A^\circ }$ である。

$\left( X,{\mathcal O}_X \right)$を位相空間とする。

$X {\rm はCompact}{\rm かつ} {\rm Hausdorff} \Rightarrow X {\rm はNormal(正規)}$ が成り立つ。

仮定[$X {\rm はHausdorff}$]より $X {\rm はT_1}$ なので、以下で $X {\rm はT_4}$ であることを証明する。
$A, B \in {\cal C}_X$ とし、$A \cap B \equ \phi$ を満たすと仮定する。
${\scr A} :\equiv \Set{ {\cal D} \subset {\cal C}_X }{ {\cal D} {\rm は有限集合} \land (\bigcap {\cal D})^\circ \nequ \phi \land B \cap (\bigcap {\cal D}) \equ \phi }$ と置く。
$A \subset \bigcup \limits_{ {\cal D} \in {\scr A} } (\bigcap {\cal D})^\circ$ が成り立つ。
- $a \in A$ を任意に取る。
- ${\cal D}_a :\equiv \left\{ D \in {\mathcal C}_X | a \in D^\circ \right\} \;( \subset {\cal C}_X )$ と置く。
- $B \cap (\bigcap {\cal D}_a)$ $\equ$ 仮定[$X$はHausdorff]と上記命題より $B \cap \{a\} \equ \phi$ である。
- 一方、仮定[$X$はCompact]により、閉集合$B$はCompactである。
- 従って、上記命題より、$\exi {\rm 有限部分集合}{\cal E} \subset {\cal D}_a \; B \cap ( \bigcap {\cal E} ) \equ \phi$ である。
- また、 $a$ $\in$ ${\cal E} \subset {\cal D}_a$ と ${\cal D}_a$ の定義から。 $\bigcap\limits_{D \in {\cal E}} D^\circ$ $\equ$ ${\cal E}$ が有限集合であることから。 $(\bigcap {\cal E})^\circ$ も成り立つので、 ${\cal E} \in {\scr A}$ である。
- よって、 $a \in (\bigcap {\cal E})^\circ \subset \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}} (\bigcap {\cal D})^\circ$ である。
一方、仮定[$X$はCompact]より、閉集合$A$はCompactである。
従って、上記より、$\exi {\rm 有限部分集合}{\scr A}_0 \subset {\scr A} \; A \subset \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})^\circ$ である。
$U :\equiv \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})^\circ$ , $V :\equiv X \backslash \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D})$ と置く。
明らかに、 $A \subset U \in {\cal O}_X$ である。
$B \cap \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0}(\bigcap {\cal D}) \equ \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} \parenth{ B \cap (\bigcap {\cal D}) }$ $\equ$ ${\scr A}_0 \subset {\scr A}$ と ${\scr A}$ の定義から。 $\phi$ だから $B \subset X \backslash \bigcup\limits_{{\cal D} \in {\scr A}_0} (\bigcap {\cal D}) \equ V$ $\in$ ${\scr A}_0$ が有限集合であることから。 ${\cal O}_X$
最後に、 $U \cap V \equ \phi$ であることは定義から明らかである。

2018-06-18

ScanSnap iX500のスキャンの仕上がり具合についてのメモ

私はScanSnap iX500で自炊をもう既に400冊ぐらいしています。白黒(でスキャンしても構わない)書籍が90％、グレーが5％、カラーが5％という内訳でしょうか。
その経験からiX500でのスキャンの仕上がり具合について少し経験がついたのでメモを残しておこうと思います。

白黒スキャンについて

1200dpi > 600dpi
1200dpiでのスキャン一択です。600dpiの選択肢はほぼありません。
スキャン速度は、1200dpiで約7秒/枚、600dpiで約2秒/枚といったところでしょうか(他の項目、圧縮・色の濃さ･裏写り軽減･文字くっきり等の項目は速度にほぼ影響なし)。
600dpiでも1200dpiでも文字そのもののスキャン精度に違いはほぼないので、文字オンリーの白黒書籍ならば600dpiでの方が早いといえます。
しかし、白黒書籍にグラフ、表、図、特に写真が入っている場合は明白に違いが出てきます。
1200dpiでなら元画像より少し暗みがかった感じにはなるものの、多くの人にとって恐らく妥協できるであろう程度にそれなりに綺麗にスキャン出来ます。例えば、色分けされた棒グラフの各色分けが一部分からなくなってしまうケースがたまにあります。
しかし、600dpiなら明らかに1200dpiに劣ります。600dpiでのスキャンの速さのメリットが霞んで消えます。例えば色分けされた棒グラフの色分けがほぼ分からなくなってしまいます。
ファイルサイズの観点から見ても1200dpiで何の問題も無い：例えば、ほぼ文字オンリーの経済学の教科書(白黒書籍)304ページで28MB,写真が多数混入の植物学の専門書(白黒書籍)が276ページで72MBです。500ページ弱の大型技術書でも250MB程度。小説サイズなら400ページオーバーでも100MB以下。
圧縮については後述。
文字くっきりはオフ一択
文字くっきりをオンにしても文字そのもののスキャンはほぼ変わらない。20倍ほどに拡大してやや違いが分かる程度(ただし、これは白黒スキャンに限った話であることに注意)。
しかし、グラフ、表、図、特に写真に対するスキャンの撮れ具合が文字くっきりオフの方が明確に良い。
裏写り軽減はオンでよい
裏写り軽減をオンにすることで薄い紙の裏写りを軽減できるし、本の黄ばみをスキャンに反映させない効果もオフの時より高い…気がする。
色の濃さは0が丁度いい(経験的に0で落ち着いた)
殆どの白黒書籍は色の濃さ0で文字も写真等もバランスよくスキャン出来る。文字はハッキリ･くっきりスキャン出来、写真等もそれなりに綺麗にスキャン出来る。
色を濃くすると文字がしっかりしてくるのだが、逆に写真等が暗くなってよくないし、薄くすると写真等が少し見やすくはなるものの文字が薄くかすれてくる。
原本の文字の濃さや写真等の有り無しに応じて濃さ-1～3当たりで調節するのが妥当。
白紙ページを自動的に削除する　はオフ
オンにしてしまうとページ番号の調整が狂ってしまうからオフ
ファイル形式はPDF一択
白黒画像に加工することはほぼない。

グレー･カラースキャンについて
ファイルサイズはどちらもほぼ同じ、カラーの方が1割ほど大きくなるぐらいでスキャンの撮れ具合に大差はないので原本の色に合わせる。

600dpi一択
最高画質に設定してもiX500では(個人的には)完璧に満足のいくものではないので600dpiしかありえない。それでもそれなりにいい具合にはスキャン出来る。
スキャン速度は白黒1200dpiと同一。
グレー、カラーどちらにしてもグラフ、図、表、写真はほぼ原本に近い形でスキャン出来て満足。
しかし、文字が全般的にとても薄くスキャンされてしまう仕様。白黒の色の濃さ-1より薄い。iX500の性能の限界。
圧縮率は1の一択
上と同じ理由。
ファイルサイズについては大きくなることは覚悟が居る：600dpi,圧縮率1にして、一例としては教科書サイズ(276ページ)をグレーでスキャンして500MB弱。写真やカラフルな装飾が多数の本(教科書サイズ)500ページで2GBとなることもあります。
裏写り軽減は　オフ！
オンにしたら更に文字が薄くなってしまうので絶対にオフ！。オフにしてても裏写りはほぼない。
文字くっきりは　オン！
ただでさえ文字が薄くスキャンされるので絶対にオン！
オンオフどちらでも写真等には殆ど影響なし。
ファイル形式はPDFでいいかな
こだわり派の人はJPEG出力をして画像編集or原Scan永久保存のように使うだろうが、上記設定ならそれなりにいい具合のスキャンの撮れ具合なのでPDF化でいい。

圧縮について
私はAcrobatでOCRを掛けつつ圧縮をしてます。
白黒書籍ならiX500スキャン時のファイルサイズの40％、グレー･カラー書籍なら25~35％ぐらいに圧縮できます。
圧縮しても目視レベルではまず違いに見分けがつきません。20倍ぐらいに拡大して少しわかる程度。
圧縮の結果、白黒書籍なら殆ど全てが数MB～50MBのサイズへ、グレー･カラー書籍なら100MB～500MB(約1.2~1.5MB/ページ)へと小さく出来ます。

$s \equ t$	$f(n_1,n_2,\cdots,n_r) \equ n$

$s \equ {\rm Rep}(t; f(n_1,n_2,\cdots,n_r),n)$

$D_1$	$D_2$

$e_3$